Bài tập Hình học không gian Lớp 11 (Có lời giải)

BÀI TẬP 
1/53 
A không nằm trong BCD. Lấy E, F trên AB, AC. 
CM: EF nằm trong (ABC). 
Khi EF cắt BC tại I, chứng minh I là điểm chung của (BCD) và (DEF) 
A 
D 
C 
B 
E 
F 
I 
Gọi M là gđ của d và mf (a) bất kì. CMR điểm M là điểm chung của (a) với mf bất kì chứa d 
2/53 
M 
3/53 
Cho d1, d2, d3 không nằm trong 1 mf và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh 3 đường trên đồng quy. 
d1 
d2 
d3 
5/53 
Cho tứ giác ABCD nằm trong (a) có AC, BD không // . S ngoài (a) và M = SC/2 . 
a. Tìm N = SD ∩ (MAB) 
b. Gọi O = AC ∩ BD . CMR: SO, AM, BN đồng quy. 
PP chứng minh 3 điểm đồng quy: 
+ Ta tìm giao điểm của 2 trong 3 đường. Sao CM điểm đó nằm trên đường thứ 3. Tức là CM 3 điểm đó thẳng hàng. 
+ CM 3 điểm thẳng hàng bằng cách CM chúng cùng thuộc 2 mặt phẳng. 
s 
E 
D 
N 
M 
B 
C 
A 
s 
E 
D 
N 
M 
B 
C 
A 
O 
I 
7/54 
Cho A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I = AD/2 và K = BC/2. 
a. Tìm (IBC) ∩ (KAD). 
b. Gọi M, N thuộc AB, AC. Tìm (IBC) ∩ (DMN). 
A 
I 
D 
C 
B 
K 
+ Ta có: 
M 
N 
E 
F 
9/54 
Cho h/chóp S.ABCD đáy là HBH. Trong ABCD vẽ d qua A và không // với các cạnh, d ∩BC=E. Gọi C’ thuộc SC. 
a. Tìm M = CD ∩ (C’AE). 
b. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (C’AE) 
A 
S 
D 
C 
B 
d 
E 
C’ 
A 
S 
D 
C 
B 
d 
E 
C’ 
M 
A 
S 
D 
C 
B 
d 
E 
C’ 
M 
F 
4/53 
Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng fẳng. Gọi G A ,G B ,G C ,G D lần lượt là trọng tâm của BCD, CDA, ABD, ABC. CRM: AG A , BG B , CG C , DG D đồng quy. 
A 
C 
B 
D 
I 
G A 
G B 
G 
10/54 
Cho h/c S.ABCD có AB, CD không //. Gọi M là điểm thuộc miền trong tam giác SCD. 
a/ Tìm gđ N của CD và (SBM) 
b/ Tìm giao tuyến (SBM) và (SAC) 
c/ Tìm giao điểm I của BM và (SAC) 
d/ Tìm giao điểm P của SC và (ABM), hãy suy ra giao tuyến của (SCD) và (ABM) 
s 
A 
C 
D 
B 
M 
N 
O 
I 
R 
s 
A 
C 
D 
B 
M 
N 
O 
I 
R 
P 
Bài 2: Câu 1/59 
Cho tứ diện ABCD, gọi P, Q, R, S là 4 điểm trên AB, BC, CD, DA. CMR nếu 4 điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì: 
a/ PQ, SR, AC hoặc // hoặc đồng quy. 
b/ PS, RQ, BD hoặc // hoặc đồng quy. 
S 
C 
B 
D 
P 
A 
R 
Q 
Bài 2: Câu 2/59 
Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt trên 3 cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và (PQR) trong 2 trường hợp. 
a/ PR // AC. 
b/ PR cắt AC. 
S 
C 
B 
D 
P 
A 
R 
Q 
a. PR // AC. 
S 
C 
B 
D 
P 
A 
R 
Q 
I 
3/60 
Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là tđ AB, CD và G là tđ MN. 
a/ Tìm gđ A’ của AG và (BCD) 
b/ Qua M kẻ Mx//AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. CMR: B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N. 
c/ CMR: GA = 3GA’. 
C 
B 
D 
A 
M 
N 
G 
Trong mp (ABN) : 
+ Gọi 
Lúc đó: 
vì BN thuộc (BCD). 
A’ 
a/ Tìm gđ A’ của AG và (BCD) 
b/ Qua M kẻ Mx//AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. CMR: B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N. 
------------------------------------ 
+ Ta có: 
+ Như vậy: B, M’, A’ điểm chung của hai mp (ABN) và (BCD) nên 3 điểm đó thẳng hàng. 
C 
B 
D 
A 
M 
N 
G 
A’ 
M’ 
+ Trong NMM’ , ta có : 
G là trung điểm của NM và GA’//MM’, suy A’ ra là trung điểm của NM’. 
+ Tương tự ta có : M’ là trung điểm của BA’ . 
+ Vậy BM’ = M’A’ = A’N 
c/ CMR: GA = 3GA’. 
+ Xét trong tam giác ABN 
C 
B 
D 
A 
M 
N 
G 
A’ 
M’ 
GIẢI BÀI 3 
ÔN LẠI KIẾN THỨC 
Định lý 1: 
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng và d song song với đường thẳng d’ nằm trong thì 
Định lý 2: 
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng chứa a và cắt theo giao tuyến b thì b song song với a . 
Hệ quả: 
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. 
Định lý 3: 
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. 
CÂU 1/63 
Cho 2 HBH ABCD và ABEF không nằm trong 1 mf. 
a/ Gọi O, O’ l 3 tâm của 2 HBH. CMR: OO’//(ADF) và OO’//(BCE) 
b/ Gọi M, N l 3 trọng tâm của tam giác ABD và ABE. CM: MN//(CEF) 
a/ Gọi O, O’ l 3 tâm của 2 HBH. CMR: OO’//(ADF) và OO’//(BCE) 
B 
A 
C 
D 
E 
F 
+ Ta có 
+ Tương tự: 
B 
A 
C 
D 
E 
F 
O 
O’ 
a/ Gọi O, O’ l 3 tâm của 2 HBH. CMR: OO’//(ADF) và OO’//(BCE) 
b/ Gọi M, N l 3 trọng tâm của tam giác ABD và ABE. CM: MN//(CEF) 
+ Tứ giác EFDC là hình bình hành , nên ED  (CEF). 
+ Gọi I là trung điểm của AB, ta có  MN // ED. 
+ Ta lại có ED  ( CEF) 
 MN // ( CEF) 
B 
A 
C 
D 
E 
F 
M 
N 
I 
CÂU 2/63 
Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy M. Cho mf (a) qua M và // với AC, BD. 
a/ Tìm giao tuyến của (a) với các mặt của tứ diện. 
b/ Thiết diện cắt bởi (a) với tứ diện là hình gì? 
a/b) Tìm giao tuyến của (a) với các mặt của tứ diện. Đó là hình gì? 
+ Từ M kẻ các đường thẳng song song AC và BD cắt BC và AD lần lượt tại N, Q. 
+ Từ N kẻ đường thẳng 
song song với BD cắt CD tại P. 
+ Suy ra thiết diện cần tìm là 
h ình bình hành MNPQ. 
Q 
C 
B 
D 
M 
A 
P 
N 
CÂU 4/63 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi (a) là mp đi qua O, song song với AB và SC. Tìm thiết diện của với hình chóp? thiết diện là hình gì? 
+ T ừ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại M, N. 
+ Từ N kẻ đường thẳng song song với SC cắt SB tại P. 
+ Từ P kẻ đường thẳng song song với AB cắt SA tại Q. 
+ (a) cắt . 
+. 
+ Suy ra thiết diện cần tìm 
là hình thang : MNPQ 
S 
A 
N 
B 
D 
O 
C 
P 
Q 
M 
BÀI TẬP 2 MẶT PHẲNG SONG SONG 
Câu 1 trang 71 
Trong mf (a) cho HBH ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ 4 đường thẳng a, b, c, d song song và không nằm trên (a). Trên a, b, c lần lượt lấy A’, B’, C’ tùy ý. 
a/ Xác định giao điểm D’ của d và (A’B’C’). 
b/ Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành . 
Ta có: 
Mà 
-> (A’B’C’) ∩ (a, AD) = D’ 
b 
C 
B 
D 
a 
d 
c 
A 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
a/ Xác định giao điểm D’ của d và (A’B’C’). 
b/ Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành . 
b 
C 
B 
D 
a 
d 
c 
A 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
Câu 2 trang 71 
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ là trung điểm của BC, B’C’. 
a/ CMR: AM//A’M’ . 
b/ Tìm (AB’C’) ∩ A’M. 
c/ Tìm giao tuyến d = (AB’C’) ∩ (BA’C’). 
d/ Tìm G = d ∩ (AM’M). Và chứng minh G là trọng tâm tam giác AB’C’. 
a/ CMR: AM//A’M’ . 
Ta có: 
	 AA’M’M là hình bình hành 
C 
B’ 
A’ 
C’ 
B 
A 
M’ 
M 
-> AM // A’M’ 
b/ Tìm (AB’C’) ∩ A’M. 
C 
B’ 
A’ 
C’ 
B 
A 
M 
M’ 
I 
c/ Tìm giao tuyến d = (AB’C’) ∩ (BA’C’). 
C 
B’ 
A’ 
O 
B 
A 
M 
C’ 
+ Ta có: 
+ Gọi 
+ Vậy giao tuyến d là C’O 
d/ Tìm G = d ∩ (AM’M).  Và chứng minh G là trọng tâm tam giác AB’C’. 
Ta có: 
Lại có: 
Mà OC’ là trung tuyến của tam giác AB’C’ và AM’ là trung tuyến của tam giác AB’C’ 
Suy ra G là trọng tâm của tam giác AB’C’ 
C 
B’ 
A’ 
O 
B 
A 
M 
C’ 
M’ 
G