Bài tập Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

	



		

 

HÌNH H
C GII TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 3 CHIU 
MT CU 
Bài 1) HC 2010 K.A (NC) Trong không gian t
a  Oxyz, cho im A(0; 0; −2) và ng thng 
2 2 3
:
2 3 2
x y z+ − +∆ = = . Tính khong cách t	 A 
n ∆. Vi
t phng trình mt c
u tâm A, ct ∆ ti hai 
im B và C sao cho BC = 8. (d = 3; x2 + y2 + (z + 2)2 = 25) 
Bài 2) HC 2005 K.B Trong không gian vi h t
a  Oxyz cho hình lng tr ng ABC.A1B1C1 
vi A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1(4;0;4). 
a) Tìm t
a  các nh A1, C1. Vi
t phtrình mt c
u có tâm là A và ti
p xúc vi mt phng (BCC1B1). 
b) G
i M là trung im ca A1B1. Vi
t phng trình mt phng (P) i qua hai im A, M và song song 
vi BC. Mt phng (P) ct ng thng A1C1 ti im N. Tính  dài MN. 
a) A1(0; - 3; 4), C1(0; 3; 4), ( )22 2 5763 25x y z+ + + = 
b) ( ) 170; 1;4 ,
2
N MN− = 
Bài 3) HC 2004 K.D Trong không gian vi h to  Oxyz cho ba im A(2;0;1), B(1;0;0), 
C(1;1;1) và mt phng (P) : x + y + z – 2 = 0. Vi
t phng trình mt c
u i qua ba im A, B, C và có 
tâm thuc mt phng (P). ( ) ( )2 221 1 1x y z− + + − = 
Bài 4) HC 2009 K.A (Chun) Trong không gian vi h to  Oxyz, cho mt phng (P): 2x - 2y 
- z - 4 = 0 và mt c
u (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0. Chng minh rng mt phng (P) ct mt 
c
u (S) theo mt ng tròn. Xác nh to  tâm và bán kính ca ng tròn ó. (H(3; 0; 2), r = 4) 
Bài 5) HC 2008 K.D Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho bn im A(3;3;0), B(3;0;3), 
C(0;3;3), D(3;3;3) 
1) Vi
t phng trình mt c
u i qua bn im A, B, C, D. 2 2 2 3 3 3 0x y z x y z+ + − − − = 
2) Tìm t
a  tâm ng tròn ngoi ti
p tam giác ABC. H(2; 2; 2) 
MT PHNG 
Bài 6) HC 2008 K.B 
Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho ba im A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) 
1) Vi
t phng trình mt phng i qua ba im A, B, C. x + 2y - 4z + 6 = 0 
2) Tìm t
a  ca im M thuc mt phng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC 
M(2; 3; -7) 
Bài 7) HC 2002 K.A Trong không gian vi h t
a  êcac vuông góc Oxyz cho hai ng 
thng: 1 : 
2
2 3 4
x y z+
= = và 2 : 
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +

= +
a) Vi
t phng trình mt phng (P) cha ng thng 1 và song song vi ng thng 2 2x - z = 0 
b) Cho im M(2 ; 1; 4). Tìm t
a  im H thuc ng thng 2 sao cho on thng MH có  dài 
nh nht. H(2; 3; 3) 
Bài 8) HC 2005 K.D Trong không gian vi h t
a  Oxyz cho hai ng thng 
d1 : 
1 2 1
3 1 2
x y z− + +
= =
−
 và d2: 
4 2
3 1 2
x y z− −
= =
−
a) CMR d1 , d2 song song vi nhau. Vi
t phng trình mt phng (P) cha c hai ng thng d1 và d2. 
b) Mt phng t
a  Oxz ct hai ng thng d1, d2 l
n lt ti các im A, B. Tính din tích tam giác 
OAB ( O là gc t
a ). 
a) 15 11 17 10 0x y z+ − − = . 
b) A(-5; 0; -5), B(12; 0; 10) 5.S = 
Bài 9) HC 2007 K.B Trong không gian vi h to  Oxyz, cho mt c
u (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 
4y + 2z – 3 = 0 và mt phng (P): 2x – y + 2z – 14 = 0. 
1. Vi
t phng trình mt phng (Q) cha trc Ox và ct (S) theo mt ng tròn có bán kính bng 3. 

	



		

 

2. Tìm to  im M thuc mt c
u (S) sao cho khong cách t	 M 
n mt phng (P) ln nht. 
 (Q): y - 2z = 0; M(-1; -1; -3) 
Bài 10) HC 2008 K.A 
Trong không gian vi hê t
a  Oxyz, cho im A(2;5;3) và ng thng d : 1 2
2 1 2
x y z− −
= = . 
1) Tìm t
a  hình chi u vuông góc ca im A trên ng thng d. H(3; 1; 4) 
2) Vi
t phng trình mt phng (α ) cha d sao cho khong cách t	 A 
n mt phng (!) ln nht. 
x - 4y + z - 3 = 0 
Bài 11) HC 2010 K.D (Chun) Trong không gian to  Oxyz, cho hai mt phng (P): x + y + z 
− 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0. Vi
t phng trình mt phng (R) vuông góc vi (P) và (Q) sao cho 
khong cách t	 O 
n (R) bng 2. 2 2 0x z− ± = 
	NG THNG 
Bài 12) HC 2006 K.D Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho im A(1;2;3) và hai 
ng thng: d1 : 2 2 3
2 1 1
x y z− + −
= =
−
, d2 : 
1 1 1
1 2 1
x y z− − +
= =
−
1) Tìm t
a  im A’ i xng vi im A qua ng thng d1. A'(-1; -4; 1) 
2) Vi
t phng trình ng thng  i qua A, vuông góc vi d1 và ct d2. 1 2 31 3 5
x y z− − −
= =
− −
Bài 13) HC 2005 K.A Trong không gian vi h trc Oxyz cho ng thng d: 
1 3 3
1 2 1
x y z− + −
= =
−
 và mt phng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0. 
a) Tìm to  im I d∈ sao cho khong cánh t	 I 
n mt phng (P) bng 2. I1(-3; 5; 7) 
b) Tìm t
a  giao im A ca ng thng d và mt phng (P). Vi
t phng trình tham s ca 
ng thng  nm trong mt phng (P), bi
t  i qua A và vuông góc góc vi d. 
I1(-3; 5; 7); I2(3; -7; 1); : 1
4
x t
y
z t
=

∆ = −

= +
Bài 14) HC 2004 K.B Trong không gian vi h to  Oxyz cho im A(-4; -2; 4) và ng 
thng d : 
3 2
1
1 4
x t
y t
z t
= − +


= −

= − +
 Vi
t phng trình ng thng  i qua im A, ct và vuông góc vi ng 
thng d. 3 2 4
4 2 1
x y z+ + −
= =
−
Bài 15) HC 2006 K.A Trong khgian vi h t
a  Oxyz, cho hình l"p phng ABCD.A’B’C’D’ 
vi A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0) , A’(0;0;1). G
i M và N l
n lt là trung im ca AB và CD. 
a) Tính khong cách gi#a hai ng thng A’C và MN. 1
2 2
d = 
b) Vi
t phng trình mt phng A’C và to vi mt phng Oxy mt góc α bi
t cosα = 1
6
. 
2x - y + z - 1 = 0 và x - 2y - z + 1 = 0 
Bài 16) HC 2006 K.B 
Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho im A(0;1;2) và hai ng thng : 
d1 : 1 1
2 1 1
x y z− +
= =
−
 , d2 : 
1
1 2
2
x t
y t
z t
= +


= − −

= +
1) Vi
t phng trình mt thng (P) qua A, $ng thi song song vi d1 và d2. x + 3y + 5z - 13 = 0. 
2) Tìm t
a  các im M thuc d1, N thuc d2 sao cho ba im A, M, N thng hàng. 

	



		

 

M(0; 1; -1); N(0; 1; 1). 
Bài 17) HC 2007 K.A Trong không gian vi h to  Oyxz, cho hai ng thng 
d1: 
1 2
2 1 1
x y z− +
= =
−
 và d2: 
1 2
1
3
x t
y t
z
= − +


= +

=
1. Chng minh rng d1 và d2 chéo nhau. 
2. Vi
t phng trình ng thng d vuông góc vi mt phng (P): 7x + y – 4z = 0 và ct hai 
ng thng d1, d2. 
2 1
7 1 4
x y z− +
= =
−
Bài 18) HC 2007 K.D Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho hai im A( 1;4;2) , B(-1;2;4) 
và ng thng d : 1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
. 
1) Vi
t phng trình ng thng  i qua tr
ng tâm G ca tam giác OAB và vuông góc vi mt 
phng (OAB). 2 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
2) Tìm t
a  im M thuc ng thng d sao cho MA2 + MB2 nh nht. M(-1; 0; 4); 
Bài 19) HC 2009 K.B (NC) Trong không gian vi h to  Oxyz, cho mt phng (P): x – 2y + 
2z – 5 = 0 và hai im A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các ng thng i qua A và song song vi (P), hãy 
vi
t phng trình ng thng mà khong cách t	 B 
n ng thng ó là nh nht. 
3 1
26 11 2
x y z+ −
= =
−
Bài 20) HC 2009 K.D (Chun) Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho các im A (2; 1; 0), 
B(1;2;2), C(1;1;0) và mt phng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác nh t
a  im D thuc ng thng 
AB sao cho ng thng CD song song vi mt phng (P). 5 1; ; 1
2 2
D − 	
Bài 21) HC 2009 K.D (NC) Trong không gian vi h t
a  Oxyz, cho ng thng : 
2 2
1 1 1
x y z+ −
= =
−
 và mt phng (P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Vi
t phng trình ng thng d nm trong 
(P) sao cho d ct và vuông góc vi ng thng . 3 1 1
1 2 1
x y z+ − −
= =
−
Bài 22) HC 2010 K.B (NC) Trong không gian t
a  Oxyz, cho ng thng ∆: 1
2 1 2
x y z−
= = . 
Xác nh t
a  im M trên trc hoành sao cho khong cách t	 M 
n ∆ bng OM. 
M1(-1; 0; 0); M2(2; 0; 0). 
Bài 23) HC 2010 K.D (NC) Trong không gian to  Oxyz, cho hai ng thng ∆1: 
3x t
y t
z t
= +


=

=
 và 
∆2: 
2 1
2 1 2
x y z− −
= = . Xác nh to  im M thuc ∆1 sao cho khong cách t	 M 
n ∆2 bng 1. 
M1(4; 1; 1); M2(7; 4; 4). 
Bài 24) HC 2003 K.B 
Trong không gian vi h t
a  êcac vuông góc Oxyz cho hai im A(2; 0; 0), B(0;0;8) và im C 
sao cho AC




=(0; 6; 0). Tính khong cách t	 trung im I ca BC 
n ng thng OA. (d = 5) 
Bài 25) HC 2009 K.A (NC) Trong không gian vi h to  Oxyz, cho mt phng (P): x - 2y + 
2z - 1 = 0 và hai ng thng 1: 1 9
1 1 6
x y z+ +
= = , 2: 
1 3 1
2 1 2
x y z− − +
= =
−
. Xác nh to  im M 
thuc ng thng 1 sao cho khong cách t	 M 
n ng thng 2 và khong cách t	 M 
n mt 
phng (P) bng nhau. ( )1 2 18 53 30;1; 3 ; ; ; .35 35 35M M
 
−  	

	



		

 

Bài 26) HC 2009 K.B (Chun) Trong không gian vi h to  Oxyz, cho t din ABCD có các 
nh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Vi
t phng trình mt phng (P) i qua A, B sao cho 
khong cách t	 C 
n (P) bng khong cách t	 D 
n (P). 4x + 2y + 7z - 15 = 0; 2x + 3z - 5 = 0. 
Bài 27) HC 2010 K.A (Chun) Trong không gian t
a  Oxyz, cho ng thng 
1 2
:
2 1 1
x y z− +∆ = =
−
 và mt phng (P) : x − 2y + z = 0. G
i C là giao im ca ∆ vi (P), M là im 
thuc ∆. Tính khong cách t	 M 
n (P), bi
t MC = 6 . 1
6
d = 
Bài 28) HC 2010 K.B (Chun) Trong không gian t
a  Oxyz, cho các im A (1; 0; 0), B (0; b; 
0), C (0; 0; c), trong ó b, c dng và mt phng (P): y – z + 1 = 0. Xác nh b và c, bi
t mt phng 
(ABC) vuông góc vi mt phng (P) và khong cách t	 im O 
n mt phng (ABC) bng 1
3
. 
1
2
b c= = 
Bài 29) HC 2002 K.B Cho hình l"p phng ABCDA1B1C1D1 có cnh bng a. 
a) Tính theo a khong cách gi#a hai ng thng A1B và B1D. 
6
a
b) G
i M, N, P l
n lt là các trung im ca các cnh BB1, CD, A1D1. Tính góc gi#a hai ng 
thng MP, C1N. ( )090 
Bài 30) HC 2004 K.A Trong không gian vi h t
a  êcac Oxyz cho hình chóp S.ABCD có 
áy ABCD là hình thoi, AC ct BD to gc t
a  O. Bi
t A(2; 0; 0), B (0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). G
i M 
là trung im cnh SC. 
a) Tính góc và khong cách gi#a hai %ng thng SA, BM. 0 2 630 ;
3
d
 
= 	 	
b) Gi s& mt phng (ABM) ct ng thng SD ti im N. Tính th tích khi hình chóp 
S.ABMN. 2V = 
Bài 31) HC 2004 K.D 
Trong không gian vi h to  Oxyz cho hình lng tr ng ABC.A1B1C1. Bi
t A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), 
C(0; 1; 0), B1(-a; 0; b), a > 0, b > 0. 
a) Tình khong cách gi#a hai ng thng B1C và AC1 theo a, b. 
2 2
abd
a b
 
= 	
+
b) Cho a, b thay 'i nhng luôn tha mãn a + b = 4. Tìm a, b  khong cách gi#a hai ng 
thng B1C và AC1 ln nht. a = b = 2. 
Bài 32) HC 2003 K.A 
Trong không gian vi h trc t
a  êcac vuông góc Oxyz cho hình hp ch# nh"t ABCD.A’B’C’D’ 
có A trùng vi gc ca h t
a , B(a; 0; 0) , D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (a > 0, b > 0). G
i M là trung im 
cnh CC’. 
a) tính th tích khi t din BDA’M theo a và b. 
2
4
a bV = 
b) Xác nh t( s a
b
  hai mt phng (A’BD) và (MBD) vuông góc vi nhau. 1a
b
=