Bài tập nguyên hàm và tích phân

I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 
2. f(x) = ĐS. F(x) = 
. f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 
4. f(x) = ĐS. F(x) = 
5. f(x) = ĐS. F(x) = 
6. f(x) = ĐS. F(x) = 
7. f(x) = ĐS. F(x) = 
8. f(x) = ĐS. F(x) = 
9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 
14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = 
17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = 
18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C 
19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = 
20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = 
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 
3. f’(x) = 4 và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 
4. f’(x) = x - và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6. f’(x) = ax + ĐS. f(x) = 
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
I = 
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 8. 
9. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
17. 18. 19. 20. 
21. 22. 23. 24. 
25. 26. 27. 28. 
29. 30. 31. 32. 
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
Hay
 ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 2. 3. 4
5. 6. 7. 8. 
9. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
17. 18. 19. 20. 
21. 22. 23. 24. 
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.	2. 
 2. 	3. 
 	4. 	5. 
6. 	7. 
 	8. 	9. 
10. 	11. 
	13. 
14. 	15. 
16. 	17. 
18. 	19. 
20. 	21. 
22. 	22. 
24. 	25. 
26. 	27. 
28. 	29. 
30. 	31. 
32. 	33. 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
 1. 	2. 
	3. 	3. 
4. 	5. 
 	6. 	7. 
 	8. 	9. 
 	10. 	11. 
12. 	13. 
14. 	15. 
 	16. 	17. 
 	18. 	19. 
 20. 	21. 
22. 	23. 
24. 	25. 
26. 	27. 
28. 	29. 
30. 	31. 
32. 	33. 
34. 	35. 
36. 	37. 
 38. 	39. 
40. 	 	41. 
42. 	43. 
 44. 	45. 
46. 	46. 
47. 	48. 
 49. 	50. 
 51. 	52. 
	53. 	54. 
	55. 	56. 
57. 	58. 
59. 	60. 
61. 	62. 
63. 	64. 
65. 	66.	 
67. 	68. 
69. 	70.. 
71. 	72. 
73. 	74. 
75. 	76. 
77. 	 	78. 	
79. 	80. 
81. 	82. 
83. 	 	84. 
85. 	86. 
87. 	88. 
89. 	90. 
91. 	92. 
93. 	94. 
95. 	96. 
97. 	98. 
99. 	100. 
101. 	102. 
103. 	104. 	 
105. 	106. 
107. 	108. 	
109. 	110. 
101. 	112. 
113. 	114. 
115. 	116. 
117. 	118. 
119. 	120. 
121. 	122. 
123. 	124. 
125. 	126. 
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
 Công thức tích phân từng phần : 
 Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
 @ Dạng 1 
 @ Dạng 2: 
 Đặt 
@ Dạng 3: 
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
 a/ đặt b/ đặt 
 c/
 Tính I1 bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 = bằng phương pháp từng phần : đặt 
Bài tập
1. 	2. 
3. 	4. 
 	5. 	6. 
 	7. 	8. 
	9. 	10. 
 	11. 	12. 
 	13. 	14. 
15. 	16. 
Tính các tích phân sau 
1) 2) 3) 4) 
 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 
 13) 	 14) 	 15) 16) 	 17) 18) 19) 	 20) 	 21) 22) 23) 24) 
25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
	1. 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6. 
	7. 	8. 
	9. 	10. 
	11. 	12. 
	13. 	14. 
	15. 	16. 
	17. 	18. 
	19. 	20. 
	21. 	22. 
	23. 	24. 
	25. 	26. 
27. 	28. 
29. 	30. 
31. 	32. 
33. 
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
	1. 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6. 
	7. 	8. 
	9. 	10. 
	11. 	12. 
	13. 	14. 
	15. 	16. 
	17. 	18. 
	19. 	20. 
	21. 	22. 
	23. 	24. 
	25. 	26. 
	27. 	28. 
	29. 	30. 
	31. 	32. 
	33. 	34. 
	35. 	36. 
	37. 	38. 
	39. 	40. 
	41. 	2. 
	43. 	4. 
	45. 	46. 
	47. 	48. 
	49. 	50. 
	51. 	52. 
	53. 	54. 
	55. 	56. 
	57. 	58. 
	59. 	60. 
	61. 	62. 
	63. 	64. 
	65. 	66. 
	67. 	68. 
69. 	70. 
71. 	
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
	Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
	+) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t 
	+) R(x, ) §Æt x = hoÆc x = 
	+) R(x, ) §Æt t = 
	+) R(x, f(x)) = Víi ()’ = k(ax+b)
	Khi ®ã ®Æt t = , hoÆc ®Æt t = 
	+) R(x, ) §Æt x = , t 
	+) R(x, ) §Æt x = , t
	+) R Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) 
	§Æt x = tk 
	1. 	2. 
	3. 	4. 	
	5. 	6. 
	7. 	8. 
	9. 	10. 
	11. 	12. 
	13. 	14. 
	15. 	16. 
	17. 	18. 
	19. 	20. 
	21. 	22. 
	23. 	24. 
	25. 	26. 	
27. 	28. 
29. 	30.
	31. 	32. 
	33. 	34. 
	35. 	36. 	
	37. 	38. 	
39. 	40. 
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: 
	VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [-] tháa m·n f(x) + f(-x) = , 
TÝnh: 
	+) TÝnh 
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: = 0.
	VÝ dô: TÝnh:	
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: = 2
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: (1b>0, a)
	VÝ dô: TÝnh: 	
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th× 
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: 
	VÝ dô: TÝnh	
Bµi to¸n 6: 	
	VÝ dô: TÝnh 	
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: 
	VÝ dô: TÝnh	
C¸c bµi tËp ¸p dông:
	1. 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6.
	7. 	8. (tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
	1. 	2. 
	3.	4. 	
5. 	6. 
7. 	8. 	
9. 	10. 
	11. 	12. 2) 
13. 	14. 
15. 	16. 	 
17. 	18. 
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
	TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®­êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®­êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa d­íi 0x b»ng nhau
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1):	2) (H2) : 	3) (H3):
4) (H4):	5) (H5):	6) (H6):
7) (H7):	 8) (H8) : 	9) (H9): 
10) (H10): 11) 	12) 
13) 14) 	15) 
16 	17 	18) 
19. 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
21) 22) 23) 
24) 	25) 26) 
27) 	28)	29) 
30) 31) 	32) 
33) 	34) 	35) 
36) 37) 	
38)	39)	40) 
41) 	42) 	43) 
44) 45) 	46) 
47) 	48) 	49) 32) 33) 34) 
35) 36) 37) 38) 39)
40) (a>0) 41) 42) 43) x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®­êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
45) 
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
 Công thức:
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
	a) Trục Ox
	b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : .
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ; y = 0 ; x = 1
 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
2) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
3) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5) quay quanh trôc a) 0x; 
6) (D) quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7) quay quanh trôc a) 0x; 
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E): quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10) quay quanh trôc 0x;
11) quay quanh trôc 0x;
12) quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14) quay quanh trôc 0x;
15) quay quanh trôc a) 0x; b) 0y