Bài tập Giải tích 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
4CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xét tính đồng biến(tăng), nghịch biến(giảm) (= tính đơn điệu của hàm số)
DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước
DẠNG 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình	
~ DẠNG 1: Xét tính đồng biến(tăng), nghịch biến(giảm) (= tính đơn điệu của hàm số)
a/Phương pháp: Cho hàm số 
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính y’( hay ) và giải phương trình 
- Lập bảng biến thiên
- Kết luận
b/Ví dụ minh họa: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau
GIẢI
˜ TXĐ 
˜ 
˜ BBT
 -5 -1 
 + 0 - 0 +
 22 
	 10
Vậy hàm số đồng biến trên ; hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ 
˜ vì nên dấu của y’ cùng dấu với a = -3
Vậy hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ 
˜ 
˜ BBT
 0 
 + 0 - 0 + 0 -
 6 6 
	 -3 
Vậy hàm số đồng biến trên ; hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ 
˜ 
˜ BBT
 0 
 - 0 + 
 -2	 
Vậy hàm số đồng biến trên ; hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ 
˜ 
˜ BBT
 2 
 -
- +
1
1
Vậy hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ 
˜ 
˜ BBT
 -1 
 + 0 - 
 - 0 +
 -7
 1
Vậy hàm số đồng biến trên ; hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ 
˜ vì nên dấu của y’ cùng dấu với a = -1
Vậy hàm số nghịch biến trên 
˜ TXĐ vì y xác định
-
-
+
0
0
2
0
Giải pt biểu diễn các nghiệm lên trục số và xét dấu 
˜ 
˜ BBT
 0 1 2 
 +
+ 0 -
-
	1
0 0
Vậy hàm số đồng biến trên ; hàm số nghịch biến trên 
1
-1
˜ TXĐ vì y xác định
+
+
-
0
0
Giải pt biểu diễn các nghiệm lên trục số và xét dấu 
˜ 
˜ BBT
 -1 0 1 
 - 0 +
 + 0 -
 - 0 +
 2
 2
Vậy hàm số đồng biến trên ; hàm số nghịch biến trên 
c/Bài tập rèn luyện thêm
4Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
 Bài 1: (B1.T7.NC) Xét chiều biến thiên của các hàm số:
Bài 2: (B6.T8.NC) Xét chiều biến thiên của các hàm số:
Bài 3: Xét chiều biến thiên của các hàm số:
~ DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước
a/Phương pháp: Muốn tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên D, ta thực hiện theo các bước:
- Tìm TXĐ của hàm số là 
- Tính y’( hay ) 
- Tìm m để trên D
Chú ý: Cần xem lại các kết quả về định lý dấu tam thức bậc hai, các trường hơp so sánh một số với nghiệm của tam thức 
b/Ví dụ minh họa:
1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên 	
b. Đồng biến trên 
c. Đồng biến trên 
Giải
˜ TXĐ 
˜ 
a. 	
b. 
c.
2. Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Giải
˜ TXĐ 
˜ 
có hai nghiệm 
c/Bài tập rèn luyện thêm
1. Cho hàm số . Tìm m để hàm số
a. Nghịch biến trong từng khoảng xác định
b. Nghịch biến trên (-1;0)
c. Đồng biến trên (-2;2)
2. Cho hàm số . Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
3. Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trong (-2;0)
~ DẠNG 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình
a/Phương pháp: 
˜ Chứng minh bất đẳng thức: Xét hàm số trên 
- Nếu đồng biến trên 
- Nếu nghịch biến trên 
˜ Giải phương trình, bất phương trình: chúng ta thường sử dụng 3 tính chất sau:
- Tính chất 1: Nếu hàm f tăng ( hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a;b)
- Tính chất 2: Nếu hàm f tăng ( hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì
- Tính chất 3: Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a;b).( Do đó nếu tồn tạithì nó là nghiệm duy nhất của phương trình )
b/Ví dụ minh họa:
1. Cho . CMR: 
Giải
a. Đặt với 
 với nghịch biến trên với 
 với Hay với 
b. Đặt với 
 với đồng biến trên với với Hay với 
Chú ý: đôi khi chúng ta không thể khẳng định được ngay rằng ( hoặc ) ví dụ như hàm số ta có rõ ràng không thể khẳng định được gì với x>0, trong các trường hợp như vậy, một thủ thuật thông thường được áp dụng là chúng ta liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thức ẩn x, như bài tập 2 sau đây:
2. Cho . CMR: 
Giải
Đặt với 
 với 
 với 
 với nghịch biến với 
 với với nghịch biến với 
 với với nghịch biến với 
 với với với 
 với 
3. Cho . CMR: 
Giải
Đặt với 
 với 
 với với 
với đồng biến trên với>0 với 
 với 
4. Giải phương trình
	`	
Giải
(1)
ĐK:
Ta thấy số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . 
Xét hàm số có TXĐ 
hàm số luôn đồng biến với 
Do đó: phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất (Theo tính chất 3)
Ta thấy thỏa mãn (1). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
(1)
Đặt 
Phương trình được viết lại dưới dạng: (2), ĐK:
- Xét hàm số có TXĐ 
hàm số đồng biến trên D
- Xét hàm số có TXĐ 
hàm số nghịch biến trên D
Do đó: phương trình(2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất (Theo tính chất 3)
Ta thấy thỏa mãn (2). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, tức là: 
Vậy nghiệm của (1) là