Bài tập Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ngày 29/6/2012
phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
I.Kiến thức cơ bản:
1.Điểm và véc tơ: 
a)Điểm: Trung điểm; Trọng tâm tam giác; (Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k); Giao điểm của hai đường thẳng; Giao điểm của đường thẳng và đường tròn; Giao điểm của đường thẳng và elip; (Trực tâm; Tâm đường tròn ngoại tiếp; Tâm đường tròn nội tiếp; Hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng qua đường thẳng; (Điểm cố định của đường thẳng)
b)Vectơ : Tọa độ; Độ dài; Tích vô hướng của hai vectơ; Góc giữ hai vectơ; Vectơ chỉ phương; Vectơ pháp tuyến.
2.Đường thẳng:
+Phương trình ; Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng; Góc giữa hai đường thẳng; ( Đường cao; Đường trung tuyến; Đường phân giác; Đường trung trực; Đường trung bình; Tiếp tuyến của một đường tròn; Trục đẳng phương của hai đường tròn ).
+ Giao điểm của hai đường thẳng; Giao điểm của đường thẳng và đường tròn; Giao điểm của đường thẳng và elip; Hình chiếu vuông góc của một điểm trên đường thẳng và điểm đối xứng qua đường thẳng; Đường thẳng đối xứng với một đường thẳng;Đường thẳng song song; Đường thẳng vuông góc; (Điểm cố định của đường thẳng)
3.Đường tròn:
+Phương trình; Tâm và bán kính; (Đường tròn ngoại tiếp; Đường tròn nội tiếp ); (Phương tích của một điểm đối với một đường tròn ).
4.Elip:
+Phương trình; Hình dạng và các khái niệm liên quan.
II.Bài tập: 
+Tìm tọa độ điểm; Lập phương trình.
1. Đường thẳng :( Phân dạng cố tính tương đối)
Câu 2.Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC, biết trung điểm của các cạnh là : M(-1;-1), N(1;9), P(9;1).
Câu 3.Cho tam giác ABC, biết các cạnh AB, AC, BC lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình , và .
a)Viết phương trình đường phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC.
b)Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 4.Cho điểm A(1;1). Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y=3, và điểm C trên trục hoành , sao cho ABC là tam giác đều.
Câu 5.Cho tam giác với một cạnh có trung điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là và . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Câu 7. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2;-1), đường cao và phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là ; .
Câu 8. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là và .
Câu 10. Cho diện tích tam giác ABC là ; hai đỉnh là A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu 11. Cho hai điểm A(-1;3), B(1;1) và đường thẳng d : .
Xác định điểm C trên d sao cho ABC là tam giác đều.
Câu 12. Lập phương trình đường thẳng qua điểm P(2;-1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng và tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của , .
Câu 13. Cho điểm P(3;0) và hai đường thẳng và .
Gọi d là đường thẳng qua P và cắt , lần lượt ở A và B. 
Viết phương trình của d biết PA=PB. 
Câu 14.Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đường thẳng một góc bằng .
Câu 15. Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3.
Câu 16. Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-4;5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng . Lập phương trình các cạnh và đường chéo còn lại của nó.
Câu 18.Lập phương trình các cạnh của hình vuông , biết hình vuông đó có một đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương trình .
Câu 19.(Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hưng Yên-THTT419)
Cho A(1;2), B(4;3). Tìm M sao cho và khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng .
Hướng dẫn : 
Câu 20.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418)
Cho (): , (): , và A là giao điểm của () và (). Xách định đường thẳng () cắt (), () lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích bằng .
Hướng dẫn:
Câu 21. (Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417)
Cho ta giác ABC, biết A(1;2); đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ B lần lượt là: và . Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Câu 22.(THTT415)
Cho tam giác ABC, có ;đường phân giác trong góc A là (AD): ; và đường cao (BH): . Biết điểm M(4;10) thuộc đường thẳng (AB). Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C. 
Hướng dẫn:
Câu 23.(THTT413)
Cho tam giác ABC, có A(-1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm của BC là M(5;5). Xác định tọa các đỉnh B và C.
Hướng dẫn:
Ta có . Suy ra và . Khi đó : 
Câu 24.(THTT359)
Cho hình thoi ABCD có A(0;2), B(4;5) và giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường thẳng (d): . Tìm tọa độ của C và D.
Hướng dẫn:
Câu 25.(Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hưng Yên-THTT358)
Cho A(1;1), B(2;3). Lập phương trình đường thẳng (d) cách A một khoảng bằng 2, cách B một khoảng bằng 4.
Hướng dẫn:
Câu 26.(Nguyễn Văn Thông-Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng-THTT356)
Cho . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết: A, C thuộc , B thuộc , C thuộc .
Hướng dẫn:
Câu 27.(Phan Tuấn Cộng-Chuyên Nguyễn Trãi-Hải Dương-THTT343)
Cho tam giác ABC, có A(1;0), các đường cao (BH): , (CH): . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Bài tập tương tự: 
27.1.Cho tam giác ABC đỉnh A(2;2). Lập phương trình các cạnh của tam giác , 
biết : , lần lượt là các đường cao kẻ từ B và C.
27.2. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4;5) và hai đường cao có phương trình và .
27.3. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là , các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là ; . Lập phương trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba. 
Câu 28.(HSG12A-NA: 2007-2008)
Cho tam giác ABC có A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm G thuộc đường thẳng (d): , và diện tích của tam giác bằng . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Câu 29.(HSG12B-NA:2011-2012)(Đề này có sai)
Cho tam giác ABC có A(2;-1). Đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là .Viết phương trình đường thẳng BC.
Hướng dẫn:
Câu 30.Cho A(4;1), B(0;4). Tìm điểm M thuộc (d): sao cho
 lớn nhất.
Hướng dẫn:
Ta có .
Bài tập tương tự: 
30.1)Cho A(-7;1), B(-5;5) và (d): . Tìm điểm M thuộc (d) sao cho nhỏ nhất.
30.2)Cho A(-3;2), B(2;5). Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho lớn nhất.
30.3)(HSG12A-NA:2011-2012)
Cho (C): và A(7;9), B(0;8). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn: 
Lấy . Ta có: . Suy ra .
Vậy khi hay .
( Bài toán gốc: Cho hai điểm cố định , .Tìm quỹ tích của điểm M sao cho ( với ))
30.4)Cho đường thẳng d có phương trình , và hai điểm A(1;6), 
B(-3;-4). Tìm điểm M trên sao cho vec tơ có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Ta có .
Câu 31.(ĐH2011B-Chuẩn)
Cho (): và (d): . Tìm điểm N thuộc (d) sao cho đường thẳng (ON) cắt () tại điểm M thỏa mãn .
Hướng dẫn: 
Ta có . Suy ra .
Câu 32.(ĐH2011B-NC)
Cho tam giác ABC có B(;1). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Cho D(3;1) và (EF): . Tìm A (biết A có tung độ dương).
Hướng dẫn:
Ta có (BD): . Suy ra EF//BD Tam giác ABC cân tại A.
Suy ra (AD): .
Gọi . Khi đó .
Câu 33.(ĐH2011D-Chuẩn)
Cho tam giác ABC có B(-4;1), trong tâm G(1;1) và đường phân giác trong của góc A có phương trình là . Tìm A và C.
Hướng dẫn:
Câu 34.(ĐH2010D-Chuẩn)
Cho tam giác ABC có A(3;-7), trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0). Xác định tọa độ đỉnh C (biết C có hoành độ dương).
Hướng dẫn: 
Gọi . Suy ra : .
Khi đó .
Câu 35.(ĐH2010D-Nâng cao)
Cho A(0;2) đường thẳng () đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình đường thẳng () , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng độ dài đoạn AH.
Hướng dẫn:
(): .
Và .
Câu 36.(ĐH2010B-Chuẩn)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình . Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Hướng dẫn:
Câu 37 .(ĐH2010A-Chuẩn)
Cho (): , (): ; (T) là đường tròn tiếp xúc với () tại A và cắt () tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tai B. Viết phương trình đường tròn (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.
Hướng dẫn:
Ta có tam giác ABT là tam giác đều có diện tích . Suy ra 
Với .
Câu 38.(ĐH2010A-Nâng cao)
Cho tam giác ABC cân tại A, có A(6;6); đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh 
AB và AC có phương trình là . Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm
 E(1;-3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác ABC.
Hướng dẫn :
Ta có I(2;2), H(-2;-2) và (BC): .
Khi đó .
Câu 39 .(ĐH2009B-Nâng cao)
Cho tam giác ABC cân tại A, có A(-1;4) và B, C thuộc . Xác định B, C 
biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Hướng dẫn: 
Câu 40.(ĐH2009A-Chuẩn)
Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 
Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường 
thẳng . Viết phương trình đường thẳng AB.
 Hướng dẫn:
Câu 41.(ĐH2009D-Chuẩn)
Cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và 
và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là và . 
Viết phương trình đường thẳng AC.
Hướng dẫn:
Câu 42.(ĐH2006A)
Cho . Tìm điểm M thuộc () sao cho 
khoảng cách từ M đến () bằng hai lần khoảng cách từ M đến ().
Hướng dẫn:
Câu 43.(ĐH2005A)
Cho .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A
 thuộc () , C thuộc (), và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Hướng dẫn:
Câu 44.(ĐH2004A)
Cho A(0;2), B(-;-1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
OAB.
Hướng dẫn:
Câu 45.(ĐH2004D)
Cho tam giác ABC có A(-1;0), B(4;0), C(0;m) ().Tìm tọa độ trong tâm G của
 tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
2.Đường tròn: (Phân dạng có tính tương đối)
Câu 1. Cho tam giác ABC, biết : A(-1;3), B(1;1), C(2;4). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 2.Cho hai đường tròn () và ()
Xác định các đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên.
Câu 3.Cho các đường tròn () và ()
a)Tìm quỹ tích tâm các đường tròn () khi m thay đổi.
b)Chứng minh rằng có hai đường tròn () tiếp xúc với đường tròn (C), ứng với hai giá trị của m. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn () đó.
Câu 4.Cho họ đường tròn () có phương trình : .
a)Tìm tập hợp tâm các đường tròn ().
b)Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, các đường tròn () đều đi qua một điểm cố định.
c)Cho m=-2 và điểm A(0;-1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn ()
kẻ từ điểm A.
Câu 5.Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;-2) và các giao điểm của đường thẳng với đường tròn .
Câu 6. (Nguyễn Thành Giang-Chuyên Hưng Yên-THTT419)
Cho A(2;3) là một trong hai giao điểm của () : và 
(): . Viêt phương trình đường thẳng đi qua A và cắt (),() theo hai dây cung khác nhau có độ dài bằng nhau.
Hướng dẫn: 
Câu 7.(Nguyễn Lái-Chuyên Lương Văn Chánh-Tuy Hòa-Phú Yên-THTT418)
Lập phương trình đường tròn bán kính , có tâm I nằm trên đường thẳng (): , và cắt (): tại hai điểm A, B sao cho .
Hướng dẫn :
Câu 8.(THTT413)(Tài liệu chuẩn không nhắc đến phương tích)
Cho M(2 ;1) và (C) : . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Hướng dẫn :
Ta chứng minh AB ngắn nhất khi MA=MB. 
Thật vậy  PM/(C)=. Suy ra .
Mà . Suy ra khi .
Câu 9.(Huỳnh Tấn Châu-Chuyên Lương Văn Chánh-Phú Yên-THTT)
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2 ;5), B(4 ;1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : .
Hướng dẫn : 
Câu 10.(HSG12A-NA :2006-2007)
Cho tam giác ABC vông tại B, nội tiếp đường tròn (T) : , có A(2 ;0) và diện tích tam giác bằng 4. Tìm tọa độ của B và C.
Hướng dẫn :
Câu 11.(HSG12B-NA :2007-2008)
Cho (C) : và (d) : . Từ điểm M thuộc (d), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C)(A, B là hai tiếp điểm). Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên (d).
Hướng dẫn :
Ta có I(1 ;2), R=1 và (với m là tham số).
Khi đó 
Suy ra (AB) : .
Vậy (AB) luôn đi qua điểm .
Câu 12.(HSG12B-NA:2010-2011)
Cho tam giác ABC, có trong tâm G(1;2). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Hướng dẫn:
Ta có D, K, E, M, I, L, F, J, N cùng thuộc một đường tròn (T) : 
Mà . Suy ra .
Câu 13.(ĐH2011A-Chuẩn)
Cho (): và (C): . Gọi I là tâm của (C) và M là điểm thuộc (). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai tiếp điểm). Tìm M, biết diện tích tứ giác MAIB bằng 10.
Hướng dẫn:
Ta có .
Câu 14.(ĐH2011D-Nâng cao)
Cho (C): và A(1;0). Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Hướng dẫn:
Ta có M, N đối qua AC.
Câu 15.(ĐH2009A-Nâng cao)
Cho (C): và (m là tham số). Gọi I là tâm của (C). Tìm m để () cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
Hướng dẫn:
Ta có diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IAB là tam giác vuông cân tại I.
Khi đó .
Câu 16.(ĐH2009B-Chuẩn)
Cho (C): và . Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn (), biết () tiếp xúc với và K thuộc (C).
Hướng dẫn:
Câu 17.(ĐH2006D)
Cho (C): và (d): . Tìm M thuộc (d) sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc với (C).
Hướng dẫn:
3.Elip: 
Câu 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn xOy, cho elip (E) 
và hai điểm M(-2; m), N(2; n) . Gọi , là các đỉnh trên trục lớn của (E). Hãy viết phương trình các đường thẳng và , và xác định giao điểm I của chúng.
Câu 2.Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) tiếp xúc với các đường thẳng và .
Câu 3. Cho elip và điểm M(1;1). Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA=MB.
Câu 4. Cho hai elip và .
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai elip.
Câu 5. Cho elip (E) và hai đường thẳng , 
với .
a)Xác định các giao điểm M, N của với (E), và các giao điểm P, Q của với (E)
b)Tính theo a, b diện tích tứ giác MNPQ.
c)Tìm điều kiện đối với a, b để diện tích ấy lớn nhất .
Câu 6.(Dương Châu Dinh-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị-THTT417)
Cho A(3;0) và (E): .Tìm B, C(E) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
Hướng dẫn:
6.1)(ĐH2011A-Nâng cao)
Cho (E): . Tìm các điểm A, B thuộc (E) (A, B có hoành độ dương) sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn: 
Gọi . Ta có . Suy ra khi .
6.2)(ĐH2005D)
Cho C(2;0) và (E): . Tìm A, B thuộc (E), biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
Hướng dẫn:
Câu 7.(Nguyễn Văn Thông-Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng-THTT369)
Cho (d): và (E): ; (d) cắt (E) tại B, C.
a)Tìm A thuộc (E) sao cho tam giác ABC cân tại A.
b)Tìm A thuộc (E) sao cho diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: 
b)Ta có .
Và .
Bài tập tương tự: (Sáng tạo)
7.1)Cho elip (E) đi qua điểm B(0;2) và có một tiêu điểm là F(;0). Tìm điểm A thuộc (E) sao cho tam giác ABF có diện tích lớn nhất.
7.2)Cho elip (E) đi qua điểm A(-3;0) và điểm B(;) .Tìm điểm M thuộc (E) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Câu 8.(HSG12A-NA:2006-2007)
Cho tam giác ABC có B(-3;0), C(3;0) và AH=3r( với AH là đường cao, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tâm là I). Chứng minh I thuộc một đường cong cố định khi A thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện trên).
Hướng dẫn:
Gọi I(x;y). Ta có : và . Suy ra 
.
Câu 9.(Sáng tạo) Cho (E) : .Tìm các điểm A, B thuộc (E) sao cho OAB là tam giác vuông tại O, và có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn: 
TH1)Nếu A, B là hai đỉnh của (E) thì .
TH2)Ta có (OA):, (OB): ().
Suy ra và ,
hoặc và ,
hoặc và ,
hoặc và .
Khi đó: .
Xét hàm số . Ta có , 
.
Bảng biến thiên: 
Suy ra khi và ,
hoặc và , hoặc và ,
hoặc và .
Bài tập tương tự:
9.1)Cho (E) : .Tìm các điểm A, B thuộc (E) sao cho OA vuông góc với OB, và độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Ta có: .
9.2)Cho (E): và (C) : . Đường thẳng tiếp xúc với (C) và cắt (E) tại hai điểm A, B.
a)Chứng minh tam giác OAB vuông tại O.
b)Lập phương trình đường thẳng khi tam giác OAB có diện tích lớn nhất.
Câu 11.(ĐH2010B-Nâng cao)
Cho điểm A(2;), và (E): . Gọi lần lượt là các tiêu điểm ( có hoành độ âm); M là giao điểm có tung dương của đường thẳng với (E); N là điểm đối xứng của qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Hướng dẫn:
Ta giác vuông tại A.