Bài tập Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

§. 3
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 
GIả sử hàm số f xác định trên tập hợp ( Ì ¡ ) .
a)Nếu tồn tại một điểm Î sao cho f(x) £ f() "xÎ thì số M = f() được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên , kí hiệu là : M = 
b)Nếu tồn tại một điểmÎ sao cho f(x) ≥ f() "xÎ thì số m = f() được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên , kí hiệu là : m = 
· Muốn chứng tỏ rằng số M( hoặc m) là giá trị lớn nhất ( hoặc giá trị nhỏ nhất ) của hàm số f trên tập hợp cần chỉ rõ :
 a) f(x) £ M ( hoặc f(x) ≥ m ) với mọi x Î .
 b) tồn tại ít nhất một điểm Î sao cho f() = M ( hoặc f() = m ) 
· Quy ước : Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f mà không nói trê thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của f trên tập xác định của nó
Phương pháp ¯ Cách 1 : Hàm số liên tục trên [a; b]
 – Giải phương trình f’(x) = 0 được các nghiệm x1; x2;..;xnÎ[a;b]
 – Tính f(x1); f(x2);..; f(xn); f(a); f(b).
 – So sánh các giá trị trên tìm được ; 
¯ Cách 2 : D ¹ [a; b] hoặc hàm số không liên tục / [a; b]
 Lập bảng biến thiên
¯ Cách 3 : Biện luận phương trình 
 – Tìm điều kiện phương trình f(x) = y có nghiệm xÎ[a; b]. 
 – Tập hợp các giá trị này là miền giá trị của f(x) trên [a;b]. 
¯ Ngoài ra có thể sử dụng các phép biến đổi, hằng đẳng thức, 
 bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki,
Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó f(x) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục / [a; b]
y = x3 – 3x2 trên [1; 3]. 
· Hàm số xác định nên liên tục trên [1; 3].
· y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) ; ta có y’= 0 Û.
· y(2) = – 4; y(1) = – 2; y(3) = 0.Vậy: . 
2 trên [–2; 2] . 
· Hàm số xác định nên liên tục trên .
· . Ta có f’(x) = 0 Û x = 0 Î [–2; 2];
· f(0) = 2; f(–2) = 0; f(2) = 0. Do đó: khi x = ± 2; khi x =0 
(có thể lập bảng biến thiên của hàm số f trên đoạn .
Từ bảng biến thiên , ta được kết quả)
Cách 2: " x Î , ta có : 0 £ £ 2 Þ 0 £ x2 £ 4 Þ -4 ££ 0 
Þ 0 ££ 4 Þ 0 ££ 2 Þ 0 £ f(x) £ 2 . 
Ta lại có f(x) = 0 với x = ± 2 và f(x) = 2 với x = 0 . 
Do đó : khi x = ± 2; khi x = 0. 
3 . Ÿ Điều kiện . 
Ÿ Hàm số xác định nên liên tục trên D = [–2; 2]
Ÿ. 
Ÿ.Vậy
4 trên [0; 2] · D = ¡ \ {–1} Þ Hàm số xác định nên liên tục trên [0; 2] .
· . Ta có y(0) = – 1 ; y(2) = 1. 
Vậy: .
5 trên. · Hàm số xác định nên liên tục trên .
· y’ = 1 – 2cos2x
chọn x =Î 
· .
Vậy: .
6 trên [0; p].
· Hàm số xác định nên liên tục trên [0; p].
· Đặt t = sinx với x Î [0; p] Þ t Î [0; 1]. Ta có 
7 trên [–1; 1] · Hàm số xác định nên liên tục trên [–1;1]
Ví dụ 2: Tìm GTLN_GTNN các hàm số có D ≠ [a; b]. 
	 Ÿ BBT 
Ÿ D = ¡ 
Ÿ 
 Vậy: 
. 	Ÿ Bảng biến thiên 
Ÿ D = ¡ 
Ÿ 
Vậy: 
 Bảng biến thiên
Bảng biến thiên
Ÿ Bảng biến thiên
. 
Bài tập tự luyện 
1. Tìm GTLN : a/ y = -x2 + 5x +6.	 	b/ y = 2x3-3x4.
2. Tìm GTNN : a/ y = (x+2)2 / x (x > 0). 	b/ y = x2 + 2/x (x > 0).
3. Tìm GTLN; GTNN : 
a/ y = x3 + 3x2-9x+3 trên [–4; 4]. 	b/ y = |x2+3x+2| trên [–10; 10].
c/ y = trên [–1;1].	 	d/ y = x+sin2x trên [0; p] .
4. Chu vi hình chử nhật p = 36. Dựng hình chử nhật có diện tích lớn nhất.
5. Trong các hình chử nhật có diện tích 24, tìm hình có chu vi nhỏ nhất.
6.Tìm GTLN; GTNN : a/ y = x4 - 3x3 - 2x2 + 9x trên [-2; 2].
b/ y = 3x+ .	c/ y = (x+2).d/ y = (3-x) / [0;2].