Bài tập Hàm số hữu tỷ

HÀM SỐ HỮU TỶ
BÀI 01
Cho hàm số y = có đồ thi là 
1. Cho A(0,a). Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox
2. Gọi M là điểm bất kỳ trên 
a. Tìm tọa độ M để tổng khoảng cách từ 
*) Đến hai tiệm cận là ngắn nhất
*) Đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất
b. CMR tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là hằng số không đổi
3. Một đường thẳng tiếp xúc tại Q, đồng thời cắt hai tiệm cận tại E,F và hai trục tọa độ tại là giao điểm hai đường tiệm cận
a. CMR : 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng và diện tích tam giác không phụ thuộc vào vị trí Q
b. Xác định tọa độ điểm Q để (t) vuông góc với IQ
c. Tìm tọa đô H,K sao cho chu vi tam giác HIK nhỏ nhất
4. Gọi B,C là hai điểm bất kỳ thuộc . Tìm tọa độ trung điểm N của BC để tam giác ABC đều, biết 
5. Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng (d) y = x + m luôn cắt tại 2 điểm phân biệt R,T . Từ đó tìm m để 
a. RT ngắn nhất
b. 
6. Tìm trên đồ thị cặp điểm mà chúng đối xứng nhau qua đường thẳng 
BÀI 02
Cho hàm số y = ; có đồ thị là 
1. Gọi M thuộc có hoành độ .
a. Chứng tỏ rằng tích khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận không phụ thuộc vào 
b. Tìm tọa độ M sao cho tích hệ số góc của đt IM và tiếp tuyến tại M bằng 3, I là giao điểm hai đường tiệm cận
2. Tìm trên đường thẳng y = 1 những điểm E sao cho qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến sao cho 2 tiếp tuyến tạo nhau 1 góc 
3. Tìm giá trị a để 2 cực trị của nằm về hai miền khác nhau của đường tròn : = 
4. Lập phương trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó vuông góc tiệm cận xiên. Tìm tọa độ tiếp điểm
4. Cho (d) : . Giả sử (d) cắt tại hai điểm phân biệt A,B
a. Có hay không những giá trị m để độ dài AB là ngắn nhất
b. Định m để độ dài AB = 
5. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của không qua giao điểm hai đường tiệm cận
6. Tìm trên đường thẳng (t) những điểm W sao cho khoảng cách từ W đến tiệm cận đứng gấp 2 lần khoảng cách từ W đến tiện cận xiên
BÀI 03
Cho hàm số y = m là tham số, đố thị là 
1. Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của hàm số trên có diên tích bằng 4 (đvdt)
2. Định m để có cực đại , cực tiểu mà 
a. = 16
b. = 5
3. Định m để đường thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt AB sao cho AB = 
4. Khi m = - 3, đồ thị là 
a. Một đường thẳng (d) tiếp xúc tại M đồng thời cắt hai đường tiệm cận tại E,F. CMR: M luôn là trung điểm EF và diện tích tam giác EIF không phụ thuộc vào vị trí M. I là giao điểm hai đường tiệm cận 
b. là 2 đt lần lượt qua I có hệ số góc là .Tìm nguyên để cắt tại 4 điểm phân biệt P,Q,R,S sao cho 4 điểm này tạo thành hình chữ nhật
c. Tìm trên đồ thị hai điểm H,J sao cho chúng đối xứng nhau qua đt 3x - y - 2 = 0
d. Qua M dựng 2đường thẳng lần lượt cùng phương tiệm cận đứng, tiệm cận xiên đồng thời cắt 2 đường tiệm cận đó theo thứ tự là Q,G. CMR diện tích hình bình hành MQIG không phụ thuộc vào vị trí M 
BÀI 04
Cho hàm số ,có đồ thị là ; m là tham số
A. Khi m = 0 đồ thị là 
1. Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm mà qua đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc đến 
2. Tìm trên đường thẳng y = 4 những điểm mà qua đó kẻ hai tiếp tuyến tạo nhau một góc 
3. Tìm trên đồ thị những cặp điểm sao cho chúng đối xứng nhau qua góc tọa độ
4. Tìm trên đồ thị hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau sao cho độ dài AB ngắn nhất
5Gọi là hai đường thẳng qua I giao điểm hai đường tiệm cận; đồng thời cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt R,M,S,N. Tìm tọa độ M,N,R,S sao cho MNRS là hình chữ nhật
B. Khi m là tham số 
6. Tìm tập hợp những điểm mà không có đố thị nào trong họ đi qua
7. CMR: thì đường cong luôn có cực đại và cực tiểu 
8. Định m để :
* 
* 
* ngắn nhất
* 
9. Tìm m để tiếp tuyến tại K có hoành độ x = 5 vuông góc với tiệm cận xiên
10. Tìm m để tích khoảng cách từ H thuộc đến hai tiệm cận
bằng 
HÀM SỐ BẬC BA 
BÀI 01: VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TIẾP TUYẾN & CỰC TRỊ
Cho hàm số , đồ thị , m : tham số
1) Cho m = 2 đồ thị là 
a. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua A(,4) và tiếp xúc 
b. Tìm trên đồ thị những điểm K sao cho qua K:
* Kẻ duy nhất một tiếp tuyến đến 
* Kẻ hai tiếp tuyến phân biệt đến 
* Kẻ đúng hai tiếp tuyến đến mà 2 tiếp tuyến tạo nhau một góc 
* Kẻ 3 tiếp tuyến đến 
* Kẻ 3 tiếp tuyến mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc đế 
c. Tìm tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị . Biết rằng (t):
* Song song với đường thẳng : 
* Vuông góc với đường thẳng : 
* Có hệ số góc 
d.Tìn trên đồ thị những điểm E,F đối xứng nhau qua góc tọa độ
2) m là tham số , đồ thị 
a. CMR: với thì hàm số có hai cực trị (, , (, 
* Định m để , và B(0, - 1) thẳng hàng
* Định m để :
+) + > 4
+) | - | = 27
b. Định m để : 
+) Tam giác O vuông tại O; O là gốc tọa độ
+) :
&) Cùng phương với đt: y = -4x + 4
&) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ
c. Định m để cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 
+) Trong đó có 2 hoành độ dương 
+) Lập cấp số cộng 
d. Với m nào thì tiếp tuyến tại điểm x = 1 cắt 2 trục tọa độ tạo 1 tam giác có diện tích bằng 2( đvdt)
e. Gọi H, P là 2 điểm trên 
+) Tìm m để H, P đối xứng nhau qua góc tọa độ
+) Có hay không giá trị m nguyên để H,P có tọa độ ngyên
f. Với m nào thì tiếp tuyến tại hai điểm cực trị vuông góc nhau
g. Định m để:
+) nhận I(,) làm tâm đối xứng
+) Điểm uốn có hoành độ thỏa mãn 
BÀI 02
Cho hàm số , có đồ thị là 
1. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ thị , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
2. Gọi là hoành độ giao điểm của và . Định m để:
a. Hoành độ lập thành cấp số nhân
b. = 27
3. Gọi . Định m để cắt © tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn :
a. Hoành độ lập cấp số cộng 
b. Hoành độ lập cấp số nhân
c. = 0
d. = 0
4. Định m để 2 cực trị của nằm về hai miền khác nhau của
5. Với m nào thì tiếp xúc 
BÀI 03 Bài tập cơ bản mà
Cho hàm số có đồ thị là , m là tham số
Câu hỏi bình thường tương tự BÀI 01 VÀ BÀI 02
1. Cho m = 1, đồ thị là 
a. Tìm trên đườmg thẳng y = 6 những điểm M có tọa độ nguyên sao cho qua m kẻ được : 
* Duy nhất một tiếp tuyến đến 
* Hai tiếp tuyến đến 
* Ba tiếp tuyến đến 
* Ba tiếp tuyến đến mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc
b. Tương tự cho 
c. Lập phương trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó 
* Có hệ số góc 
* Song song với đường thẳng :
* Vuông góc với đường thẳng : 
d. CMR: tồn tại duy nhất một tiếp tuyến qua điểm uốn của có hệ số góc nhỏ nhất
Câu hỏi khác
2. Tìm để đi qua điểm 
3. Định m để hàm số đồng biến 
* 
* 
4. Gọi là là hai cực trị của . Định m để :
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
5. Định m để hai cực trị của 
* Nằm về hai phía trục tung 
* Nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng 
* Một cực trị nằn trong còn cực trị kia nằm ngoài 
* 
* và điểm (1,0) thẳng hàng 
6. Tìm quỹ tích điểm 
7. Tìm m để điểm uốn của nằm trên đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ
8. Định m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ chắn hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2
HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
BÀI 01
Cho hàm số y = có đồ thị là 
1. Tìm giá trị âm của m để đồ thị cắt đường thẳng y = 1 có 3 giao điểm phân biệt 
2.Khi , đồ thị là 
a. Tìm trên đường thẳng y = - 1 những điểm mà qua đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến 
b. Chứng tỏ rằng có 3 tiếp tuyến qua (0,2) và kẻ đến . Tịnh góc tạo bởi các tiếp tuyến đó
3. Khi m là tham số , đồ thị là 
a. Tìm m để đi qua (1,2)
b. Tìm m để điểm uốn của đt có hoành độ thỏa mãn bất phương trình 
4. Giả sử có 3 cực trị là . Định m để 3 cực trị thỏa mãn:
a. Có hoành độ dương
b. Có hoành độ thuộc (1, 2)
c. Có hoành độ lập cấp số cộng 
d. = m 
e. = 4
f | đạt giá trị nhỏ nhất 
g. lưu động trên đường tròn đường kính O 
5. Định m để tiếp tuyến tại điểm x = 0 cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm phân biệt và cùng tọa độ tạo một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)
6. Với m nào thì O luôn là trọng tâm tam giác 
BÀI 02
Cho hàm số có đồ thị là 
1. CMR với thì luôn cắt trụ hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ . CMR trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong (- 3,3)
2. Tìm m để = 207
3. Định m để diện tích hình phẳng giới hạn phía trên và phía dưới trục hoành của bằng nhau 
BÀI 03: Chỉ là bài toán tiếp tuyến căn bản - nhưng hs dễ làm sai thôi mà
Cho hàm số có đồ thị là 
1. Lập phương trình tiếp tuyến của để tiếp tuyến đó 
* Đi qua điểm có hoành độ 
* Đi qua điểm có tung độ 
* Có hệ số góc 
2. Tìm trên đường thẳng những điểm N sao cho qua N kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến ( C )
3. Tìm trên trục hoành những đểm M sao cho qua đó không thể kẻ quá hai tiếp tuyến đến ( C )
BÀI 04: Chỉ có thể là căn bản thôi - thử xem 
Cho hàm số 
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đi qua góc tọa độ O
2. Định tọa độ điểm K thuộc đồ thị để tiếp tuyến của tại K còn cắt tại 2 điểm E, F sao cho E là trung điểm KF
3. Tìm tập hợp điểm M trên trục y'Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến 
4. Định tập hợp điểm N trên đường thẳng y = 3 để từ N vẽ được 4 tiếp tuyến đến 
BÀI 05
Cho hàm số có đồ thị là , a là tham số
1. Xét các giá trị của a để y = 0 có nghiệm. Với mỗi a đó gọi là nghiệm bé nhất của phương trình. Xác định a để bé nhất.
2. Tìm a để hàm số có trục đối xứng 
3. Định a để hàm số có cực đại. kiểm nghiệm sằng điểm cực đại của đồ thị không thể có hoành độ dương.
4. Với giá trị a nào thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng.
5. Tìm điểm A thuộc Oy sao cho từ A có thể kẻ đến 3 tiếp tuyến
BÀI 06
Cho hàm số có đồ thị là , a là tham số
1. Xác định a sao cho y = 0 có hai nghiệm khác nhau và lớn hơn 1
2. Xác định a để phương trình y = 0 có 4 nghiệm phân biệt
3. Tìm a để tiếp xúc với đường cong: tại một điểm A cố định có hoành độ bằng -1
4. Tìm a sao cho tiếp xúc tại hai điểm khác nhau
5. Định a để hàm số có cực đại, khi đó chứng tỏ rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số không có hoành độ dương 
6. Tìm giá trị a nguyên âm để y > 0 
BÀI 07
Cho hàm số có đồ thị là 
1. Tìm các giá trị m sao cho y > 0 
2. Với giá trị m ở câu a chứng minh 
3. Xác định m để tiếp xúc với d: y = 2(x - 1) tại điểm có hoành độ x = 1
4. Tìm điểm cố định mà đường cong không đi qua bất chấp m
5. Với giá trị nào của m thì luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập cấp số cộng
6. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương . Lập phương trình tiếp tuyến của tại A và song song với đường thẳng 
7. Khi m = 1. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 
BÀI 08
Cho hàm số có đồ thị , m là tham số
1. Định m để tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt
2. Với giá trị m nào thì hàm số có cực trị. Đồng thời các cực điểm ấy tạo thành tam giác đều
3. Xác định giá trị m để cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
4. Tìm m để có đúng một cực trị
5. Tìm m để có điểm chung với trục hoành
6. Tìm m để có cực trị tại x = 1
7. Tìm m để có cực tiểu mà không có cực đại
8. Cho điểm M trên có hoành độ . Tìm những giá trị của để tiếp tuyến của tại M cắt tại hai điểm khác M. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số, biết tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ x = 2. Khi m = 1
BÀI 09
Cho hàm số 
1. Tìm k để hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm thỏa . 
2. Tìm k để hàm số cắt trục hoành có ít nhất hai nghiệm và tích hai nghiệm bằng 
3. Định k để hàm số có cực trị và giá trị cực trị đó có hoành độ nhỏ hơn 2