Bài tập Hình hoc Oxyz

1)Trong không gian Oxyz , cho A(1,2,4) , (P) x+y-z+1=0 và đường thẳng (d) x=2+t,y=1-t,z=1-3t , Lập phương trình đường thẳng nằm trong (P) , vuông góc với (d) và khoảng cách từ A đến đường thẳng đó bằng 
Giải : Gọi (D) là đường thẳng cần tìm , theo gt ta có aD=[ad,nP]=(-4,2,-2)//(2,-1,1)
 Gọi H là hình chiếu của A lên (D) => d(A,(D))=AH=
 Khi đó H thuộc giao tuyến của (P) và (Q) , Q là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (D)
 (Q) : 2(x-1)-(y-2)+(z-4)=0 ó 2x-y+z-4=0 
=> H(1,t,2+t) 
=> (t-2)2+(t-2)2=18 ó t=5 , t=-1
=> H(1,5,7) , H(1,-1,1)
Có hai đường thẳng : (D1) x=1+2t,y=5-t, z=7+t , (D2): x=1+2t,y=-1-t,z=1+t
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: (P): 2x - y - 2z - 2 = 0; (d): Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất .
Giải : 
Gọi n(a,b,c) là VTPT của (Q) , -a+2b+c=0 =>c=a-2b 
Gọi x là góc của hai mặt phẳng (P) (Q) , cosx = 
b=0=> c=a => cosx ==0 
b=1 => c=a-2 => cosx= >0
x nhỏ nhất ó a=1 , b=1,c=-2 => (Q) x+y-2z-5=0
3) Cho điểm và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất.
Giải : 
Gọi K là hình chiếu của A trên d cố định;
Gọi là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên . Trong tam giác vuông AHK ta có 
Vậy là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK. là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK 
4) Cho mặt phẳng và các đường thẳng Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2.
Giải : Gọi 
 Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2
Giải Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 
Ta tìm A, B : AÎd1, BÎd2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) (.) A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R=
 Nên có phương trình là: 
6)Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ lÇn l­ît cã ph­¬ng tr×nh : d : vµ d’ : . ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua d vµ t¹o víi d’ mét gãc 
Giải : 
.§­êng th¼ng d ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng 
 §­êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm vµ cã vect¬ chØ ph­¬ng .
Mp ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn vu«ng gãc víi vµ . Bëi vËy nÕu ®Æt th× ta ph¶i cã :
Ta cã . VËy hoÆc .
NÕu ,ta cã thÓ chän A=C=1, khi ®ã , tøc lµ vµ cã ph­¬ng tr×nh 
 hay 
NÕu ta cã thÓ chän , khi ®ã , tøc lµ vµ cã ph­¬ng tr×nh hay 
7) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : 	(d) và (d’) 
Viết phương trình tham số của đường thẳng () nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’)
Giải
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
Cho hai đường thẳng có phương trình:	
Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
Giải :
 Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b).
 Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1)=> 
=> 
Phương trình đường thẳng AB là: 
9) Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng và điểm 
 Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng để tam giác AEF là tam giác đều.
Gải + Đường thẳng và có vtcp ; 
+ Khoảng cách từ A đến là AH = 
+ Tam giác AEF đều .Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 
 và đường thẳng , nên tọa độ E , F là nghiệm của hệ : 
 t = suy ra tọa độ E và F là : 
10, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) 
 và hai đường thẳng và 
 Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
Giải :
*(d) đi qua và có vtcp 
 (d’) đi qua và có vtcp 
*Ta có , 
 Xét 
(d) và (d’) đồng phẳng .
*Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt và đi qua M1 nên có phương trình 
*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm
11. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho và đường thẳng , điểm A( -2; 3; 4). Gọi D là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên D điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Giải : Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: 
Gọi I là giao điểm của (d) và (P) 
Do * (d) có vectơ chỉ phương là , mp( P) có vectơ pháp tuyến là 
. Gọi là vectơ chỉ phương của . Vì , 
AM ngắn nhất 
 . Vậy 
12) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất.
Giải M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t), AB//d. Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB A’B
(MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB 
MA=MB M(2 ; 0 ; 4)
13) Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®­êng th¼ng d cã ph­¬ng tr×nh. LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.
Giải : Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P).
Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã => HI lín nhÊt khi 
VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn.
v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn lµ vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña d) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 
ó 7x + y -5z -77 = 0