Bài tập Hình học không gian - Ôn thi đại học

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
š›œš›œš›œš›œ
Bài 1: Cho ABC đều có đường cao AH = 2a.Gọi O là trung điểm của AH.Trên đường 
thẳng vuông góc với (ABC) tại O lấy điểm S sao cho OS = 2a.
 1.Tính cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng (BSA) và (CSA).
 2.Trên đoạn OH lấy điểm I.Đặt OI = m(0 < m < a).Pm() qua I vuông góc với 
 AH cắt AB,AC,SC,SB tại M,N,P,Q.
 a) Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và m.
 b) Tìm m để diện tích MNPQ lớn nhất.
Bài 2: Cho tứ diện SABC có ABC vuông cân đỉnh B,AB = a, SA (ABC) và 
 .Gọi D là trung điểm của AC.
a) Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến (SBC) gấp đôi khoảng cách từ D đến (SBC).
b) Mặt phẳng () qua A và vuông góc với SC cắt SC và SB tại M và N.
 i) CMR: AMN là thiết diện giữa () và tứ diện SABC.
ii) Tính thể tích khối chóp SAMN.
c) Tính cosin góc giữa (ACS) và (SCB).
Bài 3: Trong mp() có góc vuông .M,N lần lượt di động trên cạnh Ox,Oy sao cho OM + ON = a.Trên đường thẳng vuông góc với () tại O lấy điểm S sao cho OS = a.
1.Tìm vị trí của M,N để thể tích S.OMN lớn nhất.
2.Khi thể tích S.OMN lớn nhất,hãy tính:
a) d(O,(SMN))
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.OMN .
3.Khi M,N di động sao cho MO + ON ,chứng minh: 
Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và đôi một vuông góc.OH (ABC) tại 
 H.Gọi A’,B’,C’ lần lượt là hình chiếu của H lên các mặt (OBC),(OAC),(OAB).
 1) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
 2) Gọi S là điểm đối xứng với H qua O.Chứng minh tứ diện SABC đều.
 3) Chứng minh OH không vuông góc với (A’B’C’).
Bài 5: Cho tứ diện SABC có ABC vuông cân tại A có AC = a,BC = ,SB = và 
 SB (ABC).Qua B vẽ BH SA,BKSC(H)
1) Chứng minh rằng: 
2) Tính diện tích BHK
3) Tính góc giữa (ACS) và (SCB).
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy là a.Gọi M,N là trung điểm của SB,SC.Tính theo a diện tích AMN biết 
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có AD (ABC),AC = AD = 4cm,AB = 3cm,BC = 5cm.Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Bài 8: Cho tứ diện OABC và OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = a,OB = ,OC = c
(a,c > 0).Gọi D là đỉnh đối diện O của hình chữ nhật OADB,M là trung điểm BC.mp() qua A và M cắt (OCD) theo đường thẳng vuông góc AM.
a) Gọi E là giao điểm () với OC.Tính OE.
b) Tính khoảng cách từ C đến mp()
c) Tính diện tích thiết diện tạo bởi () và hình chóp C.OADB.
Bài 9: Trên ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc từng đôi một lấy các điểm A,B,C sao cho OA = a,OB = b,OC = c.Gọi H ,G là trực tâm ,trọng tâm của ABC.
a) Tính OH,OG và diện tích ABC theo a,b,c
b) Chứng minh rằng ABC có ba góc nhọn và 
Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc .AC = 2OB,BC =2OA.vẽ 
OM AC tại M,ON BC tại N.
a) Chứng minh rằng MN OC.
b) Tính 
c) D là trung điểm của AB.Chứng minh rằng: 
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC vuông tại C, AS (ABC),CA = a,CB = b,SA = h.Gọi D là trung điểm của AB.
1) Tính cosin góc giữa AC và SD.
2) Tính khoảng cách giữa AC và SD,BC và SD
Bài 12: Cho ABC đều cạnh a.Trên đường thẳng d (ABC) tại A lấy điểm S,SA = h.
a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a và h.
b) Đường thẳng (SBC) tại trực tâm H của SBC.Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định khi S di động trên d.
c) cắt d tại S’.Tính h theo a để SS’ nhỏ nhất.
Bài 13: Cho hình chóp SABC đều cạnh a,đường cao SH = h.Mặt phẳng () qua AB và SC.
1.Tìm điều kiện của h để cắt cạnh SC tại K.Tính diện tích tam giác ABK.
2.Tính h theo a để chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.Khi đó chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.
Bài 14: Cho ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d (ABC) tại A lấy điểm M .Gọi I là hình chiếu của trọng tâm G của ABC trên (BCM).
1) Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác CBM.
2) GI cắt d tại N.Chứng minh rằng tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.
3) Chứng minh AM,AN không đổi khi M di động trên d.
Bài 15: Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = a,OB = b,OC = c.
1) Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp (S) của OABC.Tính bán kính r của (S).
2) Gọi M,N,P là trung điểm của BC,CA,AB.Chứng minh rằng góc giữa (OMN) và (OMP) vuông 
Bài 16: Cho hai mặt phẳng (P) và(Q) vuông góc với nhau,có giao tuyến là đường thẳng .
Trên lấy hai điểm A và B với AB = a.Trong (P) lấy điểm C ,trong (Q) lấy điểm D sao cho AC,BD cùng vuông góc với và AC = BD = AB.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD và d(A,(BCD)).
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA = a.
 Mặt phẳng qua A và vuông góc với BC cắt các cạnh SB,SC,SD lần lượt tại H,M,K .
1) Chứng minh rằng AH SB,AK SD.
2) Chứng minh rằng DB // và DB // HK.
3) Chứng minh rằng HK đi qua trọng tâm G của tam giác SAC.
4) Tính 
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD,SA (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật có AB = a,
 AD = b,SA = 2a.N là trung điểm của SD.
1) Tính d(A,(BCN)), d(SB,CN).
2) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Gọi M là trung điểm của SA.Tìm điều kiện a và b để .Trong trường hợp đó tính .
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SAB đều và (ABC) 
 (ABCD).H là trung điểm AD.
1) Tính d(D,(SBC)),d(HC,SD).
2) mp qua H và vuông góc với SC tại I.Chứng tỏ rằng cắt các cạnh SB,SD và tính góc giữa (BCS) và (DCS).
Bài 20: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC = 4a,
 BD = 2a,chúng cắt nhau tại O.Đường cao hình chóp là SO = h.Mặt phẳng qua 
 A ,vuông góc với SC và cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’,C’,D’.
1) Xác định h để B’C’D’ đều.
2) Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp theo a và h.
Bài 21: Cho hình thang vuông góc ở A và D,AB = AD = a,DC = 2a.Trên đường vuông góc 
 với (ABCD) tại D,lấy điểm S sao cho SD = a.
1) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là hình gì ?
2) Tính d(D,(SAC)) ,d(AB,SC),góc góc giữa (SCD) và (SAC).
3) Xác định taamI và bán kính R của mặt cầu qua S,B,C,D.
Bài 22: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.Mặt phẳng qua A và vuông góc SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại B’,C’D’.
1) Điều kiện của h để C’ thuộc cạnh SC.
2) Cho h = 2a.
a) Tính 
b) Chứng tỏ B’C’D’ có một góc tù.
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA = h.Vẽ AE 
 SB tại E,AF SD tại F .
1) Chứng minh rằng (AEF) SC.
2) Gọi P là giao điểm của SC và (AEF).Tính h theo a để lớn nhất.
3) Với h tìm được ở câu 2,tính d(DB,(AEF)) và góc giữa (SBD) và (CDB).
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a.SA (ABCD),SA = h.M thuộc cạnh AD sao cho AM = m (0 < m a).
1) Chứng minh (ASB) (CSB), (ASD) (CSD).
2) Tính d(SB,CM),tìm M để d(SB,CM) lớn nhất.
3) Cho h = a,tính m theo a để .
4) Chứng minh rằng không phụ thuộc vào vị trí của M.
5) Tính sin góc giữa SC và (SBD).
Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD,AB = a,AD = 2a.Trên tia Az (ABCD) lấy điểm S.Mặt 
 phẳng qua CD cắt SA,SB tại K và L.
1) Cho SA = 2a,AK = k(0 k 2a).
 a) Tính ;tính k theo để lớn nhất,nhỏ nhất.
 b) Chứng tỏ d(KD,BC) không đổi.
 c) Tính k theo a để chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.
2) Gọi M,N là trung điểm SC,SD.Tìm quỹ tích giao điểm I của AN, BM khi S di động trên
 tia Az.
Bài 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh , 
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
c) Tìm để tâm mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau.
Bài 27: Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD .Trên tia Az lấy điếm S.Đường
 thẳng ()(SBC) tại S cắt tại M, ()(SCD) tại S cắt tại N.Gọi I là 
 trung điểm của MN.
1) Chứng minh rằng A,B,M thẳng hàng;A,D,N thẳng hàng.
2) Khi S di động trên Az,chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định .
3) Vẽ AH SI tại H.Chứng minh AH là đường cao của tứ diện ASMN và H là trực tâm 
 của tam giác SMN.
4.Cho OS = 2,AB = 1.Tính .
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD),đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Trên cạnh BC,CD lấy lần lượt các điểm M,N.Đặt CM = x,CN = y(0 < x,y < a),
1) Tìm hệ thức giữa x và y để góc giữa hai mặt phẳng (MAS) và (NAS) là .
2) Tìm hệ thức giữa x và y để (MAS) (NAS)
Bài 29: Cho hình chóp tư giác đều S.ABCD ,cạnh đáy bằng ,đường cao SH = 2a.M là 
 điểm bất kì thuộc đoạn AH.Mặt phẳng qua M song song với AD và SH cắt 
 AB,DC,SD,SA lần lượt tại I,J,K,L.
1) Xác định vị trí M để thiết diện IJKL là tứ giác ngoại tiếp.
2) Xác định vị trí của M để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhất.
3) mp cắt BD tại N.Gọi E = MK NL.P,Q lần lượt trung điểm AD,BC.Tìm M để 
 .
Bài 30: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,cạnh đáy bằng ,đường cao SO,cạnh bên 
 bằng 
1) Tính thể tích hình chóp.Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu nội tiếp hình chóp.
2) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AD,SC.Mp(MNP) cắt SB,SD tại Q và R.Tính 
 diện tích thiết diện.
3) Chứng tỏ rằng mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 31: Cho hình chóp S.ABCD,đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,AD = 2a,đường cao SA = 2a.Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho MD = ().
1) Tìm vị trí M để lớn nhất ,nhỏ nhất.
2) Tìm vị trí của M để (SMB) chia hình chóp thành hai phần với .
3) Cho .Gọi K là giao điểm của BM và AD.Tính góc giữa hai mặt phẳng (ASK) và (BSK).
Bài 32: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,đáy là hình vuông cạnh a,đường cao SO.Mặt bên tạo với đáy góc .Mặt phẳng chứa cạnh AB và tạo với đáy góc cắt các cạnh SC,SD tại M,N.
1) Tính góc giữa AN với (ABCD) và DB.
2) Tính khoảng cách giữa AN và BD.
3) Tính thể tích khối ABCDMN.
Bài 33: Cho hình vuông ABCD cạnh tâm O.Trên tia Oz (ABCD) lấy điểm S,mp(SAD) tạo với đáy góc .
1) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
2) Mặt phẳng () qua AC và vuông góc với (SAD) chia hình chóp thành hai phần.Tính tỉ 
 số thể tích của hai phần đó.
Bài 34: Cho hình chóp S.ABCD,đáy hình chũ nhật với AB = a,AD = b.SA = 2a vuông góc với đáy.Trên cạnh SA lấy điểm M,AM = m.() 
1.Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện ấy ?
2.Tìm vị trí của M để diện tích thiết diện lớn nhất.
3.Tìm vị trí M để (MBC) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
Bài 35: Cho hình chữ nhật ABCD,AB = a,AD = b.Trên tia Az vuông góc (ABCD) lấy điểm S,SA = h.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD tại B’,C’,D’.
1) Chứng minh rằng tứ giác AB’C’D’ có hai góc đối diện vuông.
2) Chứng minh rằng (AB’C’D’) luôn đi qua một đường thẳng cố định khi h thay đổi
3) Chứng minh rằng 7 điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ luôn thuộc mặt cầu cố định khi h thay đổi.
4) Cho a = b,.Tính tỉ số thể tích giữa hai hình S.AB’C’D’ và S.ABCD
Bài 36:1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Tính góc giữa (BA’C) và (DA’C).
2) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0),B(a;0;0)
 D(0;a;0) và A’(0;0;b) (a,b > 0).M là trung điểm cạnh CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỉ số để (A’BD) (MBD).
Bài 37: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,.
 Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’.Chứng minh rằng bốn điểm B’,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng.Hãy tính độ dài cạnh AA’theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 38:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1) Chứng minh A’C (AB’D’).Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).
2) Trên cạnh AD’,DB lấy điểm M,N thỏa mãn AM = DN = k (0 < k < )
a) Chứng minh MN // (A’D’BC).
b) Tìm k để ,chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB.
Bài 39: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Gọi M là trung điểm của AB,N là tâm của hình vuông ADD’A’.
1) Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C,D’,M,N
2) Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và mặt cầu (S’) qua A’,B,C’,D
3) Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.
Bài 40: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2,AD = 4,AA’ = 6.Gọi I,J là trung điểm của AB,C’D’.Gọi M,N thỏa mãn () 
1) Tính khoảng cách từ A đến (BDA’).
2) Chứng minh rằng I,M,J,N đồng phẳng.
3) Xác định tâm K và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA”.
4) Tính bán kính r của đường tròn giao tuyến của (S) và (DBA’).
Bài 41: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.Gọi M,N là trung điểm 
 của AB và DD’.
1) Chứng minh rằng MN // (BDC’).Tính MN và d(MN,(DBC’))
2) Gọi P là trung điểm của C’D’.Tính và góc giữa MN và BD.
3) Tính bán kính R của đường tròn (A’BD).
Bài 42: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a;AD = a,AA’ = b.
1) Tính khoảng cách giữa A’C và BC’
2) Tính bán kính r của đường tròn (A’BC’) ngoại tiếp A’BC’
3) Tìm điều kiện a và b để (A’BC’) (A’CD).
4) Gọi M,N,P là trung điểm A’B,BC’ và A’D.Cho góc giữa (BA’C) và (DA’C) là .Tính 
 theo a.
Bài 43: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz,cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Biết A(0;0;0) ,B(a;0;0) ,D(0;a;0),A’(0;0;a) .Gọi M,N là trung điểm của cạnh A’B’ và BC.
1) Viết phương trình đi qua M và song song với A’N và B’D.
2)Tính thể tích tứ diện A’NB’D.
3) Viết phương trình đường phân giác trong NE của NA’D.
4) Tính góc và khoảng cách giữa A’N và B’D.
Bài 44: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.Biết A(0;0;0) ,
B(a;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),A’(0;0;c) (a,b,c > 0).Gọi P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’,BC,CD,DD’.
1) Viết phương trình tham số của PR,QS.
2) Xác định a,b,c để PR QS
3) Chứng tỏ rằng PR cắt QS.
4) Tính diện tích tứ giác PQRS.
5) Xác định a,b,c để tứ giác PQRS nội tiếp được đường tròn (C) đường kính PR.
Bài 45: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1) Chứng minh A’C (AB’D’).Tính d((AB’D’),(C’BD)).
2) Tính cosin góc giữa (DA’C’) và (ABB’A’).
3) Gọi M,N là trung điểm của các cạnh AD,CD và P là một điểm trên cạnh BB’ thỏa mãn
 PB = 3PB’.Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương.
4) Tính tỉ số thể tích hai phần hình lập phương do thiết diện chia ra.
Bài 46:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.Trên cạnh AB lấy điểm M,đặt 
 AM = m (0).Mặt phẳng (A’MC) cắt C’D’ tại N.
1) Chứng minh A’MCN là hình bình hành.
2) Tìm vị trí M để A’MCN là hình chữ nhật.A’MCN có thể là hình vuông được không ?
3.Tìm vị trí của M để diện tích A’MCN nhỏ nhất ,khi đó tính góc giữa và (DMN)
Bài 47: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.Điểm M chạy trên cạnh AA’,điểm N chạy trên cạnh BC sao cho AM = BN = h,().Gọi I,J là trung điểm của AB, C’D’ .
1) Chứng minh rằng khi h thay đổi ,MN luôn cắt và vuông góc với một đường thẳng cố định.
2) Tính diện tích thiết diện tạo bởi (MNJ) và hình lập phương.
3) Chứng tỏ rằng thiết diện chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau
4) Tính h để thiết diện cho chu vi nhỏ nhát.
Bài 48: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AB,AD,DD’.
1) Mặt phẳng (IJK) cắt hình lập phương theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện
2) Xác định góc giữa thiết diện và AB.
3) Tính góc giữa (A’IJ) và (IJC).
4) Hình cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABJA’ cắt (IJK) theo thiết diện là hình tròn (C),tính bán 
 kính R của (C).
Bài 49: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ đáy hình thoi cạnh 2a,.Đường chéo AC’ tạo với đáy góc .Gọi I là giao điểm của các đường chéo của hình hộp, O là tâm của ABCD.
1) Tính thể tích hình hộp và d(BD,AC’) theo a và .
2) Tính góc giữa (BAC’) và (DAC’) theo 
3) Cho điểm M thỏa mãn IM = d,tính tổng T các bình phương các khoảng cách từ M đến 8 đỉnh của hình hộp theo d,a và .Từ đó tìm vị trí của M để 
Bài 50: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A.Cho AB = a,AC = b,AA’ = c.Mặt phẳng () qua B và vuông góc với CB’.
1) Tìm điều kiện của a,b,c để () cắt cạnh CC’ tại I(I khác C và C’).
2) Với điều kiện của câu 1,hãy:
a) Xác định và tính diện tích thiết diện.
b) Tính cos góc giữa thiết diện và đáy.
c) Thiết diện có thể chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau có được không ?
Bài 51: Cho lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ đáy tam giác OAB vuông tại O,OA = a,OB = b,
OO’ = h.Mặt phẳng () qua O vuông góc với AB’.
1) Tìm điều kiện của a,b,h để () cắt cạnh AB,AA’ tại I,J (I,J không trùng A,B,A’)
2) Với điều kiện đó hãy tính:
 a) 
 b) Tỉ số thể tích 2 phần do thiết diện chia lăng trụ.