Bài tập Sự tiếp xúc của hai đường cong

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-194- 
Bài 8 :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG 
Bài toán 1 : 
Hai đường cong ( ) ( ):C y f x= và ( ) ( )' :C y g x= tiếp xúc nhau khi và chỉ khi 
hệ phương trình sau: ( ) ( )( ) ( )' '
f x g x
f x g x
 =

=
có nghiệm. 
Ví dụ 1 : Tìm tham số thực m để đường thẳng ( ) ( ): 3d y m x= − tiếp xúc 
với đồ thị ( ) 31: 3
3
C y x x= − + . 
Giải : 
( )d tiếp xúc với ( )C khi hệ sau : ( ) ( )3
2
1
3 3
*3
3
x x m x
x m

− + = −


− + =

 có nghiệm. 
( ) 3 2 22
2
3 3 62 9 27 0
2 3 9 0* 3 3
3
3 2 4
x x mx x
x x
m x x m
m x
 =  = ⇒ = − − + =   
− − =⇔ ⇔ ⇔  = − + = − ⇒ =  = − + 
Ví dụ 2 : Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của 
hàm số : 
2
1
x
y
x
=
−
 hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 045 . 
Giải : 
Gọi ( )0;0M Ox M x∈ ⇒ , đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , phương 
trình có dạng : ( ) ( )0:d y k x x= − . 
( )d là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ sau có nghiệm : 
( )
( )
2
0
2
2
1
2
1
x
k x x
x
x x
k
x

= −
−

−
=
 −

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-195- 
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 02
2
1 2 0
1 1
x x x
x x x x x x
x x
−  = − ⇔ + − =
 
−
−
0
0
0
0
2
, 1
1
x
x
x x
x
 =

⇔ 
= ≠ −
 +
• ( )
2
2
2
0 0
1
x x
x k
x
−
= ⇒ = =
−
. 
• ( )
0 0
2
0
0
2 4
1 1
x x
x k
x x
−
= ⇒ =
+ +
• Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị của hàm số : 
2
1
x
y
x
=
−
 hai tiếp tuyến tạo 
với nhau 1 góc 045 khi và chỉ khi 
( )
0 1 2 0
02
1 2
0
4
tan 45 1 3 2 2
1 1
k k x
x
k k x
−
= ⇒ = ⇒ = ±
+ +
. 
Vậy ( ) ( )3 2 2;0 , 3 2 2;0M − + 
Ví dụ 3 :Tìm tất cả các điểm trên trục hoành những điểm M mà qua đó vẽ 
được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 3 2: 3C y x x= + mà trong đó có 2 tiếp 
tuyến vuông góc với nhau . 
Giải : 
Gọi ( );0M a Ox∈ , đường thẳng ( )t đi qua M và có hệ số góc 
( ) ( ):k t y k x a⇒ = − . 
( )t tiếp xúc với ( )C khi hệ sau có nghiệm : 
2
2
3 ( ) (1)
3 6 (2)
x x k x a
x x k
 + = −

+ =
3
Từ (1) ,(2) suy ra : 2 2 23 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0x x x x x a x a x ax+ = + − ⇔ + − − =3 3 
0
2 3( 1) 6 0
2 3( 1) 6 0 (3)
x
x x a x a
x a x a
=
  ⇔ − − − = ⇔ 
− − − =
2
2
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-196- 
0 0 1x k• = ⇒ = ⇒ tiếp tuyến. 
Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đến đồ thị ( )C mà trong đó có 2 tiếp tuyến 
vuông góc với nhau . 
Khi đó (3)có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
, 0x x ≠ và 
1 2
1k k = − 
( )
( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
22 2
0
0
0 9 1 48 0
3 6 3 6 1 9 18 36 1
a
a
a a
x x x x x x x x x x x x
  ≠ ≠ 
 
⇔ ∆ > ⇔ − + > 
    + + = −  + + + = −       
( )
1 2 1 2
2
1
3
3
81 81 1 108 1 0
3( -1)
vì = - 3 ; =
2
a a
a a a a
a
x x a x x

 − ≠

⇔ − − − + =
 
 + 
 
vaø a 0
1
13
3
2727 1 0
a a a
a
a

 − ≠
⇔ ⇔ =
− + =

vaø 0
Vậy 1 ,0
27
M Ox
 
∈ 
 
 thỏa bài toán . 
Bài toán 2 : 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ):C y f x= tại điểm ( )( )0 0;M x f x có 
dạng : ( ) ( ) ( )0 0 0'y f x x x f x= − + . 
Ví dụ 1 :Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị 4( ) :
1
x
C y
x
−
=
−
 với tiếp tuyến ( )t , 
biết rằng tiếp tuyến ( )t tạo với đường thẳng ( ) : 2 2010d y x= − + 1 góc 045 . 
Giải : 
{ }\ 1D• = 
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-197- 
• Ta có : ( )2
3
' , 1
1
y x
x
= ≠
−
• Gọi ( )( )0 0;M x f x là tọa độ tiếp điểm cần tìm thì hệ số góc tiếp tuyến ( )t là 
( ) 020
3
, 1
1
k x
x
= ≠
−
. 
• Vì ( )t và( )d tạo nhau 1 góc 045 khi 0
1
2
t n 45 3
1 2 3
k k
a
k k

+ = −
= ⇔

−
=
( )20
1 3 1
*
3 31
k
x
= − ⇔ = −
−
 điều này không xảy ra . 
( )
2
0 02
0
3
* 3 3 2 0
1
k x x
x
= ⇔ = ⇔ − =
−
( )
( )0 00 0
0 4 0;4
2 2 2; 2
x y M
x y M
 = ⇒ = ⇒
⇔
= ⇒ = − ⇒ −
Ví dụ 2 : Cho hàm số 2 3
2
x
y
x
+
=
−
, có đồ thị ( )C . Tìm tất cả các tham số 
m để đường thẳng ( ) : 2t y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp 
tuyến tại đó song song với nhau. 
Giải : 
Đường thẳng ( ) : 2t y x m= + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại 
đó song song với nhau khi và chỉ khi phương trình 2 3 2
2
x
x m
x
+
= +
−
 có hai 
nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thỏa mãn điều kiện ( ) ( )1 2' 'y x y x= . Khi đó phương 
trình ( ) ( )22 6 2 3 0g x x m x m= + − − − = có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x khác 2 
và thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 1 22 21 2
7 7
4
2 2
x x
x x
− = − ⇔ + =
− −
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-198- 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
6 8 2 3 0
2 2.2 6 .2 2 3 0 2
6
4
2
m m
g m m m
m

∆ = − + + >

⇔ = + − − − ≠ ⇔ =

−
− =

. 
Ví dụ 3: Cho hàm số 2
1
x
y
x
=
+
 có đồ thị là ( )C . Tìm trên đồ thị ( )C những 
điểm M , sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy tại hai điểm 
phân biệt ,A B sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1
4
. 
Giải : 
Gọi ( ) ( ) ( )
0
0 0 0 0 2
0
0
2 2
; '
1 1
x
M x y C y y
x x
∈ ⇒ = ⇒ =
+ +
Phương trình tiếp tuyến ( )t của ( )C tại M là : ( ) ( )
2
0
0 2 2
0 0
22
1 1
x
y x
x x
= +
+ +
. 
Tiếp tuyến ( )t cắt hai trục tọa độ ,Ox Oy tại hai điểm phân biệt ( )20; 0A x− , 
( )
2
0
2
0
2
0;
1
x
B
x
 
 
 
 +
 
 sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích bằng 1
4
 khi đó 
( ) ( )
2
2
2 20
0 0 02
0
21 1 1 1
. . . . 4 1 0
2 4 2 21
x
OAOB OAOB x x x
x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + =
+
( )
2
0 0 0
2
0 0
0
1 1
2 1 0 ; 2
2 2
2 1 0
1 1;1
x x x M
x x
x M
  
 + + = = − ⇒ − −  
⇔  
− − =  = ⇒

. 
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán 1 ; 2
2
M
 
− − 
 
, ( )1;1M . 
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu các tiếp tuyến ( )( ),d t của đồ thị ( ) :C 
3 26 9y x x x= − + song song với nhau thì hai tiếp điểm ,A B đối xứng nhau 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-199- 
qua (2;2)M . 
Giải : 
Gọi ( )( ) ( )( )3 2 3 21 1 1 1 1 2 2 2 2 2, 6 9 , , 6 9A x y x x x x B x y x x x x= − + = − + là tọa độ 
tiếp điểm của ( )( ),d t và đồ thị ( )C . ( )d và ( )t song song với nhau khi 
( ) ( ) 2 21 2 1 1 2 2 1 2' ' 3 12 9 3 12 9 4y x y x x x x x x x= ⇔ − + = − + ⇔ + = . 
Với 
1 2
4x x+ = thì tồn tại ( )( )
3
1 1
3
2 2
2 3 2
0 :
2 3 2
x t y x t t
t
x t y x t t
 = − ⇒ = − +
> 
= + ⇒ = − + +
Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ ( ) ( )
1 2
0
1 2
0
2
2
2
2
x x
x
y x y x
y
 +
= =

 +
= =
. 
Do đó hai tiếp điểm ,A B đối xứng nhau qua (2;2)M . 
Ví dụ 5 : Cho hàm số 
22
1
x
y
x
=
−
.Tìm 0;
2
pi
α  ∈  
 
 sao cho điểm 
( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C . Chứng minh rằng, tiếp tuyến của 
( )C tại điểm M cắt hai tiệm cận của ( )C tại hai điểm ,A B đối xứng nhau qua 
điểm M . 
Giải : 
Vì ( )1 sin ;9M α+ nằm trên đồ thị ( )C nên: 
( )2 2
1
sin2 1 sin
29 2 sin 5 sin 2 0
1 sin 1 sin 2
αα
α α
α α

=+ 
= ⇔ − + = ⇔
+ −
=
Vì 0;
2
pi
α  ∈  
 
 nên 1 3sin ;9
2 6 2
M
pi
α α  = ⇒ = ⇒  
 
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M là: 3 3' 9
2 2
y y x   = − +   
   
hay ( ) : 6 18d y x= − + . 
Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận đứng 1x = tại: ( )1;12A 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-200- 
Tiếp tuyến ( )d cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ là nghiệm 
( );x y hệ phương trình: ( )
6 18 2
2;6
2 2 6
y x x
B
y x y
= − + =  
⇔ ⇒ 
= + =  
Dễ thấy: 
3
2 2
9
2
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
+
= =
 +
 = =

Suy ra, ,A B đối xứng nhau qua điểm M (đpcm). 
Ví dụ 6: Gọi ( )d là tiếp tuyến của đồ thị 2 3( ) :
2
x
C y
x
−
=
−
tạiM cắt các đường 
tiệm cận tại hai điểm phân biệt ,A B . Tìm tọa độ điểm M sao cho đường 
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất , với I là giao điểm hai 
tiệm cận . 
Giải : 
Gọi ( ) ( ) ( )
0
0 0 0 0 2
0
0
2 3 1
; , '
2 2
x
M x y C y y
x x
−
∈ ⇒ = = −
−
−
Phương trình tiếp tuyến ( )d của ( )C tạiM : ( )
0
02
0
0
2 31
( )
22
x
y x x
xx
−
−
= − +
−
−
( )d cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt 0
0
2 2
2; ,
2
x
A
x
 
−
  
− 
( )02 2;2B x − . 
Dễ thấy M là trung điểm AB và ( )2;2I là giao điểm hai đường tiệm cận. 
Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 
2
2 2 20
0 0 2
0 0
2 3 1
( 2) 2 ( 2) 2
2 ( 2)
x
S IM x x
x x
pi pi pi pi
    
−
 = = − + − = − + ≥    −
−     
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2
0 2
0
1
( 2)
( 2)
x
x
− =
−
0 0
0 0
1 1
3 3
x y
x y
 = ⇒ =
⇔ 
= ⇒ =
Vậy ( )1;1M ( )3;3M thỏa mãn bài toán. 
Bài toán 3 : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-201- 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ):C y f x= đi qua điểm ( )1 1;M x y 
Cách 1 : 
• Phương trình đường thẳng ( )d đi qua điểmM có hệ số góc là k có dạng : 
( )1 1y k x x y= − + . 
• ( )d tiếp xúc với đồ thị ( )C khi hệ sau ( ) ( )( ) 1 1'
f x k x x y
f x k
 = − +

=
 có nghiệm. 
Cách 2 : 
• Gọi ( )0 0;N x y là tọa độ tiếp điểm của đồ thị ( )C và tiếp tuyến ( )d qua điểm 
M , nên ( )d cũng có dạng ( )0 0 0'y y x x y= − + . 
• ( )d đi qua điểm M nên có phương trình : ( ) ( )1 0 1 0 0' *y y x x y= − + 
• Từ phương trình ( )* ta tìm được tọa độ điểm ( )0 0;N x y , từ đây ta tìm được 
phương trình đường thẳng ( )d . 
Ví dụ 2: Cho hàm số : 
4
2 53
2 2
x
y x= − +
 có đồ thị là ( )C . Giả sử 
( )M C∈ có hoành độ a . Với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của ( )C tại M 
cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M . 
Giải : 
Vì ( )M C∈ nên 
4
2 5; 3
2 2M
a
M a y a
 
= − + 
 
Tiếp tuyến tại M có hệ số góc ' 32 6
M
y a a= − 
Tiếp tuyến tại M có dạng : 
( ) 4' 3 2 5( ) : (2 6 )( ) 3
2 2Mx M M
a
y y x x y d y a a x a a= − + ⇒ = − − + − + 
Tiếp tuyến ( )d của ( )C tại M cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt khác M khi 
phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt : 
4 4
2 3 25 53 (2 6 )( ) 3
2 2 2 2
x a
x a a x a a− + = − − + − + hay phương trình 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-202- 
2 2 3( ) ( 2 3 6) 0x a x ax a− + + − = có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình 
( ) 2 32 3 6 0g x x ax a= + + − = có hai nghiệm phân biệt và khác a . 
' 2 2 2
( )
2 2
(3 6) 0 3 0 3
( ) 6 6 0 1 1
g x
a a a a
g a a a a
 ∆ = − − > − < <  
⇔ ⇔ ⇔  
= − ≠ ≠ ≠ ±    
Vậy giá trị a cần tìm 
3
1
a
a
 <

≠ ±
Bài tập tương tự : 
1. Tìm m để tiếp tuyến đi qua điểm ( )2; 2M m + của đồ thị hàm số 
3 3y x x m= − + phải đi qua gốc tọa độ O . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. 
)a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( ) 2
1
ax bx
f x
x
−
=
−
đi qua điểm 51;
2
A
 
− 
 
và tiếp tuyến tại ( )0;0O có hệ số góc bằng 3− . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ 
thị ứng với giá trị ,a b vừa tìm được. 
)b Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số ( ) 22f x x ax b= + + tiếp xúc với 
hypebol )a Tìm ,a b biết rằng đồ thị của hàm số 1y
x
= tại điểm 1 ;2
2
M
 
 
 
2. 
)a Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm ( )1; 2A − và tiếp xúc với 
parabol 2 2y x x= − 
)b Chứng minh hai đường cong 3 25 2, 2
4
y x x y x x= + − = + − tiếp xúc nhau 
tại M , viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đó . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
-203- 
)c Chứng minh rằg các đồ thị của ba hàm số 
( ) ( )2 3 23 6, 4,f x x x g x x x= − + + = − + ( ) 2 7 8h x x x= + + tiếp xúc nhau tại 
điểm ( )1;2A − . 
)d Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số 
( ) ( )2 3 3,
2 2 2
x x
f x x g x
x
= + =
+
tiếp xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết 
phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó . 
)e Chứng minh rằng các đồ thị của ai hàm số ( ) ( )3 2, 1f x x x g x x= − = − tiếp 
xúc nhau . Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai 
đường cong tại điểm đó . 
Hướng dẫn : 
1. 
)a 
( ) ( )
( )
2
1 1 5 2
1 1 2 3
' 0 3
a a
b
f

− − −  = − = ⇔ 
− −
= − 
= −

)b 
9
6,
2
a b= − = 
2. )a ( ) ( ) ( ) ( ): 1 2 2 2 4 , 2 2d y m x m y x m y x= − − ⇒ = = − = − = − 
)b 
1 5 9
; , 2
2 4 4
M y x
 
− = − 
 
)c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2, ' 1 ' 1 ' 1 5f g h f g h− = − = − = − = − = − = , chứng tỏ tại 
( )1;2A − các đồ thị của ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác hơn là các đồ 
thị của ba hàm số tiếp xúc nhau tại điểm ( )1;2A − . 
)d ( ) 30;0 ,
2
O y x=