Bài tập Hàm số luỹ thừa - Logarit

CHƯƠNG II
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
I. LUỸ THỪA 
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ a
Cơ số a
Luỹ thừa 
a Ỵ R
(n thừa số a)
2. Tính chất của luỹ thừa
	· Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
	· 	a > 1 : ; 	0 < a < 1 : 
	· Với 0 < a < b ta có:
	;	
	Chú ý: 	+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
	+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
	· Căn bậc n của a là số b sao cho .
	· Với a, b ³ 0, m, n Ỵ N*, p, q Ỵ Z ta có:
	;	;	;	 
	; Đặc biệt 
	· Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì .
	 Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì .
	Chú ý:	
	+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu .
	+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
	Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
	Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: 	
Thực hiện các phép tính sau::
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g)	h) 
	i) 	k) 
Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Đơn giản các biểu thức sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 	h)
Đơn giản các biểu thức sau:
	a)	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	g) 
So sánh các cặp số sau:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
So sánh hai số m, n nếu:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Có thể kết luận gì về số a nếu:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Giải các bất phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
II. LOGARIT 
1. Định nghĩa
	· Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta có: 
	Chú ý: có nghĩa khi 
	· Logarit thập phân:	
	· Logarit tự nhiên (logarit Nepe):	 (với )
2. Tính chất
	· ;	;	;	
	· Cho a > 0, a ¹ 1, b, c > 0. Khi đó:
	+ Nếu a > 1 thì 
	+ Nếu 0 < a < 1 thì 
3. Các qui tắc tính logarit
	Với a > 0, a ¹ 1, b, c > 0, ta có:
	· 	· 	· 
4. Đổi cơ số
	Với a, b, c > 0 và a, b ¹ 1, ta có:	
	· hay 
	· 	· 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
	n) 	o) 	p) 
	q) 	
	r) 
Cho a > 0, a ¹ 1. Chứng minh: 
HD: Xét A = =
	= 
So sánh các cặp số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	HD: 	d) Chứng minh: 
	e) Chứng minh: 
	g) Xét A = 
	 = > 0
	h, i) Sử dụng bài 2.
Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
	a) Cho . Tính 	 theo a.
	b) Cho . Tính theo a.
	c) Cho . Tính ; ; .
	d) Cho . Tính theo a.
Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
	a) Cho ; . Tính theo a, b. 
	b) Cho ; . Tính theo a, b. 
	c) Cho ; . Tính theo a, b.
	d) Cho ; ; . Tính theo a, b, c.
Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):
	a) 	b) 	c) 	
	d) , với .
	e) , với .
	f) , với .
 	g) .
	h) .
	i) , nếu .
	k) .
	l) , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.
III. HÀM SỐ LUỸ THỪA 
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Khái niệm
	a) Hàm số luỹ thừa (a là hằng số)
Số mũ a
Hàm số 
Tập xác định D
a = n (n nguyên dương)
D = R
a = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
D = R \ {0}
a là số thực không nguyên
D = (0; +¥)
	Chú ý: Hàm số không đồng nhất với hàm số .
	b) Hàm số mũ (a > 0, a ¹ 1). 
	· Tập xác định: 	D = R.
	· Tập giá trị: 	T = (0; +¥).
	· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
	· Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
	· Đồ thị:
	 a>1
 y=ax
	 0<a<1
 y=ax
	c) Hàm số logarit (a > 0, a ¹ 1)
	· Tập xác định:	D = (0; +¥).
	· Tập giá trị:	T = R.
	· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
	· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
	· Đồ thị:
	 a>1
 y=logax
	 0<a<1
 y=logax
2. Giới hạn đặc biệt
	·	· 	· 
3. Đạo hàm 
	·	;	
	Chú ý: 	.	
	· 	;	
	;	
	· 	;	
	 (x > 0);	
Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	g) 	h) 
	i) 	k) 
	l) 	m) 
	n) 
Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:
	a) 	
	b) 
	c) 	
	d) 
	e)