Bài tập Hình học 11 nâng cao

BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 NÂNG CAO.
1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông gócvà OA = OB = OC = a. 
 Gọi H là điểm thuộc mp(ABC) sao cho OH (ABC).
 a./ Chứng minh BC và tính khoảng cách từ BC đến OA.
 b./ CM: H là trực tâm của tam giác ABC.Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC).
 c./ Với giả thiết H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh OH (ABC).
 d./ Tính góc giữa AC và mp(AOB) và góc giữa mp(ABC) và mp(OBC).
2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi S là điểm đối xứng của A qua D.
 a./ Chứng minh rằng tam giác SAB, SAC là tam giác vuông.
 b./ Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC), suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABC)
 c./ Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng các tam giác ABH, ACH là các tam giác vuông.
3. Cho hình chĩp S.ABCD với ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với (ABCD) và SA = a. Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu của A trên SB, SC, SD.
a./ Chứng minh các mặt bên của hình chĩp là các tam giác vuơng.
b./ Chứng minh (SAC) (SBD).
c./ Chứng minh B’D’(SAC).
d./ Chứng minh A, B’, C’, D’ đồng phẳng và tứ giác AB’C’D’ nội tiếp.
e./ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
f./ Tính gĩc giữa SB và CD, SC và mặt phẳng (SAB).
4. Cho tứ diện SABC cĩ (SAB) và (SAC) cùng vuơng gĩc với mp(ABC), tam giác ABC vuơng tại B, biết SA = BC = a, AB = 2a.
a./ Chứng minh các tam giác SAB, SCB, SAC là các tam giác vuơng.
b./ Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). Suy ra khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến (SBC).
c./ Tính khoảng cách từ B đến (SAC).
d./ Tính gĩc giữa SB và (ABC), AS và (SBC).
5. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và B, AB = BC = a, AD = 2AB, SA(ABCD), SA = . Gọi I là trung điểm của AD.
a./ Chứng minh: AC CD, CD (SAC), BC (SAB)
b./ Tính gĩc giữa SC và (SAB), (SCD) và (ABCD).
c./ Tính khoảng cách giữa AB và SD.
6. Cho tam giác ABC vuơng tại C, trên đưpờng thẳng d vuơng gĩc với (ABC) tại A lấy điểm S. Hạ AD SB, AE SC.
a./ Chứng minh các mặt của tứ diện SABC là tam giác vuơng.
b./ Chứng minh: AE (SBC), suy ra tam giác ADE vuơng.
c./ Chứng minh SB (ADE).
7. Cho tam giác ABC đều cạnh a, SA (ABC) với SA = a. Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SH.
a./ Chứng minh: BC (SAH), AK (SBC)
b./ Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c./ Tính gĩc giữa SA và (SBC).
8. Cho hình thang vuơng ABCD cĩ , AB = 2a, AD = CD = a. Từ đỉnh A kẻ SA vuơng gĩc với (ABCD) với SA = .
a./ Chứng minh các mặt bên của hình chĩp S.ABCD là các tam giác vuơng.
b./ Xác định gĩc hợp bởi SB và CD, SC và CD. AC và SB.
c./ Xác định gĩc hợp bởi SB và (ABCD), SC và (ABCD), SD và (ABCD).
d./ Gọi M là trung điểm SC, K là điểm di động trên AB. Tìm quỹ tích hình chiếu H của M trên CK.
9. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang vuơng tại A và D, Cĩ AB = 2a, 
 AD = DC = a, SA (ABCD) và SA = a.
a./ Chứng minh (SAD) (SDC), (SAC) (SCB).
b./ Tính gĩc giữa hai mp(SBC) và (ABCD)
c./ Gọi (P) là mặt phẳng chứa SD và vuơng gĩc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định mặt phẳng (P) và xác định thiết diện của hình chĩp S.ABCD với mp(P), tính diện tích thiết diên đĩ.
10. Cho hình thoi ABCD tâm O, cĩ cạnh a và OB = . Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) tại O lấy điểm S sao cho SB = a.
a./ Chứng minh tam giác SAC vuơng và SC BD
b./ Chứng minh (SAD) (SAB), (SBC) (SCD).
c./ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
d./ Tính gĩc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
e./ Tính gĩc giữa CD và SB.