Bài tập Tổ hợp - Phần: Quy tắc điểm

 CHƯƠNG II : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 
 §1 . QUI TẮC ĐẾM 
 TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
 1) Số phần tử của tập hợp hữu hạn A kí hiệu N(A) 
 2) Nếu A, B là các tập hợp hữu hạn thì 
 N(A È B) = N(A) + N(B) - N(A Ç B)
 3) QUI TẮC CỘNG : Nếu A, B là các tập hữu hạn không giao nhau thì 
 N(A È B) = N(A) + N(B)
 4) Nếu X là tập hợp hữu hạn và A là tập hợp con của X thì 
 N(X \ A) = N(X) - N(A) 
 5) Nếu A1, A2, ..., An là các tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau thì 
 N(A1 È A2 È... È An) = N(A1) + N(A2) +... + N(An)
 6) QUI TẮC NHÂN : Gỉa sử ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp. Nếu hành động 
 thứ nhất có m kết quả và ứng với mỗi kết quả đó hành động thứ 2 có n kết quả, thì có mn 
 kết quả của 2 hành động liên tiếp ấy 
 QUI TẮC NHÂN MỞ RỘNG 
 Gỉa sử phải thực hiện r hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có n1 kết quả, ứng 
 với mỗi kết quả của hành động thứ nhất lại có n2 kết quả của hành động thứ 2,..., ứng với 
 mỗi kết quả của hành động thứ r - 1 lại có nr kết quả của hành động thứ r. Khi đó ta có 
 n1n2nr kết quả của r hành động liên tiếp đó 
 BT1 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm :
 a) Một chữ số b) Hai chữ số 
 c) Ba chữ số khác nhau d) Không quá 3 chữ số 
 HD
 a) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên cần tìm 
 Rõ ràng số các số tự nhiên cần tìm là N(A) = 5 
 b) Gọi B là tập hợp cacù số tự nhiên cần tìm 
 Có 5 cách chọn a, và 5 cách chọn b. Theo qui tắc nhân, số các số tự nhiên cần tìm là 
 N(B) = 5.5 = 25 
 c) Gọi C là tập hợp các số tự nhiên cần tìm 
 Có 5 cách chọn a, sau khi chọn a thì còn lại 4 chữ số (do a, b, c khác nhau từng đôi) nên có 4 cách chọn b, và cuối cùng có 3 cách chọn c. Theo qui tắc nhân, số các số cần tìm là
 N(C) = 5.4.3 = 60 
 d) Gọi D là tập hợp các số tự nhiên có 3 chứ số được tạo từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 
 Mỗi chữ số có 5 cách chọn vậy theo qui tắc nhân có
 N(D) = 53 = 125 
 Gọi E là số các số tự nhiên không quá 3 chữ số cần tìm ta có:
 E = A È B È D và A, B, C đôi một không giao nhau 
 Theo qui tắc cộâng số các số cần tìm là
 N(E) = N(A) + N(B) + N(D) = 5 + 25 + 125 = 155 
 BL : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên 
 a) Chẵn gồm 4 chữ số b) Lẻ gồm 4 chữ số 
 c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số 
 HD 
 Một số tự nhiên được gọi là số tự nhiên chẵn (tương ứng lẻ) nếu và chỉ nếu chữ số tận cùng của nó là các số 0, 2, 4, 6, 8 (tương ứng 1, 3, 5, 7, 9)
 a) ĐS : 3.63 b) ĐS : 3.63 
 c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số .TH2 : Gồm 5 chữ số. TH3 : Gồm 6 chữ số 
 ĐS : 3(63 + 64 + 65)
 BT2 : Sử dụng qui tắc cộng, hãy cho biết số tam giác trong hình vẽ bên
 P
 HD 
 Gọi A là tập hợp các tam giác trong tam giác MQR 
 B là tập hợp các tam giác trong tam giác PQR không M	
có sự tham gia của đoạn MR 
 C là tập hợp các tam giác trong tam giác PMR 
 Q R
 Dễ thấy rằng A, B, C đôi một không giao nhau P
 Ta có N(A) = N(B) = 6, N(C) = 3 
 Þ Sốù các tam giác cần tìm là M 
 N(A È B È C) = N(A) + N(B) + N(C) = 15 
 BL : Sử dụng qui tắc cộng ,hãy cho biết số tam giác N	 
trong hình vẽ bên 
 HD Q R 
 Tính số tam giác trong tam giác QRN, NRM, MRP (6 + 3 + 3 = 12 tam giác)
 Tính số tam giác trong tam giác QRM không có sự tham gia của đoạn RN (6 tam giác)
 Tính số tam giác trong tam giác NRP không có sự tham gia của đoạn MR (3 tam giác)
 Tính số tam giác trong tam giác PQR không có sự tham gia của 2 đoạn RN, RM (6 tam giác) 
 BT3 : Trong một đề thi có 2 câu : một câu giải tích, một câu hình học. Có 60 thí sinh dự 
 thi trong đó có 48 thí sinh giải được câu giải tích, 32 thí sinh giải được câu hình học, 23
 thí sinh giải được cả 2 câu. Hỏi có bao nhiêu học sinh không giải được câu nào ? 
 HD
 Gọi T, A, B lần lượt là tập hợp tất cả các thí sinh, tập hợp thí sinh giải được câu giải 
tích, tập hợp các thí sinh giải được câu hình học. Ta có :
 N(T) = 60; N(A) = 48; N(B) = 32 
 Tập hợp các học sinh giải được cả 2 câu là A Ç B, ta có N(A Ç B) = 23
 Ta có:
 N(A Ç B) = N(A) + N(B) - N(A È B) = 48 + 32 - N(A È B) 
 Hay : 23 = 48 + 32 - N(A È B)
 Þ N(A È B) = 57 
 Tập hợp các thí sinh không giải được câu nào là T \ ( A È B)
 Vậy số học sinh không giải được câu nào là 
 N(T \ ( A È B) = N(T) - N(A È B) = 60 - 57 = 3 
 BL : Một lớp có 60 học sinh. Mỗi em đều đăng kí chơi ít nhất một trong 2 môn : 
 bóng đá và bóng chuyền. Có 30 em đăng kí chơi bóng đá, 35 em đăng kí chơi bóng 
 chuyền, trong đó 55 em đăng kí chơi đúng một môn. Hỏi có bao nhiêu em 
 a) Đăng kí chơi cả 2 môn ?
 b) Chỉ đăng kí chơi bóng đá? 
 ĐS : a : 5; b : 15
 BT4 : Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa, 6 bài hát. Tại hội diễn
 mỗi đội chỉ được trình diễn một vở kịch, một điệu múa và một bài hát. Hỏi đội văn nghệ 
 nói trên có bao nhiên cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch
 các điệu múa, các bài hát là như nhau ? 
 HD
 Có 2 vở kịch, chọn 1, số cách chọn là 2 
 Có 3 điệu múa, chọn 1, số cách chọn là 3 
 Có 6 bài hát, chọn 1, số cách chon là 6 
 Theo qui tắc qui tắc nhân có 2.3.6 = 36 cách chọn chương trình biểu diễn
 BT5 : Từ các chữ số 1, 2,..., 9 viết được bao nhiêu số gồm 
 1) Năm chữ số 
 2) Năm chữ số khác nhau từng đôi 
 HD 
 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số dạng 
 1) Mỗi chữ số có 9 cách viết. Theo qui tắc nhân số các số cần tìm là 
 N(A) = 95 = 59049
 2) Có 9 các viết a1, 8 cách viết a2, 7 cách viết a3, 6 cách viết a4, 5 cách viết a5. Theo qui tắc nhân số các số cần tìm là 
 N(A) = 9.8.7.6.5 = 15120
 BT6 : Từ các chứ số 0, 1, 2,..., 9 viết được bao nhiêu số gồm 
 1) Năm chữ số 
 2) Năm chữ số khác nhau từng đôi 
 3) Nhiều nhất là 5 chữ số 
 HD
 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số dạng 
 1) Vì a1 ¹ 0 nên có 9 cách chọn a1. Bốn chữ số còn lại, mỗi chữ số có 10 cách chọn
 Theo qui tắc nhân, số các số phải tìm là :
 N(A) = 9.104 = 90000
 2) Có 9 cách chọn a1, 9 cách chọn a2, 8 cách chọn a3, 7 cách chọn a4 , 6 cách chọn a5
 Theo qui tắc nhân, số các số phải tìm là 
 N(A) = 9.9.8.7.6 = 27216
 3) Gọi B, C, D, E, A lần lượt là tập các số tự nhiên có 1 chữ số, 2 chữ số, 3 chữ số, 4 chữ số , 5 chữ số 
 Tương tự câu 1 ta dễ dàng tính được 
 N(B) = 9; N(C) = 9.10; N(D) = 9.102; N(E) = 9.103, N(A) = 9.104 
 Mặt khác các tập A, B, C, D, E đôi không giao nhau 
 Vì vậy theo qui tắc cộng số các số phải tìm là 
 N(A) + N(B) + N(C) + N(D) + N(E) = 9 + 9.10 + 9.102 + 9.103 + 9.104 = 99999
 QUI TẮC CỘNG MỞ RỘNG : (Dành cho HS giỏi) 
 · Gỉa sử A1, A2,, An là n tập hữu hạn đôi một không giao nhau. Khi đó:
 N(A1 È A2 È...È An) = N(A1) + N(A2) + ... + N(An) (1) 
 · Trong trường hợp A1, A2, , An có cặp giao nhau khác rỗng thì (1) có thể suy rộng như 
 sau: 
 N(A1 È A2 È ... È An) = 
 Trong đó S = 
 VD : N(A È B È C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A Ç B) - N(A Ç C) - N(B Ç C) 
 + N(A Ç B Ç C)
 Các bài luyện sau dành cho HS giỏi 
 BL1 : Trong một đề thi có ba câu; một câu giaiû tích, một câu hình học phẳng, một câu hình học không gian. Trong 60 học sinh dự thi có 48 học sinh giải được câu giải tích, 40 học sinh giải dược câu hình học phẳng, 32 học sinh giải được câu hình học không gian. Có 57 học sinh giải được câu giải tích hoặc câu hình học phẳng, 50 học sinh giải được câu hình học phẳng hoặc hình học không gian, 25 học sinh giải được cả 2 câu giải tích và hình học không gian, 15 thí sinh giải được cả 3 câu .
 1) Hỏi có bao nhiêu học sinh giải được ít nhất một câu 
 2) Hỏi có bao nhiêu học sinh không giải được câu nào 
 HD
 Gọi T, A, B, C lần lượt là tập hợp tất cả học sinh của lớp ,tập hợp các học sinh giải được câu giải tích, hình học phẳng, hình học không gian 
 Ta có : N(A) = 48, N(B) = 40, N(C) = 32, N(T) = 60 
 N(A È B) = 57, N(B È C) = 50, N(A Ç C) = 25, N(A Ç B Ç C ) = 15
 1) N(A È B) = N(A) + N(B) - N(A Ç B) 
 Þ N(A Ç B) = N(A) + N(B) - N(A È B) = 48 + 40 - 57 = 31
 Tương tự N(B Ç C) = N(B) + N(C) - N(B È C) = 40 + 32 - 50 = 22 
 Tập hợp các học sinh giải được ít nhất một câu là A È B È C . Vậy số học sinh giải được ít nhất 1 câu là:
 N(A È B È C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A Ç B) - N(A Ç C) - N(B Ç C) + 
N(A Ç B Ç C)
 = 48 + 40 + 32 - 31 - 22 - 25 + 15 = 57 
 2) Tập hợp số học sinh không giải được câu nào là T \ (A È B È C). Vậy số học sinh không giải đươc câu nào là :
 N(T \ (A È B È C) = N(T) - N(A È B È C) = 60 - 57 = 3 
 BL2 : Trong một kì thi học sinh giỏi cấp trường,một lớp học có 45 học sinh, có 18 học sinh đăng kí dự thi môn toán, 17 học sinh đăng kí dự thi môn lí, 13 học sinh đăng kí dự thi môn hoá, 10 học sinh đăng kí dự thi cả 2 môn toán và lí, 9 học sinh đăng kí dự thi môn lí và hoá 10 hocï sinh đăng kí dự thi môn toán và hoá, 19 học sinh không đăng kí dự thi môn nào. Hỏi có bao nhiêu học sinh đăng kí dự thi cả 3 môn (ĐS:7)