Bài tập số phức (98 ví dụ và bài tập có lời giải)

TITU ANDREESCU 
DORIN ANDRICA 
Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) 
BÀI TẬP SỐ PHỨC 
(98 VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI) 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 2 
LỜI GIỚI THIỆU 
Như tên sách, ‘’Complex Numbers from A to Z’’, nội dung nguyên bản phủ hầu khắp các 
vấn đề liên quan số phức: từ xây dựng trường số phức, số phức dạng lượng giác, đến 
hình học phức... 
Người dịch chỉ chọn lọc một số vấn đề lý thuyết, bài tập cơ bản, nâng cao của số phức 
để giới thiệu bằng tiếng Việt, ngõ hầu phục vụ đối tượng bạn đọc là học sinh trung học 
phổ thông, sinh viên, người không chuyên làm toán với số phức. 
Trong khả năng có thể, người dịch cố gắng dùng những thuật ngữ phổ biến nhất hiện 
nay. Tuy nhiên không thể không dùng những thuật ngữ nếu thiếu nó thì khó lòng diễn 
đạt các vấn đề về số phức. 
Mọi việc dù muốn hay không, cũng có thể gây ra thiếu, sót (hạn chế sai, lầm). Mong các 
em học sinh, sinh viên và quý vị thông cảm. 
 Người dịch. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 3 
Mục lục1 
Mục lục ............................................................................................................................................. 3 
1. Dạng đại số của số phức .................................................................................................................. 5 
1.1 Định nghĩa số phức ................................................................................................................. 5 
1.2 Tính chất phép cộng ................................................................................................................ 5 
1.3 Tính chất phép nhân ............................................................................................................... 5 
1.4 Dạng đại số của số phức .......................................................................................................... 6 
1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i .......................................................................................................... 8 
1.6 Số phức liên hợp .................................................................................................................... 8 
1.7 Môđun của số phức ............................................................................................................... 10 
1.8 Giải phương trình bậc hai ...................................................................................................... 14 
1.9 Bài tập............................................................................................................................... 17 
1.10 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 22 
2. Biểu diễn hình học của số phức ....................................................................................................... 25 
2.1 Biểu diễn hình học của số phức ................................................................................................ 25 
2.2 Biểu diễn hình học của Môđun ................................................................................................ 26 
2.3 Biểu diễn hình học các phép toán ............................................................................................. 26 
2.4 Bài tập............................................................................................................................... 29 
2.4 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 30 
3 Dạng lượng giác của số phức .......................................................................................................... 31 
3.1 Tọa độ cực của số phức ......................................................................................................... 31 
3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức ............................................................................................. 33 
3.2 Các phép toán trên dạng lượng giác số phức ............................................................................... 37 
3.4 Biểu diễn hình học của tích hai số phức ..................................................................................... 40 
3.5 Bài tập ............................................................................................................................... 41 
3.6 Đáp số và hướng dẫn ............................................................................................................. 44 
4 Căn bậc n của đơn vị .................................................................................................................... 45 
4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức ............................................................................................ 45 
4.2 Căn bậc n của đơn vị ............................................................................................................ 47 
4.3 Phương trình nhị thức ........................................................................................................... 51 
4.4 Bài tập............................................................................................................................... 52 
4.5 Đáp số và hướng dẫn .................................................................................................................. 53 
1
 Có thể click chuột lên tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 4 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 5 
1. Dạng đại số của số phức 
1.1 Định nghĩa số phức 
Xét 2 {( , ) | , }R R x y RR x y . 
Hai phần tử 1 1( , )x y và 2 2( , )x y bằng nhau ⇔ 
1 2
1 2
x x
y y
 . 
∀ 1 1 2 2, ),( ( , )xy yx ∈ ℝ
2
: 
Tổng 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y ∈ ℝ
2
. 
Tích 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( , ).( , ) ( , ).z x y x y x yz xy y yx x ∈ ℝ
2
. 
Phép toán tìm tổng hai số phức gọi là phép cộng. 
Phép toán tìm tích hai số phức gọi là phép nhân. 
Ví dụ 1. 
a) 1 2( 5,6), (1, 2)z z 
1 2 ( 5,6) (1, 2) ( 4,4)z z . 
1 2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16)z z . 
b) 
1 2
1 1 1
( ,1), ( , )
2 3 2
zz 
1 2
1 1 1 5 3
( ,1 ) ( , )
2 3 2 6 2
z z 
1 2
1 1 1 1 1 7
( , ) ( , )
6 2 4 3 3 12
z z 
Định nghĩa. Tập ℝ2, cùng với phép cộng và nhân ở trên gọi là tập số phức ℂ . Phần tử (x,y)∈ℂ 
gọi là một số phức. 
1.2 Tính chất phép cộng 
(1) Giao hoán: 1 2 2 1 1 2, ,z z z z z Cz . 
(2) Kết hợp: 1 21 2 3 3 1 2 3() ,( ,),z z zz z z zz z C . 
(3) Tồn tại phần tử không: 0 (0,0) , 0 0 ,C z z z z C . 
(4) Mọi số có số đối: , : ( ) ( ) 0z C z C z z z z . 
Số 1 2 1 2( )z z z z : hiệu của hai số 1 2,z z . Phép toán tìm hiệu hai số gọi là phép trừ, 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )z x y x x yz y x y ∈ ℂ. 
1.3 Tính chất phép nhân 
(1) Giao hoán: 1 2 2 1 1 2,. . ,z z z z Cz z . 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 6 
(2) Kết hợp: 
1 21 2 3 3 1 2 3( . ). . .( ) ,, ,z z z z z Cz z z z . 
(3) Tồn tại phần tử đơn vị: 1 (0,1) , .1 1. ,C z z z z C . 
(4) Mọi số khác 0 có số nghịch đảo: * 1 1 1, : . . 1z C z C z z z z . 
Giả sử *( , )z x y C , để tìm 1 ( ', ')z x y , 
( , ).( ', ' ,
0
)
1
) (1 0
xx yy
yx
x y
xy
x y . Giải hệ, cho ta 
2 2 2 2
,'
x y
y
x y
x
x y
. Vậy 
1
2 2 2 2
1
( , )z
x y
z x y x y
Thương hai số 1 1 1( , ), ( , )x y zz x y ∈ ℂ*là 
11 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
. ( , ).( , ) ( , )
z x y x x y y x y y x
z z x y C
z x y x y x y x y
. 
Phép toán tìm thương hai số phức gọi là phép chia. 
Ví dụ 2. 
a) Nếu (1,2)z thì 
1
2 2 2 2
1 2 1 2
( , ) ( , )
1 2 1 5 52
z . 
b) Nếu 1 2(1,2), (3,4)zz thì 
1
2
3 8 4 6 11 2
9 16 9 1
( , ) (
5
)
6 2 25
,
z
z
. 
Lũy thừa số mũ nguyên của số phức: z∈ ℂ*, 
 0 1 2 . .1; ; . ;
n
nz z z z z zz z z z , n nguyên dương. 
1( )n nzz , n nguyên âm. 
0 0n , mọi n nguyên dương. 
(5) Tính phân phối của phép nhân với phép cộng: 
1 2 3 1 3 1 22 31.( ) . . , , ,z z zz z z z zz z C 
Những tính chất trên của phép nhân và cộng, chứng tỏ ℂ cùng hai phép toán cộng và nhân là 
một trường. 
1.4 Dạng đại số của số phức 
Dạng đại số của số phức được nghiên cứu sau đây: 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 7 
Xét song ánh
2
{0}, ( ): ( ,0)R f xf R x . 
Hơn nữa 
( ,0) ( ,0) ( ,0)x y x y ; ( ,0).( ,0) ( ,0)x y xy . 
Ta đồng nhất 
(x,0)=x. 
Đặt i=(0,1) 
( , ) ( ,0) (0, ) ( ,0) ( ,0).(0,1)z x y x y x y 
( ,0) (0,1)( ,0)x yi x y x iy . 
Định lý . Số phức bất kỳ z=(x,y) được biểu diễn duy nhất dạng z=x+yi, x,y∈ ℝ , 
trong đó i2=-1. 
Hệ thức i2=-1, được suy từ định nghĩa phép nhân : 
2 . (0,1).(0,1) ( 1,0) 1i i i . 
Biểu thức x+yi gọi là dạng đại số của số phức z=(x,y). Do đó: 
 2{ | , , 1}C x yi x R y R i . 
 x=Re(z): phần thực của z. y=Im(z): phần ảo của z. Đơn vị ảo là i. 
(1) Tổng hai số phức 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ) (( )z i iz x y x y x x y y i C . 
Tổng hai số phức là một số phức , mà phần thực ( phần ảo) của nó bằng tổng hai phần thực 
(phần ảo) của hai số đã cho. 
(2) Tích hai số phức 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ).. ) (( ) ( )z x y x y xz i y x i Ci x xyy y . 
(3) Hiệu hai số phức 
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ) (( )z i iz x y x y x x y y i C . 
Hiệu hai số phức là một số phức , mà phần thục ( phần ảo) của nó bằng hiệu hai phần 
thực(phần ảo) của hai số phức đã cho. 
Khi thực hành cộng, trừ , nhân số phức thực hiện tương tự quy tắc tính đa thức chỉ cần lưu ý 
2 1i là đủ. 
Ví dụ 3. 
a) 1 25 6 , 1 2i iz z 
1 2 ( 5 6 ) (1 2 ) 4 4z z i i i . 
1 2 ( 5 6 )(1 2 ) 5 12 (10 6) 7 16z i i iz i . 
b) 
1 2
1 1 1
,
2 3 2
i z iz 
2
 f là một đẳng cấu 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 8 
1 2
1 1 1 1 1 1 5 3
( ) ( ) (1 )
2 3 2 2 3 2 6 2
z i i iz i 
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 7
( )( ) ( )
6 2 4 3 3 122 3 2
z i i i iz . 
1.5 Lũy thừa của đơn vị ảo i 
0 1 2 3 2
3 4 74 5 6 5 6
1; ; 1; . ,
. 1; . ; . 1; .
i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i
i
i
. 
Bằng quy nạp được : 
4 4 1 4 2 4 31; ; 1; ,n n n ni ii iii ∀ n∈ ℕ* 
Do đó 
{ 1,1, , }ni i i , ∀ n∈ ℕ . 
 Nếu n nguyên âm , có 
1 1 ( )( ) ( ) .n n n ni i
i
i 
Ví dụ 4. 
a) 
105 23 20 34 4.26 1 4.5 3 4.5 4.8 2 1 1 2i i i ii i ii i i . 
b) Giải phương trình : 3 18 26 , , ,i z xz yi x y Z . 
Ta có 
3 2 2 2( ) ( )( ( 2 )() )x yi x yi x y xyi xx yiyi 
3 2 2 33 ) (3 ) 18 26 .( xy x y y i ix 
Sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau, được: 
3 2
2 3
3 18
3 26
x xy
x y y
Đặt y=tx, 2 3 3 2) 26(18(3 3 )y y x yx x ( cho ta x≠ 0 và y≠ 0) 
⇒ 3 2)1 2 1 38(3 6( )t tt ⇒ 2(3 1)(3 12 13) 0.t t t 
Nghiệm hữu tỷ của phương trình là t=1/3. Do đó 
x=3, y=1⇒ z=3+i. 
1.6 Số phức liên hợp 
Cho z=x+yi. Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp của z. 
Định lý. 
(1) z z z R , 
(2) z z , 
(3) .z z là số thực không âm, 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 9 
(4) 
1 2 1 2z z z z , 
(5) 
1 2 1 2. .z z z z , 
(6) 1 1( )z z , *z C , 
(7) 1 1
2 2
z z
z z
, *
2z C , 
(8) Re( ) Im(z),
2 2
=
z z z
z
z
i
Chứng minh. 
(1) .z x yi x iz y 
Do đó 2yi=0⇒ ... gmail.com Page 42 
a) 
1 6 6 3;z i 
b) 
2
1 3
;
4 4
z i 
c) 3
2
;
2
1 3
z i 
d) 
4 9 9 3;z i 
e) 5 3 2 ;z i 
f) 6 4z i 
6. Viết các số sau dưới dạng cực 
a) 1 cos sin , [0,2 )z aa i a , 
b) 2 sin (1 cos ), [0,2 )z aa i a , 
c) 3 cos sin (sin cos ), [0,2 )a a az i aa , 
d) 4 1 cos sin , [0,2 )z aa i a . 
7. Sử dụng dạng cực của số phức để tính tích sau đây 
a) 
1 3
)( 3( 3 )(2 3 2 );
2 2
i i i 
b) (1 )( 2 2 )i i i ; 
c) 32 ( 4 ) 3 34 ( )i ii ; 
d) 3(1 )( 5 5 )i i 
Mô tả các kết quả dạng đại số 
8. Tìm | |,arg , , ,arg( )arg zz z Argz z 
a) (1 )(6 6 )z i i ; 
b) ) )(7 17 3 (iz i . 
9. Tìm |z| và argument cực của z: 
a) 
8
6
6
8
(2 3 2 ) (1 )
(1 ) (2 3 2 )
i
z
i
i i
, 
b) 
4
10 4
( 1 )
( 3 ) (
1
2 3 2 )
i
i i
z , 
c) ( )(1 3) 1 3n niz i . 
10. Chứng tỏ công thức Moivre đúng với số nguyên âm 
11. Tính 
a) cos sin ) , [0,2 ),(1 na ai a n N , 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 43 
b) 
1
,n
n
z
z
 nếu 
1
3.z
z
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 44 
3.6 Đáp số và hướng dẫn 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 45 
4 Căn bậc n của đơn vị 
4.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức 
Xét số nguyên n≥ 2 và số phức 0w . Như trong trường số thực ℝ , phương trình 
0nz w 
được dùng định nghĩa căn bậc n của số w. Ta gọi nghiệm z của phương trình là một căn bậc n 
của w. 
Định lý. Cho (cos sin )w r i là số phức với r>0 và θ∈ [0,2π). 
Căn bậc n của w gồm n số phân biệt, cho bởi 
2 2
(cos sin ), 0,1, , 1nkz
k k
r i k n
n n
. 
Chứng minh. Biểu diễn số phức z dạng lượng giác, tức là 
cos( sin ).z i 
Theo định nghĩa, ta có nz w , nên 
(cos sin ) (cos sin )n n i n r i 
Do đó 
2
, 2 , ,n n kr n k k Z r k
n n
. 
Vậy nghiệm phương trình có dạng 
(c i )s n ,osnk k kz ir k Z 
Lưu ý rằng 0 1 1 20 n . Do đó , {0,1, , 1}k k n là argument cực . 
Bởi tính duy nhất của tọa độ cực, Ta có n nghiệm phân biệt của phương trình là 
0 1 1, , , nzz z . 
Đến đây ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. 
Với số nguyên k bất kỳ, lấy k chia cho n có thương q và số dư r, tức là k=nq+r, q∈ Z, 
r∈{0,1,2,,n-1} 
2 2
( ) 2 2k rnq r r q q
n n n n
. 
Rõ ràng k rz z . Do đó 
0 1 1{ , } { , , , }k nz k Z z z z . 
Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt. 
Biểu diễn hình học các căn bậc n của w≠ 0 (n≥ 3) là đỉnh của một n giác đều nội tiếp đường tròn 
tâm O bán kính n r , r=|w|. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 46 
Để chứng minh điều này, ký hiệu 0 0 1 1 1 1( ), ( ), , ( )n nz M zM M z . Bởi vì 
| | , {0,1, , 1} (0, )n nk k kz r k nO M C rM . Mặt khác , số đo cung 

1k kM M bằng 
1
2( 1) ( 2 ) 2
, {0,1, , }g 2ar k k
k k
argz k n
n n
z . 
⇒ 
1 0nM M bằng 
2 2
( 1)2 n
n n
. 
Bởi vì các cung  20 01 1 1, , , nMM MM MM bằng nhau nên đa giác 0 1 1nMM M đều. 
Ví dụ 16. Tìm các căn bậc ba của z=1+i và biểu diễn chúng lên mặt phẳng phức. 
Dạng lượng giác của z là 
2(cos sin )
4 4
iz . 
Các căn bậc ba của z 
6 2 22[cos( ) s
12 12
in( )], 0,1,2
3 3
k k i k kz 
⇒ 60
12
2(cos sin )
12
,iz 
6
1
4
3 3
2
4
(cos sin ),iz 
6
2
12
17 17
2(cos sin )
12
,iz 
Dùng tọa độ cực, các điểm biểu diễn 0 1 2, ,z z z lần lượt là 
6
0 ( 2, )
12
M , 61
3
( 2,
4
)M , 62
17
( 2, )
12
M 
Tam giác đều biểu diễn kết quả hình 2.6 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 47 
4.2 Căn bậc n của đơn vị 
Một nghiệm phương trình 1 0nz gọi là một căn bậc n của đơn vị. 
Biểu diễn 1 dưới dạng lượng giác , cos0 0,1 sini từ công thức tìm căn bậc n của số 
phức, ta có căn bậc n của đơn vị là 
2 2
cos sink
k k
i
n n
, {0,1, , 1}k n . 
⇒ 0 cos0 sin 0 1i , 
1
2 2
cos sini
n n
. (đặt 
2 2
cos sini
n n
) 
2
2
4 4
cos sini
n n
, 
... 
1
12( 1) 2( 1)cos sin nn
n n
i
n n
. 
Ký hiệu 2 1{1, , , , }nnU ,cũng cần nhắc lại 
2 2
cos sini
n n
. 
Như phần trước đã đề cập, Biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị (n≥ 3) là các điểm tạo 
thành một n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1. 
Chẳng hạn 
i) Với n=2, hai căn bậc hai của 1(nghiệm phương trình 2 1 0z ) là -1,1. 
ii) Với n=3, căn bậc ba của 1( nghiệm phương trình 3 1 0z )cho bởi 
2 2
cos sink
k k
i
n n
, k∈ {0,1,2}, 
⇒ 0 1 , 
1
2 2 1 3
cos sin
3 3 2 2
i i , 
2
2
4 4
3 3
1 3
cos sin
2 2
i i 
Biểu diễn lên mặt phẳng phức được tam giác đều nội tiếp đường tròn ℭ (O,1). 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 48 
iii) Với n=4, các căn bậc bốn của 1 là 
2 2
cos sin , {0,1,2 3}
4 4
,k
k k
i k . 
Ta có 
0 cos0 sin 0 1i , 
1 cos sin
2 2
ii , 
2 cos sin 1i , 
3
3 3
cos sin
2 2
i i . 
Tức là 2 3
4 {1, , , } {1, , 1, }i i iU i i . Biểu diễn hình học của chúng là hình vuông nội tiếp 
đường tròn ℭ (O,1). 
Số nk U gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị , nếu mọi số nguyên dương m<n ta có 
1mk . 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 49 
Định lý. 
a) Nếu n|q thì nghiệm bất kỳ của 1 0nz cũng là nghiệm 1 0qz . 
b)Các nghiệm chung của phương trình 1 0mz và 1 0nz là các nghiệm của 
1 0dz , d=UCLN(m,n), tức là m n dU U U . 
c)Các nghiệm nguyên thủy của 1 0mz là 
2 2
cos sin , 0 , ( , ) 1k
k k
i k m UCLN k m
m m
. 
Chứng minh. 
a)Nếu q=pn thì ( 1)1 ( ) 1 ( 1)( 1)q n p n q nz z z z z . Do đó điều phải chứng 
minh là hệ quả trực tiếp suy từ hệ thức trên. 
b)Xét 
2 2
cos sinp
p p
i
m m
 là một nghiệm của 1 0mz và 
2 2
cos si' nq
q q
i
m m
là một nghiệm của 1 0nz . Bởi vì 
| | 1| ' |p q , ta có 
,
p q
2 2
2 , .
n
p q
r r Z
m
Cho ta 
p q
r pn qm rmn
m n
. 
Mặt khác, ' , ' , ( ', ') 1.m m d n n d UCLN m n 
pn qm rmn n p m q rm n d . 
|' | ,' 'm p p pm p m Zn p và 
2 2 ' ' 2 '
arg
'
p
p p m p
m m d d
 và 1dp . 
Ngược lại , | , |d m d n , bất kỳ nghiệm của 1 0dz là nghiệm của 1 0mz và 
1 0nz (tính chất a). 
c)Trước hết ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất p sao cho 1.pk Từ hệ thức 1.
p
k
Suy ra 
2
2
kp
k
m
, k’∈ ℤ . Tức là '
kp
k Z
m
. Xét d=UCLN(k,m) và k=k’d, m=m’d, ở đây 
UCLN(k’,m’)=1. Ta có 
k pd k p
Z
m d m
. Bởi vì k’ và m’ nguyên tố cùng nhau , ta có m’|p. 
Do đó số nguyên dương nhỏ nhất p thỏa mãn 1pk là p=m’. Kết hợp với hệ thức m=m’d suy 
ra , ( , )
m
d UCp LN k m
d
. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 50 
Nếu k là căn nguyên thủy bậc m của đơn vị, thì từ hệ thức 1,
( , )
p
k
m
p
UCLN k m
suy 
ra p=m, tức là UCLN(k,m)=1. 
Lưu ý . 
Từ b) ta thu được phương trình 1 0mz và phương trình 1 0nz có nghiệm chung duy 
nhất là 1 nếu và chỉ nếu UCLN(m,n)=1. 
Định lý. Nếu nU là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì các nghiệm của phương trình 
1 0nz là 
1 1, ,r r r n , r là một số nguyên dương cho trước. 
Chứng minh. Cho r là một số nguyên dương và {0,1, , 1}h n . Khi đó 
( () 1)n n r hr h , tức là r h là một nghiệm của 1 0
nz . 
Chỉ cần chứng minh 1 1, , ,r r nr phân biệt. Giả sử không phân biệt, tức tồn tại 
1 2 1 2,r hr hh h mà 
1 2 .r h r h Khi đó 2 1 2( 1) 0r h h h . Nhưng 
2 0r h 1 2 1h h . Đối chiếu với 1 20 nh h và ω là một căn nguyên thủy bậc n 
của đơn vị, ta có mâu thuẩn. 
Bài tập 15. Tìm số cặp thứ tự (a,b) các số thực sao cho 2002( )a b ii a b . 
Lời giải. Đặt z=a+bi⇒ 2 2,| |z a bi z a b . Hệ thức đã cho trở thành 2002z z . 
2002 2002 2001| | | | | | || | | (| | 1) 0.z z z z zz 
Do đó |z|=0, tức là (a,b)=(0,0) hoặc |z|=1. Trong trường hợp |z|=1, ta có 
2002 2003 2. | | 1z z z zz z . 
Do phương trình 2003 1z có 2003 nghiệm phân biệt⇒ có 2004 cặp thứ tự theo yêu cầu. 
Bài tập 16. Hai đa giác đều cùng nội tiếp trong một đường tròn. Đa giác thứ nhất có 1982 cạnh, 
đa giác thứ hai có 2973 cạnh. Tìm số đỉnh chung của hai đa giác đó. 
Lời giải. Số đỉnh chung bằng số nghiệm chung của hai phương trình 
1982 29731 0, 1 0zz . Ứng dụng định lý trên, số nghiệm chung là 
(1982,2973) 991.d UCLN 
Bài tập 17. Cho nU là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị và z là số phức sao cho 
| 1, 0,1 1| , ,k k nz . Chứng minh 0z . 
Lời giải. Từ giả thiết , được 
( )( ) 1k kzz 2| | , 1, 0,1,k kz z kz n . Lấy tổng các hệ thức trên, 
1 1
2
0 0
( 0.| ) .|
n n
k k
k k
n zz z 
Do đó z=0. 
Bài tập 18. Cho 0 1 1nPP P là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 51 
a) 0 1 0 2 0 1. nP P P P PP n 
b) 
1
2 ( 1)
sin sin sin
2n
n n
n n n
c) 
1
3 (2 1)
sin sin sin
2 2 2 2
1
n
n
n n n
Lời giải. 
a)Không mất tổng quát, giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của 
đơn vị, 0 1P . Xét đa thức 
11 ( 1)( ) ( )n nz z zf z , 
2 2
cos sini
n n
. 
Rõ ràng 
2 1(1 )(1'(1 ) 1 )) ( nn f . 
Lấy Môđun hai vế được kết quả. 
b)Ta có 
22 2cos sin 2sin 2 sin cos
2sin (sin cos
1 1
)
k k k k k ki i
n n n n n
k k k
i
n n n
Do đó | 2sin , 1,1 2, , 1| k
k
k n
n
. Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh. 
c)Xét đa giác đều 0 1 2 1nQQ Q nội tiếp trong đường tròn , các đỉnh của nó là điểm biểu diễn 
hình học của căn bậc 2n của đơn vị. Theo a) 
0 1 0 2 0 2 1. 2nQ Q QQ Q Q n 
Bây giờ xét đa giác đều 0 22 nQ Q Q , ta có 0 0 42 0 2 2. nQ QQ QQ Q n 
Do đó 0 1 0 3 0 2 1. 2nQ Q QQ Q Q . Tính toán tương tự phần b) ta được 
0 2 1
(2 1)
2sin , 1,2
2
k
k
Q k
n
Q n và ta có điều phải chứng minh 
4.3 Phương trình nhị thức 
Phương trình nhị thức là một phương trình có dạng 0nz a , n∈ ℕ và n≥ 2. Giải phương 
trình là tìm căn bậc n của số phức –a. Đây là một dạng đơn giản của phương trình bậc n hệ số 
phức. Theo định lý cơ bản, phương trình có đúng n nghiệm. Và cũng dễ thấy trong trường hợp 
này phương trình có n nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 17. 
a) Giải phương trình 3 8 0z . 
co8 8( s sin )i , các nghiệm là 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 52 
2 2
2(cos sin ), 0,1,2
3 3
k
k k
i kz . 
b) Giải phương trình 6 3(1 ) 0z iz i . 
Phương trình tương đương với 
3 31)( ) 0( zz i . 
Giải phương trình nhị thức 3 31 0, 0iz z có các nghiệm 
2 2
cos sin , 0,1,2
3 3
k
k k
i k và 
2 2
2 2cos sin , 0,1,2
3 3
k
k k
i kz . 
4.4 Bài tập 
1. Tìm các căn bậc hai của z 
a) 1z i ; 
b) z i ; 
c) 
1
2 2
z
i
; 
d) 2(1 3)z i ; 
e) 7 24z i . 
2. Tìm các căn bậc ba của z 
a) z i ; 
b) 27z ; 
c) 2 2z i ; 
d) 
1 3
2 2
z i ; 
e) 18 26z i . 
3. Tìm các căn bậc bốn của z 
a) 122z i ; 
b) z 3 i ; 
c) z i ; 
d) 2z i ; 
e) 7 24z i . 
4. Tìm căn bậc 5,6,7,8, 12 các số trên. 
5. Cho 0 1 1{ , , , }n nU
4
 là các căn bậc n của đơn vị. Chứng minh 
4
 Un cùng với phép nhân là một nhóm Abel. Nó còn là nhóm xyclic sinh bởi căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 53 
a) , {0,1, , 1},j k nU j k n ; 
b) 1 , {0,1, , 1}j nU j n . 
6. Giải phương trình 
a) 3 125 0z ; 
b) 4 16 0z ; 
c) 3 64 0z i ; 
d) 3 27 0z i . 
7. Giải phương trình 
a) 7 4 32 2 0z iz iz ; 
b) 6 3 1 0izz i ; 
c) 6 1 02 3 ) 5( i z i ; 
d) 10 5( 2 ) 2 0iz z i . 
8. Giải phương trình 
4 25( 1)( 1)z zz z . 
4.5 Đáp số và hướng dẫn 
Bài tập số phức 
Lê Lễ -suphamle2341@gmail.com Page 54