Bài tập PT, BPT, HPT, BĐT mũ – logarit
A. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
1. Cho PT
a) Giải PT khi m = 2.
b) Tìm m để PT đã cho có nghiệm trên
2. Tìm m để PT sau có nghiệm
Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 1 1 A. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 1. Cho PT 2 23 3log x log x 1 2m 1 0.+ + − − = a) Giải PT khi m = 2. b) Tìm m ñể PT ñã cho có nghiệm trên 31;3 . 2. Tìm m ñể PT sau có nghiệm 2 21 1 x 1 1 x9 (m 2).3 2m 1 0.+ − + −− + + + = 3. Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên (0; 1) 2 2 1 2 4log x log x m 0.− + = 4. Chứng minh phương trình x 1 xx (x 1)+ = + có nghiệm dương duy nhất. 5. Giải các phương trình sau 3 2 2 2 8 4 22 2(3x)(27x ) x x 2 x x x 5 2 x 2x 1 x x x x x x x 1 11) log (x 3) log (x 1) log 4x. 2 4 2) 16log x 3log x 0. 3) 2 2 3. 4) log (5 4) 1 x. ln x5) f '(x) 0 khi f (x) . 6) 2 .3 1. x 12 15 207) 3 4 5 . 5 4 3 8) − + − − − + + − = − = − = − = − = = = + + = + + 2 2 2 2 x x x x 2x x x x x 2x 2x x x 1 x x 2 4 2 3 1 82 2 x x 1 x x 2 2 4.2 2 4 0. 9) 3 4 5 . 10) log 2 2log 4 log 8. 11) 4 2 2(2 1)sin(2 y 1) 2 0. 112) 2(log x 1) log x log 0. 4 13) log x 1 log (3 x) log (x 1) 0. 14) 9 10.3 1 0. 15) + − + + − + − − − + = + = + = − + − + − + = + + = + − − − − = − + = 2 2 2 x x 2x x x 2x 4x 2x x x 2 2 9 3 x x 3x 1 x x x 1 1 1 2 2 2 2co 3 .2 1. 16) 4 2.4 4 0. 17) 3 4.3 3. 18) 1 log (9 6) log (4.3 6). 19) log (x 8) log (x 26) 2 0. 20) 125 50 2 . 21) 8 18 2.27 . 22) log (x 1) log (x 1) log (7 x) 1. 23) 6.9 + + = − + = − = − + − = − + − + + = + = + = − + + − − = 2 2 2 s x cos x 1 2cos x cos x 1 2cos x cos x 1 13.6 6.4 0. − + − + − + − + + = x x x x 2 2 2 3 x 16x 4x 2 2 3 2 27 93 x x 1 2 1 2 x x 2x 1 24) 3 2 3x 2. 25) 3 5 6x 2. 26) ln(2x 3) ln(4 x ) l n(2x 3) ln(4 x ) . 27) log x 14.log x 40.log x 0. 1 x 128) log (x 5x 6) log log (x 3) . 2 2 29) log (4 4) x log (2 3). 30) 9 6 2 . + + + = + + = + − + − = − + − − + = − − + = + − + = − − + = 2 2 3 27 9 81 2 x 25 x x x x 2 2 1 42 2 x x 2 1 2 2 2 2 x 1 log x 1 log x 31) . 1 log x 1 log x 32) log (125x).log x 1. 33) 8 3.2 16 0. 134) log (x 1) log (x 5) log (3x 1) . 2 35) log (e 2) log (e 3) 3. 36) log (x 1) 6 log x 1 2 0. 337) log 3 4 − − + + + = + + = − − = − − + = + − + − = + − + + = − ( ) ( ) 2 2 27 3 x x 2 2 x x x x x 2x x x 2 2 2x 1 x 1 x x x x 4 2 2x 1 3.log x 2 log x. 138) log (4 15.2 27) 2 log 0. 4.2 3 39) 2 4.2 2 4 0. 40) 2 1 2 1 2 2 0. 41) log (2x x 1) log (2x 1) 4. 42) 3.8 4.12 18 2.27 0. 1 143) log (x 1) log x 2. log 4 2 44) + − − + + = + + + = − − − + = − + + − = + − + − = + − − = − + = + + 2 3 3 3 9x 3 x x 2 x sin(x ) x 4 2 3x 1 2x x x 3 2 1 2 log (x 1) log (2x 1) 2. 445) (2 log x) log 3 1. 1 log x 46) e e 2 ln(x 1 x ). 2 147) log 1 x 2 . 48) e tan x.| x | 49) 2 7.2 7.2 2 0. 1 650) 3 log (9x ). log x x 51) 2 log 2x 2 log (9x 1 − pi − + − + − = − − = − − = + + − = + − = − + − = + = − + + − 3x 1) log (3x 1).−= − Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 2 2 6 2 2 2 2 2x 1 x 1 x x 1 5log (3x)x x x 1 7 2 2 3x 7 2x 3 log (2x) log 6 log (4x ) 2 7 2 7 3 52) 5.3 7.3 1 6.3 9 0. 53) 12.3 3.15 5 20. 54) x 36. x 0. 55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21) 4. 56) 4 x 2.3 . 57) log x 2log x 2 log x.log x. 58) log − − + + + + − + − + = + − = − = + + + + + = − = + = + 2 2 2 a 2 a 2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 4 5 x x 3( ) x 3x 2. 2x 4x 5 59) log x log x log x log x. 60) (log 2x log 2x) log x x 2 (log log )log x 2. 2 x 61) log (x x 1).log (x x 1) + + = + + + + + = + + + + = − − + − = 2 2 2 2 2 20 x x 1 x 2 x 3 log 2x log x 2x 1 x 2 x 1 x 3 log x log 3x x x log (x x 1). 62) log (9 5.3 ) 4. 63) log (log (9 6)) 1. 64) 3 2 9 2 0. 65) 3 2 3 . 66) log (9 4.3 2) 3x 1. 67) 6.4 13.6 6.9 0. 68) 27 x 30. 68 + − − + = − − + = − = − − + = = + − − = + − + = + = x x 2 2 x x x x x x x x x( 6 35 ) ( 6 35 ) ) log (2 4) x log (2 12) 3. 69) ( 3 8 ) ( 3 8) 6. 70) 3.4 2.9 5.6 . 71) 12. 72)4 6.2 32 0.+ − + − = + − + + − = + = + = − + = 6. Cho phương trình 2 2 2(x 1).log (x 3) 2m. 2x 2.log (x 3) m 1 0.+ + − + + + + = a) Giải phương trình khi m = -1. b) Tìm m ñể PT có nghiệm trên [ ]1;1 .− 7. Tìm ñể ñể phương trình sau có nghiệm dương duy nhất: x x xm( 5 1) (m 2)( 5 1) (2m 1).2 .+ + + − = + 8. Cho phương trình x x4 4m.(2 1) 0.− − = a) Giải PT khi m = 1. b) Tìm m ñể PT có 2 nghiệm trái dấu. 9. Chứng minh PT x 24 (4x 1) 1+ = có ñúng 3 nghiệm thực phân biệt. 10. Tìm m ñể PT sau có nghiệm trên [ )32; :+∞ 2 2 2 2 1 4 2 log x log x 3 m(log x 3).+ − = − 11. Gải biện luận theo m phương trình 2 2x 2mx 2 2x 4mx m 2 2a) 5 5 x 2mx m.+ + + + +− = + + 2x mx m x x x b) log m log m log m 0. c) m 2 m 2 m. + + = + + − = 12. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 22 x x 4 :< ≤ < 2 1 1 2 2 (m 1) log (x 2) (m 5) log (x 2) m 1 0.− − − − − + − = 13. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 2 21 2x x 1:+ > 2 2 2 2 4 1 2 2log (2x x 2m 4m ) log (x mx 2m ) 0.− + − + + − = 14. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 5 2 5 2log (x mx m 1) log x 0.+ −+ + + + = 15. Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: x x 1(m 1).4 (3m 2).2 3m 1 0.++ + − − + = B. BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 16. Giải các bất phương trình 2 2 x 2x 1 x 1 1 3 x 2 2 x 1 x x 1 2 3 1 1 2 x 1 2 4 1 3log x log x 2 2 x 1) log (4 4) log (2 3.2 ). 2) log x log 3. 3) 15.2 1 2 1 2 . 4) log x log (x 1). 5) log x 2.log (x 1) log 6 0. 6) log ( 2x) 2. 7) f '(x) 0 khi f (x) x log 2. 8) 2x 2 . 9 + + + + + ≥ − > + ≥ − + ≤ + + − + ≤ − > ≤ = ≥ 2 2 x x 2 5 5 5 1 x x x 1 1 x 1 x 2 4 0,5 2 16 2 x x x 1 43 2 x x 1 2 2 4 ) log (4 144) 4log 2 1 log (2 1). 10) 8 2 4 2 5. 11) 5 5 24. 12) log x 4log x 2(4 log x ). 13) log x log x 0. 14) 25 15 2.9 . 15) log (2 1) log (2 2) 2. 16) log log − + + + − + pi + − < + + + − + > − > + ≤ − + > + ≥ − − > 2 2 2 2 2 x 1 x 2x x x x x x2x 1 x x x2 2 2 2 x x x x 2 (x 2x x) 0. 2 4x 1617) 4. 18) 9 2. x 2 1 1 4 2 219) (x 2x 1).( ) 0. 20) 0. 3 4 2 23 log x log (2x 1)21) . 22) 5.4 +2.25 7.10 . log (2x 1) log x 23) 8 3.2 16 0. 24) − − − − − + + − < + − > − − + − − − − ≥ > − − +≤ ≤ + − − ≤ 2x 12log (2 1) x 1.− − ≤ − Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 3 3 2 1 5 5 x 12 x 1 x 1 1 2 x x 3 1 2 3 3 1 3 2 x 25) log (x 6x 8) 2log (x 4) 0. x 3x 226) log 0. 27) ( 5 2) ( 5 2) . x 2x 328) log (log (9 72)) 1. 29) log (log ) 0. x 1 30) 2.log (4x 3) log (2x 3) 2. x 1 331) ln ln(x x 1) 0. 32) log ( 2 − − + − + + − < − + ≥ + ≥ − + − ≤ ≥ + − + + ≤ + − − + > 2 2 2 5 5 2 2 1 2 2 2x 1 2x 1 x 2 x 3 3 2x 4x 2 2x x 1 2 x 4 2 x x 2 log x log x x x x 2) 1. x 2 1 133) log 2x 3x 1 log (x 1) . 2 2 34) 3 2 5.6 0. 35) log (3x) log x 11. 36) 2 16.2 2 0. 37) (log 8 log x ).log 2x 0. 2.3 238) 5 x 10. 39) 1. 3 2 40) + + − − − − + + > + − + + − ≥ − − ≤ + < − − ≤ + ≥ − + ≤ ≤ − 2 2 3 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 2 x 1 x x x 2 3 xlog (log ( 2log x 1) 3) 2 2 x x 9 0,7 4 4 x 1 2 logx.(log x logx 3) 0. 41) (x 1)log x (2x 5)log x 6 0. 142) 3 6.3 ( ) . 3 143) ( ) 1. 3 x x44) log (log (3 9)) 1. 45) log log 0. x 4 46) x 8.e x(x − − + − − + − + − + − ≥ + + + + ≥ + > ≥ + − ≤ < + − > 2 2 2 x 1 3 2 2 2 2 x 2 2 x 2 1 1 log x 4x x x 2x x x 2x x 1 x 2 0,5 .e 8). 47) log ( x 3 x 1) 2log x 0. 48) 3x 5x 2 2x 3 .2x. 3x 5x 2 (2x) .3 . 1 149) ( ) 3.( ) 12. 50) x 32. 3 3 51) 9 7.3 2. 3152) log log (2 16 − + + − − − − − − + − − + ≤ − − + + > > − − + + + > ≤ − ≤ − 2x 2 1 15 5 5 25 ) 2. 53)log (2x) 1. 54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5) 2 0. ≤ ≥ − + − + − + ≤ 17. Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với mọi x: x x 1 2 2 m a) 4 2(m 2).2 m 2m 2 0. b) log (x 2x m 1) 0. + − + + + + > − + + > 18. Cho bất PT x x 2m.4 (m 1).2 m 1 0.++ − + − > a) Giải bất phương trình khi 5m . 6 = b) Tìm m ñể bất PT nghiệm ñúng với mọi x. 19. Giải biện luận theo m bất phương trình 2 2m m mm m 2 1 2 1 a) log (log x) log (log x) log 2. 2 b) log (x mx 1) 1. + ≥ + + < 20. Tìm m ñể bất phương trình sau nghiệm ñúng với ( ] [ )x ;0 1; :∀ ∈ −∞ ∪ +∞ 2 2 2x x x x 1 x xm.4 (m 1).10 25 0.− − + −+ + − > 21. Cho bất PT x xm.9 4(m 1).3 m 1.+ − + > a) Giải BPT khi m = 2. b) Tìm m ñể BPT nghiệm ñúng với mọi x. 22. Tìm tập xác ñịnh của hàm số 2 5 2 2 (2 x) a) y 1 log (x 5.x 2). b) y log (x 2).log 2 2. : − = − + = + − 23. Tìm m ñể hệ 3 2 3 2 2 x 1 3x m 0 1 1log x log (x 1) 1 2 3 − − − < + − ≤ có nghiệm. 24. Tìm m ñể bất PT sau nghiệm ñúng với mọi x 0 :≤ x 1 x xm.2 (2m 1).(3 5) (3 5) 0+ + + − + + < 25. Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm 2 2 x m x mlog (x 1) log (x x 2).− −− > + − 26. Tìm x > 1 ñể BPT 22(x x) m log (x m 1) 1 + + − < nghiệm ñúng với mọi 0 m 4.< ≤ C. BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 27. Chứng minh với mọi a > 0 hệ PT sau có nghiệm duy nhất x ye e ln(1 x) ln(1 y) . y x a − = + − + − = 28. Chứng minh HPT sau có nghiệm dương duy nhất x 2 y 2 y e 2007 y 1 . x e 2007 x 1 = − − = − − Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 4 4 29. Giải các hệ phương trình 3x 2 2 y 1 x x 1 2 x 1 x 2 5y 4y x x 2x 2 3 1 1) . 2) .4 2 y y y 2y 2 3 1 2 2 − + − = − + − + = + + = + − + = + + y x x y 4 2 x 4 y 3 0 log xy log y 3) . 4) . log x log y 0 2 2 3 − + = = − = + = 3 2x y x 3 2x y y log (x 2x 3x 5y) 36 2.3 2 5) . 6) . log (y 2y 3y 5x) 36 .3 12 + − − = − = + − − == x y1 4 4 2 2 1log (y x) log 1 2 3.2 2 0y7) . 8) . y 1 x y 1 x y 25 − − = − + = − = − − + = x x x y 2 2 x 2 52 2 log y 2 .log y 5 3 .2 1152 9) . 10) . log (x y) 24 log y 5 − + + = = + =+ = x 2 3 y9 3 log (6x 4y) 2x 1 2 y 1 11) . 12) . log (6y 4x) 23log (9x ) log y 3 + =− + − = + = − = 2 2 2 2 2 4 2 ln(1 x) ln(1 y) y x log (x y ) 513) . 14) . x 12xy 2y 0 2log x log y 4 + − + = − + = − + = + = 2 2 2 2 x y x 1 ln(1 x) ln(1 y) x y 15) . x 12xy 2y 0 x y y x 16) . 2 2 x y+ − + − + = − − + = + = + − = − 17) 2 2 5 5 9x y 5 . log (3x y) log (3x y) 1 − = + − − = 18) 2 3 2 3 log x 3 5 log y 5 . 3 log x 1 log y 1 + − = − − = − 19) 2x y 2x y 22 23.( ) 7.( ) 6 .3 3 log(3x y) log(y x) 4log 2 0 − − + − − + + − = 20) x y 2 2 2 2 (y x)(xy 2) . x y 2 − = − + + = 21) 2x 1 y y 2 ln x ln y (y x)(xy 2011) . 2 2 (2x y 1)− − − = − + − = − − 22) x y 2 2 2 2 e e (log y log x)(xy 1) . x y 1 − = − + + = 23) 2 2 3 32log (x 16) log (x 16)2 2 24 .3x 1 cos 0 x 4 − − + = + < − D. BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT 30. Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng a b c a b c 1 1 1 a b c3( ). 3 3 3 3 3 3 + + ≥ + + 31. Cho a, b, c dương và thoả mãn a + b = c. CMR: a) Nếu x > 1 thì x x xa b c .+ < b) Nếu x 32. So sánh hai số epi và e.pi 33. Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, chứng minh rằng x x y y y x(a b ) (a b ) .+ < + 34. Chứng minh rằng 11 sin x cos x 2 3x1 2sin x tan x 2 2 x 2 x a) 2 2 2 , x . b) 2 2 2 , x (0; ). 2 x c) e 1 x , x 0. 2 xd) e cos x 2 x , x . 2 − + + ≥ ∀ ∈ pi + ≥ ∀ ∈ > + + ∀ > + ≥ + − ∀ ∈ ℝ ℝ 35. Tìm GTLN, NN của hàm số x a) y 2= trên ñoạn [ ]1;1 .− b) y x ln x= trên ñoạn 1 ;1 . e 2c) f (x) x ln(1 2x)= − − trên ñoạn [ ]2;0 .− d) f (x) x ln x 3= − + trên khoảng ( )0; .+∞ 2ln x e) g(x) x = trên ñoạn 31;e . 36. Cho hàm số 2x 1 2x 1 af (x) 1 a − − = + với a là hằng số dương. Với mỗi số nguyên dương n ta ñặt n 1 2 2nA f ( ) f ( ) ... f ( ). 2n 1 2n 1 2n 1 = + + + + + + Chứng minh rằng 2 n n 2n 2A ln( ), n *. 2 + + > ∀ ∈ℕ 37. Chứng minh rằng 2 2a) a ln b b ln a ln a ln b,− > − với 0 < a < b < 1. a a b b b ab) (2 2 ) (2 2 ) ,− −+ ≤ + với a b 0.≥ > a b c a b cc) 27 27 27 3 3 3 ,+ + ≥ + + với a + b + c = 0.
Tài liệu đính kèm: