Bài tập Tích phân

Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 1 
 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ 
Dạng 1: Tách phân thức 
Câu 1. xI dx
x x
2 2
2
1 7 12
=
- +
ò 
 · I dx
x x
2
1
16 91
4 3
æ ö
= + -ç ÷- -è øò = 
( )x x x
2
116 ln 4 9 ln 3+ - - - = 1 25ln 2 16 ln3+ - . 
Câu 2. dxI
x x
2
5 3
1
=
+
ò 
 · Ta có: x
xx x x x3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
= - + +
+ +
 Þ I x x
x
2
2
21 1 3 1 3ln ln( 1) ln 2 ln5
2 2 2 812
é ù
= - - + + = - + +ê ú
ë û
Câu 3. xI dx
x x x
5 2
3 2
4
3 1
2 5 6
+
=
- - +
ò · I
2 4 13 7 14ln ln ln 2
3 3 15 6 5
= - + + 
Dạng 2: Đổi biến số 
Câu 4. xI dx
x
2
4
( 1)
(2 1)
-
=
+
ò · Ta có: 
x xf x
x x
2
1 1 1( ) . .
3 2 1 2 1
¢æ ö æ ö- -
= ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø
 Þ xI C
x
3
1 1
9 2 1
æ ö-
= +ç ÷+è ø
Câu 5. 
( )
( )
xI dx
x
991
101
0
7 1
2 1
-
=
+
ò 
 · 
( )
x dx x xI d
x x xx
99 991 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 12 1
æ ö æ ö æ ö- - -
= =ç ÷ ç ÷ ç ÷
+ + +è ø è ø è ø+
ò ò 
 x
x
100
1001 1 7 1 11 2 1
09 100 2 1 900
æ ö- é ù= × = ë - ûç ÷+è ø
Câu 6. xI dx
x
1
2 2
0
5
( 4)
=
+
ò · Đặt t x2 4= + Þ I
1
8
= 
Câu 7. I dx
x x
4 3
4
1
1
( 1)
=
+
ò · Đặt t x2= Þ 
tI dt
t t
3
2
1
1 1 1 3ln
2 4 21
æ ö
= - =ç ÷
+è ø
ò 
Câu 8. dxI
x x
3
6 2
1 (1 )
=
+
ò 
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 · Đặt : x
t
1
= Þ tI dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
11
1 1
æ ö
= - = - + -ç ÷
+ +è ø
ò ò = 
117 41 3
135 12
p-
+ 
Câu 9. dxI
x x
2
10 2
1 .( 1)
=
+
ò · 
x dxI
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)
=
+
ò . Đặt t x5= Þ 
dtI
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)
=
+
ò 
Câu 10. xI dx
x
1 7
2 5
0 (1 )
=
+
ò · Đặt t x dt xdx21 2= + Þ = Þ 
tI dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1.
2 4 2
-
= =ò 
Câu 11. xI dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )
-
=
+
ò · 
x xI dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )
-
=
+
ò . Đặt t x7= Þ 
tI dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )
-
=
+ò 
Câu 12. xI dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )
=
+
ò 
 · xI dx dx
x x
x
x
2 22004
3 2 1002 1002
1 1 3
2
1. .
(1 ) 1 1
= =
+ æ ö
+ç ÷
è ø
ò ò . Đặt t dt dx
x x2 3
1 21= + Þ = - . 
 Cách 2: Ta có: x xdxI
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )
=
+ +
ò . Đặt t x dt xdx21 2= + Þ = 
 Þ tI dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 11 1
2 2 2002.2
æ ö æ ö-
= = - - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò 
Câu 13. I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )= -ò 
 · Đặt dt t tt x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 11 3 (1 )
3 3 7 8 1683
æ ö-
= - Þ = - Þ = Þ = - = - =ç ÷
è øò 
Câu 14. xdxI
x
1
0 3( 1)
=
+
ò 
 · Ta có: x x x x
x x
2 3
3 3
1 1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
- -+ -= = + - +
+ +
 I x x dx1 2 3
0
1( 1) ( 1)
8
- -é ùÞ = + - + =ë ûò 
Câu 15. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
+
=
+
ò 
 · Ta có: x x
x x
x
2 2
4 2
2
11
1
11
+
+
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
æ ö
= - Þ = +ç ÷
è ø
 Þ dtI dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
æ ö
= = -ç ÷
- +- è ø
ò ò
t
t
3 / 21 2 1 2 1.ln ln
12 2 2 2 2 2 1
æ ö- -
= = ç ÷ç ÷+ +è ø
www.VIETMATHS.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 3 
Câu 16. xI dx
x
2 2
4
1
1
1
-
=
+
ò 
 · Ta có: x x
x x
x
2 2
4 2
2
1 1
1
11
-
-
=
+ +
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
æ ö
= + Þ = -ç ÷
è ø
 Þ dtI
t
5
2
2
2 2
= -
+
ò . 
 Đặt dut u dt
u2
2 tan 2
cos
= Þ = ; u u u u1 2
5 5tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
= Þ = = Þ = 
 Þ 
u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
æ ö
= = - = -ç ÷
è ø
ò 
Câu 17. xI dx
x
1 4
6
0
1
1
+
=
+
ò 
 · Ta có: x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
+ - + + - +
= = + = +
+ + + - + + + +
 Þ d xI dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
3 4 3 4 31 ( ) 1
p p p
= + = + =
+ +
ò ò 
Câu 18. 
xI dx
x x
2 2
3
1
1-
=
+
ò · Ta có: xI dx
x
x
2 2
1
1 1
1
-
=
+
ò . Đặt t x x
1
= + Þ I 4ln
5
= 
Câu 19. xdxI
x x
1
4 2
0 1
=
+ +
ò . · Đặt t x2= Þ 
dt dtI
t t
t
1 1
2 220 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2
p
= = =
+ + æ öæ ö
+ + ç ÷ç ÷
è ø è ø
ò ò 
Câu 20. xI dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1
+
+
=
- +
ò 
 · Ta có: x x
x x x
x
2 2
4 2 2
2
11
1
11 1
+
+
=
- + + -
. Đặt t x dt dx
x x2
1 11
æ ö
= - Þ = +ç ÷
è ø
 Þ dtI
t
1
2
0 1
=
+
ò . Đặt 
dut u dt
u2
tan
cos
= Þ = Þ I du
4
0 4
p
p
= =ò 
Câu 21. xI dx
x
3
23
4
0 1
=
-
ò 
 · xI dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1 ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
pæ ö
= = + = - +ç ÷
- + - +è ø
ò ò 
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ 
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 
Câu 1. xI dx
x x23 9 1
=
+ -
ò 
 · xI dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
= = - - = - -
+ -
ò ò ò ò 
 + I x dx x C2 31 13= = +ò + I x x dx22 9 1= -ò x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 19 1 (9 1) (9 1)
18 27
= - - = - +ò 
 Þ I x x C
3
2 321 (9 1)
27
= - + + 
Câu 2. x xI dx
x x
2
1
+
=
+
ò 
 · x x dx
x x
2
1
+
+
ò 
x xdx dx
x x x x
2
1 1
= +
+ +
ò ò . 
 + xI dx
x x
2
1
1
=
+
ò . Đặt t= x x t x x21 1+ Û - = x t3 2 2( 1)Û = - x dx t t dt2 2
4 ( 1)
3
Û = - 
 Þ t dt t t C2 34 4 4( 1)
3 9 3
- = - +ò = ( )x x x x C
3
1
4 41 1
9 3
+ - + + 
 + xI dx
x x
2
1
=
+
ò = 
d x x
x x
2 (1 )
3 1
+
+
ò = x x C2
4 1
3
+ + 
 Vậy: ( )I x x C
34 1
9
= + + 
Câu 3. xI dx
x
4
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +
ò · Đặt t x2 1= + . I = 
t dt
t
3 2
1
2 ln 2
1
= +
+ò . 
Câu 4. dxI
x x
6
2 2 1 4 1
=
+ + +
ò · Đặt t x4 1= + . I
3 1ln
2 12
= - 
Câu 5. I x x dx
1
3 2
0
1= -ò · Đặt: t x21= - Þ ( )I t t dt
1
2 4
0
2
15
= - =ò . 
Câu 6. xI dx
x
1
0
1
1
+
=
+
ò 
 · Đặt t x= Þ dx t dt2 .= . I = t tdt
t
1 3
0
2
1
+
+ò = t t dtt
1
2
0
22 2
1
æ ö
- + -ç ÷+è øò = 
11 4 ln2
3
- . 
Câu 7. xI dx
x x
3
0
3
3 1 3
-
=
+ + +
ò 
www.VIETMATHS.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 5 
 · Đặt t x tdu dx1 2= + Þ = Þ t tI dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1(2 6) 6
13 2
-
= = - +
++ +
ò ò ò
33 6 ln
2
= - + 
Câu 8. I x x dx
0
3
1
1
-
= +ò 
 · Đặt t tt x t x dx t dt I t dt
1
1 7 4
3 2 33
00
91 1 3 3( 1) 3
7 4 28
æ ö
= + Þ = + Þ = Þ = - = - = -ç ÷
è øò 
Câu 9. xI dx
x x
5 2
1
1
3 1
+
=
+
ò 
 · Đặt tdtt x dx 23 1
3
= + Þ = Þ 
t
tdtI
t t
22
4
2
2
1 1
3 2.
31.
3
æ ö- +ç ÷ç ÷
è ø=
-
ò 
dtt dt
t
4 4
2
2
2 2
2 ( 1) 2
9 1
= - +
-
ò ò 
 tt t
t
3
4 42 1 1 100 9ln ln .
9 3 1 27 52 2
æ ö -
= - + = +ç ÷ +è ø
Câu 10. x xI dx
x
3 2
0
2 1
1
+ -
=
+
ò 
 · Đặt x t x t21 1+ = Û = - Þ dx tdt2= 
 Þ t t tI tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 542 2 (2 3 ) 2
5 5
æ ö- + - -
= = - = - =ç ÷
è øò ò 
Câu 11. x dxI
x x
1 2
0
2
( 1) 1
=
+ +
ò 
 · Đặt t x t x tdt dx21 1 2= + Þ = + Þ = 
 t tI tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2.2 2 2 2
3 3
æ öæ ö- -
Þ = = - = - - =ç ÷ç ÷
è ø è øò ò 
Câu 12. 
( )
xI dx
x
4
2
0
1
1 1 2
+
=
+ +
ò 
 · Đặt dxt x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
1 2
= + + Þ = Þ = -
+
 và t tx
2 2
2
-
= 
 Ta có: I = t t t t t tdt dt t dt
tt t t
4 4 42 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 23
2 2 2
æ ö- + - - + -
= = - + -ç ÷
è ø
ò ò ò 
 = t t t
t
21 23 4 ln
2 2
æ ö
- + +ç ÷ç ÷
è ø
= 12 ln 2
4
- 
Câu 13. xI dx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ò 
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
 · xI dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
æ ö
= -ç ÷ç ÷+ +è ø
ò = ( )x x x
8
2 2
31 ln 1
é ù+ - + +ë û = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + - + 
Câu 14. I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2= - -ò 
 · I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)= - - = - + - -ò ò . Đặt t x x22= - Þ I
2
15
= - . 
Câu 15. x x xI dx
x x
2 3 2
20
2 3
1
- +
=
- +
ò 
 · x x xI dx
x x
2 2
20
( )(2 1)
1
- -
=
- +
ò . Đặt t x x2 1= - + I t dt
3
2
1
42 ( 1)
3
Þ = - =ò . 
Câu 16. x dxI
x
2 3
3 20 4
=
+
ò 
 · Đặt t x x t xdx t dt3 2 2 3 24 4 2 3= + Þ = - Þ = Þ I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8( 4 ) 4 2
2 2 5
æ ö
= - = - +ç ÷
è ø
ò 
Câu 17. dxI
x x
1
211 1-
=
+ + +
ò 
 · Ta có: x x x xI dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 )- -
+ - + + - +
= =
+ - +
ò ò 
xdx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 11
2 2- -
æ ö +
= + -ç ÷
è ø
ò ò 
 + I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 11 ln | 1
2 2 --
æ ö é ù= + = + =ç ÷ ë ûè ø
ò 
 + xI dx
x
1 2
2
1
1
2-
+
= ò . Đặt t x t x tdt xdx2 2 21 1 2 2= + Þ = + Þ = Þ I2= 
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)
=
-
ò 
 Vậy: I 1= . 
 Cách 2: Đặt t x x2 1= + + . 
Câu 18. 
( )x x
I dx
x
1
3 31
4
1
3
-
= ò · Ta có: I dx
x x
1
1 3
2 3
1
3
1 11 .æ ö= -ç ÷
è ø
ò . Đặt t
x2
1 1= - Þ I 6= . 
Câu 19. xI dx
x
2 2
1
4 -
= ò 
 · Ta có: xI xdx
x
2 2
2
1
4 -
= ò . Đặt t = x t x tdt xdx2 2 24 4- Þ = - Þ = - 
 Þ I = t tdt t tdt dt t
tt t t
00 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2(1 ) ln
24 4 4
æ ö- -
= = + = +ç ÷+- - - è ø
ò ò ò = 
2 33 ln
2 3
æ ö-ç ÷- +
ç ÷+è ø
www.VIETMATHS.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 7 
Câu 20. xI dx
x x
2 5
2 22 ( 1) 5
=
+ +
ò · Đặt t x2 5= + Þ 
dtI
t
5
2
3
1 15ln
4 74
= =
-
ò . 
Câu 21. xI dx
x x
27
3 21
2-
=
+
ò 
 · Đặt t x6= Þ t tI dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 15 5 1
( 1) 1 1
é ù-
= = - + -ê ú
+ + +ë û
ò ò
2 55 3 1 ln
3 12
pæ ö
= - + -ç ÷
è ø
Câu 22. I dx
x x
1
20
1
1
=
+ +
ò 
 · Đặt t x x x2 1= + + + Þ dtI t
t
1 3 1 3
1
1
2 3 2 3ln(2 1) ln
2 1 3
+ + +
= = + =
+ò 
Câu 23. xI dx
x x
3 2
2 2
0 (1 1 ) (2 1 )
=
+ + + +
ò 
 · Đặt x t2 1+ + = Þ I t dt
t t
4
2
3
42 36 42 16 12 42 ln
3
æ ö
= - + - = - +ç ÷
è ø
ò 
Câu 24. xI dx
x x x x
3 2
0 2( 1) 2 1 1
=
+ + + + +
ò 
 · Đặt t x 1= + Þ t t dtI t dt
t t
2 22 2
2
2
1 1
2 ( 1) 2 ( 1)
( 1)
-
= = -
+
ò ò t
23
1
2 2( 1)
3 3
= - = 
Câu 25. x x xI dx
x
32 2 3
4
1
2011- +
= ò 
 · Ta có: xI dx dx M N
x x
32 2 2 22
3 3
1 1
1 1
2011
-
= + = +ò ò 
 xM dx
x
32 2 2
3
1
1 1-
= ò . Đặt t
x
3
2
1 1= - Þ M t dt
3 7
32
3
0
3 21 7
2 128
-
= - = -ò 
 N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 140772011
162
- é ù= = = - =ê ú
ë û
ò ò 
 Þ I
314077 21 7
16 128
= - . 
Câu 26. dxI
x x
1
33 30 (1 ). 1
=
+ +
ò 
 · Đặt t x3 31= + Þ t dtI dt
t t t t
3 32 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
= =
- -
ò ò 
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 8 
 dt dt t dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 13 342 3
33
11
11 1. 1
-
æ ö
-ç ÷
è ø= = =
é ù æ öæ ö -- ç ÷ê úç ÷
è øè øë û
ò ò ò 
 Đặt dtu du
t t3 4
1 31= - Þ = Þ u uI du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0 0
0
1 1 1
13 3 3 2
3
-
-
æ ö
ç ÷
= = = = =ç ÷
ç ÷ç ÷
è ø
ò ò 
Câu 27. xI dx
x x
x
2 2 4
23
1 1
=
æ ö
- +ç ÷
è ø
ò 
 · Đặt t x2 1= + 
 Þ tI dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2
-
=
-
ò = 
t t dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2ln
3 4 4 22 2
æ ö- + +
= + = + ç ÷ç ÷-- - è ø
ò ò ò 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2 ... rang 37 
 Đặt 
x x
u x du xdx
dxdv v
e e
2 2
1 1
cos sin
1
ì ì= = -
ï ïÞ -í í= =ï ïî î
x x
xdxI x I I e
e e
e e
22 2
0 02 2
1 1 sin 1cos . 1 2 1
pp p
p p
-
- - -
Þ = + - = + - Þ = - +ò 
eI
2 1
2 2
p-
-
Þ = + 
Câu 12. I x x dx
2
0
sin ln(1 sin )
p
= +ò 
 · Đặt 
xu x du dx
xdv xdx v x
1 cosln(1 sin )
1 sinsin cos
ì +ïì = + =Þí í +=î ï = -î
 Þ x xI x x x dx dx x dx
x x
22 2 2
0 0 0
cos 1 sincos .ln(1 sin ) cos . 0 (1 sin ) 12 1 sin 1 sin 20
p p p
p
p-
= - + + = + = - = -
+ +ò ò ò 
Câu 13. 
x
x xI dx
6 64
4
sin cos
6 1
p
p
-
+
=
+
ò 
 · Đặt t x= - Þ dt dx= - Þ t x
t x
t t x xI dt dx
6 6 6 64 4
4 4
sin cos sin cos6 6
6 1 6 1
p p
p p
- -
+ +
= =
+ +
ò ò 
 Þ x
x
x xI dx x x dx
6 64 4
6 6
4 4
sin cos2 (6 1) (sin cos )
6 1
p p
p p
- -
+
= + = +
+
ò ò x dx
4
4
5 3 cos4
8 8
p
p
-
æ ö
= +ç ÷
è ø
ò
5
16
p
= 
 I 5
32
p
Þ = . 
Câu 14. 
x
xdxI
46
6
sin
2 1
p
p
-
-
=
+
ò 
 · Ta có: 
x x x
x x x
xdx xdx xdxI I I
04 4 46 6
1 2
0
6 6
2 sin 2 sin 2 sin
2 1 2 1 2 1
p p
p p
- -
= = + = +
+ + +
ò ò ò 
 + Tính 
x
x
xdxI
0 4
1
6
2 sin
2 1p
-
=
+
ò . Đặt x t= -
t
t t x
t t xI dt dt dx
0 0 04 4 4
1
6 6 6
2 sin ( ) sin sin
2 1 2 1 2 1p p p
-
-
-
Þ = - = =
+ + +
ò ò ò 
x
x x
xdx xdxI xdx x dx
4 46 6 6 6
4 2
0 0 0 0
sin 2 sin 1sin (1 cos2 )
42 1 2 1
p p p p
Þ = + = = -
+ +
ò ò ò ò 
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 38 
 x x dx
6
0
1 (3 4cos2 cos4 )
8
p
= - +ò
4 7 3
64
p -
= 
Câu 15. 
e xI dx
x x
3 3
1
ln
1 ln
=
+
ò 
 · Đặt dxt x x t tdt
x
21 ln 1 ln 2= + Þ + = Þ = và x t3 2 3ln ( 1)= - 
 Þ t t t tI dt = dt t t t dt
t t t
2 2 22 3 6 4 2
5 3
1 1 1
( 1) 3 3 1 1( 3 3 )- - + -= = - + -ò ò ò
15 ln2
4
= - 
Câu 16. 
4
2
0
sin
cos
p
= ò
x xI dx
x
 · Đặt 
u x du dx
 xdv dx v
xx2
sin 1
coscos
ì = ì =
ï ïÞí í= =ï ïîî
Þ x dx dxI
x x x
4 44
0 0 0
2
cos cos 4 cos
p pp
p
= - = -ò ò 
 + dx xdxI
x x
4 4
1 2
0 0
cos
cos 1 sin
p p
= =
-
ò ò . Đặt t xsin= Þ 
dtI
t
2
2
1 2
0
1 2 2ln
2 2 21
+
= =
--
ò 
 Vậy: 2 1 2 2ln
4 2 2 2
p +
= -
-
Câu 17. x xI dx
x
2
3
4
cos
sin
p
p
= ò 
 · Ta có x
x x2 3
1 2 cos
sin sin
¢æ ö
= -ç ÷
è ø
. Đặt 
u x
xdv dx
x3
cos
sin
ì =
ï
í =ïî
 Þ 
du dx
v
x2
1
2sin
ì =
ï
í = -ïî
 Þ I = x
x
2
2
4
1 1.
2 sin
p
p
- + dx x
x
2 2
2
4
4
1 1 1( ) cot
2 2 2 2 2sin
p p
p
p
p p
= - - -ò = 
1
2
. 
Câu 18. x xI dx
x
4
3
0
sin
cos
p
= ò 
 · Đặt: 
u x du dx
xdv dx v
x x3 2
sin 1
cos 2.cos
ì ì= =
ï ïÞí í= =ï ïî î
x dxI x
x x
44 4
2 2 00 0
1 1 1tan
2 4 2 4 22cos cos
pp p
p p
Þ = - = - = -ò 
Câu 19. 
e
I x dx
1
cos(ln )
p
= ò 
 · Đặt t tt x x e dx e dtln= Þ = Þ = 
www.VIETMATHS.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 39 
 Þ tI e tdt
0
cos
p
= ò = e
1 ( 1)
2
p- + (dùng pp tích phân từng phần). 
Câu 20. xI e x xdx
22 sin 3
0
.sin .cos
p
= ò 
 · Đặt t x2sin= Þ tI e t dt e
1
0
1 1(1 )
2 2
= - =ò (dùng tích phân từng phần) 
Câu 21. I x dx
4
0
ln(1 tan )
p
= +ò 
 · Đặt t x
4
p
= - Þ I t dt
4
0
ln 1 tan
4
p
pæ öæ ö
= + -ç ÷ç ÷è øè øò
= t dt
t
4
0
1 tanln 1
1 tan
p
æ ö-
+ç ÷+è øò = dtt
4
0
2ln
1 tan
p
+ò 
 = dt t dt
4 4
0 0
ln 2 ln(1 tan )
p p
- +ò ò = t I40.ln 2
p
- 
 Þ I2 ln 2
4
p
= Þ I ln 2
8
p
= . 
Câu 22. 
4 3
2
1
ln(5 ) . 5- + -
= ò
x x xI dx
x
 · Ta có: 
4 4
2
1 1
ln(5 ) 5 .-= + - = +ò ò
xI dx x x dx K H
x
. 
 + xK dx
x
4
2
1
ln(5 )-
= ò . Đặt 
u x
dxdv
x2
ln(5 )ì = -
ï
í =ïî
 Þ K 3 ln 4
5
= 
 + H= x x dx
4
1
5 .-ò . Đặt t x5= - Þ H
164
15
= 
 Vậy: I 3 164ln 4
5 15
= + 
Câu 23. dx
x
xxI ò +
+
=
2
0
2
2sin1
)sin(
p
 · Ta có: x xI dx dx H K
x x
22 2
0 0
sin
1 sin2 1 sin 2
p p
= + = +
+ +ò ò 
 + x xH dx dx
x
x
2 2
20 01 sin 2 2cos
4
p p
p
= =
+ æ ö
-ç ÷
è ø
ò ò . Đặt: 
u x
du dxdxdv
v x
x2
1 tan
2cos 2 4
4
p
p
ì =
ì =ïï ï= æ öÞí í = -æ ö ç ÷ï ï-ç ÷ è øîï è øî
 xH x x
22
0 0
1tan ln cos
2 4 2 4 4
pp
p p pæ öæ ö æ ö
Þ = - + - =ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 40 
 + xK dx
x
22
0
sin
1 sin2
p
=
+ò . Đặt t x2
p
= - Þ xK dx
x
22
0
cos
1 sin2
p
=
+ò 
 dxK x
x
2 2
20 0
12 tan 1
2 42 cos
4
p p
p
p
æ ö
Þ = = - =ç ÷æ ö è ø-ç ÷
è ø
ò K
1
2
Þ = 
 Vậy, I H K 1
4 2
p
= + = + . 
Câu 24. 
 x x x xI dx
x
3
2
0
(cos cos sin )
1 cos
p + +
=
+
ò 
 · Ta có: x x x x xI x dx x x dx dx J K
x x
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin.cos .
1 cos 1 cos
p p pæ ö+ +
= = + = +ç ÷ç ÷+ +è ø
ò ò ò 
 + Tính J x x dx
0
.cos .
p
= ò . Đặt u xdv xdxcos
ì =
í =î
Þ J x x x dx x
0 0
0
( .sin ) sin . 0 cos 2
pp p
= - = + = -ò 
 + Tính x xK dx
x20
.sin
1 cos
p
=
+
ò . Đặt x t dx dtp= - Þ = - 
 t t t t x xK dt dt dx
t t x2 2 20 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
p p pp p p p
p
- - - -
Þ = = =
+ - + +
ò ò ò 
 x x x x dx x dxK dx K
x x x2 2 20 0 0
( ).sin sin . sin .2
21 cos 1 cos 1 cos
p p pp pp+ -Þ = = Þ =
+ + +
ò ò ò 
 Đặt t x dt x dxcos sin .= Þ = - dtK
t
1
2
12 1
p
-
Þ =
+
ò , đặt t u dt u du2tan (1 tan )= Þ = + 
 u duK du u
u
2 24 4
4
2
4
4 4
(1 tan ) .
2 2 2 41 tan
p p
p
p
p p
p p p p
-
- -
+
Þ = = = =
+
ò ò 
 Vậy I
2
2
4
p
= - 
Câu 25. x x x xI dx
x x
2
3
2
3
( sin )sin
(1 sin )sin
p
p
+ +
=
+
ò 
 · Ta có: x x x x dxI dx dx H K
xx x x
2 2 22
3 3 3
2 2
3 3 3
(1 sin ) sin
1 sin(1 sin )sin sin
p p p
p p p
+ +
= = + = +
++
ò ò ò 
 + xH dx
x
2
3
2
3
sin
p
p= ò . Đặt 
u x
du dxdxdv v x
x2
cot
sin
ì =
ï ì =Þí í= = -îïî
Þ H
3
p
= 
 + dx dx dxK
x xx
2 2 2
3 3 3
2
3 3 3
3 2
1 sin 1 cos 2cos
2 4 2
p p p
p p pp p
= = = = -
+ æ ö æ ö
+ - -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò ò 
www.VIETMATHS.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 41 
 Vậy I 3 2
3
p
= + - 
Câu 26. I x x x dx
0
2
2(2 ) ln(4 )é ù= - + +ë ûò 
 · Ta có: I x x dx
2
0
(2 )= -ò + x dx
2
2
0
ln(4 )+ò = I I1 2+ 
 + I x x dx x dx
2 2
2
1
0 0
(2 ) 1 ( 1)
2
p
= - = - - =ò ò (sử dụng đổi biến: x t1 sin= + ) 
 + xI x dx x x dx
x
2 2 222 2
2 0 2
0 0
ln(4 ) ln(4 ) 2
4
= + = + -
+
ò ò (sử dụng tích phân từng phần) 
 6 ln 2 4p= + - (đổi biến x t2 tan= ) 
 Vậy: I I I1 2
3 4 6 ln2
2
p
= + = - + 
Câu 27. x xI dx
x
2
3
0
sin
1 cos2
p
+
=
+ò 
 · Ta có: x x x xI dx dx dx H K
x x x
2 2
3 3 3
0 0 2 0 2
sin sin
1 cos2 2cos 2cos
p p p
+
= = + = +
+ò ò ò 
 + x xH dx dx
x x
3 3
0 2 0 2
1
22cos cos
p p
= =ò ò . Đặt 
u x
du dxdxdv v x
x2
tan
cos
ì =
ï ì =Þí í= =îïî
 H x x xdx x3 33
00 0
1 1 1tan tan ln cos ln 2
2 2 22 3 2 3
p pp p pé ùê úÞ = - = + = -ë ûò 
 + xK dx xdx
x
2
23 3
0 2 0
sin 1 tan
22cos
p p
= =ò ò [ ]x x 30
1 1tan 3
2 2 3
p pæ ö
= - = -ç ÷
è ø
 Vậy: 
( )
I H K 1 1 3 1 1ln 2 3 ( 3 ln 2)
2 2 3 6 22 3
p p pæ ö -
= + = - + - = + -ç ÷
è ø
Câu 28. 
8 ln
13
= ò
+
xI dx
x
 · Đặt 
u x dxdudx xdv
v xx
ln
2 11
ì ì=
=ï ïÞí í=ï ï = ++ îî
xI x x dx
x
88
3 3
12 1 ln 2 +Þ = + - ò 
 + Tính xJ dx
x
8
3
1+
= ò . Đặt t x 1= + Þ 
t dtJ dt
t t
3 32
2 2
2 2
2 12 1 2 ln3 ln2
1 1
æ ö
= = + = + -ç ÷
- -è ø
ò ò 
 I 6 ln8 4 ln3 2(2 ln3 ln 2) 20 ln 2 6 ln3 4Þ = - - + - = - - 
Câu 29. dxx
x
xI ò
+
=
2
1
3
2
ln1 
 · Ta có: I xdx
xx
2
3
1
1 1 lnæ ö= +ç ÷
è ø
ò . Đặt 
u x
dv dx
xx3
ln
1 1( )
ì =
ï
í = +ïî
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 42 
 Þ I x x x dx
xx x
22
4 51
1
1 1 1ln ln ln
4 4
æ ö æ ö- -
= + - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò = 2
1 63 1ln2 ln 2
64 4 2
- + + 
Câu 30. I x x dx
3
0
1sin 1.= + +ò 
 · Đặt t x 1= + Þ I t t tdt t tdt x xdx
2 2 2
2 2
1 1 1
.sin .2 2 sin 2 sin= = =ò ò ò 
 Đặt du xdxu x
v xdv xdx
2 42
cossin
ì ì == Þí í = -= îî
 Þ I x x x xdx
222
1 1
2 cos 4 cos= - + ò 
 Đặt u x du dx
dv xdx v x
4 4
cos sin
ì ì= =Þí í= =î î
 . Từ đó suy ra kết quả. 
Câu 31. 
e
xx x xI e dx
x
2
1
ln 1+ +
= ò 
 · Ta có: 
e e e x
x x eI xe dx e xdx dx H K J
x1 1 1
ln= + + = + +ò ò ò 
 + 
e e
x x e x eH xe dx xe e dx e e1
1 1
( 1)= = - = -ò ò 
 + 
e e ex xex x e ee eK e xdx e x dx e dx e J
x x11 1 1
ln ln= = - = - = -ò ò ò 
 Vậy: e e e eI H K J e e e J J e1 1+ += + + = - + - + = . 
www.VIETMATHS.com
Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 
Trang 43 
 TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x4( ) ( ) cos+ - = với mọi xÎR. 
 Tính: I f x dx
2
2
( )
p
p-
= ò . 
 · Đặt x = –t Þ f x dx f t dt f t dt f x dx
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )
p p p p
p p p p
-
-
- -
= - - = - = -ò ò ò ò 
 Þ f x dx f x f x dx xdx
2 2 2
4
2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) cos
p p p
p p p- -
-
é ù= + - =ë ûò ò ò Þ I
3
16
p
= 
 Chú ý: x x x4 3 1 1cos cos2 cos4
8 2 8
= + + . 
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x f x x( ) ( ) 2 2cos2+ - = + , với mọi xÎR. 
 Tính: I f x dx
3
2
3
2
( )
p
p-
= ò . 
 · Ta có : I f x dx f x dx f x dx
3 302 2
03 3
2 2
( ) ( ) ( )
p p
p p
- -
= = +ò ò ò (1) 
 + Tính : I f x dx
0
1
3
2
( )
p
-
= ò . Đặt x t dx dt= - Þ = - Þ I f t dt f x dx
3 3
2 2
1
0 0
( ) ( )
p p
= - = -ò ò 
 Thay vào (1) ta được: ( )I f x f x dx x x dx
3 3 3
2 2 2
0 0 0
( ) ( ) 2 1 cos2 2 cos
p p p
é ù= - + = + =ë ûò ò ò 
 xdx xdx
3
2 2
0
2
2 cos cos
p p
p
é ù
ê ú
= -ê ú
ê ú
ê úë û
ò ò x x20
3
22 sin sin 6
2
p p
p
é ù
ê ú
= - =ê ú
ê ú
ê úë û
Câu 3. xI dx
x x
4
2
4
sin
1
p
p
-
=
+ +
ò 
www.VIETMATHS.com
Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng 
Trang 44 
 · I x xdx x xdx I I
4 4
2
1 2
4 4
1 sin sin
p p
p p
- -
= + - = -ò ò 
 + Tính I x xdx
4
2
1
4
1 sin
p
p
-
= +ò . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được I1 0= . 
 + Tính I x xdx
4
2
4
sin
p
p
-
= ò . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I2
2 2
4
p= - + 
 Suy ra: I 2 2
4
p= - . 
Câu 4. 
( )
( )
5
2
3 2 1
1 1
x
x
e x x
I dx
e x x
- + -
=
- + -ò 
 · ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5
2 2 2 2
3 2 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
- + - - + - + - -
= = = +
- + - - + - - + -ò ò ò ò
x x x x
x x x
e x x e x x e x e x
I dx dx dx dx
e x x e x x e x x
 ( ) ( )
5 5
2 2
5 2 1 2 1
3
2 1( 1 1) 1( 1 1)
- -
= + = +
- - + - - +ò ò
x x
x x
e x e x
x dx dx
x e x x e x
 Đặt ( )2 11 1
2 1
-
= - + Þ =
-
x
x e xt e x dt dx
x
5
2
52 1 5
22
1
2 12 2 13 3 2ln 3 2ln
11
+
+
+ +
Þ = + Þ = + = +
++ò
e
e
e eI dt I t
t ee
Câu 5. xI dx
x x x
24
2
0 ( sin cos )
p
=
+
ò . 
 · x x xI dx
x x x x
4
2
0
cos.
cos ( sin cos )
p
=
+
ò . Đặt 
xu
x
x xdv dx
x x x 2
cos
cos
( sin cos )
ì
=ïï
í
=ï
+ïî
Þ 
x x xdu dx
x
v
x x x
2
cos sin
cos
1
sin cos
ì +
=ïï
í -ï =
ï +î
 Þ x dxI dx
x x x x x
44
2
0 0cos ( sin cos ) cos
pp
= - +
+ ò = 
4
4
p
p
-
+
. 
www.VIETMATHS.com