Bài tập Nguyên hàm -Tích phân - Ứng dụng

Nguyên Hàm -Tích phân - ứng dụng
I/ Nguyên hàm
1/ Tính chất nguyên hàm
* 
* 
* 
2/ Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
u = u(x)
()
(x)
(0<a)
()
(u=u(x))
(0<a)
3/ Ví dụ : Tìm nguyên hàm
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
e/ 
f/ 
g/ 
4/ Bài tập về nhà
Tìm nguyên hàm của hàm số
a/ f(x) = 2x3 +3x -5
b/ f(x) = 
c/ f(x) = ex(1-e-x)
d/ f(x) = ex
e/ 
f/ 
g/ 
h/ 
II/ Tích phân
1/ Định nghĩa (SGK)
ĐL : GSử f(x) là hàm số liên tục và f(x) 0 /[a,b]. hế thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là : S = F(b)-F(a) với F(x) là nguyên hàm bất kỳ của s(x) trên [a,b]
2/ Tính chất của tích phân
* 
* 
* 
* 
* 
* f(x)
* 
* 
3/ Ví dụ : Tính tích phân
a/ 
b/ 
c/ 
4/ Các phương pháp tính tích phân
a/ Tích phân đổi biến số
Giả sử phải tính trong đó f(x) liên tục /[a,b]
* Đổi biến số dạng 1
Định lý : Nếu
Hàm số x=u(t) có đạp hàm liên tục trên []
Hàm số hợp f(u(t)) được xác định trên []
u ()= a, u () = b
Cách thực hành
Đặt x=u (t) => dx =u’(t)dt
Đổi cận : Khi x = a =>t= 
 Khi x = b => t =
 3. ==G(t)|ba
Ví dụ : Tính tích phân
a/ I = 
Đặt x = sint => dx=costdt
Khi x = 0 => t = 0; x = 1 => t =
=> I= cost.cost.dt=cos2t.dt ===
b/ J = 
Đặt x =tgt => dx ==(1+tg2t)dt
Khi x=0 => t = 0; x = 1 => t = 
=> =
c/ K = 
Ta có 
Đặt => dx = 
Khi x = 0 => t =; x = 1=> t = 
=>==
* Đổi biến số dạng 2
1. Đặt t = v(x), v(x) là hàm số có đạo hàm liên tục
2. Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx=g(t)dt
3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
4. Tính 
5. Kết luận 
Ví dụ : Tính tích phân
a/ 
Đặt t = (2x+1) => dt =2dx hay dx = dt/2
Khi x = 0 => t =1; x = 1 => t =3
=> =
b/ 
Đặt t = lnx => dt = dx/x =>dx = x.dt
Khi x = e => t =1; x =e2 => t = 2
=> = 
c/ 	h/ 
d/ 	i/ 
e/ 
g/ 
b/ Tích phân từng phần
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoan [a;b] thì :
Hay
Ví dụ : Tính tích phân
a/ 
Đặt do đó = 
 	= 
b/ 
Đặt 
=> = 
c/ 
Đặt 
Do đó : = (xex)
BTVN
Câu 1 : Tính tích phân
a/ (2cos3x+3sin2x)dx	b/ tgxdx
c/ 	d/ e2xdx
e/ 	f/ 33x+1dx
Câu 2 : Tính tích phân
a/ esinx.cosxdx	b/ sin3xcosxdx
c/ 	d/ 
Câu 3 : Tính
a/ x.e3xdx	b/ x2e-xdx
c/ (x-1)cosxdx	d/ (2-x)sin3xdx
Câu 4 : Tính
a/ x2sinxdx	b/ excosxdx
c/ lnxdx	d/ (lnx)2dx
5/ Diện tích của hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), hai đường thẳng x=a, x=b và trục Ox là : S =
Diện tích hình phẳng giới hạn bời hai đường x=a, x=b, và đồ thị của hai hàm số y =f(x), y = g(x)
- Giải phương trình f(x)-g(x) = 0 giả sử có nghiệm khi đó :
	S = 
* Diện tích hình tròn S = ( R là bán kính đường tròn )
* Diện tích Elíp là : S = ( a, b là nửa độ dài hai trục)
 Ví dụ 1 : Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa các đường
	y = x3, y = 0, x = -1, x = 2
Giải
Giải phương trình x3 = 0 ú x =0 [-1;2]. Diện tích phải tìm là :
S = 
 = 	
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng nằm giữa hai đường y = x3-3x và y = x
Giải
Ta có x3-3x – x = 0 ú x(x2-4) = 0 ú x=-2, x = 0, x = 2. Diện tích cần tìm là :
 = (đvdt)
áp dụng
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :
a/ x = 0, x =1, y =0, y = 5x4+3x2+3
b/ y = x2+1, x+y = 3
c/ y = x2+2, y =3x
d/ y = 4x-x2
e/ y = lnx, y = 0, x = e
f/ x = y3 , y = 1, x = 8 
S = 5 đvdt
S = 9/2 đvdt
S = 1/6 đvdt
S = 32/3 đvdt
S = 1 đvdt
S = 17/4
Bài 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
a/ x = , y = 0, y =cosx
b/ y =x(x-1)(x-2), y = 0
S =3 đvdt
S = 1/2 đvdt
Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y =x2-2x+2, tiếp tuyến với nó tại điểm M(3,5) và trục tung.
HD : Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M( 3, 5) là : y = 4(x-3)+5
 	 =4x-7
Hoành độ giao điểm của (P) và tiếp tuyến là nghiệm của
 phương trình x2-2x+2= 4x-7
úx2 – 6x + 9 = 0 ú x = 3
=> S = 	
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn 
bởi đồ thị hàm số y = x3-1
đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành.
HD : Giải phương trình x3-1 = 0 ú x = 1 [0, 2]
S = 
 = đvdt
Bài 5 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y = 2-x2 và y = -x
Hoành độ giao điểm của hai đường là 
nghiệm của phương trình 
2-x2 = -x ú -x2 +x+2 = 0 ú x = -1 và x = 2
=> S = đvdt