Bài tập theo chủ đề - Ôn thi đại học môn Toán

Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
11 
BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ 
1. KHẢO SÁT HS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
Bài 1. Cho hàm số 4 21 5y x 3x .
2 2
= − + 
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 
2. Gọi d là tiếp tuyến của (C) tai ñiểm M có Mx a= . Tìm a ñể d cắt trở lại (C) hai ñiểm phân biệt P, Q 
khác M. Tìm quỹ tích trung ñiểm K của ñoạn PQ. 
Bài 2. Cho hàm số 3 2y x 2x mx m 1.= − + + − 
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số khi m = 1. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y x 1.= + Từ ñó 
biện luận theo k số nghiệm và xét dấu các nghiệm của phương trình 3 2x 2x k 0.− − = 
3. Tìm m ñể hàm số ñã cho ñồng biến trên khoảng 10; .
3
 
 
 
Bài 3. Cho hàm số 2x 1y (C).
x 2
+
=
+
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số. 
2. Chứng minh d: y = − x + m luôn cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ nhất. 
3. Tìm a ñể phương trình 2sin x 1 a
sin x 2
+
=
+
 có hai nghiệm phân biệt trên ñoạn [ ]0; .pi 
Bài 4. Cho hàm số 3 2 2y x 3(m 1)x 2(m 4m 1)x 4(m 1)m.= − + + + + − + 
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 0. 
2. Chứng minh rằng khi m thay ñổi thì ñồ thị hàm số luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh. 
3. Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ lớn hơn 1. 
4. Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị của ñồ 
thị hàm số. 
Bài 5. Cho hàm số (m 1)x my .
x m
+ +
=
+
1. Khi m = 1: Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số; tìm trên (C) những ñiểm có tổng khoảng cách ñến 
hai ñường tiệm cận nhỏ nhất. 
2. Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ 0x m= cắt các ñường tiệm cận tạo 
thành tam giác có diện tích bằng diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñộ. 
Bài 6. Cho hàm số 4 2y x 2(m 1)x 2m 1.= − + + − − 
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số khi m = 0. Tính diện tích tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực 
trị của (C). 
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt lập thành cấp số cộng. 
3. Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng ( )1; 2 . 
Bài 7. Cho hàm số 3y 4x 3x 1.= − + 
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. Biện luận theo k số nghiệm của PT 34x 3x 2k 0.− + = 
2. ðiểm AA (C), x 1.∈ = ðường thẳng d ñi qua A và có hệ số góc m. Tìm m ñể d cắt (C) tại 3 ñiểm 
phân biệt A, M, N. 
3. ðiểm P (C)∈ thoả mãn A M P M
N A P N
x x x x
.
x x x x
− −
=
− −
 Tìm quỹ tích ñiểm P khi m thay ñổi. 
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
12 
2. PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PT - BẤT PT 
Bài 8. Giải phương trình 
2 x 31) x x 12 3x 12. 2) 4x 1 3x 2 . 3) 3(2 x 2) 2x x 6.
5
+
− − = − + − − = + − = + + 
Bài 9. Giải bất phương trình 
2
6 6
1 x x
log x log x
x
2 2 11) 6 x 12. 2) 0.
2 1
−
− +
+ ≤ ≤
−
Bài 10. Giải hệ phương trình 
23 3 3
2 2 2
x 1 7 y 4xy 10 20 x1 x y 19x
1) . 2) . 3) .
y 1 7 x 4y xy 6x 0 xy 5 y
  + + − =− = −+ =  
  
+ + − =+ + =  = +  
Bài 11. Tìm m ñể tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình sau lớn hơn 1 
2 2 2 2
4 1
2
2log (2x x 2m 4m ) log (x mx 2m ) 0.− + − + + − = 
Bài 12. Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau 
2 2 2 4 21) x 3x 2 x 4x 3 2 x 5x 4. 2) x 2x 1 1 x.− + + − + ≥ − + − + ≥ − 
2 23 33
x3) 2x 1 x. 16 2x 1. 4)x x 12 x 1 36. 5) log (5x 8x 3) 2.− = − + + + + = − + > 
2 2 x y 1 2y 12 2
2 22 4
ln(1 x) ln(1+y) = x yx 4xy y 1 4 3.4 2x 2xy 3y 06) . 7) . 8) . 9) .
x 3y 2 log 3x | x | y | y | 2 x 12xy 20y 0y 4 3xy
+ − − + − − 
− + = + ≤   + − =
   
+ ≥ −+ = − − + = = +  
Bài 13. Tìm m ñể phương trình 2x 3 m 1 x+ = + có nghiệm. 
Bài 14. Tìm m ñể bất phương trình x x 2m.4 (m 1).2 m 1 0++ − + − > nghiệm ñúng với mọi x. 
3. LƯỢNG GIÁC 
Bài 15. Cho 
2 2
1 cosB 2a c
,
sin B 4a c
+ +
=
−
 chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. 
Bài 16. Giải phương trình lượng giác 
2 2 2 2 24x1) cos cos x. 2) tan 2x.tan 3x.tan 5x tan 2x tan 3x tan 5x.
3
= = − + 
Bài 17. Giải phương trình lượng giác 
4 42
2 2
x x
sin cos
cos x(2sin x 3 2) 2cos x 1 1 sin x2 21) 1. 2) tan x.sin x tan x.
1 sin 2x 1 sin x 2
++ − − +
= − = +
+ −
Bài 18. Giải phương trình lượng giác 
2
2 2
4 4
1)5sin x 2 3(1 sin x) tan x. 2)(2cos x 1)(2sin x cos x) sin 2x sinx.
3)cos 3x.cos 2x cos x 0. 4)1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0.
5)1 cos x cos 2x cos3x. 6)cos x sin x cos(x )sin(3x
4 4
− = − − + = −
− = + + + + =
pi pi
+ = + + + − −
3 3 2
2 2 2
3) .
2
x7)sin x(1 tan x tan ) 4 cotx. 8)sin x 3 cos x sin x(cos x 3 sin x cos x).
2
9)2sin 2x sin 7x 1 sinx. 10)(1 sin 2x)cos2x (1 cos 2x)sin 2x 1 2sin 2x cos 2x.
=
+ = − − = −
+ = + + + + = +
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
13 
2
6 6
11)(sin x cos x) 3 cos 2x 2. 12)2sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2cos 2x.
12(cos x sin x) sin 2x 1 1 15213) 0. 14) 4sin( x).3sin x 42 2sin x sin(x )
2
+ + = + + = +
+ − pi
= + = −
pi
−
−
4. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG 
Bài 19. Tính 
ln 24 2
2 x
1 2 3 42 4x
0 0
3
dx dx 1 sinx1)I . 2)I . 3)I ln (x+ 1 x )dx. 4)I e dx.
1 cos x3cos x 2sin 2x 1 1 e
pi pi
pi
−
= = = + =
−+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
Bài 20. Tuỳ theo tham số m, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường 2y x x; y 3x m;= + = − 
x 0; x 1.= = 
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi n *∈ ta có 
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1C C C ... C .
2 4 6 2n 2n 1
−
−
+ + + + =
+
Bài 22. Tính 
e 16 4
3 2 2x
3
0 1 0
lnxdx tan xdx1) . 2) . 3) x ln xdx. 4) (x 2)e dx.
cos2xx
pi
−∫ ∫ ∫ ∫ 
Bài 23. Tính 
ln 5 2 2
x x 9 3
ln 3 1
dx xdx x dx dx1) . 2) . 3) . 4) .
1 x 1 1 xe 2e 3 (1 x)− + − ++ − −∫ ∫ ∫ ∫
Bài 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ñồ thị xy (e 1)x; y (1 e )x.= + = + 
Bài 25. Tính tích phân 
1
0
J x x m dx,= +∫ với m là tham số. 
5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP 
Bài 26. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là 
trung ñiểm của SB, SC. Biết rằng (SBC) (AMND).⊥ 
1. Tính diện tích tứ giác AMND. 
2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
3. Tính thể tích khối ña diện NMABCD. 
Bài 27. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có M, N, P lần lượt là trung ñiểm của AB, DD’, B’C’. 
Chứng minh MN//(BDC’) và tính góc giữa hai ñường thẳng MN, A’P. 
Bài 28. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, 
AA’ = c (c2 > a2 + b2). Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với CA’. Xác ñịnh thiết diện của lăng trụ 
cắt bởi (P) và tính diện tích của thiết diện ñó. 
Bài 29. Cho ABC∆ vuông cân có cạnh huyền BC = a. Trên ñường thẳng vuông góc với (ABC) tại A 
ta lấy ñiểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (SBC) là 600. Tính SA. 
Bài 30. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có cạnh ñáy bằng a, gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của 
SB, SC, và (SBC) (AMN).⊥ Tính diện tích AMN.∆ 
Bài 31. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, có I, J lần lượt là trung ñiểm của CD, A’D’. 
1. Chứng minh B'I C 'J.⊥ 
N
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
14 
2. Trên các cạnh AB, B’C’, CC’, D’A’ lần lượt lấy các ñiểm M, N, P, Q sao cho MB xAB,=
B'N xB'C', CP yCC', D 'Q yD'A '.= = =
 Tìm mối liên hệ giữa x và y ñể MN PQ.⊥ 
Bài 32. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC AB AC a, BC a 2.= = = = = = Tính góc giữa 
hai ñường thẳng AB, SC, và tính thể tích khối chóp S.ABC. 
6. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG MẶT PHẲNG 
(Các bài toán ở phần này ñều xét trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy) 
Bài 33. Cho hai ñường tròn 2 2 2 21 2(C ) x y (m 6)x 2my 5 0, (C ) x y 12x 6y 44 0.+ − + + + = + − − + = 
1. Khi m = 0: viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
2. Tìm quỹ tích tâm của ñường tròn (C1). 
Bài 34. Cho hai ñiểm A, B di ñộng trên 2(P)y x= sao cho AB = 2. Giả sử xA < xB. 
1. Tìm quỹ tích trung ñiểm của ñoạn AB. 
2. Xác ñịnh A, B ñể diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và ñường thẳng AB ñạt giá trị lớn nhất. 
Bài 35. Cho A là giao của hai ñường thẳng 
x 2 t x 11 4t '
d : ; d ' : .
y 1 9t y 2 3t '
= − = + 
 
= − − = − 
 Viết phương trình ñường 
thẳng ∆ qua M(5; 0), cắt d, d’ lần lượt tại B, C sao cho diện tích ABM∆ bằng 2 lần diện tích ACM.∆ 
Bài 36. Cho elip (E) có hai tiêu ñiểm và hai ñỉnh trên trục Oy cùng nằm trên một ñường tròn. Bốn ñỉnh 
của (E) là bốn ñỉnh một tứ giác có diện tích 2 2. Viết phương trình chính tắc của (E). Gọi M là ñiểm 
di ñộng trên (E), F1 và F2 là hai tiêu ñiểm của (E). Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác MF1F2. 
Bài 37. Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua O(0; 0) sao cho khoảng cách từ A(−3; 5) tới d bằng 3 
lần khoảng cách từ B(1; 1) tới d. 
Bài 38. ðường thẳng d1 ñi qua A(1; 4) và cắt d2: 2x + y − 1 = 0 tại B có xB = 1 .4− Viết phương trình 
ñường tròn ñi qua O(0; 0) và tiếp xúc với d1, d2. 
Bài 39. Cho ABC∆ có ñỉnh A(2; 1), ñường cao BH: x − 3y − 7 = 0, ñường trung tuyến CM: 
x y 1 0.+ + = Tìm toạ ñộ ñỉnh B, C. 
Bài 40. Tìm m ñể : y 2x m∆ = − cắt 
2 2
x y(E) : 1
64 9
+ = tại hai ñiểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung 
ñiểm I của ñoạn AB. 
7. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ðỘ TRONG KHÔNG GIAN 
(Các bài toán ở phần này ñều xét trong không gian toạ ñộ Oxyz) 
Bài 41. Cho A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), (P): x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu ñi qua 
A, B, C và có tâm thuộc (P). 
Bài 42. Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A(−4; −2; 4), vuông góc và cắt 
x 3 2t
d : y 1 t .
z 1 4t
= − +

= −

= − +
Bài 43. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ ñộ O. Biết 
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung ñiểm của cạnh SC. 
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA, BM. 
2. Gọi N SD (ABM).= ∩ Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
Bài 44. Cho A(−1; 2; 4), B(−2; 3; 5). Tìm ñiểm M trên x 2 y 1 z 5d :
1 2 1
− + +
= =
−
 ñể MA + MB nhỏ 
nhất. 
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
15 
Bài 45. Cho A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4), x 1 y 2 z: .
1 1 2
− +∆ = =
−
1. Viết phương trình ñường thẳng d ñi qua trọng tâm G của OAB∆ và vuông góc với (OAB). 
2. Tìm ñiểm M thuộc ∆ ñể MA2 + MB2 nhỏ nhất. 
Bài 46. Cho A(1; 7; 1), B(5; 5; −3). Tìm ñiểm M thuộc mặt phẳng (P): x + 2y − 2z + 1 = 0 sao cho 
MA2 + MB2 nhỏ nhất. 
Bài 47. Cho A(1; −1; 0), B(1; 0; 1). Tìm ñiểm M thuộc 
x 1 t
d : y 1 t
z 2
= − +

= +

= −
ñể diện tích MAB∆ nhỏ nhất. 
Bài 48. Cho hai ñường thẳng 1 2
x 1 2t
x y zd : , d : y t .
1 1 2
z 1 t
= − −

= = =

= +
1. Xét vị trí tương ñối của d1 và d2. 
2. Tìm hai ñiểm M, N lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho MN//(P): x − y + z = 0 và MN = 2. 
Bài 49. Cho hình lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2 ; 0), A’(0; 0; 2). 
1. Chứng minh A’C vuông góc với BC’, và viết phương trình mặt phẳng (ABC’). 
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B’C’ trên (ABC’). 
Bài 50. Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M(3; 2; 1), vuông góc với 1
x 1 y 2 zd :
3 1 1
− +
= = và 
cắt 2
x t
d : y 2t 1.
z 1 t
=

= +

= − +
Bài 51. Viết phương trình mặt cầu tâm M(1; 2; 3) và cắt (P): 2x + 2y + z + 4 = 0 theo ñường tròn có 
bán kính là 3. Tính diện tích và thể tích khối cầu tương ứng. 
8. TỔ HỢP - XÁC SUẤT - THỐNG KÊ 
Bài 52. Tìm số hạng cứa x5y3z6t6 trong khai triển (x + y + z + t)20. 
Bài 53. Tính tổng 2 1 2 2 2 2 2 nn n n n1 C 2 C 3 C ... n C (n *).+ + + + ∈ 
Bài 54. Một hộp có 10 viên bi, gồm 5 bi xanh, 3 bi ñỏ, 2 bi vàng. 
1. Lấy ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp ñã cho. Tính xác suất ñể 5 bi lấy ra có ñủ cả ba loại xanh, ñỏ, vàng. 
2. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp ñã cho. Tính xác suất ñể 6 bi lấy ra có ñủ cả ba loại xanh, ñỏ, vàng. 
Bài 55. Cho khai triển 
n
x x x xx 1 x 1 x 1 x 1
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n3 3 3 32 2 2 2
n n n n2 2 C (2 ) C (2 ) (2 ) C (2 ) (2 ) ... C (2 ) ,
− − − −
− − − −
− −
 
 + = + + + +
 
 
biết 3 1n nC 5C= và số hạng thứ tư trong khai triển trên bằng 20n. Tìm x và n. 
Bài 56. Tìm n biết 0 1 2 n nn n n nC 2C 4C ... 2 C 243.+ + + + = 
Bài 57. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập ñược bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số phân biệt 
và chữ số 2 ñứng cạnh chữ số 3? 
Bài 58. Tính tổng 
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
0 1 2 n
n n n n
A C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... (2n 1).2 C .
1 1 1B 1.C .C .C ... .C .
2 3 n 1
+
+ + + + += − + − + + +
= + + + +
+
N
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
16 
Bài 59. Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x +  + anxn biết rằng 
1 2 n
0 n
a a a
a ... 4096.
2 4 2
+ + + + = 
Bài 60a. Cần lập một ñề thi gồm 7 câu ñược lấy ngẫu nhiên từ một ngân hàng gồm 60 câu (trong ñó có 
20 câu dễ, 20 câu trung bình, 20 câu khó). Tính xác suất ñể ñề thi ñược lập thoả mãn cả ba yêu cầu: số 
câu không ít hơn 2, số câu trung bình không ít hơn 1, số câu khó không ít hơn 1. 
9. SỐ PHỨC 
Bài 61. Giải phương trình trên tập số phức 5 4 3 2z z z z z 1 0.− + − + − = 
Bài 62. Tìm số phức z thỏa mãn 
1) |z| = 2 5 , phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó. 
2) (2 i) 10z − + = và . 25z z = . 
3) z2 = 3 – 4i. 
Bài 63. Tìm các số thực x, y biết 2x y +2i 3 1 (x 2)i.y− = + − − 
Bài 64. Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn 
1) |z + 2i| ≤ 1. 2) |z| = |2z – 4i|. 3) |z + i| = |z –2|. 
10. BẤT ðẲNG THỨC - GTLN, NN 
Bài 65. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f (x) 2cos2x 4sinx= + trên ñoạn 0; .
2
pi 
  
Bài 66. Cho 2x x y 12+ = + và y 0,≤ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A xy x 2y 17.= + + + 
Bài 67. 
1. Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng 2 2 2
2 2 2 1 1 1
.
ab bc caa bc b ca c ab
+ + ≤ + +
+ + +
2. Cho a, b, c dương, và a + b + c = 2abc. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2
1 1 1P .
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Bài 68. Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)2   
 
 
+ +1 2 1
x2x
≥
 16. 
Bài 69. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: + + + + + ++ + ≥a b c a b c a b c 9.
a cb
Bài 70. Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: + + ≥
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
.
2b c c a a b
Bài 71. Cho ∆ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng 
 
+ + ≥ + + 
− − −  
1 1 1 1 1 1
2 .
p a p b p c a b c
Bài 72. Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: + + ≤ + +
+ + +3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
.
x y y z z x x y z
Bài 73. Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: − + − ≤a b 1 b a 1 ab. 
Bài 74. Cho a > 0, b > 0, a + b = c. 
1. Chứng minh rằng nếu m > 1 thì am + bm < cm. 
2. Chứng minh rằng nếu 0 cm. 
ễd
Bài 60b. Lấy tuỳ ý một số nguyên dương có 6 chữ số. Tính xác suất ñể số lấy ra là số có mặt 3 
ữ
 số 1, 2 chữ số 2, và 1 chữ số 3. ch
Nguyễn Văn Xá − THPT Yên Phong số 2 − Bắc Ninh 
Tài liệu ôn thi ðH, Cð năm 2010− Môn TOÁN 
17 
11. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
Bài 75. Cho hàm số 
2x khi x 0
f (x) .x
sin khi x 0
2
− ≥

= 
<
1. Chứng minh f(x) liên tục tại x0 = 0. 
2. Chứng minh tại x0 = 0 hàm số không có ñạo hàm, nhưng f(x) ñạt cực ñại tại ñiểm ñó. 
Bài 76. Tìm giới hạn 
3 2 2 3x3
x 0 x 0 x 0
x
4
1 x x 1 3x 1 2x 1 e 11) lim . 2) lim . 3) lim . 4) lim tan 2x tan( x).
ln(2x 1) 1 cos x tan 4x 4pi→ → → →
+ + − − + + − pi
−
+ −
Bài 77. Tìm a. b ñể hàm số 
2ax b khi x 1f (x)
1 lnx khi x 1
 + <
= 
+ ≥
 có ñạo hàm tại x = 1. Khi ñó hãy viết phương 
trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x = 1. 
12. BÀI TOÁN TỔNG HỢP 
Bài 78. Chứng minh rằng phương trình 3x5 − 15x − 13 = 0 có nghiệm duy nhất x0. Và chứng minh 
rằng 9 0
260
x 2.
3
< < 
Bài 79. Cho hai hàm số 
x x x xa a a af (x) ; g(x) .
2 2
− −+ −
= = Với a > 0 và a ≠ 1. 
1. Chứng minh rằng f(x) là hàm chẵn, g(x) là hàm lẻ (trên ). 
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) trên . 
Bài 80. Cho hàm số x3
af (x) bxe .
(x 1)
= +
+
 Tìm a, b ñể 
1
0
f '(0) 22; f (x)dx 5.= − =∫ 
Bài 81. Tìm ba số thực x, y, z sao cho ba số x, 1 z, y 1− − theo thứ tự lập thành cấp số cộng, và ba số 
2 21, x 1, y z 4z 2− − + + − theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 
Bài 82. Chứng minh rằng phương trình x 1 xx (x 1)+ = + có một nghiệm dương duy nhất. 
Bài 83. Tìm m ñể phương trình 2 2 4 2 2m( 1 x 1 x 2) 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − có nghiệm. 
Bài 84. 
1. So sánh hai số 20102009 và 20092010 . 
2. So sánh hai số 2009 2009 và 2010 2010. 
R
R
Năm tháng sẽ trôi qua một cách vô vị ñối với những ai nhìn tương lai qua một cặp kính viễn 
vọng của nhà thông thái và chỉ biết hái hoa của hiện tại, nhưng ai biết sử dụng thời gian giống như một 
cái cây cứ mỗi năm cao thêm một ngấn, thì họ sẽ có hạnh phúc!