Bài tập khảo sát hàm số “Luyện thi đại học”

I. BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
y = x3 - 3x2 + 1;
y = x + 1 - x2 ;
b) y = x3 - 3x2 +
e) y = x + 100 ;
c) y = x4 - 2x2 + 3 ;
x2 - 4 x + 3
a)
2011x + 5 ;
y = 3x + 1
d)
f)
g) y =
;
x
x - 4
x - 2
x
1 + x2
x2 - 2 x - 3 ;	i) y = 2 sin x + cos 2 x , x Î [0;p ];
h)
y =
j) y =
;
k)
y =	x + 1 - x + 4 x + 4 1 - x .
y = f ( x, m) đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I.
Dạng 2: Tìm m để hàm số
y = 4 x3 + ( m + 3) x2 + mx . Tìm m để
1)
Cho hàm số:
a) Hàm số đồng biến trên
b) Hàm số đồng biến trên khoảng [0; +¥ )
é- 1 ; 1 ù
c) Hàm số nghịch biến trên đoạn
ê	2 ú
2
ë
û
d) Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài l = 1 .
y = 1 mx3 - ( m -1) x2 + 3 ( m - 2) x +
1
3
2)
Tìm m để hàm số:
[2; +¥ ) .
đồng biến trên khoảng
3
y = x3 + 3x2 + ( m + 1) x + 4m nghịch biến trên khoảng ( -1;1) .
3)
Tìm m để hàm số:
y = m -1 x3 + mx2 + (3m - 2) x đồng biến trên
4)
Tìm m để hàm số:
.
3
y = 1 mx3 + 2 ( m - 1) x2 + ( m - 1) x + m
5)
Tìm m để hàm số:
( -¥; 0) È [2; +¥ ) .
đồng
biến
trên
3
y = - x4 + 2mx2 - m2 . Tìm m để
6)
Cho hàm số:
a) Hàm số nghịch biến trên (1; +¥ )
b) Hàm số nghịch biến trên ( -1; 0) , ( 2; 3) .
Cho hàm số: y = x -1 . Tìm m để
x - m
a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó b) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥ ) .
7)
x2 - x + m2
x - 1
8) Cho hàm số y =
. Tìm m để:
a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) , ( 2; 4) .
Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình
1) Giải các phương trình sau:
a)	x2 + 15 = 3x - 2 +	x2 + 8 ;	b)	3x + 1 - 6 - x + 3x2 - 14 x - 8 = 0 (B-2010).
2) Giải bất phương trình: x3 - x2 - 3x + 2 + 6x - 7 > 0 .
3) Giải hệ các hệ phương trình sau:
ìcot x - cot y = x - y
ï
ìï(4x2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0
a) í5x + 7 y = 2p
ï0 < x, y < p
;
b) í
(A-2010).
ïî4 x2 + y2 + 2 3 - 4 x = 7
î
Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức.
Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x 0 ;
b) sin x < x "x < 0 ;
c) tan x > x "x > 0
x3
x3
6
æ	p ö
d) sin x > x -	"x > 0 ; e) sin x < x -
6
g) cos (sin x ) > sin (cos x ) "x Î
"x 3x "x Î ç 0;
÷
2 ø
è
3
+ cot x
< x "x Î æ 0; p ö
;
h)
ç	÷
2
sin x
2 ø
è
a < sin a < p a
với 0 < a < b < p
2
2	4
;	j) 1 - x < cos x < 1 - x
+ x
i)
"x ¹ 0
b	sin b	2 b
2
2
2	24
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
y = 1 x3 - 2 x2 + 3x - 3 ;
3
a) y =	4 - x2 ;
x2 - 3x + 3
x - 1
c) y = x4 - 2 x2 - 1
b)
x
x2 + 4
f) y = x2 - 2 x + 2
i) y = sin 2 x - 3 cos x, x Î [0;p ]
d) y =
y =
;	e)
;
g) y = x - sin 2 x + 2 ; h) y = 3 - 2 cos x - cos 2 x ;
f ( x, m ) có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó)
Dạng 2: Tìm m để hàm số y =
x2 - m ( m + 1) x + m3 + 1
x - m
1)
Chứng minh rằng với mọi m hàm số: y =
và cực tiểu.
Tìm m để các hàm số sau có cực trị:
a) y = 1 x3 - mx2 + (2m2 - 3m + 2) x + 8 ;
luôn đạt cực đại
2)
b) y = sin x - mx
3
Tìm m để hàm số: y = mx4 + (m2 - 9) x2 + 10 có ba cực trị. (B-2002).
3)
y = ( x - m)3 - 3x
4) Tìm m để hàm số:
đạt cực tiểu tại điểm x = 0 .
5) Tìm m để hàm số: y = 1 x3 + (m2 - m + 2) x2 + (3m2 + 1) x + m - 5 đạt cực tiểu tại
3
x = -2.
x2 + mx
1 - x
6) Tìm m để hàm số: y =
để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 .
x2 + ( m + 1) x + m + 1
x + 1
(Cm ) của hàm số
7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị
y =
luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng	20 .
(B-2005)
x2 + 2 ( m + 1) x + m2 + 4m
8) Tìm m để hàm số: y =
có cực đại cực tiểu, đồng thời các
x + 2
điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.(A-2007)
9) Cho hàm số: y = x4 - 2mx2 + 2m . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập
thành: a) Một tam giác đều
bằng 16.
b) Một tam giác vuông	c) Một tam giác có diện tích
y = 2 x3 + 3 ( m -1) x2 + 6m (1 - 2m) x có cực đại, cực tiểu nằm trên
10) Tìm m để hàm số:
đường thẳng 4x + y = 0.
11) Tìm m để hàm số: y = x3 + mx2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3x - y - 7 = 0.
12) Tìm m để hàm số: y = x3 - 3( m - 1) x2 + (2m2 - 3m + 2) x - m ( m -1) có đường thẳng
đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng x + 4 y - 20 = 0 một góc 450 .
13) Tìm m để hàm số: y = x3 - 3x2 + m2 x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
đường thẳng x - 2 y - 5 = 0 .
y = 2 x3 + (cosm - 3sin m ) x2 - 8 (1 + cos2m) x + 1
14) Cho hàm số:
3
a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1 , x 2 . Chứng minh: x + x2 £ 18 .
2	2
1
15) Tìm m để hàm số: y = 1 x3 - mx2 - x + m + 1 có khoảng cách giữa các điểm cực
3
đại và cực tiểu là nhỏ nhất
16) Tìm m để hàm số: y = x3 - 3m x2 + m có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai
2
phía của đường thẳng x - y = 0 .
17) Tìm m để hàm số: y = 1 x4 - mx2 + 3 chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
4
2
mx2 + 3mx + 2m + 1
x -1
18) Tìm m để hàm số: y =
với trục Ox.
có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối
x2 + ( m + 2) x + 3m + 2
x + 2
19) Tìm m để hàm số: y =
1
có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả
y2
+ y2 >
mãn
.
CD	CT
2
y = x3 + 2 ( m - 1) x2 + (m2 - 4m + 1) x - 2 (m2 +
2011)
20) Tìm m để hàm số:
đạt cực trị
1	1	1
( x1 + x2 ) .
tại hai điểm có hoành độ x1 , x 2 sao cho	+	=
x1	x2	2
(C ) : y = mx + 1
21) Tìm m để hàm số
có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến
m
x
1
tiệm cận xiên bằng	. (A-2005).
2
y = 1 mx3 - ( m - 1) x2 + 3 ( m - 2) x + 1
22) Tìm m để hàm số:
x1 + 2 x2 = 1.
đạt cực trị tại x , x thoả
1	2
3
3
23) Tìm m để hàm số: y = 2 x3 + ( m + 1) x2 + (m2 + 4m + 3) x +
5
2011
đạt cực trị tại hai
3
x1 x2 - 2 ( x1 + x2 )
điểm x1 , x2 sao cho A =
đạt giá trị lớn nhất.
24) Tìm m để hàm số: y = 1 x3 - 5 mx2 - 4mx - 4 đạt cực trị tại x , x sao cho biểu thức
1	2
3	2
+ x2 + 5mx1 + 12m
2
2
m
A =
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
2
x1 + 5mx2 + 12m
m
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x3 + 3x2 - 9 x + 1 , x Î [-4; 4] ;
b) y = x4 - 8x2 + 16 , x Î [-1; 3]
x
x + 2
1
x -1
, x Î ( -2; 4] ;
, x Î (1; +¥ ) ;
c) y =
d) y = x + 2 +
e) y =	x +	2 - x
f) y = cos3 x - 6 cos2 x + 9 cos x + 5 ;
g) y = sin3 x - cos 2 x + sin x + 2
2x2 + 7 x + 23
x2 + 2x + 10
x + 1
x2 + 1
j) y = x6 + 4 (1 - x2 )3 , x Î [-1;1]
, x Î [-1; 2] ;
h)
y =
; i) y =
1 + sin 6 x + cos6 x
1 + sin 4 x + cos4 x
;	l ) y = sin5 x +
3 cos x ; m) y = sin 2012 x + cos2012 x
k)
y =
cos x
sin 2 x (2 cos x - sin x )
, x Î æ 0; p ù ;
y =	2 - x +	2 - x - 4 - x2	;	o) y =
n)
ç
3 ú
è	û
4
1 + x
; r) y = ( x
x +	4 - x )( 5 - x - 4 - x )
p) y = 5 sin3 x - 9 sin 2 x + 4 ; q) y =
(1 + x2 )2
8
y = 1 + 256x
t) y =	x2 - x + 1 +	x2 + x + 1 ; u)
x2 - 4 x + 3 - 2 x2 + 4 x
; v)
y =
(1 + 4 x2 )2
2
w) y = x + ( x2 + 6 x + 9)( x2 + 2 x + 1) , x Î é-4; - 5 ù ; x)
y = æ 1 + x ö + 3 æ 1 + x ö + 1
úû	ç	÷	ç	÷
êë	4
x
x
è	ø	è	ø
y) y = 11 - 1 cos 4 x -
2	2
4 tan x
1 + tan 2 x
1
cos2 x
1
cos x
;	z) y = cos2 x +
+ cos x +
+ 1
Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số:
( x -1) (8 - x ) = m
1)
2)
3)
Tìm m để phương trình:	x -1 + 8 - x -
có nghiệm thực.
Tìm m để phương trình:	3 x -1 + m x + 1 = 2 4 x - 1 có nghiệm thực. (A-2007)
Tìm m để phương trình: 2 (sin 4 x + cos4 x ) + cos 4x + 2 sin 2 x + m = 0 có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn é0; p ù .
ê	2 ú
ë	û
Tìm m để phương trình :
2x2 - 2 ( m + 4) x + 5m + 10 + 3 - x = 0
ì x + 1 + y + 1 = 5
4)
có nghiệm thực.
ï
x
y
Tìm m để hệ phương trình: ï
5)
có nghiệm thực.
í
1
1
ï x3 +	+ y3 +	= 15m -10
ïî	x3
y3
( D-2007).
x2 + 1 có hai nghiệm thực phân
Tìm m để phương trình: 10x2 + 8x + 4 = m ( 2 x + 1)
biệt.
6)
Tìm m để BPT: m (
x2 - 2 x + 2 + 1) + x ( 2 - x ) £ 0 có nghiệm trên é0;1 +
3 ù .
7)
ë
û
ìï2 x2 - 7 x + 3 £ 0
8)
Với giá trị nào của m thì hệ í
có nghiệm thực.
ïî x2 - mx + m £ 0
ìï( x2 - 3x - 4)( x2 - 5x + 2011) £ 0
9)
Tìm m để hệ: í
có nghiệm thực.
ïî x3 - 3 x x - m2 -15m ³ 0
ìï(1 - x2012 )(5x2012 + 1) ³ 0
10) Tìm m để hệ: í
có nghiệm thực.
ïî x2 - (m + 2) x + 2m + 3 ³ 0
11) Tìm m để phương trình: 4 2x +	2 x + 2.4 6 - x + 2 6 - x = m có đúng hai nghiệm
phân biệt. (A-2008).
12) Tìm m để phương trình m ( 1 + x2 - 1 - x2 + 2) = 2 4 1 - x4 + 1 + x2 - 1 - x2 có
nghiệm thực. (B-2004).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ
Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ
y = x3 + 6x2 + x - 12 (C )
1) Cho hàm số:
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương trình y¢¢ = 0 .
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).
1
x + 2
và điểm I ( -2; 2) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong
2) Cho hàm số: y = 2 -
phép tịnh tiến theo vectơ OI và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó
suy ra I là tâm đối xứng của (C).
Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị.
1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau:
3x2 - 5x + 8
2 x -1
4x + 3
10 x - 6
a) y = x3 - 6 x2 + 4 x - 9 ; b) y =
; c) y =
.
2) Cho hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2x2 -12mx . Xác định m để hàm số có trục đối xứng song song với Oy.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
V. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2
2 x2 - x + 1
x
x + 1 ;
2 x + 1
x + x ;
x -1
f) y = x +
x + 3 ;
x + 1
g) y =
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
2 x3 - x2
x
1 - x2
x + 1
x2 - 4
e) y =	x2 - x + 1 ;
x2 + 2 x ;
;
h) y =
x2 + 1
2
y = 6 x + 5x - 7
x
4 - x2
x2 - x + 1 - x ;
i) y =
;	j)
;	k) y =
l) y =
.
2 x2 + 3x + 1
Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số
mx2 + 6 x - 2
x + 2
1)
Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:
y =
.
x + 2
x2 - 4 x + m
2)
Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số:
x - 3
y =
.
3)
Tìm m để đồ thị hàm số: y =
chỉ có đúng một tiệm cận đứng.
x2 + mx + 2m
x + 1
x2 + mx + 1
4)
Tìm m để đồ thị hàm số: y =
2	2
có hai tiệm cận đứng là x = x , x = x sao
1
2
x1 + x2
x2	x2
cho
> 7 .
2	1
- x2 + x + m
x + m
5)
Cho hàm số:
A ( 2; 0) .
y =
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua
điểm
x2 + mx -1
x -1
Cho họ đ ... iệm
x - 2
cận là nhỏ nhất.
Cho (C ) : y = x - 1 . Tìm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ
7)
x + 1
độ là nhỏ nhất.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
x + 2
2 x + 3
8)
y =
, biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
cân tại O. ( A-2009).
2 x
x + 1
(C ) : y =
9)
Tìm toạ độ điểm M thuộc
, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
1 .
trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
(D-2007)
các điểm A, B để độ dài AB nhỏ
(C ) : y = 4x - 9
10) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị
nhất.
x - 3
- x2 + 2 x - 5
x -1
11) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C ) : y =
nhỏ nhất.
các điểm A, B để độ dài AB
y = 2x - 3
11) Cho hàm số:
(C).
x - 2
Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C)
tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK
có diện tích nhỏ nhất.
y = 2x + 1
A ( -2; 5) . Xác định đường thẳng d cắt (C )
12) Cho hàm số:
và điểm
tại
x -1
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều.
13) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y =
2 x2 - 4 x - 3
2 ( x -1)
.
b) Tìm m để phương trình: 2 x2 - 4 x - 3 + 2m x -1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
- x2 + 3x - 3
14) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số: y =
tại hai điểm A,
2 ( x - 1)
B sao cho AB = 1. (A-2004).
15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
x2 + 2 x + 5
x + 1
y =
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: x2 + 2 x + 5 = (m2 + 2m + 5)( x + 1) .
x2 + 3x + 3
x + 2
16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
y =
(C)
tam giác có diện tích lớn nhất.
11) Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m + 1 cắt
B sao cho AOB nhọn.
b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx - m cắt (C) tại
hai điểm A và B thuộc hai nhánh của nó.
c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.
( m + 1) x + m
x + m
17) Chứng minh rằng với mọi m ¹ 0 , đồ thị của hàm số y =
xúc với một đường thẳng cố định.
luôn tiếp
VII. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ
2 x
x - 2
(C ) : y =
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần
lượt tại M, N sao cho MN = OM 2 với O là gốc toạ độ.
2) Tìm m để hàm số y = 1 x3 - 1 mx2 + (m2 - 3) x + m2012 . 2011
(C )
đạt cực trị tại x , x
m
1	2
3	2
10
2
đồng thời x1 , x2 là độ dài của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng
.
(C ) : y = 1 mx3 + ( m -1) x2 + ( 4 - 3m ) x
3) Tìm tất cả các giá trị m sao cho trên đồ thị
tồn
m
3
tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
d : y = - 1 x + 3 .
2	2
Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị (C ) : y = x3 - 3x + 2
4)
tại 3 điểm phân
biệt M, N, P sao cho xM = 2 và NP = 2 2 .
5) Tìm m để đường thẳng d : y = - x + 1 cắt
(C ) : y = 4 x3 - 6mx2 + 1
tại ba điểm
m
A (0;1) , B, C biết
B, C đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
(C ) : y = x4 - 2mx2 + 2m2 - 4
6) Tìm m để đồ thị
có ba điểm cực trị tạo thành một tam
m
giác có diện tích bằng 1.
7) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C ) : y = x - 2
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần
x + 1
lượt tại A, B sao cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB lớn nhất.
y = 2mx + 3
(C ) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến
8) Cho hàm số:
m
x - m
bất kì với (Cm ) cắt hai tiệm cận lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.
(C ) y = x4 - 4 x2 + m
9) Tìm m để đồ thị
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho
m
diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Cm ) và trục hoành có phần trên bằng phần dưới.
10) Tìm m để đồ thị	) : y = x4 - 2 (1 - m2 ) x2 + m + 1 có ba điểm cực trị tạo thành một
(C
m
(C ) : y = x + 3
tại hai điểm phân biệt A,
x - 2
x
x -1
(C ) : y =
12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm
cận một tam giác có chu vi bằng 4 + 2 2 .
y = 2 x - m
(C ) .
(C )
13) Cho hàm số
d : y = 2 ( x - m )
Chứng
minh rằng với mọi m ¹ 0 ,
( H )
cắt
m
m
mx + 1
tại hai điểm phân biệt A, B thuộc một đường
cố định. Đường thẳng
d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N . Tìm m để
Tìm trên (C ) : y = - x + 1
SDOAB = 3.SDOMN .
14)
các điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB = 4 và đường
x - 2
thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x .
(C ) : y = x4 - mx2 + m -1
15) Tìm m để đồ thị
hoành độ lớn hơn -2 .
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
m
(C ) : y = x + 3
16) Tìm m để đường thẳng d : y = 2 x + 3m cắt
tại hai điểm phân biệt A, B
x + 2
sao cho OA.OB = -4 với O là gốc toạ độ.
17) Tìm toạ độ hai điểm B, C thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị
cho tam giác ABC vuông cân tại A ( 2;1) .
(C ) : y = 3x - 1
sao
x - 1
18) Tìm m để đồ thị (C ) : y = x3 + 3x2 + m có hai điểm cực trị A, B sao cho A OB = 1200 .
(C ) : y = 2 x - 1
19) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt
tại hai điểm phân biệt A, B
x + 1
sao cho AB = 2 2 .
y = 3x - 2 (C ) . Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị. Viết
20) Cho hàm số:
x + 1
phương trình tiếp tuyến của d với (C ) biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt
tại A và B sao cho cos B AI = 5
26 .
26
21) Tìm m để (C ) : y = x4 - 2mx2 + 2
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường
m
tròn ngoại tiếp đi qua điểm D æ 3 ; 9 ö .
ç 5 5 ÷
è	ø
22) Cho hàm số: y = 1 x4 - 3x2 + 5
(C )
A Î (C ) với
và điểm
x = a . Tìm các giá trị thực
A
2
của a biết tiếp tuyến của
2
(C ) tại A cắt đồ thị (C )
tại hai điểm B, C phân biệt khác A sao
cho AC = 3AB ( B nằm giữa A và C).
(C ) : y = 1 x4 - (3m + 1) x2 + 2 (m + 1)
23) Tìm m để đồ thị
có ba điểm cực trị tạo thành
m
4
một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O.
24) Tìm m để (C ) : y = 1 mx3 + ( m -1) x2 + (3m - 4) x + 1 có điểm chung mà tiếp tuyến tại
m
3
đó vuông góc với đường thẳng d : y = x + 2011 .
25) Tìm m để	) : y = x3 - 3mx2 + 3 (m2 - 1) x - (m2 -1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có
(C
hoành độ dương.
m
26) Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = x3 - 3x2 + 3mx + 3m + 4 và
m
trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành bằng phần nằm dưới trục hoành.
(C ) : y = - x - 1
27) Tìm trên
các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A
x + 2
song song với tiếp tuyến tại B và AB = 2 2 .
A (1; 0)
28) Gọi d là đường thẳng đi qua
(C ) : y = x + 2
và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt đồ thị
tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và
x - 1
AM = 2AN .
(C ) : y = x3 - 3mx + 2
29) Tìm m để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu của
cắt
m
(C ) : ( x -1)2 + ( y -1)2 = 1
đường tròn
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam
giác IAB lớn nhất.
30) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) : y =
x + 3
2x + 2
biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ Ox,
Oy tại hai điểm A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc toạ độ O.
(C ) : y = 1 x3 - 1 ( m + 1) x2 + mx
31) Tìm m để
có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau
m
3	2
qua đường thẳng d : 72 x -12 y - 35 = 0 .
y = x3 - 3x2 + 4 (C ) . Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng
32) Cho hàm số
d : y = m ( x + 1) luôn cắt đồ thị (C ) tại một điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt
(C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C đồng thời B, C cùng với gốc toạ độ O lập thành một tam giác có diện tích bằng 1.
33) Tìm tất cả các giá trị m để (C ) : y = 1 x3 - 1 ( m + 1) x2 - 2 ( m + 1) x + 1 có hai điểm cực
m
3	2
trị có hoành độ lớn hơn 1.
34) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị
(C ) : y = x3 - 3x + 2
sao cho tiếp tuyến tại A và B có
cùng hệ số góc và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng x + y + 2011 = 0 .
(C ) y = x3 - 6 x2 + 9x + m
35) Giả sử
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x < x < x .
m
1	2	3
Chứng minh rằng: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 .
36) Chứng minh rằng với mọi m ,	) : y = x3 + 3 ( m + 1) x2 + 3 (m2 + 1) x + m3 + 1 cắt trục
(C
m
hoành tại duy nhất một điểm.
37) Gọi d là đường thẳng đi qua
M ( 2; 0)
và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt
(C ) : y =
3
x - 3 x - 2 tại bốn điểm phân biệt.
A (3; 5)
38) Tìm m để điểm
nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của
(C ) : y = x3 - 3mx2 + 3 ( m + 6) x + 1 .
m
39) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) : y = ( x - 1) ( x3 + x2 + 1) biết tiếp tuyến tiếp xúc
với đồ thị tại hai điểm phân biệt.
40) Tìm m để (C ) : y = x3 - 2 (m + 2) x2 + 7 (m + 1) x - 3(m + 4) cắt trục hoành tại ba điểm
m
2	2	2
phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 sao cho x1 + x2 + x3 + 3x1 x2 x3 > 53 .
41) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng	D : y = mx - m2	luôn cắt
m
tại một điểm A có hoành độ không đổi. Tìm
(C ) : y = x3 - (3m -1) x2 + 2m (m - 1) x + m2
m
(Cm )
(Cm )
m để Dm còn cắt
tại một điểm nữa khác A mà tiếp tuyến của
tại hai điểm đó
song song với nhau.
42) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của
qua điểm A æ1; - 55 ö .
(C ) : y = x3 - 2 x2 + ( m - 2) x + 3m
đi
m
ç
27 ÷
è
ø
x + 1
2 x + 1
(C ) : y =
43) Tìm m để đường thẳng
d : 2mx - 2 y + m + 1 = 0
cắt
tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
(C ) : y = mx - 4m + 3 , hãy viết các đường thẳng đi qua
44) Từ các điểm cố định của
m
x - m
chúng và có hệ số góc k = 3 . Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
2
vừa lập và trục Ox.
45) Tìm m để	) : y = x3 - 3 (2m2 -1) x2 + 3(m2 -1) x + 1 - m3 có hai điểm phân biệt đối
(C
m
xứng nhau qua gốc toạ độ O.
46) Tìm m để hàm số: y = m
trên	.
2
-1 x3 + (m + 1) x2 + 3x + 2011m2 + 2012m + 2013
đồng biến
3
x2 + x -1
x -1
(C ) tại hai điểm A, B phân
47) Cho hàm số:
biệt.
y =
(C). Giả sử
d : y = - x + m
cắt
a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I (1; 3) một đoạn là
b) Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi m thay đổi.
48) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định của (C ) : y = - x4 + 2mx2 - 2m + 1 vuông góc
10 .
m
nhau.
49) Tìm m để (C ) : y = x3 - 3x2 + 2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với
đường tròn (C ) : x2 + y2 - 2mx - 4my + 5m2 -1 = 0 .
m
50) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị
(C ) : y = 1 x3 - x2 - 3x + 8
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc
3
3
toạ độ O.
y = x3 - 2mx2 + ( m + 3) x + 4 có đồ thị là (Cm ) , đường thẳng
51) Cho hàm số:
E (1; 3) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt (Cm ) tại
d : y = x + 4 và điểm
A (0; 4) , B, C
ba điểm phân biệt
sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4 .
y = - x + 1 có đồ thị (C ) . Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng
52) Cho hàm số
2 x -1
y = x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k2 lần lượt là tiếp tuyến với (C)
tại A, B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.	( A -2011)
53) Tìm m để (Cm ) :
- 2 ( m + 1) x
4
2
y = x
+ m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC
với O là gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. (B-2011)
54) Tìm k để d : y = kx + 2k + 1 cắt (C ) : y = 2 x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x + 1
khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. (D-2011).