Bài tập Hình học phẳng và Hình học không gian

Đường thẳng trong mặt phẳng 
1/ Véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
* Véc tơ được gọi là vtcp của d nếu giá của nó // d
 * Véc tơ được gọi là vtpt của d nếu giá của nó d
NX : Một đường thẳng có vô số vtcp và vtpt
2/ Phương trình đường thẳng
Đường thẳng d qua điểm M0(x0,y0) nhận (u1;u2) làm vtcp có phương trình tham số là : tR
=> ptct phương trình TQ u2(x-x0)-u1(y-y0) = 0
Phương trình tổng quát của đường thẳng : Ax+By+C = 0 (A2+B2 0)
 Có vtcp (-B,A) , vtpt (A,B)
Đường thẳng d qua điểm M0(x0,y0) nhận (n1;n2) làm vtpt có phương trình tổng quát là : n1(x-x0) + n2(y-y0) = 0
Cho đường thẳng d có phương trình Ax+By+C = 0 hoặc y =ax+b
Đường thẳng //d có dạng Ax+By+M = 0 hoặc y = ax+m
Đường thẳng d có dạng –Bx+Ay+N = 0 hoặc y= -
áp dụng :
Bài 1 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc, phương trình TQ của đường thẳng :
Đi qua điểm M(2;-5) nhận (1;3) làm vtcp
Qua A(2;4), B(1;3)
Bài 2 Viết phương trình tham số, phương trình chính 
tắc của đường thẳng có phương trình TQ : 3x-5y+11= 0
HD : vtcp (5,3), Chọn x0=-2, y0=1
Bài 3 Cho trung điểm 3 cạnh một tam giác là 
M(3;-2), N (-1;1), P(5,2). 
 Lập phương trình TQ 3 cạnh của tam giác.
 Giải 
* phương trình AB : 
* phương trình AC : 
* phương trình BC : 
Bài 4 : Viết phương trình trung trực các cạnh một tam giác 
 biết trung điểm các cạnh là M(-2;1), N(3,-4), P (5,2)
Gọi tam giác đã cho là ABC , 
Giải
M;N;P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC 
PT trung trực của AB 
Tương tự cho các trường hợp còn lại
Bài 5 : Cho trung điểm 3 cạnh của tam giác ABC là M(2,1), N(5,3), P(3,-4)
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC 
Lập phương trình các đường trung trực các cạnh của tam giác ABC 
Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC 
( Tương tự Bài 3+4)
Bài 6
Viết phương trình đường thẳng qua A(1,-2) và //d : 4x-3y+5 = 0
Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm : đồng thời // với : x-2y= 0
Giải 
Đường thẳng qua A và // d có dạng:
 4x-3y+M = 0 (*)
Thay A(1,-2) vào (*) ta được M = -10
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 4x-3y-10 = 0
Toạ độ giao điểm B của d1, d2 là nghiệm của hệ : 
Phương trình đường thẳng qua B và // có dạng : x-2y+N = 0 (*)
 Thay toạ độ của B vào (*) ta được N = -161/52
 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 52x-104y-161=0
 Bài 7 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2) và phương trình 2 đường cao kẻ từ B, C lần lượt là :
 d1: 9x-3y- 4 = 0 ; d2 : x+y-2 = 0
 a/ Viết phương trình các cạnh của tam giác
 b/ Lập phương trình đường trung tuyến của tam giác
Giải 	 
a/ Ta thấy A không thuộc 2 đường cao
gọi d1, d2 lần lượt xuất phát từ B và C 
Lập phương trình AB : Qua A(2;2) và d2 có dạng :
x-y+M= 0 (*) Thay A(2;2) vào (*) được M = 0
*Lập phương trình AC : Qua A(2;2) và d1 có dạng -3x-9y+M = 0 (**)
Thay A(2;2) vào (**) được M = 24
Vậy phương trình AC : 3x+9y-24 = 0 ú x+ 3y – 8 = 0
Lập phương trình BC (Tìm toạ độ B, C)
+ Toạ độ B là nghiệm của hệ : 
+ Toạ độ C là nghiệm của hệ : 
Vậy phương trình BC : => phương trình 7x+5y-8=0
b/ Học sinh tự giải
3/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng chùm đường thẳng
Kiến thức cần nhớ :
Xét 2 đường thẳng có phương trình :
	d1:A1x+B1y+C1 = 0
	d2:A2x+B2y+C2 = 0
d1 cắt d2 ú 
d1//d2 ú 
d1 trùng d2 ú 
d1 d2 ú A1A2+B1B2 = 0
* Đường thẳng qua giao điểm d1 và d2 có dạng :
m(A1x+B1y+C1) + n(A2x+B2y+C2) = 0
Bài 1: Với a, b ? thì các đường thẳng
d1: ax-2y-1 = 0; d2 : 6x- 4y- b = 0
Cắt nhau
Song song
Trùng nhau
Vuông góc
Giải :
d1 cắt d2 ú 
d1//d2 ú 
d1 trùng d2 ú 
d1d2 ú 2.4+a.6 = 0 ú a= -4/3 
Bài 2 Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết 2 đường cao có phương trình :
BH : 5x+3y-25= 0; CR : 3x+8y-12 = 0. Viết phương trình đường cao AL
b. Viết phương trình đường thẳng BC nếu biết đường trung trực của BC là : 
3x+2y- 4 = 0 và toạ độ trọng tâm G(4;-2)
Giải
Đường cao AL thuộc chùm xđ bởi BH, CR nên phương trình dạng :
m(5x+3y-25)+n(3x+8y-12)=0 ú ( 5m+3n)x+(3m+8n)y-(25m+12n) = 0
Đường thẳng AL đi qua A nên ta có : -5m-3n-9m-24n-25m-12n = 0 ú39m+39n=0
Chọn m=1 => n = -1 Vậy phương trình AL : 2x-5y-13 = 0
Hướng dẫn 
Lập phương trình AG
Đường thẳng BC thuộc chùm AG và đường trung trực của BC => phương trình 
Bài 3 Các cạnh tam giác ABC cơ phương trình 
AB : 2x+3y – 5 = 0; BC ; x-2y+1 = 0 ; CA: -3x+4y-1 = 0. Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC 
Hướng dẫn 
AH thuộc chùm AB và CA có dạng ?
AH BC => .’ = ?
AH : 34x+17y-51 = 0
Bài 4 : Viết phương trình đường thẳng qua M(2;5) và cách đều 2 điểm P (-1;2) và Q(5;4)
Hướng dẫn 
Đường thẳng qua trung điểm PQ
Qua M và // PQ
4/ Góc giữa hai đường thẳng . Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 
Cho d1: A1x+B1y+C1 = 0
 d2:A2x+B2y+C2 = 0
cos(d1;d2) = 
d1 d2 ú A1A2+B1B2 = 0
Cho d1 : y =k1x+b1
 d2 : y = k2x+b2
tg(d1;d2) = 
d1 d2 ú k1.k2= -1
*Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d1 và d2 là :
Bài 1 : Tìm khoảng cách từ điểm M(1,2) tới đường thẳng
a/ 2x+3y -5 =0
b/ 4x -2y +1 = 0
c/ -3x +y -4 = 0
Bài 2 Viết phương trình đường phân giác của hai đường thẳng 
a/ 2x + y – 3 = 0 và x -2y +1 = 0
b/ 4x – y + 2 = 0 và 
BTVN
Bài 1 : Viết ptts, ptct rồi suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng 
Qua M(-3;-2) và nhận (1;-2) làm vtcp
Qua 2 điểm A(4;-1) và B(-2;7)
Bài 2 : Viết ptts, ptct của đường thẳng có phương trình tổng quát là : 
3x-2y+5 = 0
Bài 3 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;5) và 2 đường cao có phương trình : 2x+3y+7 = 0 và x-11y+3 = 0
Bài 4 : 
Viết phương trình đường thẳng qua A(3;-4) và // x+4y-2 = 0
Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của 2 đường thẳng :
3x-5y+2=0 và 5x-2y+4 = 0 đồng thời // với đường thẳng 2x-y+4 = 0
Bài 5 : Lập phương trình các đường trung trực các cạnh một tam giác biết trung điểm các cạnh là M(-1;-1); N(1;9), P(9;1)
 Đường tròn
1/ Phương trình chính tắc, tổng quát của đường tròn
* Đường tròn tâm I(a,b) bán kính R có phương trình 
chính tắc:
(x-a)2+(y-b)2 = R2
* Khai triển phương trình chính tắc ta được :
x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 gọi là phương trình tổng quát 
của đường tròn.
Với c = ; R = 
* Đặc biệt IO(0,0) ta có phương trình đường tròn là :
	x2 + y2 = R2
Bài 1 : Lập phương trình đường tròn tâm I (2,3) bán kính R = 2 
Phương trình đườngtròn là: (x-2)2 +(y-3)2 = 4
Bài 2 : Lập phương trình đường tròn tâm I (1,2) và đi qua điểm A( 2, -1)
Đường tròn tâm I(1;2) bán kính R = IA = có phương trình là (x-1)2 + (y-2)2 =10
Bài 3 : Lập phương trình đường tròn qua A(2,0), B(0,1), C(3,0)
Gọi phuơng trình đường trò là x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 (C)
Vì A,B,C thuộc (C) nên ta có:
vậy phương trình đường tròn là: x2+y2 –5x –7y + 6= 0
2/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
Cho x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 (C) với a2+b2 > c và M0(x0, y0) ta có :
P M0/(C) =M0I2 –R2 = x0 2+y0 2 – 2ax0 – 2by0 + c 
P M0/(C) M0 nằm trong đường tròn
P M0/(C) = 0 => M0 nằm trên đường tròn
P M0/(C) > 0 => M0 nằm ngoài đường tròn
Ví dụ : Tìm phương tích của điểm M (3, 2) với đường tròn sau :
a/ x2+y2 – 2x – 2y -10 = 0
P M/(C)=32+22-2.3-2.2-10 = -7 M nằm trong đường tròn
b/ x2+y2 – 4x – 2y +4 = 0
c/ x2+y2 – 2x – 2y +2 = 0
3/ Trục đẳng phương của hai đường tròn
Cho : x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 (C)
	 x2+y2 – 2a’x – 2b’y + c = 0 (C’)
Trục đẳng phương của hai đường tròn là đường 
thẳng có phương trình :
2(a-a’)x +2(b-b’)y +c’- c = 0
Ví dụ : Cho 2 đường tròn có phương trình 
x2+y2 – 2x – 2y -10 = 0 (C1)
x2+y2 – 4x – 2y +4 = 0 (C2)
Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn
4/ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho : x2+y2 – 2ax – 2by + c = 0 (C) và điểm M(x0, y0). 
Hãy lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
M(x0, y0) và tiếp xúc (C)
Nếu điểm M(x0, y0) nằm trên (C) thì phương 
trình tiếp tuyến là :
 (x0-a)(x-x0) + ( y0-b)(y-y0) = 0
Nếu điểm M(x0, y0) nằm ngoài đường tròn lập 
phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(x0, y0). ĐK để d là tiếp tuyến là 
d (M0, d) = R
 Ví dụ : Cho đường tròn (C) : x2 + y2 -4x+8y -5 = 0
	a/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1;-8)
	b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1,0)
	c/ viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x-4y+5=0
 5/ Bài tập
	Bài 1 : Tìm tâm và bán kính đường tròn
	a/ x2+y2-2x+4y+1 = 0
	b/ x2+y2+4x -8y + 3 = 0
	Bài 2 : Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
	a/ Tâm I(2,-3) và đi qua điểm M(3,5)
	b/ Đường kính AB biết A(2, 3) , B(4,1)
	c/ Tâm I(-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng x-2y+7 = 0
	Bài 3 : Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
	a/ A(1,2), B(5,2), C(1,-3)
	b/ A(-2,4), B(5,5), C(6, -2)
Bài 4 : Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tạo độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2,1).
 Ba đường cô níc
Elíp (E)
Hypebol (P)
Parabol (P)
1. Định nghĩa
(E)={M|MF1+MF2=2a>2c =F1F2 }
F1(-c,0), F2(c,0) – Tiêu điểm
F1F2 = 2c - Tiêu cự
Trục lớn 2a, nửa trục là a
Trục nhỏ 2b, nửa trục b
 b M
 -a/e -a F a a/e
 -b 
(H)={M|MF1-MF2|=2a<2c =F1F2 }
F1(-c,0), F2(c,0) – Tiêu điểm
F1F2 = 2c - Tiêu cự
Trục thực Ox, nửa trục a
Trục ảo Oy, nửa trục b
Cho cố dịnh và F , MH
M(P)ú MF = MH
F – Tiêu điểm của (P)
 - Đường chuẩn của (P)
 H M
 O F
2. Phương trình chính tắc
 với a2 = b2 +c2
 với c2 = a2 +b2
Y2 = 2px
3. Tâm sai
e = <1
e = >1
4. Đường chuẩn
5. Tiệm cận
6. Bán kính qua tiêu
7. Tiếp tuyến
* Tiếp tuyến của (E) tại điểm M0(x0, y0) (E) là : 
* Đường thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp tuyến của (E) ú a2A2+b2B2 = C2
* Đường thẳng y = kx+m là tiếp tuyến của (E) ú k2a2+b2 = m2
* Tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(x0, y0) (H) là : 
* Đường thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp tuyến của (E) ú a2A2-b2B2 = C2
* Đường thẳng y = kx+m là tiếp tuyến của (E) ú k2a2-b2 = m2
* Tiếp tuyến của (P) tại điểm M0(x0, y0) (P) là : y0y =p(x+x0)
* Đường thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp tuyến của (P) ú pB2 = 2AC
* Đường thẳng y = kx+m là tiếp tuyến của (P) ú p2 =2km
Bài tập về Elíp
Ví dụ 1 : Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của các (E) có phương trình sau :
a/ 	b/ 	c/ 
d/ 	e/ 4x2 +9y2 = 1	g/ 4x2+9y2 =36
Ví dụ 2 : Lập phương trình chính tắc của (E) biết :
a/ Độ dài trục lớn và nhỏ lần lượt là 8 và 6
b/ Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự 8
c/ Độ dài trục lớn là 12, tâm sai e = 1/2
Ví dụ 3 :Lập phương trình chính tắc của (E) trong các trường hợp sau :
a/ (E) đi qua các điểm M(0;3), N (3;-12/5)
b/ (E) có một tiêu điểm F1(
Bài tập 
Bài 1 : Viết phương trình chính tắc của (E) biết :
a/ Trục lớn 10, tiêu cự 8.
b/ Tiêu cự 6, tâm sai e = 3/5
c/ Độ dài trục nhỏ 10, tâm sai e = 12/13
d/ Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 16, độ dài trục lớn 8
e/ Khoảng cách giữa các đường chuẩn là 32, tâm sai e=1/2
a/ a =5, b=3 =>ptct ?
b/ a =5, b =4 =>ptct ?
c/ a =13, b =5 => ptct ?
d/ a = 4, b = => ptct ?
e/ a = 8, b = => ptct ?
Bài 2 
a/ Viết phương trình chính tắc của (E) có tiêu cự 8, tâm sai e =4/5.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) xuất phát từ M(0,)
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (E) : 
biết tiếp tuyến // (d) : 3x+2y+7 = 0
ĐS : 3x+2y 10 = 0
Bài 4 : Lập phương trình chính tắc của (E) biết (E) nhận hai đường thẳng
d : 3x-2y-20 =  ... 2z = 0 
Bài 1 : Lập phương trình mặt phẳng qua P(2;1;-1), Q(1;2;5) và vuông góc với mặt phẳng 2x+y-z+3 = 0
Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng qua M(2;-1;2) //Oy và vuông góc với 2x-y+3z+4=0
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD với A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD)
b/ Viết phương trình mặt phẳng qua A,B và //CD
c/ Viết phương trình mặt phẳng qua C,D và //AB
3/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng . Góc giữa hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
Cho (P) : Ax+By+Cz +D = 0 và (Q) : A’x+B’y+C’z+D’ = 0
Vị trí
+ (P)//(Q) ú 
+ 
+ (P) cắt (Q) ú A:B:C A’:B’:C’
Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến (P) là : d(M0,(P)) = 
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là : cos
Mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q) có dạng :
m(Ax+By+Cz +D )+ n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0
Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau :
a/ x+2y-3x+1=0 và 2x-y+4z+2=0
b/ x+y+z+2=0 và 2x+2y+2z-3=0
c/ 9x-6y-9z-5=0 và 3x-2y-3z+5=0
d/ 10x-10y+20z-40=0 và x-y+2z-4 = 0
Bài 2 : Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau song song với nhau :
a/ 2x+my+2z+3 =0 và nx+2y-4z+7 = 0
b/ 2x+y+mz-2=0 và x+ny+2z+8 = 0
Bài 3 Cho hai mặt phẳng có phương trình :
(a+3)x-2y+(5a+1)z-10=0 và 2x –ay+3z-6+a = 0
Với giá trị nào của a thì hai mặt phẳng đó :
a/ Cắt nhau
b/ Song song
c/ Trùng nhau
Bài 4 Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2y-4=0 và x+y-z-3 = 0 đồng thời // x+y+z-2=0
b/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7 = 0
c/ Đi qua M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0
Bài 5 : 
a/ Cho 4 điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,5), O(0,0,0). Xác định toạ độ đỉnh D . Viết phương trình mặt phẳng (ABD). Tính k/c từ C tới (ABD)
ĐS :
a/ (ABC) : y+2 = 0; h=(d,(ABC))=3
b/ Ta có : =++=(3;4;5)
phương trình mặt phẳng qua A(3;0;0) nhận =[,]=(20;15;12) làm vtpt có phương trình : 20x+15y-12z-60=0.
 Khoảng cách từ C tới (ABD) là 
Bài 6 : Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng
a/ (P): x-2y+3z+1=0 và (Q): 2x-y+3z+5=0
b/ 6x-2y+z+1 =0 và 6x-2y+z-3 = 0
Giải
a/ Gọi M(x;y;z) là điểm cách đều hai mặt phẳng ta có :
d(M,(P)) = d(M,(Q)) ú 
Bài 7 
a/ Tìm điểm M trên Oz và cách đều điểm M’(1;2;-2) và mặt phẳng 2x+2y+z-5=0
b/ Tính k/c giưũa hai mặt phẳng 7x-5y+11z-3=0 và 7x-5y+11z-5=0
Bài 8 Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau
a/ x-y+z-1=0 và x+y-z+3=0
b/ 6x+3y-2z=0 và x+2y+6z-12=0
c/ Trong hệ Oxyz cho H(,0,0), K(0, ,0), I(1,1,). Tính côsin của góc tạo bởi (HKI) và (Oxy)
4/ Đường thẳng trong không gian
* Đường thẳng d qua M0(x0,y0,z0) nhận (a,b,c) làm vtcp có phương trình tham số là :
	=> ptct 
pttq : 
* Phương trình tổng quát của đường thẳng : d
ĐK : A2+B2+C2 0, A’2+B’2+C’2 0, A:B:C # A’:B’:C’
d có vtcp =[,’]
Bài 1 Viết phương trình tham số, ptct, phương trình tổng quát của đường thẳng :
a/ Qua A(2,0,-1) và có vtcp (1,-3,2)
b/ Qua A(2,0,-3), B(4,1,2)
c/ Qua M(1,4,1) và //d: 
Bài 2 Tìm phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau đây :
a/ Đi qua A(4,3,1) và // d : 
b/ Đi qua B(-2,3,1) và // d: 
c/ Đi qua C(1,2,-1) và //d : 
Đáp số 
a/ ptts : =>pttq 
b/ ptts : =>pttq 
c/ vtcp của d là =[,’] = (4;-7;-3)
ptts =>pttq 
Bài 4 Viết pttq của đường thẳng dưới dạng giao của hai mặt phẳng //với Ox và Oy khi biết ptts của nó :
a/ d: 	b/ 
Hướng dẫn (hệ gồm 1 phương trình khuyết x và 1 phương trình khuyết y)
a/ptct của d : 
b/ptct của d :
Bài 5 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết pttq của nó:
a/ 	b/ 
Hướng dẫn 
a/ 
b/ 
Bài 6 
a/ CMR cặp đường thẳng sau vuông góc nhau
d1 : và d2 : 
b/ Viết ptct của đường thẳng qua M(2,3,-5) và // d : 
Bài 7 Viết ptct của () qua A(1,1,-2)//mặt phẳng (P) và vuông góc với d biết :
(P) : x-y-z-1 =0 , d: 
Hướng dẫn :
Gọi ,, theo thứ tự là vtcp của d, () và vtpt của (P) ta có : (2,1,3), (1,-1,-1)
Theo giả thiết : 
=> đường thẳng qua A nhận làm vtcp có ptct : 
Bài 8 : Tìm tập hợp các điểm P trong không gian cách đều 3 điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(2,-3,2)
Hướng dẫn 
Gs P(x,y,z) khi đó : 
Bài 9 : Trong không gian Oxyz cho (P) qua 3 điểm A(1,3,2), B(1,2,1), C(1,1,3). Viết ptts của đường thẳng d qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
Hướng dẫn
Ta có G(1,2,2)
Phương trình mặt phẳng (ABC) 
đường thẳng d qua G(1,2,2) và vuông góc với (ABC) nhận (-1,0,0) làm vtcp có phương trình: 
Bài 10 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d: 
a/ Trên mặt phẳng Oxy
b/ Trên mặt phẳng Oxz
Hướng dẫn 
a/ mặt phẳng //Oz chứa đường thẳng đã cho có phương trình : 3x-2y-7=0
Vậy phương trình hình chiếu vuông góc của d trên Oxy là : 
b/ mặt phẳng //Oy chứa đường thẳng đã cho có phương trình : x-2z+5=0Vậy phương trình hình chiếu vuông góc của d trên Oxz là : 
Bài 11 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 
Trên mặt phẳng x+y+z-7 = 0
Hướng dẫn 
Gọi d= (P) (Q)
Mặt phẳng (R) thuộc chùm (P),(Q) và vuông góc với (
 có dạng 
m()+n(2x-z+3)=0
Vì (R) nên ta có :
(2m+2n)x-m.1+(m-n).1=0 ú 2m+n = 0 Chọ m = 1 => n = -2
=> (R) : 2x+y-3z+1 = 0
Vậy phương trình hình chiếu vuông góc của d là d’ : 
4/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng đường thẳng và mặt phẳng
a/ Vị trí tương đối của đường thẳng 
Cho d: đi qua M(x0,y0,z0) có vtcp (a,b,c)
 d’: đi qua M(x’0,y’0,z’0) có vtcp (a’,b’,c’)
 d cắt d’ ú 
 d//d’ ú 
 d d’ ú 
 d chéo d’ ú 
b/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 
d : và : Ax+By+Cz+D = 0
 d cắt ú a.A+b.B+c.C 0
 d // ú 
 d ú 
 d ú a:b:c =A:B:C
c/ Khoảng cách
 Khoảng cách từ điểm M1(x1,y1,x1) đến d là : d(M1,d) = 
 Khoảng cách 2 đường thẳng d chéo d’ là : d(d,d’) =
d/ Góc 
 Góc giữa hai đường thẳng d, d’ là : cos
 Góc giữa d và là : sin
Bài 1 : Cho d, d’ có phương trình :
d: và d’ 
và : x+2y+z-1 = 0
a/ Xét vị trí tương đối của d và d’
b/ CMR d cắt . Tìm toạ độ giao điểm
Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng // d : 
và cắt hai đường thẳng có phương trình d1: 
và d2 : 
Hướng dẫn
đường thẳng d1 qua M1(1,-2,2) có vtcp 1(1,4,3)
đường thẳng d2 qua M2(-4,-7,0) có vtcp 2(5,9,1)
Ta có => d1 chéo d2
đường thẳng phải tìm là giao tuyến của hai 
mặt phẳng (P) và (Q)
(với (P) chứa d1 và (Q) chứa d2)
Bài 2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng 
 (): và // d: 
ĐS : -y+z+2 =0
Bài 3 Viết phương trình đường thẳng qua A(1,-1,1) 
và cắt hai đường thẳng 
d: d’ : 
Bài 4 : Cho hai đường thẳng có phương trình 
d : và d’ : 
a/ CM hai đường thẳng chéo nhau
b/ Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
Hướng dẫn 
b/ Gọi là đường vuông góc chung của d và d’ và có vtcp 
. Ta có = (-11,5,7)
=> =(P) (Q) ( với d (P), d’ (Q))
* mặt phẳng (P) : => phương trình: 16x-25y+43z-45=0
* mặt phẳng (Q) : => phương trình : 3x+y+4z-4=0
Vậy : 
Bài 5 : Cho d1 và d2 có phương trình :
d1 : và d2 : Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
Bài 6 : Cho d1 và d2 có phương trình :
d1 : và d2 : Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
Bài 7 : Cho d1 và d2 có phương trình :
d1 : và d2 : Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
Bài 8 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng 
2x-y+4z+5=0 và 3x+5y-z+1 = 0
Bài 9 : Tính khoảng cách từ M0(2,3,1) đến đường thẳng d: 
ĐS d(M,d) = 
Bài 10 : Tính khoảng cách từ M( 2,3,-1) tới đường thẳng d: 
ĐS : 
Bài 11 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng với các trục toạ độ
Hướng dẫn 
Tìm vtcp của d,Ox,Oy,Oz	M	
Bài 12 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
 của điểm M(1,-1,2) trên mặt phẳng	M
 2x-y+2z+12=0
Bài 13 : Tìm điểm đối xứng của M(2,-3,1) qua mặt phẳng 
X+3y-z+2 = 0	 M	
	 M’
Bài 14 : Lập phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt hai đường thẳng d: 	và d’ : 	
Hướng dẫn 
mặt phẳng (Oxz) có phương trình : y = 0	 O
đường thẳng cần tìm qua 	giao tuyến của 	 y
(P) và (Q) có vtcp 	(0,1,0)	 x
(Với d
mặt phẳng (P) 
mặt phẳng (Q) 	
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 	d
M
Bài 15: Viết phương trình đường thẳng 	P
qua M(0,1,1) vuông góc với đường thẳng 	 	 M	
 và 
cắt đường thẳng 
ĐS : ()
 Mặt cầu
 z
1. Phương trình mặt cầu 	 
* Mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R có phương trình :	 
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = R2
hay x2+y2+x2-2ax-2by-2cz+d = 0
với 	 O 
y
* Mặt cầu tâm O(0,0,0) bán kính R có x
 phương trình 
x2+y2+x2 = R2
* Để lập được phương trình mặt cầu ta phải tìm tâm và bán kính
2. Đường tròn trong không gian
* Đuờng tròn trong không gian có phương trình : 
Bài 1 : Viết phương trình mặt cầu biết :
a/ Tâm I(1,2,3) bán kính R = 4
b/ Tâm I( 2,-3,5) và qua A(2,2,-5)
c/ Đường kính AB với A( 1,2,3), B(3,2,1)
d/ Qua 4 điểm A(1,-2,-1), B(-5,10,-1), C(4,1,1), D(-8,-2,2)
Bài 2 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng 
6x-3y-2z-35=0 (P) , 6x-3y-2z+63 =0 (Q) và với một trong hai mặt phẳng ấy tại điểm M(5,-1,-1)
Giải
Điểm M thuộc (P) suy ra tâm I(x,y,z) của mặt cầu ở trên đường thẳng d qua M và vuông góc với (P)
Phương trình đường thẳng d là : 
Theo gthiết d (I,(P)) = d (I,(Q)) ú
ú 6x-3y-2z+14 = 0
Thay x,y,z ở (1) vào ta được x=-1; y = 2; z =1 => I(-1,2,1); R = 7
Vậy phương trình mặt cầu : (x+1)2+(y-2)2+(z-1)2 = 49
Bài 3 : Lập phương trình mặt cầu tâm I(2,3,-1) và cắt d: tại A,B sao cho AB = 16
Giải 
Vtcp của d là (2,1,-2). mặt phẳng trung trực của AB qua 
I(2,3,-1) nhận làm vtcp có phương trình :
2x+y-2z-9 = 0. Toạ độ trung điểm H của AB là nghiệm của 
hệ : => H(-3,-7,-11), IH=R = 15
Bài 4 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2,00),
B(0,4,0), C(00,4)
a/ Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O,A,B,C. Xđịnh tâm và bán kính mặt cầu đó
b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số đường thẳng qua tâm mặt cầu và vuông góc với (ABC)
Bài 5
a/ Viết phương trình mặt cầu tâm I(3,-5,-2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x-y-3z+1 = 0
b/ Viết phương trình mặt cầu bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x+2y+2z+3 = 0 tại M(1,1,-3)
ĐS :
a/ R =
b/ Gọi I(x,y,z) là tâm mặt cầu . Gọi h là k/c
 từ I tới mặt phẳng đã cho. Theo gt ta có :
h = 
Mặt khác đường thẳng IM qua M và vuông góc 
với (P) có phương trình 
* Trường hợp x+2y+2z+3 = 9 thay y, z vào ta được x=2, y =3, z=-1
* Trường hợp x+2y+2z+3 = -9 ( làm tượng tự )
Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho A(3,-2,-2), B(3,2,0), C(0,2,1), D(-1,1,2)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) suy ra ABCD là một tứ diện
b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm 
Bài 7 Trong không gian Oxyz cho A(-2,0,1), B(0,10,3), C(2,0,-1), D(5,3,-1)
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C
b/Viết phương trình đường thẳng qua D và vuông góc (P)
c/ Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc (P)
Bài 8 Tìm điểm A thuộc (S) : x2+y2+z2-2x+2z-2 = 0 sao cho k/c từ A tới mặt phẳng 
2x-2y+z+6 = 0 lớn nhất
Hướng dẫn
Tìm tâm và bán kính mặt cầu 
Tính k/c từ I tới mặt phẳng 
Kẻ đường kính AB ( A xa nhất )
Lập phương trình đường thẳng qua I
 và vuông góc với mặt phẳng 
Giải hệ gồm đường thẳng và mặt cầu
 => toạ độ A, B => toạ độ A