Bài tập tổ hợp có lời giải

Bài 1: Cho 7 chữ số: 1,2 ,3,4,5,6,7. Hỏi từ 7 chữ số trên lập được bao nhiêu số :
có 5 chữ số .
Có 5 chữ số khác nhau đôi một.
Có 5 chữ số mà chữ số đầu tiên là 3.
Có 5 chữ số khác nhau không tận cùng bằng chữ số 4.
Giải:
 Gọi số cần lập dạng:.
 Gọi A=
a) Mỗi chữ số a, b,c,d,e đều có thể chọn một trong 7 chữ số trong tập hợp A nên có 7 cách chọn . Vậy ta có: 7.7.7.7.7= 16807 số.
b) Cách 1: 
Ta có aA nên a có 7 cách chọn.
 b nên b có 6 cách chọn.
 cnên c có 5 cách chọn.
 d nên d có 4 cách chọn.
 e nên e có 3 cáh chọn.
Vậy có: 7.6.5.5.3= 2520 số.
Cách 2: Số các số gồm 5 chữ số được lấy từ 7 chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập 5 của 7, nghĩa là có: số.
c) Ta có a=3 nên a có 1 cách chọn.
 Các chữ số b,c,d,e đều được lấy từ tập A có 7 phần tứ nên mỗi phần tử đều có 7 cách chọn.
 Vậy có: 1.7.7.7.7= 2401 số.
d) Cách 1:Ta có: enên e có 6 cách chọn.
 a nên a có 6 cách chọn.
 b có 5 cách chọn.
 c có 4 cách chọn.
 d có 3 cách chọn.
 Vậy có: 6.6.5.4.3 = 2160 số
Cách 2:Ta có: enên e có 6 cách chọn.
 Chọn 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại(khác e) xếp vào 4 vị trí còn lại nên có: cách chọn. Vậy có: 6.= 6.6.5.4.3= 2160 số.
Bài 2: Cho 7 chữ số: 1,2,3,4.5.6.7.Hỏi từ 7 chữ số đó có bao nhiêu số gồm:
4 chữ số đôi một khác nhau.
Trong các số ở câu a) có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7.
Trong các số ở câu a) có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ.
Trong các số ở câu a) có bao nhiêu số luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1.
Giải: 
Gọi số cần tìm dạng: 
a)Số các số gồm 4 chữ số được lấy từ 7 chữ số đã cho là số chỉnh hợp chập 4 của 7, nghĩa là có: số.
b) Chọn chữ số 7 xếp vào 4 vị trí a,b,c,d có 4 cách chọn.
Chọn 3 trong 6 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại có: cách chọn.
Vậy có: 4.= 480 số.
c) Ta có d nên e có 3 cách chọn.
 a có 6 cách chọn.
 b có 5 cách chọn.
 c có 4 cách chọn
Vậy có : 3.6.5.4= 360 số
Cách 2: 3. = 360 số.
Số các số lẻ: 840-360= 480 số.
d) Tacó a=1 nên a có 1 cách chọn.
 Chọn chữ số 7 xếp vào 3 vị trí b,c,d còn lại nên có 3 cách chọn.
 Chọn 2 trong 5 chữ số còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại có cách chọn.
Vậy có: 1.3.= 60 số
Bài 3: : Từ chín chữ số1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đều chứa chữ số 5.Trong các số đó có bao nhiêu số không chia hết cho 5.
Giải: Gọi số cần tìm dạng: 
Chọn chữ số 5 xếp vào 6 vị trí có 6 cách chọn
Chọn 5 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 5 vị trí còn lại có cáh chọn.
Vậy có: 6.=40320 số.
* Phương pháp gián tiếp:Tính số các số chia hết cho 5:
 Ta có f=5 nên f có 1 cách chọn.
 Chọn 5 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 5 vị trí còn lại có cách chọn.
Vậy số các số chia hết cho 5 là: số
Suy ra số các số không chia hết cho 5 là: 6.-=5.=33600 số.
*Tính trực tiếp: f nên chữ số 5 có thể xếp vào 5 vị trí có 5 cách chọn.
Chọn 5 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 5 vị trí còn lại có cáh chọn.
Vậy số các số trong câu a) không chia hết cho 5 là: 5.=33600 số.
Bài 4: Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt.
Giải: Số các số gồm 1 chữ số: có số.
 Số các số gồm 2 chữ số khác nhau có : 
 Số các số gồm 3 chữ số khác nhau có : 
 Số các số gồm 4 chữ số khác nhau có : 
Vậy số các số cần tìm là: +++=64 số 
Bài 5: Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được:
a)Bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau luôn có mặt chữ số 2.
b)Bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau luôn có mặt chữ số 2 và chia hết cho 5
 HD: a) Chọn chữ số 2 vào 5 vị trí có 5 cách chọn.
 Chọn 4 trong 6 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
Vậy có: 5.= 1800 số.
b) Chọn chữ số 5 xếp vào vị trí hàng đơn vị có 1 cách chọn
 Chọn chữ số 2 xếp vào 4 vi trí còn lại có 4 cách chọn.
 Chọn 3 trong 5 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại có 
Vậy có: 1.4. = 240 số
Bài 6: Với 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,67,8,9 có thể lập được bao nhiêu số:
gồm 5 chữ số khác nhau đôi một.
Trong các số ở câu a) có bao nhiêu số chẵn.
Trong các số ở câu a) có bao nhiêu số chia hết cho 5.
Gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau.
Giải:Gọi số cần tìm dạng: (a0)
a)Ta có a0 nên a có 9 cách chọn
 Chọn 4 trong 9 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
Vậy có : 9. = 27216 số.
b) Do số cần tìm là số chẵn nên e .
TH1: e=0 nên e có 1 cách chọn.
 Chọn 4 trong 9 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
Trong trường hợp này có: số.
TH2: e nên e có 3 cách chọn.
Do a0,e nên a có 6 cách chọn.
Chọn 4 trong 8chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
Trong trường hợp này có: 3.6. số.
Vậy có cả thảy: +3.6.= số.
c) TH1: e=0 có số.
 TH2: e=5 có 8. số.
Vậy có: +8. = số.
d) Đặt E=
Ta có a được chọn từ E\ nên a có 9 cách chọn.
 b được chọn từ E\nên b có 9 cách chọn.
 c được chọn từ E\nên c có 9 cách chọn
 d được chọn từ E\nên d có 9 cách chọn
 e được chọn từ E\nên e có 9 cách chọn Vậy có: 9.9.9.9.9=59049 số.
Bài 7: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số :
gồm 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác cómặt đúng một lần.
Gồm 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 2 có mặt đúng 3 lần, chữ số 4 có mặt đúng 2 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần.
Giải:
a)* Số các số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần( kể cả những số có chữ số 0 đứng tận cùng bên trái).
 Số cách chọn 4 trong 10 vị trí để xếp chữ số 5 là .
 Số cách sắp xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại là P6.
Trong trường hợp này có: .P6 số
*Số các số có 10 chữ số mà trong mỗi số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần,chữ số 0 đứng tận cùng bên trái là :.P5 số.
Vậy số các số cần tìm là: : .P6 -.P5 =136080 số.
b) TH1: 
 TH2: 
Số các số cần tìm là: -= 272160 số.
Bài 8: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lậo được bao nhiêu số:
chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
Chia hết cho 5, có 3 chữ số khác nhau,
Chia hết cho 9 có 3 chữ số khác nhau.
HD: a) 156 số
 b) 36 số
 c) Gọi (a) là số gồm 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Suy ra có thể là:
Do đó có: 2.2+ 3!+3!= 16 số.
Bài 9: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có chữ số 0.
Giải: Gọi số cần tìm dạng: (a0)
C1:) Tính gián tiếp:Số các số gồm 5 chữ số khác nhau là: 5.= 600 số.
Số các số không có mặt chữ số 0 là: P5=120 số
Số các số cần tìm là: 600-120=480 số.
C2:) Tính trực tiếp: Do a khác 0 nên 0 có 4 vị trí xắp xếp nên có 4 cách chọn.
 Chọn 4 trong 5 chữ số xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
Vậy có: 4.= 480 số.
Bài 10:Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một trong mỗ trường hợp sau:
Là số chẵn.
Một trong 3 chữ số đầu tiên phải là chữ số 1.
Hd: a) Có 840+2160=3000 số.
b)TH1:a=1 có =840 số.
TH2: 1 ở vị trí b hoặc c nên có 2 cách chọn.
 a khác 0 và khác 1 nên a có 6 cách chọn.
 Chọn 3 trong 6 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại có cách chọn.
TH này có 2.6.= 1440 số
Vậy có: 840+1440 = 2280 số.
Bài 11: Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số :
phân biệt.
Phân biệt và không bắt đầu bởi chữ số 1.
Phân biệt và không bắt đầu bởi 123.
Giải: a) P5=5!=120 số.
b)Tính gián tiếp: Tính số các số gồm 5 chữ số phân biệt bắt đầu bởi chữ số 1.
a=1 nên a có 1 cách chọn.
Chọn4 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
Th này có: P4=24 số
Vậy có: 120-24= 96 số.
c) có P2=2 số
Vậy có: 120-2= 118 số.
Bài 12: Với 5 chữ số 1,2,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt và thỏa mãn điều kiện:
Là một số chẵn.
Là một số nhỏ hơn hoặc bằng 276.
Là một số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 276.
Giải: Gọi số cần lập có dạng 
c có thể nhận 2 hoặc 8 nên có 2 cách chọn.
 Chọ 2 trong 4 chữ số còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại có cách chọn.
Vậy có: 2.= 24 số.
Do 278 nên a=1 hoặc a=2
 TH1: a=1 có =12 số.
 TH2: a=2 thì b=1;5 
 Với b nhận 1hoặc 5 có 2 cách chọn.
 Khi đó c có 3 cách chọn
 TH này có: 2.3=6 số
 TH3: a=2,b=7thì ccó thể nhận 1 hoặc 5 nên có 2 số.
Vậy có: 12+6+2=20 số.
TH1: a=1, c=2;8, nên b có thể chọn 3 chữ số còn lại là có 3 cách chọn
 Th này có 3.2 =6 số
TH2: a=2, c=8, nên b có thể nhận 1 hoặc 5 nên có 2 cách chọn
TH này có 2 số.
Vậy có: 6+2 =8 số.
 Bài 13:Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và thỏa mãn điều kiện:
Mỗi số nhỏ hơn 40000.
 Mỗi số nhỏ hơn 45000 .
 ĐS: a) 3.P4=72 số.
Chia 2 trường hợp a=1;2;3 và a=4, tổng có:3.P4+1.3.P3=90 số.
Bài 14: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau.Trong các số đó, có bao nhiêu số mà các chữ số 1 và 7 :
đứng cạnh nhau.
Không đứng cạnh nhau.
Giải:Số các số gồm 9 chữ số đôi một khác nhau được viếttừ 9 chữ số đã cho là hoán vị của 9 phần tử. Ta có: P9=9!=362880 số.
Số cách chọn 1 trong 2 chữ số 1 và 7 sao cho chữ số 1 đứng trước chữ số 7 hoặc chữ số 7 dứng trước chữ số 1 là 2.
Có 8 cách chọn 2 chữ số 1 va7 đứng cạnh nhau mà chữ số 1 đứng trước chữ số 7 trong 1 số có 9 chữ số khác nhau.
Chọn 7 chữ số còn lại xếp vào 7 vị trí còn lại có P7 cách chọn.
Vậy có: 2.8.P7=80640 số
Bài 15: Hỏi từ 10 chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các số đó có mặt chữ số 1 và 0
.
 Giải: Gọi số cần lập có dạng (a0)
 Cách 1: Do a0 nên chọn chữ số 0 xếp vào 5 vị trí còn lại có 5 cách chọn.
Chọn chữ số 1 xếp vào 5 vị trí còn lại có 5 cách chọn.
Chọn 4 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
vậy có: 5.5.=42000số.
Cách 2: TH1: a tùy ý:
Chọn 2 trong 6 vị trí để sắp 2 chữ số 1và 0 có: =15 cách chọn
Sắp 2 chữ số 0và 1 vào 2 vị trí có 2!=2 cách.
Chọn 4 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
 TH này có: 15.2.=50400số.
TH2: a=0 .
Chọn chữ số 1 sắp vào 5 vị trí còn lại có 5 cách chọn
Chọn 4 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách chọn.
TH này có: 5.=8400 cách
Vậy số các số cần tìm là: 50400-8400 =42000 số.
Bài 16:-Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy.
Giải:Chọn 1 chữ số trong 5 chữ số có cách.
Chọn 2 vị trí trong 6 vị trí để xếp 1 chữ số có cách.
Chọn 4 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có P4 cách. 
Vậy có: ..P4=1800 số.
Bài 17:Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 0,1,2,3,4.
Giải: Số tự nhiên nhỏ hơn 10000 là những số tự nhiên có nhiều nhất 4 chữ số được viết từ các chữ số đã cho.
Số các số tự nhiên có 1 chữ số: có 5 số.
Số các số tự nhiên có 2 chữ số: có4.5 =20 số
Số các số tự nhiên có 3 chữ số: có 4.5.5=100 số
Số các số tự nhiên có 1 chữ số: có 4.5.5.5=500 số
Vậy có cả thảy: 625 số.
Bài 18:Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là: 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như thế :
Có 5 chữ số 1 được viết cạnh nhau.
Các chữ số được xếp tùy ý.
Giải: 
Năm chữ số 1 được xếp cạnh nhau có thể xem là 1 phần tử hợp với 4 phần tử còn lại 2,3,4,5 thành tập hợp gồm 5 phần tử: 1,2,3,4,5.
Số cách sắp xếp là: 5!=120 số.
b)Số cách sắp xếp chữ số 1 vào 5 vị trí tro ... 1= 2, a2 = 3, a3 = 5
Với mỗi bộ 3 là a1, a2, a3 nêu trên ta có thể tạo ra 3! Hoán vị và mỗi hoán vị đó được ghép với 3! Hoán vị của bộ số a4, a5, a6
Do đó số các số cần timg là: 3.3!.3!= 108 số.
Bài 27: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
Giải: Ta có thể coi cặp (2,3) chỉ là một phần tử và hợp với 4 phần tử còn lại ta được một tập hợp gồm 5 phần tử.
Chữ số 2 và 3 có thể hoán vị cho nhau trong một số nên có 2!= 2 cách.
TH1: chữ số tận cùng bên trái tùy ý, khi đó với 5 phần tử trên xếp vào 5 vị trí có 5! cách.
TH này có: 2!.5! số.
TH2: chữ số tận cùng bên trái là 0.
Chọn 4 phần tử còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có 4! Cách.
TH nay có: 2!.4! số.
Vậy số các số cần tìm là: 2!.5! -2!.4! = 192 số.
Bài 28: Từ 9 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau.
Bài 29: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện chữ số hàng trăm ngàn khác 0 và phải có mặt chữ số 2.
Giải: Số các số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau: (chia 2 TH) có: 9.=41 số.
Số các số chẵn có 6 chữ số không có mặt chữ số 2 là: 
Vậy số các số cần tìm là: 41- = 44520 số.
Bài 30:Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện: Chữ số 4 xuất hiện 2 lần và các chữ số khác xuất hiện 1 lần.
ĐS: số.
Bài 31: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000.
Giải: Giả sử số tự nhiên cần lập có dạng n= (a10).
Vì n < 600000 nên a1 .
TH1: Nếu a1 thì a1 có 3 cách chọn
 a6 có 4 cách chọn
Chọn 4 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách.
TH này có: 3.4.=20160 số.
TH2: Nếu a1 nhận 2 hoặc 4 nên a1 có 2 cách chọn.
 a6 lẻ nên có 5 cách chọn.
Chọn 4 trong 8 chữ số còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại có cách.
TH này có: 2.5.=168000 số.
Vậy có cả thảy: 20160 + 168000 = 36960 số.
Bài 32: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
Giải: Giả sử số tự nhiên cần lập có dạng n = (a10).
Để n là một số lẻ thì có 2 khả năng:
KN1: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 chẵn thì a5 
 KN2: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 lẻ thì a5 
Do đó với mỗi số cho ta 5 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là 1 số lẻ.
Mà có 9. 103 số có 4 chữ số .
Vậy có: 5.9. 103 = 45000 số.
Bài 33: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Giải: 
Ta thấy rằng : Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 là: 
 100017, 100026, 100035, .., 999999.
Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành một cấp số cộng với u1 = 100017; un = 999999 và công sai d = 18.
Ta có: 100017+(n - 1)16 = 999999
 n = 5000
Vậy số các số cần tìm 5000.
Bài 34: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ só khác nhau đôi một trong đó 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ.
Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n = (a10).
Vì n có 6 chữ só khác nhau đôi một trong đó 2 chữ số kề nhau không cùng là chữ số lẻ nên trong n chỉ có thể có 1hoặc 2 hoặc 3 chữ số lẻ.
TH1: Nếu n chỉ có 1 chữ số lẻ.
- Với a1 là chữ số lẻ thì các chữ số còn lại là chữ số chẵn.
Khi đó a1 có 5 cách chọn.Chọn 5 chữ số chẵn xếp vào 5 vị trí còn lại có 5! Cách
Do đó ta có: 5.5!= 600 số.
- Với a1là chữ số chẵn (a10) nên a1 có 4 cách chọn.
Chọn 1 trong 5 chữ số lẻ có 5 cách chọn.
Với mỗi chữ số lẻ đã chọn có 5 vị trí để xếp nên có 5 cách chọn. 
 Xếp 4 chữ số chẵn còn lại vào 4 vị trí còn lại có 4! cách 
Suy ra, ta có:4. 5.5.4! = 2400 số.
Vậy TH này có: 600 + 2400 = 3000số.
TH2: Nếu n có 2 chữ số lẻ.
- Với a1 là chữ số lẻ nên a1 có 5 cách chọn
 a2 chẵn nên a2 có 5 cách chọn.
Chọn 1 trong 4 chữ số lẻ có 4 cách chọn.
Với 1 chữ số lẻ đã chọn xếp vào 1 trong 4 vị trí còn lại có 4 cách chọn.
Chọn 3 trong 4 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại có cách.
Suy ra, ta có: 5.5.4.4.= 9600 số.
- Với a1 chẵn thì a1 có 4 cách chọn.
Có 6 cách chọn hai vị trí để xếp hai chữ số lẻ không kề nhau .
Chọn 2 trong 5 chữ số lẻ có cách , với mỗi cặp 2 chữ số lẻ có thể hoán vị vị trí cho nhau nên có 2! cách.
Chọn 3 trong 4 chữ số chẵn còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại có cách.
Suy ra, ta có: 4.6..2!.= 11520 số.
Vậy trường hợp này có: 9600 + 11520 = 21120 số.
TH3: Nếu n có 3 chữ số lẻ: 
- Với a1 lẻ có 5 cách chọn.
Khi đó a2 phải chẵn nên có 5 cách chọn.
Có 3 cách chọn 2 vị trí không kề nhau của 2 chữ số lẻ trong 4 vị trí còn lại.
Chọn 2 trong 4 chữ số lẻ còn lại sau đó hoán vị vị trí của 2 chữ số đó có cách 
Chọn 2 trong 4 chữ số chẵn còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại có cách.
Suy ra, ta có: 5.5.3..=10800 số.
- Với a1 chẵn thì a1 có 4 cách chọn.
Khi đó có 1 cách chọn 3 vị trí để sắp 3 chữ số lẻ để 3 chữ số đó không kề nhau.
Chọn 3 trong 5 chữ số lẻ sau đó hoán vị vị trí của chữ số đó có cách 
Chọn 2 trong 4 chữ số chẵn còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại có cách.
Suy ra, ta có: 4.1.. = 2880 số.
Vậy TH này có: 10800 + 2880 = 13680 số.
Vậy có cả thảy: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số.
Bài 35: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và có tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n = (a10).
Theo giả thiết: a4 + a5 + a6 = 8 
Ta có: 1 + 2 + 5 = 1 + 3 + 4 = 8. Vậy có 2 cách chọn nhóm 3 chữ số để làm các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn.
Chọn 3 trong 9 chữ số để có a4 + a5 + a6 = 8 có 2 cách chọn.
Với một bộ 3 chữ số ở trên có số cách sắp thứ tự 3 chữ số đó vào 3 vị trí a4, a5, a6 là 3!.
Chọn 3 trong 6 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí còn lại có: cách.
Vậy số các số thỏa mãn là: 2.3!. = 1440 số.
NÂNG CAO: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và có tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8.
Bài 36: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau mà mỗi số đều nhỏ hơn 25000.
ĐS: 360 số.
Bài 37: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n = (a10).
 TH1: a1 lẻ nên có 3 cách chọn.
a2 phải lẻ và khác a1 nên có 2 cách chọn.
Chọn 3 trong 4 chữ số chẵn sắp thứ tự vào 3 vị trí còn lại có cách.
Vậy TH này có: 3.2. = 144 số.
TH2: a1 chẵn và khác 0 nên có 3 cách chọn.
Do n là số chẵn nên a5 phải chẵn nên có 3 cách chọn.
Số cách chọn 2 trong 3 vị trí còn lại để xếp 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau là 2 cách.
Chọn 2 trong 3 chữ số lẻ và hoán vị 2 chữ số đó có cách.
Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn còn lại xếp vào 2 vị trí còn lại có 2! = 2 cách.
Vậy TH này có: 3.2..2 = 216 số.
Vậy có cả thảy: 144 + 216 = 360 số.
Bài 38: Tìm số các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó:
chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng liền trước .
là số lẻ và chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước .
Giải:a) Với cách chọn 5 chữ số trong 10 chữ số đã cho thì chỉ có một cách sắp theo thứ tự tăng dần, nghĩa là chỉ có 1 số.Vậy số các số cần tìm chính là số tổ hợp chập 5 của 10 phần tử , vì thế số đó là: số.
b) Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n=(a10).
Do n lẻ và a5 > a4 > a3 > a2 > a1 > 0 nên có 3 TH sau:
TH1: n=(a10).
Khi đó a4, a3, a2, a1 chỉ lấy được trong tập hợp gồm 4 phần tử: 1, 2, 3, 4 
Do đó chỉ có =1 số thỏa mãn .
TH2: n=(a10).
Khi đó a4,a3,a2,a1 chỉ lấy được trong tập hợp gồm 6 phần tử: 1, 2, 3, 4 , 5, 6
Do đó số các số trong TH này là: =15 số.
TH3: n=(a10).
Khi đó a4,a3,a2,a1 chỉ lấy được trong tập hợp gồm 8 phần tử: 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8.
Do đó số các số trong TH này là: =70 số.
Vậy có cả thảy: 1 + 15 + 70 = 86 số.
Bài 39: Với 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số:
có 4 chữ số và chia hết cho 4.
Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4.
Giải: a)Ta đã biết một số có từ 2 chữ số trở lên chia hết cho 4 thì điều kiện cần và đủ là số có hai số cuối của số đó phải chia hết cho 4.
Từ 6 chữ số đã cho có thể chọn ra các số sau chia hết cho 4 là: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64.
Chọn 2 chữ số cuối theo trên có 9 cách chọn
Chọn chữ số hàng trăm có 6 cách chọn.
Chọn chữ số hàng nghìn có 6 cách chọn.
 Vậy có: 9.6.6 = 324 số.
b) Từ 6 chữ số đã cho có thể chọn ra các số có các chữ số khác nhau sau chia hết cho 4 là: 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64.
Chọn 2 chữ số cuối theo trên có 8 cách chọn
Chọn chữ số hàng trăm có 4 cách chọn.
Chọn chữ số hàng nghìn có 3 cách chọn.
 Vậy có: 8.4.3 = 96 số.
Bài 40: Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5 lần, các chữ số 2, 3, 4 mỗi số có mặt tối đa 1 lần.
Giải: Vì các chữ số 2, 3, 4 cómặt tối đa 1 lần nên ta phải lập ra số có 6 chữ số tứ 1, 2, 3, 4, nên chữ số 1 phải có mặt tối thiểu 3 lần.
TH1: Chữ số 1 xuất hiện đúng 3 lần(khi đó mỗi chữ số 2, 3, 4 có mặt đúng một lần)
Chọn 3 vị trí trong 6 vị trí để xếp 3 chữ số 1 có cách.
3 vị trí còn lại sắp 3 chữ số 2,3,4 có 3! cách
TH này có: số.
TH2: Chữ số 1 xuất hiện đúng 4 lần
Chọn 4 vị trí trong 6 vị trí để xếp 4 chữ số 1 có cách.
2 vị trí còn lại sắp2 trong 3 chữ số 2,3,4 có cách
TH này có: .=90 số.
TH3: Chữ số 1 xuất hiện đúng 5 lần
Chọn 5 vị trí trong 6 vị trí để xếp 5 chữ số 1 có cách.
1 vị trí còn lại sắp 1 trong 3 chữ số 2,3,4 có cách
TH này có: . =18 số.
Vậy có cả thảy: 120 + 90 +18 = 228 số.
Bài 41: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Chữ số hàng vạn là một số chẵn.
Đó là số không chia hết cho 5.
Các chữ số ở hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục phải đôi một khác nhau.
Giải: Giả sử số tự nhiên n cần lập có dạng n=(a10).
Do a3 là một số chẵn nên có 5 cách chọn.
Do n không chia hết cho 5 nên a7 khác 0 và 5.có 8 cách chọn.
Do a1 khác 0 nên a1 có 9 cách chọn.
a4 có 10 cách chọn.
Chọn 3 trong 10 chữ số sắp thứ tự vào 3 vị trí còn lại có cách
Theo qui tắc nhân số các số cần tìm là: 5.8.9.10.=2592000 số.
Bài 42: Chứng minh 
a.
b. với k, n nguyên dương và 
c. 
d. 
Bài giải:
Câu a: Ta có 
Đẳng thức (1) đúng với mọi k = 0, 1, 2,, n-1
Vậy 
Suy ra VT = 
Câu b: Ta có (1)
Nhân hai vế của đẳng thức (1) với ta có
 (2)
Vì (3)
Từ (2) và (3) suy ra với mọi x có 
 (4)
Thay x = -1 ta được (đpcm)
Câu c: Ta có 
(1)
Thay x = 1 vào (1) thì được (2)
Lại có (3)
Từ (3) suy ra (4)
Từ (2) và (4) suy ra (đpcm)
Câu d: Ta có 
Vậy
Bài 43:Cho n và k là hai số nguyên sao cho . Chứng minh 
a.
b. 
c. Với n 
Bài giải:
Câu a: Ta có 
 (1)
Hệ số của xk là (*)
Mặt khác (2)
Hệ số của xk là (**)
Từ (*) và (**) suy ra = =
Câu b:
Ta có(1)
Từ kết quả câu a thay k = 0 có (2)
Thay (2) vào (1) được ó (đpcm)
Câu c: Ta có
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) suy ra suy ra điều phải chứng minh.
Bài 44: 
Chứng minh: với mọi k, n nguyên dương và 
Bài giải: Áp dụng công thức ta có
Cộng các đẳng thức trên theo từng vế ta có:
Thay ta có điều cần phải chứng minh.
Bài 45: Cho đa thức 
Khai triển và ước lược các số hạng đồng dạng được 
Tìm hệ số a9.
Bài giải:
Ta có
Bài 46: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
Bài giải:
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn ở trên với n = 20 , ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là Tk+1= 
Số hạng Tk+1 không phụ thuộc x khi 
Với k = 12 thì số hạng cần tìm là T13 = .