Bài tập toán ôn tập luyện thi vào lớp 10

 BÀI TẬP TOÁN ễN TẬP LUYỆN THI VÀO LỚP 10 
 Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
Bài 1: Cho biểu thức :
Rút gọn P	b/Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức:P=
 a) Rút gọn P	b/Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức:P= 
Rút gọn P	b/Tìm các giá trị của x để P=
Bài 4: Cho biểu thức :P= 
Rút gọn P	b/Tìm giá trị của a để P<1	c/Tìm giá trị của P nếu 
Bài 5: Cho biểu thức;P=
Rút gọn P	b/Xét dấu của biểu thức M=a.(P-)
Bài 6: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P	b/Tính giá trị của P khi x
Bài 7: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P	Tìm x để P0
Bài 8: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P
Xét dấu của biểu thức P.
Bài 9: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P
So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức :P= 
Rút gọn P
Tìm a để P<
Bài 11: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P	b/ Tìm x để P<	c/Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P	c/Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức :P=
Rút gọn P	b/TTìm các giá trị của x để P=	c/Chứng minh P
Bài 14: Cho biểu thức:P= với m>0
Rút gọn P	b/Tính x theo m để P=0.
c/Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức :P=
Rút gọn P	b/Biết a>1 Hãy so sánh P với P 
c/Tìm a để P=2	d/Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thứcP= 
Rút gọn P
Tính giá trị của P nếu a= và b=
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 
Bài 17: Cho biểu thức :P=
Rút gọn P	bVới giá trị nào của a thì P=7	c/Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức:P= 
Rút gọn P	b/Tìm các giá trị của a để P<0	c/Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức: P=
Tìm điều kiện để P có nghĩa.	b/Rút gọn P	
c/Tính giá trị của P khi a= và b=
Bài 20: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P
Chứng minh rằng P>0 x 
Bài 21: Cho biểu thức P=
Rút gọn P	b/Tính khi x=
Bài 22: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P	bTìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P	b/Chứng minh P 
Bài 24: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P	b/Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P	b/Cho P= tìm giá trị của a	 	c/Chứng minh rằng P>
Bài 26: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P
Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của a để P>
Bài 29: Cho biểu thức:P=
Rút gọn P
Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức :P= 
Rút gọn P
Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
Phần 2: Các bài tập về hệ phương trình bậc 2:
Bài 31: Cho phương trình : 
Giải phương trình khi 
Tìm m để phương trình có nghiệm 
Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài 32: Cho phương trình : (x là ẩn )
Tìm m để phương trình có nghiệm .Tìm nghiệm còn lại 
Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt 
Tính theo m
Bài 33: Cho phương trình : (x là ẩn )
Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Chứng minh biểu thức M= không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Tìm m để phương trình :
 a) có hai nghiệm dương phân biệt 
 b) có hai nghiệm âm phân biệt
 c) có hai nghiệm trái dấu
Bài 35: Cho phương trình :
Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
Gọi hai nghiệm của ph/trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 36: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: 
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 
Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 
Bài 38: Cho phương trình :
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của ph/trình
Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m :
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 
Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện 
Bài 40: Cho phương trình 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 41: Cho phương trình (với m là tham số )
Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m
Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho phương trình với m là tham số
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình 
Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức:
Bài 43: A) Cho phương trình : (m là tham số)
Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 
Đặt a/Chứng minh 	b/Tìm m để A=8
c/Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng
d/Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
 44/Cho phương trình 
 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m.
 b) Đặt A=a/CMR A=	bTìm m sao cho A=27
 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 44: Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Đặt (n nguyên dương)a/CMR 
áp dụng Tính giá trị của : A=
Bài 45: Cho f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1a/CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 
Bài 46: Cho phương trình : 
Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 
Gọi là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính theo m
Bài 47: Cho phương trình có hai nghiệm là . Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức : 
Bài 48: Cho phương trình Giải phương trình khi m= 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để :
Bài 49: Cho phương trình (1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm của phương trình (1) thoả mãn hệ :
Bài 50: Cho phương trình:
 ( k là tham số)
CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho 
Bài 51: Cho phương trình (1) 
Giải phương trình (1) khi m=1
Giải phương trình (1) khi m bất kì
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 52:Cho phương trình : 
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn 
Phần 3: Hệ phương trình:
Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ; 
 Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phươnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
 a) b) c) 
Bài 55: Cho hệ phương trình : 
 a)Giải hệ phương trình khi 
 b)Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm : * (1;-2)
 	 * ()Để hệ có vô số nghiệm 
Bài 56:Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: 
Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 
Có một nghiệm duy nhất 	b/Vô nghiệm
Bài 58 :Giải hệ phương trình sau: 
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 
Bài 60 :GiảI hệ phương trình 
Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình : .Tính 
Bài 61:Cho hệ phương trình : 
Giải hệ phương rình khi a=-
Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
 Bài 62: Cho hàm số y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+.
Cắt đường thẳng -2y+x-3=0
Song song vối đường thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số : (P)
Vẽ đồ thị (P)
Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ 
Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) theo m
Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P) và đường thẳng (d) 
 1.Xác định m để hai đường đó :
Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm 
Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B
 2.Trong trường hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
 Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 65: Cho đường thẳng (d) 
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi 
Bài 66: Cho (P) 
Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P)
Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 
Bài 67: Cho đường thẳng (d) 
Vẽ (d)
Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 68: Cho hàm số (d)
Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phương trình 
Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng :
 (d) 
 (d') 
Song song với nhau
Cắt nhau 
Vuông góc với nhau
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng :
 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định 
Bài 72: Cho (P) và đường thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đường thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số 
Vẽ đồ thị hàn số trên
Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 74: Cho (P) và đường thẳng (d) y=2x+m
Vẽ (P)
Tìm m để (P) tiếp xúc (d) 
Bài 75: Cho (P) và (d) y=x+m
Vẽ (P)
Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 76: Cho hàm số (P) và hàm số y=x+m (d)
Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng () y=-2(x+1)
Điểm A có thuộc () ? Vì sao ?
Tìm a để hàm số (P) đi qua A
Xác định phương trình đường thẳng () đi qua A và vuông góc với ()
Gọi A và B là giao điểm của (P) và () ; C là giao điểm của () với trục tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 78: Cho (P) và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là -2 và 4
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
Viết phương trình đường thẳng (d) 
Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
 (Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ có nghĩa là A(-2;) và B(4;)ị tính )
Bài 79: Cho (P) và điểm M (1;-2)
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi 
G ... t đường tròn O tại C và D 
Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
CMR OC ^ AD ; OD ^ AC
CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B 
 Bài 127: Cho đường tròn tâm O và một đường thẳng d cắt đường tròn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .
Tính các góc của biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP và MQ là 45 . 
Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm trên một đường tròn .
Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp D MPQ khi M chạy trên d
 Bài 128: Cho D ABC nội tiếp đường tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đường tròn tại M . 
CMR OM ^ BC 
Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định 
Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB 
( Hướng dẫn : áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác )
 Bài 129: Cho D ABC ( AB = AC , é A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong D ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH.
CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp được 
CMR tia đối của tia MI là phân giác é HMK
CMR tứ giác MPIQ nội tiếp được . Suy ra PQ // BC 
 Bài 130: Cho D ABC ( AC > AB ; > 900 ) . I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC . Các đường tròn đường kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.
CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng 
CMR tứ giác BFEC nội tiếp được 
Chứng minh ba đường thẳng AD , BF , CE đồng quy
Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp D AEF . Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH , DE .
 Bài 131: Cho đường tròn (O;R) và điểm A với OA = , một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .
CMR OI ^ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông
Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O) 
 Bài132: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.
D AFC và D BEC có quan hệ với nhau như thế nào ? Tại sao ?
CMR D FEC vuông cân
Gọi D là giao điểm của đường thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp được 
 Bài133: Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB , CD vuông góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( ) . EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
CMR D AMC đồng dạng D ANC . 
CMR : AM.CN = 2R2 
Giả sử AM=3MB . Tính tỉ số 
 Bài 134: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB . Gọi H , I lần lượt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI.
Tính độ lớn góc HKM
Vẽ IP ^ AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đường tròn (O) 
Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB
 Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của D ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lượt tại M, N . 
 a) CMR D OBM đồng dạng D NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN .
 b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC .
 c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
 Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R (). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó . Đường Mz cắt Ax , By lần lượt tại N và P . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh :
 a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn và NP = AN + BP
 b) N và P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC 
 c) AD.BC = 4R2
 d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ nhất 
 Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tâm (O) và I là điểm chính giữa cung AB (cung AB không chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lượt tại M và N .
CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đường tròn 
IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
 Bài 138: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B () và vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đường tròn (O’) tại I .
Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng
CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC
 (Lớp10- bộ đề toán) 
 Bài 139: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn . Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N . Đường tròn này cắt MA , MB lần lượt tại các điểm thứ hai C , D
Chứng minh : CD // AB .
Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
CMR : KM.KN không đổi
 Bài 140: Cho một đường tròn đường kính AB , các điểm C , D ở trên đường tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lượt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lượt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K 
CMR: cân
CMR tứ giác MCKH nội tiếp được . Suy ra KH // AD
So sánh góc CAK với góc DAK
 Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d) vuông góc với AC tại A . Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P.
CMR tứ giác ABMD nội tiếp được 
CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M 
Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động.
 Bài 142: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm M nằm trên cung AB ; gọi H là điểm chính giữa của cung AM . Tia BH cắt AM tại một điểm I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm K . Các tia AH ; BM cắt nhau tại S .
Tam giác BAS là tam giác gì ? Tại sao ? Suy ra điểm S nằm trên một đường tròn cố định .
Xác định vị trí tưong đối của đường thẳng KS với đường tròn (B;BA)
Đường tròn đi qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) tại một điểm N . CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung AB.
Xác định vị trí của M sao cho .
 Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:
Góc CID bằng góc CKD
Tứ giác CDFE nội tiếp được 
IK // AB
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A 
 Bài 144: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A , kẻ tiếp tuyến chung Ax. Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) lần lượt tại các điểm B , C và cắt Ax tại điểm M . Kẻ các đường kính BO1D và CO2E.
CMR: M là trung điểm của BC
CMR: O1MO2 vuông
Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng
Gọi I là trung điểm của DE . CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường thẳng d 
 Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R cố định và một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S là giao điểm của các đường thẳng PB , QA.
CMR : PQ là đường kính của đường tròn (O) 
Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?
Chứng minh độ dài SH không đổi 
Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH , PQ . Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định.
 Bài 146: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .
CMR : BM // OP
Đườngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình gì ? Tại sao ?
Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng 
Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đường tròn (O)
 Bài 147: Cho đường tròn (O;R) , hai đường kính AB và CD vuông góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn (O) ở điểm P .
CMR tứ giác OMNP nội tiếp được 
Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
CMR : CM.CN không đổi 
CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định 

 Bài 148: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E , F .
CMR: B , F , C thẳng hàng 
Tứ giác CDEF nội tiếp được 
Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE
Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’)
 Bài 149: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn ( M khác A và B ) . Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I . Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ).
CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM.
CMR : CA và DB vuông góc với AB
CMR : đồng dạng 
CMR : AC.BD = R2
 Bài 150: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lượt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K .
Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi 
Hạ . Chứng minh IP là tiếp tuyến của (O;R)
Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R)
CMR kkhi M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
 Bài 151: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC < 900 và . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lượt tại E và F .
Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?
CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.
Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần lượt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp được.
Giả sử tia AM cắt tia BD tại S . Xác định vị trí của C và D sao cho 5 điểm M , O , B , K , S cùng thuộc một đường tròn 
 Bài 152: Cho (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q.
CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được .
CMR : MI2 = MH . MK
CMR tứ giác IPMQ nội tiếp được . Suy ra PQ MI
CMR nếu KI = KB thì IH = IC