Bài tập Giải tích 12 ôn thi tốt nghiệp THPT và đại học cao đẳng

TRAÀN SÓ TUØNG 
---- ›š & ›š ---- 
BAØI TAÄP 
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC 
Naêm 2010 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 1 
1. Đinh nghĩa: 
 Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2) 
 Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 f(x2) 
2. Điều kiện cần: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I 
 b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I 
3. Điều kiện đủ: 
 Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. 
 a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. 
 b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. 
 c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I. 
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. 
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số 
 Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: 
 – Tìm tập xác định của hàm số. 
 – Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) 
 – Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch 
biến của hàm số. 
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
 a) 22 4 5y x x= - + + b) 
2 5
4 4
x
y x= + - c) 2 4 3y x x= - + 
 d) 3 22 2y x x x= - + - e) 2(4 )( 1)y x x= - - f) 3 23 4 1y x x x= - + - 
 g) 4 21 2 1
4
y x x= - - h) 4 22 3y x x= - - + i) 4 21 1 2
10 10
y x x= + - 
 k) 2 1
5
x
y
x
-
=
+
 l) 1
2
x
y
x
-
=
-
 m) 11
1
y
x
= -
-
 n) 
22 26
2
x x
y
x
+ +
=
+
 o) 13
1
y x
x
= - + -
-
 p) 
24 15 9
3
x x
y
x
- +
= 
CHƯƠNG I 
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT 
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
 a) 4 3 26 8 3 1y x x x= - + - - b) 
2
2
1
4
x
y
x
-
=
-
 c) 
2
2
1
1
x x
y
x x
- +
=
+ +
 d) 
2
2 1x
y
x
-
= e) 
2 3 2
x
y
x x
=
- +
 f) 3 2 2y x x= + + - 
 g) 2 1 3y x x= - - - h) 22y x x= - i) 22y x x= - 
 k) sin 2
2 2
y x x
æ ö
= - < <ç ÷
è ø
p p l) sin 2
2 2
y x x x
æ ö
= - - < <ç ÷
è ø
p p 
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến 
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) 
Cho hàm số ( , )y f x m= , m là tham số, có tập xác định D. 
 · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D. 
 · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D. 
 Từ đó suy ra điều kiện của m. 
Chú ý: 
1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 
2) Nếu y ax bx c2' = + + thì: 
 · 
0
0' 0,
0
0
a b
cy x R
a
éì = =
íê ³î³ " Î Û ê
ì >êíê £îë D
 · 
0
0' 0,
0
0
a b
cy x R
a
éì = =
íê £î£ " Î Û ê
ì <êíê £îë D
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + : 
 · Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. 
 · Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 
2
b
a
- ) 
 · Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu 
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2( )g x ax bx c= + + với số 0: 
 · 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ïí
ï <î
D
 · 1 2
0
0 0
0
x x P
S
ì >
ïí
ï >î
D
 · 1 20 0x x P< < Û < 
5) Để hàm số 3 2y ax bx cx d= + + + có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d 
thì ta thực hiện các bước sau: 
 · Tính y¢. 
 · Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 
 0
0
aì ¹
í >îD
 (1) 
 · Biến đổi 1 2x x d- = thành 
2 2
1 2 1 2( ) 4x x x x d+ - = (2) 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 3 
 · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. 
 · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập 
xác định) của nó: 
 a) 3 5 13y x x= + + b) 
3
23 9 1
3
x
y x x= - + + c) 2 1
2
x
y
x
-
=
+
 d) 
2 2 3
1
x x
y
x
+ -
=
+
 e) 3 sin(3 1)y x x= - + f) 
2 2 1x mx
y
x m
- -
=
-
Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc 
tập xác định) của nó: 
 a) 5 cot( 1)y x x= - + - b) cosy x x= - c) sin cos 2 2y x x x= - - 
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác 
định) của nó: 
 a) 3 23 ( 2)y x mx m x m= - + + - b) 
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= - - + c) x my
x m
+
=
-
 d) 4mxy
x m
+
=
+
 e) 
2 2 1x mx
y
x m
- -
=
-
 f) 
2 22 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-
Baøi 4. Tìm m để hàm số: 
 a) 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 
 b) 3 21 1 2 3 1
3 2
y x mx mx m= - + - + nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 
 c) 3 21 ( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= - + - + + - đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 
Baøi 5. Tìm m để hàm số: 
 a) 
3
2( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x= + + - + + đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 b) 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x= - + + + + đồng biến trên khoảng (2; +¥). 
 c) mxy m
x m2
4 ( 2)+= ¹ ±
+
 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 d) x my
x m
+
=
-
 đồng biến trong khoảng (–1; +¥). 
 e) 
2 22 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-
 đồng biến trên khoảng (1; +¥). 
 f) 
22 3
2 1
x x m
y
x
- - +
=
+
 nghịch biến trên khoảng 1 ;
2
æ ö
- +¥ç ÷
è ø
. 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau: 
 · Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác 
định do đề bài chỉ định. 
 · Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. 
 · Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. 
Chú ý: 
 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại 
tiếp tục xét dấu h¢ (x)  cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 
 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). 
 Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). 
Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 
3
sin , 0
6
x
x x x vôùi x- b) 2 1sin tan , 0
3 3 2
x x x vôùi x+ > < <
p 
 c) tan , 0
2
x x vôùi x< < <
p d) sin tan 2 , 0
2
x x x vôùi x+ > < <
p 
Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) tan , 0
tan 2
a a
vôùi a b
b b
< < < <
p b) sin sin , 0
2
a a b b vôùi a b- < - < < <
p 
 c) tan tan , 0
2
a a b b vôùi a b- < - < < <
p 
Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 2sin , 0
2
x
x vôùi x> < <
p
p
 b) 
3 3 5
sin , 0
6 6 120
x x x
x x x vôùi x- 
 c) x x x vôùi xsin cos 1, 0
2
p
+ > < < 
Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 1 , 0xe x vôùi x> + > b) ln(1 ) , 0x x vôùi x+ 
 c) 1ln(1 ) ln , 0
1
x x vôùi x
x
+ - > >
+
 d) ( )2 21 ln 1 1x x x x+ + + ³ + 
Baøi 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 a) 0tan 55 1,4> b) 01 7sin 20
3 20
 HD: a) 0 0 0tan 55 tan(45 10 )= + . Xét hàm số 1( )
1
x
f x
x
+
=
-
. 
 b) Xét hàm số 3( ) 3 4f x x x= - . 
 f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
 và 01 7,sin 20 ,
3 20
Î 1 1;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 c) Xét hàm số ( ) log ( 1)xf x x= + với x > 1. 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 5 
 VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: 
 · Chọn được nghiệm x0 của phương trình. 
 · Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến 
và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành 
độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). 
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. 
Baøi 1. Giải các phương trình sau: 
 a) 5 5x x+ - = b) 5 3 1 3 4 0x x x+ - - + = 
 c) 5 7 16 14x x x x+ - + + + + = d) 2 215 3 2 8x x x+ = - + + 
Baøi 2. Giải các phương trình sau: 
 a) 5 5 51 2 3 0x x x+ + + + + = b) ln( 4) 5x x- = - 
 c) 3 4 5x x x+ = d) 2 3 5 38x x x+ + = 
Baøi 3. Giải các bất phương trình sau: 
 a) 3 4 51 5 7 7 5 13 7 8x x x x+ + - + - + - < b) 22 7 2 7 35x x x x x+ + + + + < 
Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau: 
 a) 
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x
ì + = + +
ï
í + = + +
ï + = + +î
 b) 
3 2
3 2
3 2
2
2
2
x y y y
y z z z
z x x x
ì = + + -
ï
í = + + -
ï = + + -î
 c) 
3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z
ì = - +
ï
í = - +
ï = - +î
 d) 
x y y x
x y
x y
tan tan
52 3
4
,
2 2
p
p p
ì - = -
ï
ï + =
í
ï
- < <ïî
 e) 
x y x y
x y
x y
sin sin 3 3
5
, 0
p
ì - = -
ïï
+ =í
ï
>ïî
 f) 
x y y x
x y
x y
sin 2 2 sin 2 2
2 3
0 ,
2
p
p
ì - = -
ïï + =
í
ï < <
ïî
 g) 
x y x y
x y
x y
cot cot
5 7 2
0 ,
p
p
ì - = -ï
+ =í
ï < <î
 h) 
 HD: a, b) Xét hàm số 3 2( )f t t t t= + + c) Xét hàm số 2( ) 6 12 8f t t t= - + 
 d) Xét hàm số f(t) = tant + t 
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 
Trang 6 
I. Khái niệm cực trị của hàm số 
 Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Î D. 
 a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho 
 f(x) < f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}. 
 Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f. 
 b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Î (a; b) sao cho 
 f(x) > f(x0), với "x Î (a; b) \ {x0}. 
 Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f. 
 c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị 
 Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0. 
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không 
có đạo hàm. 
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 
 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên 
(a; b)\{x0} 
 a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0. 
 b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0. 
 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có 
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. 
 a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0. 
 b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0. 
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 
 · Tìm f¢ (x). 
 · Tìm các điểm xi (i = 1, 2, ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 
 · Xét dấu f¢ (x). Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. 
Qui tắc 2: Dùng định lí 2. 
 · Tính f¢ (x). 
 · Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, ). 
 · Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (xi) (i = 1, 2, ). 
 Nếu f¢¢ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. 
 Nếu f¢¢ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. 
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 
Trang 7 
 Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm ... . 
 2. Tính tích phân: J = x xdx
2
0
(2 1)cos
p
-ò . 
 ĐS: 1) I 32
5
= 2) J 3p= - . 
Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dx
1
0
3 1+ò . 
 ĐS: I = 14
9
. 
Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2) 
 1. Tính tích phân: I = xx e dx
1
0
(4 1)+ò . 
 2. Tính tích phân: J = x x dx
2
2
1
(6 4 1)- +ò . 
 ĐS: 1) I = e + 3 2) J = 9. 
Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: I = x x dx
0
(1 cos )
p
+ò . 
 ĐS: I
2 4
2
p -
= . 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 133 
Baøi 15. (TN 2010) Tính tích phân: I = x x dx
1
2 2
0
( 1)-ò . 
 ĐS: 1
30
. 
Baøi 16. (TN 2011) Tính tích phân: I = 
 ĐS: 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 134 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 y x x y x2 4 3 , 3.= - + = + 
 ĐS: S 109
6
= . 
Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 xy
2
4
4
= - và xy
2
.
4 2
= 
 ĐS: S 42
3
p= + . 
Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân: I = x x xdx
2 6 3 5
0
1 cos .sin .cos
p
-ò . 
 ĐS: 
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Tính tích phân: I = ( )xx e x dx
0
2 3
1
1
-
+ +ò . 
 ĐS: 
Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân: I = 
x
x
e
dx
e
ln3
30 ( 1)+
ò . 
 . 
 ĐS: 
Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân: I = x dx
x
1 3
2
0 1+
ò . 
 ĐS: 
Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân: dxI
x x
2 3
2
5
.
4
=
+
ò 
 ĐS: I 1 5ln
4 3
= . 
Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân: xI dx
x
24
0
1 2sin .
1 sin 2
p
-
=
+ò 
 ĐS: I = 
1 ln 2
2
. 
Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân: I x x dx
2
2
0
= -ò . 
 ĐS: I = 1. 
Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Tính tích phân: I = x x dx
1
3 2
0
1-ò . 
 ĐS: 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 135 
Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Tính tích phân: I = x dx
x
4
0 1 cos2
p
+ò . 
 ĐS: 
Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tính tích phân: I = 
x
x
e dx
e
ln5 2
ln 2 1-
ò . 
 ĐS: 
Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số xaf x bxe
x 3
( )
( 1)
= +
+
. Tìm a, b biết rằng: 
 f (0) 22¢ = - và f x dx
1
0
( ) 5=ò . 
 ĐS: 
Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Tính tích phân: I = xx e dx
2
1
3
0
ò . 
 ĐS: 
Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Tính tích phân: I = 
e x dx
x
2
1
1+
ò . 
 ĐS: 
Baøi 16. (ĐH 2004A) Tính tích phân: xI dx
x
2
1
.
1 1
=
+ -
ò 
 ĐS: I = 
11 4 ln2
3
- . 
Baøi 17. (ĐH 2004B) Tính tích phân: 
e x xI dx
x1
1 3ln ln .+= ò 
 ĐS: I = 116
135
. 
Baøi 18. (ĐH 2004D) Tính tích phân: I x x dx
3
2
2
ln( ) .= -ò 
 ĐS: I = 3ln 3 2- . 
Baøi 19. (ĐH 2004A–db2) Tính tích phân: I = x x dx
x
2 4
2
0
1
4
- +
+
ò . 
 ĐS: 
Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Tính tích phân: I = dx
x x
3
3
1
1
+
ò . 
 ĐS: 
Baøi 21. (ĐH 2004B–db2) Tính tích phân: I = xe xdx
2
cos
0
sin 2
p
ò . 
 ĐS: 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 136 
Baøi 22. (ĐH 2004D–db1) Tính tích phân: I = x xdx
2
0
sin
p
ò . 
 ĐS: 
Baøi 23. (ĐH 2004D–db2) Tính tích phân: I = x xe e dx
ln8
2
ln3
1+ò . 
 ĐS: 
Baøi 24. (ĐH 2005A) Tính tích phân: I = x xdx
x
2
0
sin 2 sin
1 3cos
p
+
+
ò . 
 ĐS: I = 34
27
. 
Baøi 25. (ĐH 2005B) Tính tích phân: I = x xdx
x
2
0
sin 2 .cos
1 cos
p
+ò . 
 ĐS: I = 2 ln 2 1- . 
Baøi 26. (ĐH 2005D) Tính tích phân: I = xe x xdx
2
sin
0
( cos ) cos
p
+ò . 
 ĐS: I = e 1
4
p
+ - . 
Baøi 27. (ĐH 2005A–db1) Tính tích phân: I = x xdx
3
2
0
sin .tan
p
ò . 
 ĐS: I = 3ln 2
8
- . 
Baøi 28. (ĐH 2005A–db2) Tính tích phân: I = x dx
x
7
3
0
2
1
+
+
ò . 
 ĐS: I = 231
10
. 
Baøi 29. (ĐH 2005B–db1) Tính tích phân: I = 
e
x xdx2
0
lnò . 
 ĐS: I = e32 1
9 9
+ . 
Baøi 30. (ĐH 2005B–db2) Tính tích phân: I = xx e x dx
4
sin
0
(tan cos )
p
+ò . 
 ĐS: I = e
1
2ln 2 1+ - . 
Baøi 31. (ĐH 2005D–db1) Tính tích phân: I = 
e x dx
x x
3 2
1
ln
ln 1+
ò . 
 ĐS: I = 76
15
. 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 137 
Baøi 32. (ĐH 2005D–db2) Tính tích phân: I = x xdx
2
2
0
(2 1)cos
p
-ò . 
 ĐS: I = 
2 1
8 4 2
p p
- - . 
Baøi 33. (ĐH 2006A) Tính tích phân: I = x dx
x x
2
2 20
sin 2
cos 4sin
p
+
ò . 
 ĐS: I = 2
3
. 
Baøi 34. (ĐH 2006B) Tính tích phân: I = 
x x
dx
e e
ln 5
ln3
1
2 3-+ -
ò . 
 ĐS: I = 3ln
2
. 
Baøi 35. (ĐH 2006D) Tính tích phân: I = xx e dx
1
2
0
( 2)-ò . 
 ĐS: I = e
25 3
4
- . 
Baøi 36. (ĐH 2006A–db1) Tính tích phân: I = dx
x x
6
2
1
2 1 4 1+ + +
ò . 
 ĐS: I = 3 1ln
2 12
- . 
Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 3= - + 
và đường thẳng d: y x2 1= + . 
 ĐS: S = 1
6
. 
Baøi 38. (ĐH 2006B–db1) Tính tích phân: I = dx
x x
10
5
1
2 1- -
ò . 
 ĐS: I = 2 ln 2 1+ . 
Baøi 39. (ĐH 2006B–db2) Tính tích phân: I = 
e x dx
x x1
3 2 ln
1 2 ln
-
+
ò . 
 ĐS: I = 10 2 11
3
- . 
Baøi 40. (ĐH 2006D–db1) Tính tích phân: I = x xdx
2
0
( 1)sin 2
p
+ò . 
 ĐS: I = 1
4
p
+ . 
Baøi 41. (ĐH 2006D–db2) Tính tích phân: I = x xdx
2
1
( 2) ln-ò . 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 138 
 ĐS: I = 5 ln 4
4
- . 
Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 xy e x y e x( 1) , (1 )= + = + . 
 ĐS: S = e 1
2
- . 
Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x x y x eln , 0,= = = . Tính 
thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. 
 ĐS: V = e
3(5 2)
27
p - . 
Baøi 44. (ĐH 2007D) Tính tích phân: I = 
e
x xdx3 2
1
lnò . 
 ĐS: I = e
45 1
32
- . 
Baøi 45. (ĐH 2007A–db1) Tính tích phân: I = x dx
x
4
0
2 1
1 2 1
+
+ +
ò . 
 ĐS: I = 2 ln 2+ . 
Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x y x24 ,= = . Tính 
thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox. 
 ĐS: V = 128
15
. 
Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 x xy y
x2
(1 )0,
1
-
= =
+
. 
 ĐS: S = 11 ln 2
4 2
p
- + . 
Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 y x y x2 2, 2= = - . 
 ĐS: S = 1
2 3
p
+ . 
Baøi 49. (ĐH 2007D–db1) Tính tích phân: I = x x dx
x
1
2
0
( 1)
4
-
-
ò . 
 ĐS: I = 31 ln 2 ln3
2
+ - . 
Baøi 50. (ĐH 2007D–db2) Tính tích phân: I = x xdx
2
2
0
cos
p
ò . 
 ĐS: I = 
2
2
4
p
- . 
Baøi 51. (ĐH 2008A) Tính tích phân: I = xdx
x
46
0
tan
cos2
p
ò . 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 139 
 ĐS: I = ( )1 10ln 2 3
2 9 3
+ - 
Baøi 52. (ĐH 2008B) Tính tích phân: I = 
x
dx
x x x
4
0
sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
p pæ ö
-ç ÷
è ø
+ + +ò . 
 ĐS: I = 4 3 2
4
- . 
Baøi 53. (ĐH 2008D) Tính tích phân: I = xdx
x
2
3
1
ln
ò . 
 ĐS: I = 3 2 ln 2
16
- . 
Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân I x xdx
3
2
0
sin . tan
p
= ò . 
 ĐS: I = 3ln 2
8
- . 
Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân xI dx
x
7
3
0
2
1
+
=
+
ò . 
 ĐS: I = 231
10
. 
Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân I = 
e
x xdx2
0
lnò . 
 ĐS: I = e32 1
9 9
+ . 
Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân I = xtgx e x dx
4
sin
0
( cos )
p
+ò . 
 ĐS: I = e
1
2ln 2 1+ - . 
Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân 
e xI dx
x x
3 2
1
ln
ln 1
=
+
ò . 
 ĐS: I = 76
15
. 
Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân I x xdx
2
2
0
( 2 1)cos
p
= -ò . 
 ĐS: I = 
2 1
8 4 2
p p
- - . 
Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 4= - + và 
đường thẳng d: y x= . 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 140 
 ĐS: S = 9
2
 . 
Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân I = x dx
2
3
0
(cos 1)
p
-ò . 
 ĐS: I = 8
15 4
p
- . 
Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân I = xdx
x
3
2
1
3 ln
( 1)
+
+
ò . 
 ĐS: I = 1 273 ln
4 16
æ ö
+ç ÷
è ø
. 
Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân I = 
x
dx
e
3
1
1
1-
ò . 
 ĐS: I = e e2ln( 1) 2+ + - . 
Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân I = ( )x xe x e dx
1
2
0
- +ò . 
 ĐS: I = 
e
12 - . 
Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân I = 
x x
x
x e x e dx
e
1 2 2
0
2
1 2
+ +
+
ò . 
 ĐS: I = e1 1 1 2ln
3 2 3
+
+ . 
Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân I = 
( )
e x dx
x x
2
1
ln
2 ln+
ò . 
 ĐS: I = 1 3ln
3 2
- + . 
Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân I = 
e
x xdx
x1
32 ln
æ ö
-ç ÷
è øò . 
 ĐS: I = e
2
1
2
- . 
Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân I = x dx
x
1
0
2 1
1
-
+ò . 
 ĐS: I = 2 – 3ln 2 . 
Baøi 69. (ĐH 2011A) Tính tích phân I = . 
 ĐS: I = . 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 141 
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP 
Baøi 1. (TN 2006–pb) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x22 5 4 0- + = . 
 ĐS: x i x i1 2
5 7 5 7;
4 4 4 4
= + = - . 
Baøi 2. (TN 2007–pb) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x2 4 7 0- + = . 
 ĐS: x i x i1 22 3; 2 3= - = + . 
Baøi 3. (TN 2007–pb–lần 2) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x2 6 25 0- + = . 
 ĐS: x i x i1 23 4 ; 3 4= - = + . 
Baøi 4. (TN 2008–pb) Tìm giá trị của biểu thức: P = ( ) ( )i i2 21 3 1 3+ + - . 
 ĐS: P = –4. 
Baøi 5. (TN 2008–pb–lần 2) Giải phương trình sau trên tập số phức: x x2 2 2 0- + = . 
 ĐS: x i x i1 11 ; 1= + = - . 
Baøi 6. (TN 2009) Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
 1. z z28 4 1 0- + = 2. z iz22 1 0- + = 
 ĐS: 1) z i z i1 2
1 1 1 1;
4 4 4 4
= + = - 2) z i z i1 2
1;
2
= = - . 
Baøi 7. (TN 2010) 
1. Cho hai số phức z i1 1 2= + và z i2 2 3= - . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 
z z1 22- . 
2. Cho hai số phức z i1 2 5= + và z i2 3 4= - . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 
z z1 2. . 
 ĐS: 1) a b3; 8= - = 2) a b26; 7= = . 
Baøi 8. (TN 2011) 
 ĐS: 
IV. SỐ PHỨC 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 142 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Baøi 1. (ĐH 2009A) Gọi z z1 2, là hai nghiệm phức của phương trình: z z
2 2 10 0+ + = . Tính 
giá trị của biểu thức A = z z
2 2
1 2+ . 
ĐS: A = 20. 
Baøi 2. (ĐH 2009B) Tìm số phức z thoả mãn: z i(2 ) 10- + = và z z. 25= . 
 ĐS: z i3 4= + hoặc z 5= . 
Baøi 3. (ĐH 2009D) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả 
mãn điều kiện: z i(3 4 ) 2- - = . 
 ĐS: x y2 2( 3) ( 4) 4- + + = . 
Baøi 4. (CĐ 2009) 
1. Cho số phức z thoả mãn i i z i i z2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )+ - = + + + . Tìm phần thực và phần ảo của 
z. 
2. Giải phương trình sau trên tập số phức: z i z i
z i
4 3 7 2- - = -
-
. 
ĐS: 1) a = 2, b = –3. 2) z i z i1 2 ; 3= + = + . 
Baøi 5. (ĐH 2010A) 
 1. Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) ( )z i i22 1 2= + - . 
 2. Cho số phức z thoả mãn: 
( )i
z
i
3
1 3
1
-
=
-
. Tìm môđun của số phức z iz+ . 
 ĐS: 1) b 2= - 2) z iz 8 2+ = . 
Baøi 6. (ĐH 2010B) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z 
thoả mãn: z i i z(1 )- = + . 
 ĐS: (C): x y2 2( 1) 2+ + = . 
Baøi 7. (ĐH 2010D) Tìm số phức z thoả mãn: z 2= và z2 là số thuần ảo. 
 ĐS: i i i i1 ; 1 ; 1 ; 1+ - - + - - . 
Baøi 8. (CĐ 2010) 
 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện i z i z i 2(2 – 3 ) (4 ) (1 3 )+ + = - + . Tìm phần thực và 
phần ảo của z. 
 2. Giải phương trình z i z i2 – (1 ) 6 3 0+ + + = trên tập hợp các số phức. 
 ĐS: 1) a b2; 5= - = 2) z i z i1 2 ; 3= - = . 
Baøi 9. (ĐH 2011A) 
 1. 
 ĐS: