Bài tập Hình học không gian - Gv: Đỗ Thị Bích Hường

Hình học không gian
 Bài 1: Cho góc tam diện vuông O xyt trên ox, oy, ot lấy các điểm A,B,C sao cho OA = a; OB = b; OC = c.
	1.Tính côsin các góc của tam giác ABC. CMR: tam giác ABC nhọn 
	2.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính OG.
	3.Gọi (P1); (P2); (P3) theo thứ tự là các mặt phẳng phân giác trọng của các góc nhị diện ứng với các cạnh OA, OB, OC và (P1); (P2); (P3) theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M,N,P.
	+CM: Góc MON = góc NOP = góc POM = 600
	+Tính thể tích tứ diện OMNP
Bài 2: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia ox; oy; ot vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA = a; OB = a, OC = c (a,c>0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung diểm của BC (P) là mặt phẳng đi qua A,M và cắt mặt phảu OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
	a.Gọi E là giao điểm của (P) với OC. Tính độ dài đoạn OE.
	b.Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C. AOBD bởi mặt phẳng (P).
Bài 3: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a, M là trung điểm cạnh BC trên các nửa đường thẳng AM, MN vuông góc với mf(ABC) về cùng một phía lấy tương ứng các điểm N, I sao cho 2MI = NA = a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống NB. CMR: AH vuông góc NI
Bài 4: Cho tứ diện vuông OABC có các góc phẳng ở đỉnh O là vuông, ngoài ra OC = OA + OB. CMR tổng các góc phẳng ở đỉnh C bằng 900.
Bài 5: Cho tứ diện vuông OABC (vông tại O) biết rằng OA, OB, OC lần lượt hợp vớ mf(ABC) các góc a, b,g . CMR
	a.Cos2a + Cos2b + Cos2g = 2
	b.S+ S+ S
Bài 6: Cho góc tam diện vuông oxy + điểm N cố định nằm trong góc tam diện, mặt phẳng N cắt ox, oy, oz tại A,B,C. 
	Gọi khoảng cách từ N đến các mặt phẳng (OBC), ()CA), (OAB) là a,b,c.
	a.CMR: + + = 1
	b.Tính OA, OB, OC để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất.
	c.Tính OA,OB,OC/OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 7: Cho góc tam diện vuông Oxyt trên ox; oy; oz lấy các điểm A,B,C sao cho OA = a; OB = b; OC = c với a ≤ b≤ c . Một đường thẳng d qua O. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể nhận được của tổng khoảng cách từ các diểm A,B,C đến D.
Bài 8: Cho tứ diện S. ABC có SC = CA = AB = a, SC vuông góc (ABC) tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = (0<t<2a).
	a.Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để MN ngắn nhất.
	b.Khi MN ngắn nhất. Chứng minh MN là đường thẳng vuông góc chung của BC và SA.
Bài 9: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB – SC, khoảng cách từ S đến (ABC) bnằng h. Tìm điều kiện của a và h để (SAB) và (SAC) vuông góc nhau.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a vuông góc với đáy. Gọi M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho:
	BM = x, DM = y.
	a.Tìm hệ thức liên hệ của x,y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
	b.CMR điều kiện cần và đủ để nhị diện M,SA, N) có số đo bằng 600 là 
a (x+y) + xy = a2
Bài 11: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. vẽ 3 tia Aa, Bb, Cc cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) trên Aa, Bb lấy các điểm A1, B1 sao cho AA1 = 2a; BB1 = a. Xác định vị trí của điểm C1 trên Cc sao cho tam giác A1B1C1 có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 12: Trong hai mặt phảng vuông góc (P) và (Q) hai tam giác cân áC và BCD cùng đáy CD = 2x và những cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Tính theo a và x độ dài AB và MN
c.Với giá trị nào của x nhị diện cạnh AB là vuông. Trong trường hợp đó tính độ dài đoạn AB và chỉ rõ vị trí của điểm I cách đều bốn điểm A,B,C,D. Tính độ dài IA.
Bài 13: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Vẽ 2 tia Bbvà Cc cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Trên Bb và Cc lấy BM = u, CN = v. Gọi P là trung điểm của MN.
A,CMR: Tam giác AMN chỉ có thể vuông tại M hoặc N. Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v đểm tam giác AMN vuông tại M.
b.CMR: Khi M và N thay đổi trên Bb và Cc sao cho CM = 2BM thì giao tuyến d của (AMN) và (ABC) là một đường thẳng cố định.
Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; AD = b. Trên tia Ax, Cy cùng chiều và cùng vuông góc (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N. Đặt AM = x, CN = y. CMR điều kiện cần và đủ để nhị diện (m,BảO đảM,N) có số đo bằng 600 là: 
 = (xy -
Bài 15:Trong mặt phẳng (P) cho tam giác dều ABC cạnh bằng a. Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy các điểm D,E nằm về cùng một phía đối với (P) sao cho BD = , CE = a
a.Tính độ dài AD,AE,DE.
b.Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE.
c.Gọi M là giao điểm của các đường thẳng CD và BC. CMR đường thẳng AM vuông góc (ACE). Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (ABC)
Bài 16: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC vuông cân với AB = AC = a, AA1=h. Gọi E.F lần lượt là trung điểm của BC và A1C1. Tìm trên đoạn DE điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1). Tính khoảng cách đó
Bài 17: Cho hình lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. AA1 = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm BB1, M di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích MC1D.
Bài 18: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy dài gấp đôi chiều cao. Điểm M trên cạnh AB. Tìm giá trị lớn nhất của góc A1MC1 
Bài 19: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA1B1C1 có các cạnh bằng a. Lờy E,F theo thứ tự thuộc BC1 và A1C sao cho EF// (ABB1A1). Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn EF.
Bài 20: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng B1D và mặt phẳng (B1D1C) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 21: Cho hình lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc  = 600. B1O vuông góc với đáy ABCD1 cho BB1 = a.
a.Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b.Tính khoảng cách từ B,B1 đén (ACD1)
Bài 22: Tìm diện tích nhỏ nhất của thiết diện hình lập phương cạnh a với mặt phẳng đi qua đường chéo của nó.
Bài 23: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng a. Trên cạnh AA1 kéo dài về phía A1 lấy M và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm M sao cho MN căt C1D1. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN.
Bài 24: Cho tam giác đều ABC cạnh a vẽ hai tia Aa, Bb cùng chiều và cùng vuông góc (ABC). Gọi A1, B1 là hai điểm di động trên Aa, Bb sao cho AA1 + BB1 = l (l là độ dài cho sẵn). Xác định A1B1 sao cho A1B1C có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 25: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = 2a và vuông góc với đáy.
a.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD)
b.M,N lần lượt là trung điểm của AB, AD. CMR MM//(SBD) và tính khoảng cách từ MM đến (SBD).
Bài 26: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Biết rằng số đo góc nhị diện (B,SC,D) bằng 1500.
a.Tính độ dài đoạn SA.
b.Tính số đo của các nhị diện (S,BC,A), (S,BảO đảM,A) và (SAB,SCD).
c.Tính khoảng cách giữa SC và BD.
d.Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài 27: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với Ab = a, AD = 2a, SA = a và vuông góc với đáy.
a.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) và khoảng cách từ trung điểm I của cạnh SC đến mặt phẳng (SBD).
b.Gọi M là trung điểm của CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).
Bài 28: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a, SA = a và vuông góc với đáy.
a.Tính số đo của các nhị diện (S,BC,A), (C,SB,A).
b.Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài 29: (ĐHQG TPHCM khối A – 2000): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = AD = a, DC = a SD = a và vuông góc với đáy.
a.CMR: Tam giác ABC vuông và tính diện tích của tam giác đó
b.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 30: Cho hình chóp ÂBCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường trong đường kính AB = 2a, SA = a và vuông góc với đáy.
	a.Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b.Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)
c.Tính khoảng cách từ A,D đến mặt phẳng (SBC)
d.Tính khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD)
e.Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng () song song với mặt phẳng (SAB) và cách (SAB) một khoảng bằng 
Bài 31: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đầu cạnh bằng a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và AC..
	a.Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) 
	b.Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SBC) 
	c.Tính khoảng cách giữa AM và SC.
	d.Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Bài 32: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B vpí AB = a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Bài 33: Qua một cạnh của tứ diện đều, ta dựng mặt phẳng (P) sao cho (P) chia thể tích của tứ diện đều theo tỉ số 3:5. Tìm tang của góc , mà (P) chia góc nhị diện ứng với cạnh đó của tứ diện.
Bài 34: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB.
	a.Tính góc giữa DB và mặt phẳng (SAD) 
	b.Tính góc giữa DS và mặt phẳng (SCH).
Bài 35: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Ha là trung diểm của AB. Dựng HS vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và HS =. Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, SD , SB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của
	a.NP và AC
	b.MN và AP
Bài 36: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = , SO = và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
	a.CMR tam giác ASC vuông 
	b.CMR: (B, SA, D là nhị diện vuông.
	c.Tính số đo (S,BC,A)
Bài 37: (ĐHDL Duy Tân khối A – 2000): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a.
	a.Tính thể tích hình chóp
	b.Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD, SC, SD . CMR tam giác SMN là tam giác đều.
	c.CMR SN vuông góc với mặt phẳng (MPQ).
Bài 38: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AB = 2a, góc BAC = 300, SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là điểm di động trên cạnh AC, đặt AM = x (0≤x a.
	a.Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x
	b.Tìm các giá trị của x để khoảng cách trên có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 39: Cho hình chóp tam giac đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm AB và AC. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp.
Bài 40: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh bằng a.
	a.CMR AC1 vuông góc (A1BD)
	b.Dựng mặt phẳng (P) đi qua cạnh AA1 biết rằng (P) tạo những góc bằng nhau với hai đường thẳng BC và B1D.
Bài 41: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh bằng 2. Gọi E,F tương ứng là trung điểm của các cạnh AB và DD1
	a.CMR EF//(C1BD)
	b.Gọi K là trung điểm của C1D1. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (KEF) và xác định góc giữa hai đường thẳng EF và BảO đảM.
Bài 42: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh bằng a.
	a.Tính diện tích hình chiếu của ABCD A1B1C1D1 lên một mặt phẳng vuông góc với AC1.
	b.Dựng thiết diện đi qua tâm O của hình lập phương và vuông góc với AC1. Tính diện tích thiết diện.
Bài 43: : Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh bằng a.
	a.Điểm M trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của góc A1MC1.
	b.Trên phần kéo dài cạnh AD về phía D lấy điểm N sao cho AN =3a, Gọi E,F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh A1B1 và DD1. Lấy các điểm P,Q theo thứ tự thuộc các đoạn AE và CF. Tìm giá trị lớn nhất của tỷ số .
	c.Lấy điểm I chạy trên đoạn AB1, điểm K chạy trên đường tròn thuộc mặt phẳng (ABCD) có tâm là tâm của hình vuông ABCD và bán kính bằng . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn IK.
	d.Lấy điểm R,S theo thứ tự chạy trên đoạn AB1 và BC1, biết rằng đường thẳng RS tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 600. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn RS.
Bài 44: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 cạnh bằng a.. Trên các tia A1A, A1B1, A1D1 lấy các điểm tương ứng E,F,G sao cho A1E = A1F = A1G = b. Lấy điểm M thuộc đường tròn (C) nội tiếp trong hình vuông ABCD và điểm N thuộc đường tròn (C1) ngoại tiếp tam giác EFG. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.