Bài tập Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

 1 
Bài tập ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit – phần 1 
Bài I: Giải các ph-ơng trình: 
1. 
2x x 8 1 3x2 4- + -= 
2. 
2 5x 6x
22 16 2
- -
= 
3. x x 1 x 2 x x 1 x 22 2 2 3 3 3- - - -+ + = - + 
4. x x 1 x 22 .3 .5 12- - = 
5. 
22 x 1(x x 1) 1-- + = 
6. 2 x 2( x x ) 1-- = 
7. 
22 4 x(x 2x 2) 1-- + = 
Bài II: Giải các ph-ơng trình: 
8. 4x 8 2x 53 4.3 27 0+ +- + = 
9. 2x 6 x 72 2 17 0+ ++ - = 
10. x x(2 3) (2 3) 4 0+ + - - = 
11. x x2.16 15.4 8 0- - = 
12. x x x 3(3 5) 16(3 5) 2 ++ + - = 
13. x x(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ - - + = 
14. x x x3.16 2.8 5.36+ = 
15. 
1 1 1
x x x2.4 6 9+ = 
16. 
2 3x 3
x x8 2 12 0
+
- + = 
17. x x 1 x 2 x x 1 x 25 5 5 3 3 3+ + + ++ + = + + 
18. x 3(x 1) 1-+ = 
Bài III: Giải các ph-ơng trình: 
19. x x x3 4 5+ = 
20. x3 x 4 0+ - = 
21. 2 x xx (3 2 )x 2(1 2 ) 0- - + - = 
22. 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 22 3 5 2 3 5- + + ++ + = + + 
Bài IV: Giải các hệ ph-ơng trình: 
23. 
x y
3x 2y 3
4 128
5 1
+
- -
ỡ =ù
ớ
=ùợ
24. 
2
x y
(x y) 1
5 125
4 1
+
- -
ỡ =ù
ớ
=ùợ
 2 
25. 
2x y
x y
3 2 77
3 2 7
ỡ - =ù
ớ
- =ùợ
26. 
x y2 2 12
x y 5
ỡ + =
ớ
+ =ợ
27. 
x y x y
22 4
x y x y
23 6
m m m m
n n n n
- -
+ +
ỡ
- = -ù
ớ
ù - = -ợ
 với m, n > 1. 
Bài V: Giải và biện luận ph-ơng trình: 
28. x x(m 2).2 m.2 m 0-- + + = . 
29. x xm.3 m.3 8-+ = 
Bài VI: Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm: 
30. x x(m 4).9 2(m 2).3 m 1 0- - - + - = 
Bài VII: Giải các bất ph-ơng trình sau: 
31. 
6
x x 29 3 +< 
32. 
1 1
2x 1 3x 12 2- +³ 
33. 
2x x
1 5 25
-
< < 
34. 2 x(x x 1) 1- + < 
35. 
x 1
2 x 1(x 2x 3) 1
-
++ + < 
36. 
2 32 x 2x 2(x 1) x 1+- > - 
Bài VIII: Giải các bất ph-ơng trình sau: 
37. x x3 9.3 10 0-+ - < 
38. x x x5.4 2.25 7.10 0+ - Ê 
39. 
x 1 x
1 1
3 1 1 3+
³
- -
40. 2 x x 1 x5 5 5 5++ < + 
41. x x x25.2 10 5 25- + > 
42. x x 2 x9 3 3 9+- > - 
43. 
1 x x
x
2 1 2
0
2 1
- + -
Ê
-
Bài IX: Cho bất ph-ơng trình: x 1 x4 m.(2 1) 0- - + > 
44. Giải bất ph-ơng trình khi m=
16
9
. 
 3 
45. Định m để bất ph-ơng trình thỏa x R" ẻ . 
Bài X: 
46. Giải bất ph-ơng trình: 
2 1
2
x x1 1
9. 12
3 3
+
ổ ử ổ ử+ >ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
 (*) 
47. Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất ph-ơng trình: 
 ( )22x m 2 x 2 3m 0+ + + - < 
Bài XI: Giải các ph-ơng trình: 
48. ( ) ( )5 5 5log x log x 6 log x 2= + - + 
49. 5 25 0,2log x log x log 3+ = 
50. ( )2xlog 2x 5x 4 2- + = 
51. 2
x 3
lg(x 2x 3) lg 0
x 1
+
+ - + =
-
52. 
1
.lg(5x 4) lg x 1 2 lg0,18
2
- + + = + 
Bài XII: Giải các ph-ơng trình sau: 
53. 
1 2
1
4 lgx 2 lgx
+ =
- +
54. 2 2log x 10 log x 6 0+ + = 
55. 0,04 0,2log x 1 log x 3 1+ + + = 
56. x 16 23log 16 4 log x 2log x- = 
57. 2 2xxlog 16 log 64 3+ = 
58. 3lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ - = 
Bài XIII: Giải các ph-ơng trình sau: 
59. x3 9
1
log log x 9 2x
2
ổ ử+ + =ỗ ữ
ố ứ
60. ( ) ( )x x2 2log 4.3 6 log 9 6 1- - - = 
61. ( ) ( )x 1 x2 2 1
2
1
log 4 4 .log 4 1 log
8
+ + + = 
62. ( )x xlg 6.5 25.20 x lg25+ = + 
63. ( ) ( ) ( )x 1 x2 lg2 1 lg 5 1 lg 5 5-- + + = + 
64. ( )xx lg 4 5 x lg2 lg3+ - = + 
65. lg x lg55 50 x= - 
 4 
66. 
2 2lg x lg x 3
x 1 x 1
-- = - 
67. 
2
3 3log x log x3 x 162+ = 
Bài XIV: Giải các ph-ơng trình: 
68. ( ) ( )2x lg x x 6 4 lg x 2+ - - = + + 
69. ( ) ( )3 5log x 1 log 2x 1 2+ + + = 
70. ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + - = 
71. ( )5log x 32 x+ = 
Bài XV: Giải các hệ ph-ơng trình: 
72. 
2 2
lgx lgy 1
x y 29
+ =ỡ
ớ
+ =ợ
73. 3 3 3
log x log y 1 log 2
x y 5
+ = +ỡ
ớ
+ =ợ
74. 
( )
( ) ( )
2 2lg x y 1 3lg2
lg x y lg x y lg3
ỡ + = +ù
ớ
+ - - =ùợ
75. 
4 2
2 2
log x log y 0
x 5y 4 0
- =ỡù
ớ
- + =ùợ
76. 
( ) ( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+ỡ
ù =ớ
ù + = - +ợ
77. 
y
2
x y
2log x
log xy log x
y 4y 3
ỡ =ù
ớ
= +ùợ
Bài XVI: Giải và biện luận các ph-ơng trình: 
78. ( ) ( )2lg mx 2m 3 x m 3 lg 2 xộ ự+ - + - = -ở ỷ 
79. 3 x x
3
log a log a log a+ = 
80. 2sin x sin xlog 2.log a 1= - 
81. 
2
2
ax
a 4
log a.log 1
2a x
-
=
-
Bài XVII: Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm duy nhất: 
82. ( ) ( )23 1
3
log x 4ax log 2x 2a 1 0+ + - - = 
 5 
83. 
( )
( )
lg ax
2
lg x 1
=
+
Bài XVIII: Tìm a để ph-ơng trình có 4 nghiệm phân biệt. 
84. 23 32 log x log x a 0- + = 
Bài XIX: Giải bất ph-ơng trình: 
85. ( )28log x 4x 3 1- + Ê 
86. 3 3log x log x 3 0- - < 
87. ( )21 4
3
log log x 5 0ộ ự- >ở ỷ 
88. ( ) ( )21 5
5
log x 6x 8 2log x 4 0- + + - < 
89. 1 x
3
5
log x log 3
2
+ ³ 
90. ( )xx 9log log 3 9 1ộ ự- <ở ỷ 
91. x 2x 2log 2.log 2.log 4x 1> 
92. 1
3
4x 6
log 0
x
+
³ 
93. ( ) ( )2 2log x 3 1 log x 1+ ³ + - 
94. 8 1
8
2
2 log (x 2) log (x 3)
3
- + - > 
95. 3 1
2
log log x 0
ổ ử
³ỗ ữỗ ữ
ố ứ
96. 5 xlog 3x 4.log 5 1+ > 
97. 
2
3 2
x 4x 3
log 0
x x 5
- +
³
+ -
98. 1 3
2
log x log x 1+ > 
99. ( )22xlog x 5x 6 1- + < 
100. ( )23x xlog 3 x 1- - > 
101. 
2
2
3x
x 1
5
log x x 1 0
2
+
ổ ử- + ³ỗ ữ
ố ứ
 6 
102. x 6 2
3
x 1
log log 0
x 2+
-ổ ử >ỗ ữ+ố ứ
103. 22 2log x log x 0+ Ê 
104. x x
216
1
log 2.log 2
log x 6
>
-
105. 23 3 3log x 4 log x 9 2log x 3- + ³ - 
106. ( )2 41 2 16
2
log x 4 log x 2 4 log x+ < - 
Bài XX: Giải các bất ph-ơng trình: 
107. 
2
6 6log x log x6 x 12+ Ê 
108. 
3
2 22 log 2x log x 1x
x
- - > 
109. ( ) ( )x x 12 1
2
log 2 1 .log 2 2 2+- - > - 
110. 
( ) ( )2 32 25 11
2
log x 4x 11 log x 4x 11
0
2 5x 3x
- - - - -
³
- -
Bài XXI: Giải hệ bất ph-ơng trình: 
111. 
2
2
x 4
0
x 16x 64
lg x 7 lg(x 5) 2lg2
ỡ +
>ù
- +ớ
ù + > - -ợ
112. 
( ) ( ) ( )
( )
x 1 x
x
x 1 lg2 lg 2 1 lg 7.2 12
log x 2 2
+ỡ - + + < +ù
ớ
+ >ùợ
113. 
( )
( )
2 x
4 y
log 2 y 0
log 2x 2 0
-
-
ỡ - >ù
ớ
- >ùợ
Bài XXII: Giải và biệ luận các bất ph-ơng trình( 0 a 1< ạ ): 
114. alog x 1 2x a x+ > 
115. 
2
a
a
1 log x
1
1 log x
+
>
+
116. 
a a
1 2
1
5 log x 1 log x
+ <
- +
117. x a
1
log 100 log 100 0
2
- > 
Bài XXIII: 
 7 
118. Cho bất ph-ơng trình ( ) ( )2 2a alog x x 2 log x 2x 3- - > - + + có nghiệm 9x 4= . 
Giải bất ph-ơng trình đó. 
Bài XXIV: Tìm m để hệ bất ph-ơng trình có nghiệm: 
119. 
2lg x mlgx m 3 0
x 1
ỡ - + + Ê
ớ
>ợ
Bài XXV: Cho bất ph-ơng trình: 
 ( ) ( )2 1
2
x m 3 x 3m x m log x- + + < - 
120. Giải bất ph-ơng trình khi m = 2. 
121. Giải và biện luận bất ph-ơng trình. 
Bài XXVI: Giải và biện luận bất ph-ơng trình: 
122. ( ) ( )xalog 1 8a 2 1 x-- ³ - 
 8 
Bài tập ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit – phần 2 
1. 125.3.2 21 =-- xxx 
2. xx 3322 loglogloglog = 
3. xx 234432 loglogloglogloglog = 
4. xxx 332332 loglogloglogloglog =+ 
5. 2loglog3loglog 32 xx ³ 
6. 2)4(log 82 xx x ³ 
7. xxxx lg25,4lg3lg 10
22 --- = 
8. 2)1( 11 log)1(log Ê-+ ++ - xx xx xx 
9. 5lglg 505 xx -= 
10. 126 6
2
6 loglog Ê+ xx x 
11. xx =+ )3(log52 
12. 1623 3
2
3 loglog =+ xx x 
13. xx
x
-+ = 22 3.368 
14. 
265 3
1
3
1
2 +-+
> xxx 
15. xx 31
1
13
1
1 -
³
-+
16. 13
1
12
1
22 +- ³ xx 
17. 2551
2
<<
-xx
18. ( )
( )12log
log
5,0
5,0
2
25
08,0
--
-
ữữ
ứ
ử
ỗỗ
ố
ổ
³
x
x
x
x 
19. 48loglog 22 Ê+ xx 
20. 1log
5
log 255 =+ xxx
21. ( ) 15log.5log 225 =xx 
22. 5log5log xx x -= 
23. 42log.4log 2sinsin =xx 
24. 12log.4log 2coscos =xx 
 9 
25. 5)1(log2)1(4log
2
1)1(2 =+++ ++ xx xx 
26. 03loglog 33 <-- xx 
27. ( )[ ] 05loglog 243/1 >-x 
28. 3log2/5log 3/1 xx ³+ 
29. 14log.2log.2log 22 >xxx 
30. 0
5
34
log
2
2
3 ³-+
+-
xx
xx
31. 0
2
1
loglog 2
3
6 >ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
-
+ x
x
x 
32. 
6log
1
2log.2log
2
16/ -
>
xxx
33. 12log 2 ³xx 
34. ( ) 193loglog 9 Ê-xx 
35. 1
2
23
log >
+
+
x
x
x 
36. ( ) 13log 23 >-- xxx 
37. ( ) 2385log 2 >+- xxx 
38. ( )[ ] 169loglog 3 =-xx 
39. xxx 216 log2log416log3 =- 
40. 364log16log 22 =+ xx 
41. ( )1log
1
132log
1
3/1
2
3/1
+
>
+- xxx
42. ( )101
log1
log1 2
ạ
+
+
a
x
x
a
a 
43. 
( )
( ) 1035log
35log 3
ạ
-
-
avới
x
x
a
a
44. 05
10
1
2 1cos2sin2
7lgsincos
1cos2sin2 =+ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ- +-
--
+- xx
xx
xx 
45. 
( ) ( )
0
352
114log114log
2
32
11
22
5 ³
--
-----
xx
xxxx
 10 
46. ( ) ( ) 31log1log2 2
32
2
32
=-++++ -+ xxxx 
47. xxxxxx 532532 loglogloglogloglog =++ 
48. 02)5(log6)5(log3)5(log 25/155
2
5/1 Ê+-+-+- xxx 
49. Với giá trị nào của m thì bất ph-ơng trình ( ) 32log 22/1 ->+- mxx có nghiệm và 
mọi nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số 
( ) 2log1log 13 -+= + xxy xx 
50. Giải và biện luận theo m: 0100log
2
1
100log >- mx 
51. 
( )
( )ợ
ớ
ỡ
>+
+<++- +
22log
)122.7lg()12lg(2lg1 1
x
x
x
xx
52. Tìm tập xác định của hàm số ( )10
2
5
2
log
2
1
2 ạ<
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
-
+
= a
x
x
y
a
53. 3log29log4log 33
2
3 -³+- xxx 
54. ( )41622 2/1 log42log4log xxx -<+ 
55. ( ) 0log213log 2222 Ê+--+ xxx 
56. 0455 1 =+- - xx 
57. 0103.93 <-+ -xx 
58. 8log2
16
1
4
1
4
1
>ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ-ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
- xx
59. 12
3
1
.9
3
1
/12/2
>ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ+ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+ xx
60. 01228
332
=+-
+
x
x
x 
61. xxx 5555 12 +<+ + 
62. 
16
5
202222 22 =+++ -- xxxx 
63. ( ) ( ) 10245245 =-++ xx 
64. ( ) ( ) 32531653 +=-++ xxx 
 11 
65. ( ) ( ) 02323347 =+--+ xx 
66. ( ) ( ) 14347347 ³++- xx 
67. ( ) ( ) 43232 =++- xx 
68. ( ) ( ) 10625625 tantan =-++ xx 
69. xxx /1/1/1 964 =+ 
70. 104.66.139.6 =+- xxx 
71. 010.725.24.5 Ê-+ xxx 
72. 333 8154154
xxx
³++- 
73. 02515.349 12212
222
³+- +--+- xxxxxx 
74. 2log
cos2sin
sin22sin3
log 22 77 xx xx
xx
--
=
-
75. ( ) 2/1213log 23 =+--+ xxx 
76. ( ) 2log2log
22
=++ + xx xx 
77. ( )
( )
( )1log2
2log
1
13log 2
3
2 ++=+-
+
xx
x
78. ( ) ( )32log44log 1
2
12 --=+
+xx x 
79. ( ) 1323.49log 13 +=--+ xxx 
80. ( ) 4log1log1 12 -=-+ xx 
81. ( ) ( )
8
1
log14log.44log
2/12
1
2 =++
+ xx 
82. ( ) ( ) 222log12log 12/12 ->-- +xx 
83. ( ) ( ) 1
1
1
2525 +
-
-
-³+ x
x
x
84. 0
12
1221
Ê
-
+--
x
xx
85. 02cos
2
sinlogsin
2
sinlog
3
13 =ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ ++ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ - x
x
x
x
86. ( ) ( )293
32
27 3log2
1
log
2
1
65log -+ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ -=+- x
x
xx 
 12 
87. Tìm m để tổng bình ph-ơng các nghiệm của ph-ơng trình 
( ) ( ) 02log422log2 22
2
1
22
4 =-++-+- mmxxmmxx lớn hơn 1. 
88. Tìm các giá trị của m để ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất: 
( ) 0log1log
25
2
25
=++++ -+ xmmxx . 
89. Tìm m để ph-ơng trình ( ) ( ) 02log422log2 222/1224 =-++-+- mmxxmmxx 
có 2 nghiệm u và v thoả mãn u2+v2>1 
90. xx xx coslogsinlog 2sincos ³ 
91. x
x
4115 =+ 
92. 132 2 +=
x
x 
93. 
xxxx 202459 ++= 
94. 2112212 532532 +++- ++=++ xxxxxx 
95. 9,2
5
2
2
5
/1
=ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ+ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
xx
 (*) 
96. xxx 6321 11 <++ ++ 
97. ( ) xxx 233 log21log3 =++ 
98. 
22
2
)1(
12
log262
-
+
=+-
x
x
xx 
99. 
x
xx
x
x
x
2
2
22
22
2 211
-
=-
--
100. ( ) ( ) 0212232 =-+-- xx xx 
101. 255102.25 >+- xxx 
102. 20515.33.12 1 =-+ +xxx 
103. log2x+2log7x=2+log2x.log7x 
104. xx coslogcotlog2 23 = 
105. ( ) 5,1lg1log =+xx 
106. 
ùợ
ù
ớ
ỡ
=+
=+
)sin3(logcos31log
)cos3(logsin31log
32
32
xy
yx
107. 
( ) ( )
( ) ( )ùợ
ù
ớ
ỡ
+-=-+
+-=-+
21log131log
21log131log
2
3
2
2
2
3
2
2
xy
yx
108. ( ) ( ) xxxxxx 33lg36lg 22 ++=-++-+
 13 
109. Chứng minh rằng nghiệm của ph-ơng trình ( ) xxx 446 loglog2 =+ thoả mãn bất 
đẳng thức 
x
x pp 16
sin
16
cos < . 
110. Tìm x sao cho bất ph-ơng trình sau đây đ-ợc nghiệm đúng với mọi a: 
( ) 014log 2 >++- xaax 
111. ( ) )2lg(46lg 2 ++=--+ xxxx 
112. )3(log)2(log)1(loglog 5432 +++=++ xxxx 
113. Tìm nghiệm d-ơng của bất ph-ơng trình 
12
1036 1
-
>
- +
xx
x
 (*) 
114. 
( )
( )ợ
ớ
ỡ
=+
=+
246log
246log
xy
yx
y
x
115. ( ) 0log213log 2222 Ê+--+ xxx 
116. ( ) 016)1(log)1(4)1(log2 323 =-+++++ xxxx 
117. 035)103(25.3 22 =-+-+ -- xx xx 
118. Tìm a để ph-ơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt 0loglog2 3
2
3 =+- axx 
119. ( ) ( ) 06log52log1 2/12 2/1 ³++++ xxxx 
120. ( )88 1214 ->- -- xx exxex 
121. 62.3.23.34 212 ++<++ + xxxx xxx 
122. ( ) ( ) ( ) )4ln(32ln4ln32ln 22 xxxx -+-=-+- 
123. ( ) ( )
x
xx
x
xx x
2
log2242141
2
1272 22 +--Êữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ -+-+ 
124. Trong các nghiệm (x, y) của bất ph-ơng trình ( ) 1log 22 ³++ yxyx hãy tìm nghiệm có 
tổng x+2y lớn nhất xx xxxxxxx 3.43523.22352 222 +-->+-- . 
125. Tìm t để bất ph-ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x: ( ) 13
2
1
log 22 >ỳỷ
ự
ờở
ộ +
+
+
x
t
t
. 
126. Tìm a để bất ph-ơng trình sau thoả mãn với mọi x: ( ) 02log 2
1
1 >+
+
ax
a
. 
127. Tìm a để bất ph-ơng trình sau nghiệm đúng với mọi x: 1
32
2log2log.
2
2
2
2
<
--
++
xx
xax a 
 14 
128. Tìm m để mọi nghiệm của bất ph-ơng trình 12
3
1
3
3
1
1
12
>ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ+ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
xx
 cũng là nghiệm 
của bất ph-ơng trình (m-2)2x2-3(m-6)x-(m+1)<0. (*) 
129. ( ) ( ) 025353 222 2122 Ê--++ -+-- xxxxxx 
130. ( ) ( ) 312223 +-=+ xx 
131. 1
23
23.2 2
Ê
-
- +
xx
xx
132. 04.66.139.6
222 222 Ê+- --- xxxxxx 
133. ( ) ( ) 022log.2log 222 ³-+ -xx 
134. 
2
222 4log6log2log 3.24 xx x =- 
135. ( ) ( ) 421236log4129log 232273 =+++++ ++ xxxx xx