Bài tập Hình học 12

Bài 1: Thể tích khối chóp (1)
Chú ý:
1, Cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
	2, Cách tìm góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa đường thẳng và đường thẳng. giữa hai mặt phẳng.
3, Cách xác định chiều cao:
Nếu khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. 
Nếu khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
4, Thể tích khối chóp V=Bh với 
VD 1: Cho hỡnh chúp SABC cú SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cựng vuụng gúc với (SBC). Tớnh thể tớch khối chúp .
VD 2: Cho hỡnh chúp SABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B với AC = a biết SA vuụng gúc với đỏy ABC và SB hợp với đỏy một gúc 60o.
	1, Chứng minh cỏc mặt bờn là tam giỏc vuụng . 
	2, Tớnh thể tớch khối chúp .
VD 3: Cho hỡnh chúp SABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a biết SA vuụng gúc với đỏy ABC và (SBC) hợp với đỏy (ABC) một gúc 60o. Tớnh thể tớch khối chúp .
VD 4: Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cú cạnh a và SA vuụng gúc đỏy ABCD và mặt bờn (SCD) hợp với đỏy một gúc 60o.
	1, Tớnh thể tớch khối chúp SABCD.
	2, Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SCD).
VD 5: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tại A và D; CD = a;
AB = AD = 2a; gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) ^ (ABCD) và (SCI) ^ (ABCD). 
Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a. (ĐH – A-2009)
VD 6: Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ABCD laứ hỡnh thang, , AD=2a, AB=BC=a, SA ^ (ABCD), SA= 2a. goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm caực caùnh SA, SD. CMR: BCNM laứ hỡnh chửừ nhaọt. Tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.BCNM theo a. 	(CĐ -2008)	
VD 7: Cho khoỏi choựp S.ABCD coự ủaựy laứ hỡnh vuoõng caùnh a, SA= vaứ 
SA ^ (ABCD). Tớnh theo a theồ tớch khoỏi tửự dieọn SACD vaứ tớnh cos().
VD 8: Cho S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a, SA = a,SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. I = BM ∩ AC. 
Tính thể tích khoỏi chóp ANIB. (ĐH B-06)
VD 9: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, 
AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. Tính VSABC 
VD 10: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD), AB = a, SA = a. H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. CMR: SC (AHK) và Tính thể tích hình chóp OAHK.
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Bài 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B với 
BA= BC= a. biết SA vuụng gúc với đỏy ABC và SB hợp với (SAC) một gúc 30o. 
 Tớnh thể tớch khối chúp. 
Bài 2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc với đỏy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giỏc ABC đều và mặt (SBC) hợp với đỏy ABC một gúc 30o .Tớnh thể tớch khối chúp SABC 
Bài 3: Cho hỡnh chúp SABC cú đỏy ABC vuụng tại A và SB vuụng gúc với đỏy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) một gúc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một gúc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 . Tớnh thể tớch khối chúp. 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD cú AD(ABC), AC=AD = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1, Tớnh thể tớch khối ABCD. 
2, Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (BCD). 
Bài 5: Cho khối chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc cõn tại A với BC = 2a, , biết và mặt (SBC) hợp với đỏy một gúc 45o . Tớnh thể tớch khối chúp SABC. 
Bài 6: Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng biết 
SA (ABCD),SC = a và SC hợp với đỏy một gúc 60o Tớnh thể tớch khối chúp. 
Bài 7: Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật biết rằng SA (ABCD), 
SC hợp với đỏy một gúc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tớnh thể tớch khối chúp. 
Bài 8: Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a và gúc nhọn A bằng 60o và SA (ABCD) ,biết rằng khoảng cỏch từ A đến cạnh SC = a.
 Tớnh thể tớch khối chúp SABCD. 
Bài 9: Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B 
 biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) và (SCD) hợp với đỏy một gúc 60o 
 Tớnh thể thớch khối chúp SABCD. 
Bài 10: Cho khối chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là nửa lục giỏc đều nội tiếp trong nửa đường trũn đường kớnh AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đỏy ABCD một gúc 45o. O là trung điểm của AB, SO(ABCD). Tớnh thể tớch khối chúp SABCD. 
Bài 11: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh vuụng cú đường chộo bằng 2; hai mặt bờn SAB, SAD cựng vuụng gúc với đỏy và cạnh bờn SC tạo với đỏy một gúc bằng 300. Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD.
Bài 12: Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, SA (ABCD), SA = a.
1, Chứng minh rằng CS BD.
2, Tớnh gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD)
3, Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD.
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có ∆ABC vuông tại B, SA (ABC). ACB =60o, BC = a, SA = a, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Bài 1: Thể tích khối chóp (2)
Chú ý: Cách xác định chiều cao:
Nếu khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Nếu khối chóp đều.
Nếu khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau.
Nếu khối chóp có các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau.
VD 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cú cạnh a. Mặt bờn SAB là tam giỏc đều nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏyABCD, Tớnh thể tớch khối chúp SABCD.
VD 2: Cho tứ diện ABCD cú ABC là tam giỏc đều cạnh a, BCD là tam giỏc cõn tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một gúc 60o .Tớnh thể tớch tứ diện ABCD.
VD 3: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B, cú BC = a. (SAC) vuụng gúc với đỏy, cỏc mặt bờn cũn lại đều tạo với mặt đỏy một gúc 450.
1, Chứng minh rằng chõn đường cao khối chúp trựng với trung điểm cạnh AC.
 2, Tớnh thể tớch khối chúp SABC.
VD 4: Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi với AC = 2BD = 2a và SAD vuụng cõn tại S , (SAD) (ABCD). Tớnh thể tớch khối chúp SABCD
VD 5: Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và D; 
AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giỏc SAB đều nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với (ABCD). Tớnh thể tớch khối chúp SABCD . 
VD 6:Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt bờn SBC là tam giỏc đều cạnh a, SA (ABC). Biết gúc BAC bằng 1200, tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC theo a.
VD 7:Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh bờn bằng a và cỏc cạnh bờn tạo với mặt phẳng đỏy một gúc . Tớnh thể tớch của khối chúp. 
VD 8:Cho khối chúp tam giỏc đều cạnh bờn bằng và cỏc mặt bờn tạo với đỏy một gúc bằng 450. Tớnh thể tớch của khối chúp.
VD 9: (Y HN-00) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đáy AB=a và =. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a và .
VD 10: (A-07). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)(ABCD). ∆SAD đều. M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. tính thể tích khối chóp CMNP
VD 11: (ĐH B-2008) Cho hỡnh choựp S. ABCD, ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh 2a, 
SA= a, SB = vaứ mp(SAB) vuoõng goực vụựi mp ủaựy. Goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AB, BC. Tớnh theo a theồ tớch khoỏi choựp S.BMDN vaứ cosin goực giửừa 2 ủửụứng thaỳng SM, DN. 	
VD 12: [ĐH_B 04] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng (0o < < 90o). Tính tan của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD) theo . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, .
VD 13: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều cú mặt bờn hợp với đỏy một gúc 45o và khoảng cỏch từ chõn đường cao của chúp đến mặt bờn bằng a. Tớnh thể tớch hỡnh chúp .
VD 14: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
	1, Tớnh thể tớch khối tứ diện đều ABCD.
2, Tớnh khoảng cỏch từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tớch hỡnh chúp MABC.
VD 15: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều SABC cú cạnh bờn a, gúc ở đỏy của mặt bờn là 45o.
	1, Tớnh độ dài chiều cao SH của chúp SABC . 
	2, Tớnh thể tớch khối chúp SABC. 
VD 16: Cho chúp tam giỏc đều cú đường cao h hợp với một mặt bờn một gúc 30o . 
 Tớnh thể tớch khối chúp. 
VD 17: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú đường cao h và mặt bờn cú gúc ở đỉnh bằng . 
Tớnh thể tớch khối chúp. 
VD 18: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy a và . 
	1, Tớnh tổng diện tớch cỏc mặt bờn của hỡnh chúp đều. 	
2, Tớnh thể tớch khối chúp. 
VD 19: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn ở B, ,
 SA vuụng gúc với đỏy ABC , 
	1, Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC.
	2, Gọi G là trọng tõm tam giỏc SBC, mặt phẳng () qua AG và song song 
 với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tớnh thể tớch của khối chúp S.AMN
VD 20: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn ở A và . Trờn đường thẳng qua C và vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuụng gúc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
Tớnh thể tớch khối tứ diện ABCD.
Chứng minh 
Tớnh thể tớch khối tứ diện CDEF.
VD 22: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD, đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn tạo với đỏy gúc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD
Tớnh thể tớch khối chúp S.AEMF
Bài tập rèn luyện kỹ năng
Bài 1: Cho hỡnh chúp SABC cú đỏy ABC đều cạnh a, tam giỏc SBC vuụng cõn tại S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với (ABC). Tớnh thể tớch khối chúp SABC
Bài 2: Cho hỡnh chúp SABC cú đỏy ABC vuụng cõn tại A với AB = a biết tam giỏc SAB cõn tại S và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một gúc 45o. Tớnh thể tớch của SABC. 
Bài 3: Cho hỡnh chúp SABC cú ; SBC là tam giỏc đều cạnh a và (SAB) (ABC). Tớnh thể tớch khối chúp SABC. 
Bài 4: Tứ diện ABCD cú ABC và BCD là hai tam giỏc đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuụng gúc với nhau biết AD = a.Tớnh thể tớch tứ diện. 
Bài 5 : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng . Mặt bờn SAB là tam giỏc đều cú đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với ABCD, 
 Tớnh thể tớch khối chúp SABCD . 
Bài 6: Cho hỡnh chúp SABCD cú ABCD là hỡnh chữ nhật , tam giỏc SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với (ABCD) biết (SDC) hợp với (ABCD) một gúc 30o. Tớnh thể tớch hỡnh chúp SABCD. 
Bài 7: Cho hỡnh chúp SABCD cú ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB = 2a , BC = 4a, (SAB)(ABCD) , hai mặt bờn (SBC) và (SAD) cựng hợp với đỏy ABCD một gúc 30o . Tớnh thể tớch hỡnh chúp SABCD
Bài 8: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều cú diện tớch đỏy bằng 4 và diện tớch của một mặt bờn bằng . Tớnh thể tớch của khối chúp đú.
Bài 9: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn hợp với đỏy một gúc . Tớnh thể tớch của khối chúp đú.
Bài 10: Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại B, . Tam giỏc SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy.Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC.
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a, 
(SAB) (ABCD). M, N - Trung điểm AB, BC. Tính VS.BMDN 
Bài 12: Cho hỡnh choựp SABCD coự hai maởt beõn (SAB), (SAD) vuoõng goực vụựi ủaựy, SA = a ủaựy ABCD laứ hỡnh thoi caùnh a coự goực A = 1200.
a.Chửựng minh hai tam giaực SBC vaứ SDC baống nhau.
b.Tớnh dieọn tớch xung quanh cuỷa hỡnh choựp SABCD.
c.Tớnh theồ tớch hỡnh choựp S.BCD, tửứ ủoự suy ra khoaỷng caựch tửứ D ủeỏn (SBC).
Bài 13: Cho chúp tam giỏc đều SABC cạnh đỏy bằng a và cạnh bờn bằng 2a. 
 Chứng minh rằng chõn đường cao kẻ từ S của hỡnh chúp là tõm của tam giỏc 
đều ABC.Tớnh thể tớch chúp đều SABC .
Bài 14: Cho khối chúp tứ giỏc SABCD cú tất cả cỏc cạnh cú độ dài bằng a . 
	1) Chứng minh rằng SABCD là chúp tứ giỏc đều.
	2) Tớnh thể tớch khối chúp SABCD.
Bài 15 : Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú chiều cao h ,gúc ở đỉnh của mặt bờn 
 bằng 60o. Tớnh thể tớch hỡnh chúp. 
Bài 16: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh bờn bằng a hợp với đỏy một gúc 60o. ... ường thẳng (1, 2, 3 dễ 4 ->)
1, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng qua 2 ủieồm A , B
2, Vieỏt ptrỡnh ủửụứng thaỳng qua 1 ủieồm vaứ song song vụựi ủửụứng thaỳng d
3, Vieỏt ptrỡnh ủửụứng thaỳng qua 1 ủieồm vaứ vuoõng goực vụựi maởt phaỳng 
4, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ủi qua ủieồm vaứ vuoõng goực vụựi vaứ 
5, Vieỏt ptrỡnh ủửụứng thaỳng ủi qua ủieồm B vuoõng goực vaứ caột ủửụứng thaỳng d 
6, Vieỏt ptrỡnh ủửụứng thaỳng hỡnh chieỏu vuoõng goực cuỷa ủửụứng thaỳng (d) treõn (P)
7, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng song song vụựi ủửụứng thaỳng d ( vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (P) ) caột caỷ 2 ủửụứng thaỳng vaứ 
8, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng vuoõng goực chung cuỷa 2 ủửụứng thaỳng vaứ
9, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng qua A vuoõng goực vụựi vaứ caột 
10, Vieỏt ptrỡnh ủửụứng thaỳng ủi qua ủieồm A caột caỷ 2 ủửụứng thaỳng vaứ
11, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng naốm trong maởt phaỳng caột vaứ
12, Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng qua giao ủieồm cuỷa vaứ (d) naốm trong vaứ vuoõng goực vụựi 
C. Tìm điểm  
1, Tỡm ủieồm N laứ hỡnh chieỏu cuỷa ủieồm M treõn maởt phaỳng 
=> H ủoỏi xửựng vụựi ủieồm M qua maởt phaỳng 
2, Tỡm ủieồm N laứ hỡnh chieỏu cuỷa ủieồm M treõn ủửụứng thaỳng 
=> H ủoỏi xửựng vụựi ủieồm M qua ủửụứng thaỳng 
VD 1. Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng 
Tỡm tọa độ điểm H là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm M trờn 
Tỡm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng 
Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng 
VD 2. Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) và . Tỡm điểm M sao cho 
 nhỏ nhất .
VD 3. Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và Tỡm điểm M sao cho 
MA2+MB2 nhỏ nhất
VD 4. Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng d: 
Tỡm tọa độ điểm H là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn đường thẳng d
Tỡm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
VD 5. Trong khụng gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC).
Viết ptrỡnh đường thẳng (d) qua D vuụng gúc với mặt phẳng (ABC).
Tỡm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
Tỡm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
VD 6. Trong khụng gian Oxyz cho mặt phẳng (a) : 2x + y + z – 9 = 0 và D : 
1. Tỡm giao điểm I của D và (a).
2. Viết phương trỡnh đường thẳng d qua I và vuụng gúc với (a).
VD 7. Trong kgian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
, 
1, Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau . Viết phương trình mp( d1, d2) 
2, Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và d mp( d1, d2) 
VD 8. Trong kgian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau.
Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2)
VD 9. Trong kgian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
 , 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Viết phương trình mặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2) .
VD 10. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
 , 
1, CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của nó.
2, Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2).
3, Viết phương trình đường phân giác của(d1),(d2)
VD 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đường thẳng:	, 
VD 12. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0) và cắt cả hai đường thẳng:
 là giao của hai mặt phẳng 
VD 13. Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-2=0 và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2): là giao của hai mặt phẳng
VD 14. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
 là giao của hai mp: 
Chứng tỏ rằng (d1),(d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .
VD 15. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết: 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .
Bài 4 : TổNG HợP
VD 1. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi : 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .
VD 2. Trong không gian 0xyz , cho (d1): x=- y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z
 Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) và toạ độ điểm A2 thuộc (d2) để đường thẳng A1A2 vuông góc với (d1) và vuông góc với (d2) .
VD 3. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết: là giao của hai mặt phẳng 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
VD 4. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết: 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2) .
VD 5. Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :
 là giao của hai mặt phẳng 
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.
Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng thời (d1),(d2) .
VD 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đường thẳng:
 , 
VD 7. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d):
VD 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0,1,1) và vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết : là giao của 
VD 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với (P) :3x-2y-3z-7=0 và cắt đường thẳng (d) biết:
VD 10. Cho ba đường thẳng (d1): ,(d2):
 (d3) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
Viết phương trỡnh song song với (d1) cắt cả hai đường thẳng (d2) và (d3)
VD 11. Cho hai đường thẳng (d1): 
 Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A(1;-1;1) cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)
VD 12. Viết phương trỡnh của đường thẳng nằm trong mp:y+2z = 0 và cắt cả hai đường thẳng.	(d1): (d2): 
VD 14. Cho hai đường thẳng (d): và (d’): . 
a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chộo nhau. Tớnh khoảng cỏch giữa chỳng
b) Viết phương trỡnh đường vuụng gúc chung của chỳng
c) Tớnh gúc giữa (d1) và (d2)
VD 15. Cho hai đường thẳng (d1): 
 Và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A(0;1;1) vuụng gúc với đường thẳng (d1) và cắt (d2)
VD 16. Cho hai dường thẳng và 
a, Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa và song song với .
b, Cho điểm M(2;1;4).Tỡm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng sao cho đoạn MH cú độ dài nhỏ nhất
VD 17. Cho hai điểm A(2;0;0) , B(0;0;8) và điểm C sao cho .Tớnh khoảng cỏch từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA .
VD 18. Trong khụng Oxyz cho mp: x+3ky – z +2=0 và :kx – y +z +1=0 . Tỡm k để giao tuyến của vàvuụng gúc với mặt phẳng :x – y – 2z +5=0 .
VD 19. Trong khụng gian Oxyz cho điểm A(-4;-2;4)và đường thẳng d:
 Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm A , cắt và vuụng gúc với đường thẳng d.
VD 20. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thoi ABCD , AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;) . Gọi M là trung điểm SC .
a/ Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa SA và song song với BM
b/ Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng SA và BM.
VD 21. Trong khụng gian Oxyz cho điểm D(-3;1;2) và mặt phẳng đi qua ba điểm 
 A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8).
a, Viết phương trỡnh đường thẳng AC .
b, Viết phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng .
c, Viết phương trỡnh mặt cầu (S) tõm D, bỏn kớnh r = 5.CMR: cắt mặt cầu (S).
VD 22. Trong khụng gian Oxyz ,cho mặt phẳng : 2x +y – z – 6 = 0 .
a, Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua O và song song với .
b, Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuụng gúc với mặt phẳng .
c, Tớnh khoảng cỏch từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng .
VD 23. Cho hỡnh hộp chữ nhật cú cỏc đỉnh A(3 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;5), O(0 ;0 ;0 ) và đỉnh D đối xứng với O qua tõm của hỡnh hộp chữ nhật .
a, Xỏc định tọa độ đỉnh D. Viết phương trỡnh tổng quỏt của mphẳng (ABD) .
b, Viết ptrỡnh tham số của đường thẳng đi qua D và vuụng gúc với (ABD) .
VD 24. Trong khụng gian Oxyz, cho A( 6 ;- 2 ;3) , B(0 ;1 ;6) , C(2 ;0 ;-1), D(4 ;1 ;0)
a , Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D . Hóy lập ptrỡnh mặt cầu (S) 
b, Viết phương trỡnh mặt phẳng tiếp xỳc với mặt cầu (S) tại A.
VD 25. Trong khụng gian Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1), D(1; 1; 0)
a ,Viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D .
b, Xỏc định tọa độ tõm và bỏn kớnh của đường trũn là giao tuyến của mặt cầu
 (S) với mặt phẳng (ACD) 
VD 29. Trong khụng gian Oxyz cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh :
 (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = 0 
a/ Chứng minh : (P) và (S) cắt nhau .
b/ Xỏc định tõm và bỏn kớnh đường trũn là giao tuyến của của (P) và (S) 
VD 30. Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – 6 = 0 
a/ Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) :x+y+z – 9 =0 và cắt (S) theo thiết diện là một đường trũn lớn .
b/ Viết phương trỡnh mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R) :x+2y+z – 1 =0 và cắt (S) theo thiết diện là một đường trũn cú diện tớch bằng 3. 
VD 31. Cho dường thẳng d và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh :
 (d) : , (P) : 3x + 2y +z – 12 = 0.
a/ Chứng minh (d) (P) .
b/ Lập phương trỡnh mặt phẳng chứa (d) và vuụng gúc với mặt phẳng (P) .
c/ Lập phương trỡnh mặt phẳng chứa (d) và tạo với mặt phẳng (P) một gúc 60o 
VD 32. Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) cú phương trỡnh 
 (d1) : , (d2) 
a/ Chứng tỏ (d1) và (d2) song song với nhau.
b/ Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2) .
c/ Tớnh khoảng cỏch giữa (d1) và (d2) .
d/ Lập phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa (d1) và cỏch (d2) một khoảng bằng 2.
e/ Lập ptrỡnh đường thẳng () thuộc (P) và song song cỏch đều (d1) và (d2)
VD 33. Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) 
 (d1): , (d2) :
a/ Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) đồng phẳng. Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) chứa (d1) và (d2).
b/Tớnh thể tớch tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và ba mặt phẳng tọa độ .
c/ Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện núi trờn .
VD 34. Cho hai đường thẳng (d1) và (d2)cú phương trỡnh :
 (d1) : và (d2) :
a/ Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) chộo nhau .
b/ Tớnh khoảng cỏch giữa (d1) và (d2).
c/ Viết phương trỡnh đường vuụng gúc chung của (d1) và (d2)
d/ Viết phương trỡnh đường thẳng () song song với Oz , cắt cả (d1) và (d2).
VD 35. Cho đường thẳng (d) và mặt cầu (S) cú phương trỡnh :
 (d) : , (S) : x2 + ( y – 1 )2 + (z – 1)2 = 5
a/ Chứng tỏ đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tiếp xỳc nhau . Tỡm tọa độ điểm tiếp xỳc 
b/ Viết phương trỡnh đường thẳng song song với đường thẳng (d) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB = 2 .
c/ Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa (d) cắt (S) theo thiết diện là đường trũn cú chu vi bằng 2
VD 36. Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh :
 (d) : , (P): 2x – y – 2z + 1= 0
a/ Tỡm cỏc điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cỏch từ mỗi điểm đú đến mặt phẳng (P) bằng 1 .
b/ Gọi K là điểm đối xứng của I(2 ;-1 ;3) qua đường thẳng (d) . Xỏc định K.
VD 37. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a 
Tớnh theo a khoảng cỏch giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BB’, CD, A’D’.Tớnh gúc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
VD 38. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều cú cạnh bờn và cạnh đỏy bằng a. Tớnh gúc hợp bởi cạnh bờn và mặt bờn đối diện.