Bài tập Hình không gian

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA = 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB .
	1. Chứng minh 
	2. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM.
Bài 4: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.
	1. Chứng minh . Tính khoảng từ A đến (SBC)
	2. Gọi O là trong điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Bài 5: Cho tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BC = a, , SA = 2a. Gọi M là trung điểm của AB.
	1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
	2. Tính đường cao AK của tam giác AMC
	3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và (ABC)
	4. Tính khoảng cách từ A đến (SMC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và SA = a . Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng :
	a) SA và AD b) SC và BD c) SB và CD
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC 
	1. Chứng minh 
	2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
Bài 8: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC là a . Gọi H là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH .
	1. Chứng minh và DH = a
	2. Chứng minh 
	3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A bằng 600, đường cao SO = a. 
 1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
	2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = b, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a.
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).
Bài 13: Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC = 900. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD theo a và b.
Bài 14: Cho tứ diện ABCD có ABC vuông tại A, AD vuông góc với mp(ABC) và AD = a, AC = b, AB = c. 
 1) Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c 
 2) Chứng minh rằng: 
Bài 15: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA; OB; OC đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB). 
 Chứng minh rằng : 
Bài 16: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại tâm O, lấy điểm D sao cho . Gọi điểm giữa của BD và DC lần lượt là M, N.
	1) Tính góc giữa các đường thẳng AM và BC 
	2) Tính tỷ số thể tích giữa các phần của khối ABCD được phân chia bởi thiết diện AMN
	3) Tính thể tích khối ABCMN
Bài 17: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA = OB = OC = a và đôi một vuông góc với nhau, góc OCB = . 
	1) Chứng minh rằng tứ diện có các cạnh đối vuông góc và hình chiếu của O xuống mặt phẳng (ABC) là trực tâm của tam giác ABC
	2) Tính thể tích V của tứ diện OABC. Xác định để thể tích V = 
	3) Tìm tâm và bán kính R của hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 18: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Cạnh SA = a và vuông góc với đáy 
	1) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện SBCD 
	2) Gọi MNPQ là thiết diện của hình chóp và một mặt phẳng song song với mặt đáy. Trong đó M ở trên cạnh SA và AM = x. Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x
	3) Tính thể tích khối ABCDMNPQ theo a và x
Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a và I là điểm giữa của cạnh AB. Qua I dựng đường vuông góc với mặt phẳng hình vuông và lấy điểm S sao cho .
	1) Chứng minh rằng SAD là tam giác vuông.
	2) Tính diện tích xung quanh hình chóp SABCD.
	3) Tính thể tích hình chóp SACD, từ đó tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SAD
Bài 20: Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B = C = .Các cạnh bên cùng nghiêng với đáy một góc .
	1) Tính thể tích hình chóp SABC
	2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh B và đường cao SO của hình chóp.
Bài 21: Cho tam giác cân ABC (AB = AC = 2b; BC = 2a). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy AS = a.
	1) Tính thể tích hình chóp SABC
	2) Tính diện tích tam giác SBC và suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
	3) Tìm trên AS điểm M sao cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 22: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h, góc ASB bằng 2. 
Tính thể tích khối chóp
Bài 23: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB = a, góc giữa (SBC) và đáy bằng (0<<)
a/ Tính thể tích khối chóp
b/ Tìm để thể tích khối chóp lớn nhất
Bài 24: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A tới mp(SBC) bằng 2a, góc giữa mặt bên và đáy bằng (0<<)
a/ Tính thể tích khối chóp
b/ Tìm để thể tích khối chóp nhỏ nhất
Bài 25: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. mp(AB’D’) cắt SC tại C’
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Bài 26: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c
Tính thể tích khối tứ diện
Bài 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, biết cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h.
Tính thể tích khối tứ diện ABC’A’
Bài 28: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, diện tích một mặt bên bằng diện tích đáy. a/ Tính thể tích khối chóp
 b/ Lấy điểm M tùy ý ở miền trong khối chóp. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M tới các mặt khối chóp không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Bài 29: Cho điểm M di động trên đường tròn đường kính AB. Trên đường thẳng vuông góc với mp chứa đường tròn tại A, lấy điểm S. Mp (P) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí M để thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất
Bài 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. C/m rằng mp(MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau
Bài 31: Khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N lần lượt là trung điểm của C’B’,C’D’ 
a/ Dựng thiết diện tạo bởi mp(AMN) và khối lập phương 
b/ Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mp(AMN)
Bài 32: Cho tứ diện ABCD. Kẻ đường cao AH (H(BCD))
a/ CMR nếu H là trực tâm của tam giác BCD và AB AC thì ABAD và ACAD
b/ Giả sử BC = CD = DB; AB = AC = AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ H tới AD. Đặt AH = h, HK = d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo h và d. 
Bài 33: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’, biết độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5; khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 34: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Biết diện tích A’BC bằng 8, góc giữa mp(A’BC) và đáy bằng 30. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 35: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng 2, đáy là hình bình hành có góc BAD. Các đường chéo AC’, DB’ lần lượt tạo với đáy góc 45 và 60.
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 36: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a, Các góc A’AB, BAD, A’AD bằng nhau và bằng (0<<90). Tính thể tích khối hộp
Bài 37: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 1; đáy là hình chữ nhật; AB = , AD = . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy góc 45 và 60. 
Tính thể tích khối hộp
Bài 38: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt bên (ABB’A’) bằng 7, diện tích mặt (ABB’A’) bằng 4. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 39: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, biết AB = , AA’ =, mp(AA’B) vuông góc với mp(ABC), góc giữa (AA’C) và (ABC) bằng 60, góc A’AB nhọn. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 40: Cho tứ diện ABCD, biết AB = AC = BC = BD = a, AD = b, hai mặt (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau
a/ Chứng minh ACD vuông
b/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Bài 41: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kỳ trên (d), S khác A
a/ Biết SA = h, tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
b/ Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua tâm mặt cầu nói trên. CMR khi S thay đổi trên (d) thì A’ thuộc một đường thẳng cố định
Bài 42: Cho tứ diện ABCD, biết BC = a; BD = b, góc CBD bằng , AB(BCD). Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B trên AC và AD. CMR các điểm B, C, D, B’, C’ cùng thuộc một mặt cầu và tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó theo a, b, .
Bài 43: Một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp S.ABC và có tâm I nằm trên đường cao SH của hình chóp
a/ C/m S.ABC là hình chóp đều
b/ Biết SI = R, tính độ dài đường cao SH.
Bài 44: Cho hai tia Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung. Trên Ax, By lần lượt lấy các điểm C, D. Biết AB = a, AC = b, BD = c
a/ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
b/ Khi C, D thay đổi trên Ax, By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh CD luôn tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB 
Bài 45: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vuông cạnh a.
a/ Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ
b/ Mp() song song với trục hình trụ, cắt đáy hình trụ theo một dây cung có độ dài bằng bán kính đáy hình trụ. Tính diện tích các thiết diện tạo bởi mp() với hình trụ và khối cầu ngoại tiếp hình trụ
Bài 46: Cho hình nón có bán kính đáy là R, góc giữa đường sinh và đáy bằng . Mp(P) song song với đáy hình nón, cách đáy hình nón một khoảng bằng h, cắt hình nón theo đường tròn (C)
a/ Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h, 
b/ Tính diện tích và thể tích phần hình nón nằm giữa đáy hình nón và mp(P)
Bài 47: Cho hình nón có bán kính đáy là R, chiều cao bằng 4R.
a/ Tính diện tích toàn phần hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r
b/ Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần hình trụ đạt giá trị lớn nhất