Bài tập rèn luyện hình học giải tích trong không gian

BÀI TẬP RÈN LUYỆN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 
Bài 1: 
 Trong Kg(Oxyz), cho hình hộp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại 
 gốc O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. 
 1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. 
 2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm M. Tính thể tích khối 
 chóp S.ABMN. 
Kết quả: 
 1) ( ) 0 2 6SA,BM 30 ,d(SA,BM)
3
= = 
 2) V 2= 
Bài 2: 
 Trong Kg(Oxyz), cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Biết A(a,0,0), B(-a;0;0), 
 C(0;1;0), B'(-a;0;b), a>0, b>0. 
 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C và AC' theo a, b. 
 2) Cho a, b thay đổi mà a+b=4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 B'C và AC' lớn nhất. 
Kết quả: 
 1) 
2 2
abd(B 'C,AC')
a b
= + 
 2) a b 2= = 
Bài 3: 
 Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0, C(0;0;c) với a, b,c là ba số dương 
 thay đổi và luôn thỏa mãn 2 2 2a b c 3+ + = . Xác định a, b, c sao cho khoảng 
 cách từ điểm O(0;0;0) đến mặt phẳng (ABC) là lớn nhất. 
Kết quả: a b c 1= = = 
Bài 4: 
 Trong Kg(Oxyz), lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(3;1;1) và cắt các tia Ox, 
 Oy, Oz tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. 
Kết quả: x y z 1
9 3 3
+ + = 
Bài 5: 
 Trong Kg(Oxyz) cho hai điểm A(-1;3;-2) và B(-9;4;9) và mặt phẳng 
 (P):2x y z 1 0− + + = . 
 1) Chứng minh A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P) 
 2) Tìm điểm M (P)∈ sao cho MA+MB nhò nhất 
Kết quả: 
 2) M( 1;2;3)− 
Bài 6: 
 Trong Kg(Oxyz) cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A'(0,0,1). 
 Gọi M, N là trung điểm của AB, CD. 
 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN. 
 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với Oxy góc α mà 1cos
6
α = 
Kết quả: 
 1) 2d(A 'C,MN)
4
= 
 2) 2x y z 1 0;x 2y z 1 0− + − = − − + = 
Bài 7: 
 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng 
x t
(d) : y 1 2t
z 2 t
⎧⎪ = −⎪⎪⎪⎪ = − +⎨⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎩
 và tạo với mặt phẳng 
 (Q) : 2x y 2z 2 0− − − = một góc nhỏ nhất. 
Bài 8: 
 Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng (P) có phương trình x y z 3 0+ + + = , đường thẳng (d) có phương 
 trình x 1 y 2 z
1 2 1
+ −= =− và các điểm A(3,1,1), B(7,3,9), C(2,2,2) 
 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và song song với mặt phẳng (P). 
 2) Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho MA 2MB 3MC+ +JJJG JJJG JJJG nhỏ nhất. 
(Toán học tuổi trẻ tháng 3/2009) 
Bài 9: 
 Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : 3x 2y z 4 0α + − + = và hai điểm A(4;0;0), và B(0;4;0). Gọi I là 
 trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng ( )α và xác 
 định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng ( )α , đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt 
 phẳng ( )α . 
(Toán học tuổi trẻ tháng 3/2009) 
Bài 10: 
 Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( )
x 2 3t
d : y 2t
z 4 2t
⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪⎪ = +⎪⎪⎩
 và hai điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3). Tìm trên đường 
 thẳng (d) những điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó đến A và B là nhỏ nhất. 
(Toán học tuổi trẻ tháng 1/2009) 
Bài 11: 
 Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0,0,3). Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC 
(Toán học tuổi trẻ tháng 2/2009) 
Bài 12: 
 Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( )P : x 2y 2z 1 0+ − + = và hai điểm A(1;7;-1), B(4;2;0) 
 Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) 
(Toán học tuổi trẻ tháng 2/2009)