Bài tập Thể tích khối chóp

1) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A (= 90o), AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc 60o. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC.
I
H
J
S
B
C
A
Gi ải :	
Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ^ mp (ABC)
Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ^ AC
Þgóc SIH=góc SJH = 60o Þ tam giác SHI = tam giác SHJ
Þ HI = HJ Þ AIHJ là hình vuông
Þ I là trung điểm AB Þ IH = a/2 
Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 
V(SABC) = (đvtt)
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Gi ải :
 Tính thể tích hình chóp SBCMN
	( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD 
	Ta có : . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao 
	Ta có SA = AB tan600 = a , 
	Suy ra MN = . BM = 	Diện tích hình thang BCMN là : 
 S = 
	Hạ AH BM . Ta có SHBM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) 
 SH là đường cao của khối chóp SBCNM 
 Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = . 
Vậy BM là phân giác của góc SBA SH = SB.sin300 = a 
	Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = = 
A
S
B
C
M
N
D
3) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®­êng trßn (C) t©m O ®­êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R. I lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = . M lµ mét ®iÓm thuéc (C). H lµ h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. 
Gi ải :
Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R, SI = ,
SM = SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM
Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = SO=R , (kh«ng ®æi)
VBAHM lín nhÊt khi dt(MAB) lín nhÊt M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB
Khi ®ã VBAHM=(®vtt)
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy 
 và SA=a .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN). Chứng minh SD vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.
Giải : Ta có (1)
Tương tự ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H. Khi đó IH vuông góc với (AMB)
Suy ra 
Ta có 
Vậy 
5) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ®¸y hình chóp. Cho AB = a, SA = a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vu«ng gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ^ (AHK) và tính thể tích khèi chóp OAHK.
Giải :
 Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên .
Ta có 
Hạ tính được ;
Trong tam giác vuông SIH có .
(E là trung điểm của AB).
.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính và thể tích chóp A’.BCC’B’
Gi ải :
Gọi O là tâm đáy suy ra và góc 
*)Tính 
 với 
*)Tính 
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Gi ải : Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó 
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ 
Diện tích đáy ; 
đường cao của hình chóp .
Thể tích khối chóp S.ABCD: 
S
A
B
K
H
C
O
I
D
a
7) Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h.
Gi ải : SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : 
;
;
8) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . , . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Giải : Theo định lí côsin ta có: 
Suy ra . Tương tự ta cũng có SC = a.
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC).
Ta có 
Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ^ BC. Tương tự ta cũng có MN ^ SA. 
.
Do đó 
S
A
B
C
M
N
9) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất .
Gi ải: 
Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . 
Ta có : ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin
Vậy 
Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) 
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . 
Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số
f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm
cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN
hay 
Vậy MaxVSABC = , đạt được khi
sin = hay 
( với 0 < )
10) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho . Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 
Gi ải: 
Dựng 
Do mà là 
tứ diện đều nên là tâm tam giác đều .
Trong tam giác vuông DHA: 
Diện tích tam giác là 
Thể tích tứ diện là 
Ta có: 
Û
11) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA=AB=a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng .
Gi ải :
M
N
O
C
A
D
B
S
G
+ Trong mp(SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong mp(SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có
 suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
 Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của 
SC, SD.
+ Dễ có: .
 Theo công thức tỷ số thể tích ta có:
Từ đó suy ra:
+ Ta có: ; mà theo giả thiết nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là góc , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra Suy ra: .
Suy ra: .
Suy ra: thể tích cần tìm là: 
12) Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vµ . Gäi C’ vµ D’ lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vµ AD. TÝnh thÓ tÝch tÝch tø diÖn ABC’D
Gi ải :
V× nªn vµ do ®ã 
.V× nªn . 
Suy ra nÕu V lµ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× . 
V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn . 
Ta cã nªn . V× BD’ lµ ®­êng cao cña tam gi¸c vu«ng ABD nªn , VËy . Ta cã . VËy 
13) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x £ a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.
 a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
 b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt
Gi ải: Do 
Lai cã 
Ta cã
Tõ biÓu thøc trªn ta cã: 
 M trïng víi D
14)