Bài tập Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
95 
Bài 4 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 
 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 
4.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D 
 • Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số ( )y f x= trênD 
 nếu 
0 0
( ) 
: ( )
f x M x D
x D f x M
 ≤ ∀ ∈

∃ ∈ =
 , ta kí hiệu max ( )
x D
M f x
∈
= . 
 • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số ( )y f x= trên D 
nếu
0 0
( ) 
: ( )
f x M x D
x D f x m
 ≥ ∀ ∈

∃ ∈ =
, ta kí hiệu min ( )
x D
m f x
∈
= . 
2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số 
Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số ( )y f x= trên D ta 
tính 'y , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng 
biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN. 
Chú ý: 
 • Nếu hàm số ( )y f x= luôn tăng hoặc luôn giảm trên ;a b    
thì
[a;b] [a;b]
max ( ) max{ ( ), ( )}; min ( ) min{ ( ), ( )}f x f a f b f x f a f b= = . 
 • Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên ;a b    thì luôn có GTLN, GTNN trên 
đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau 
* Tính 'y và tìm các điểm 1 2, , ..., nx x x mà tại đó 'y triệt tiêu hoặc hàm số 
không có đạo hàm. 
* Tính các giá trị 1 2( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( )nf x f x f x f a f b .Khi đó 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2
; ;
max max , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
+ = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2
; ;
min min , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
+ = 
 • Nếu hàm số ( )y f x= là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN 
của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài 
bằng T . 
* Cho hàm số ( )y f x= xác định trên D . Khi đặt ẩn phụ ( )t u x= , ta tìm được 
t E∈ với x D∀ ∈ , ta có ( )y g t= thì Max, Min của hàm f trên D chính là 
Max, Min của hàmg trên E . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
96 
* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập 
nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số. 
* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền 
giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min. 
4.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
3 1
1.
3
x
y
x
−
=
−
 trên đoạn 0;2   . 
2. 2( 6) 4y x x= − + trên đoạn 0;3   . 
( )36 23. 4 1y x x= + − trên đoạn 1;1 −  . 
24. 5 6y x x = − + + trên đoạn [ 1; 6]− . 
Giải : 
3 1
1.
3
x
y
x
−
=
−
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;2   . 
* Ta có ( )2
8
' 0, 0;2
3
y x
x
−
 = < ∀ ∈  
−
* Bảng biến thiên 
x 0 2 
'y 
 − 
y 
1
3
 5− 
Từ bảng biến thiên suy ra : 
( ) ( )
0;2 0;2
1
max 0 min 5 2
3
f x khi x f x khi x
      
= = = − = 
2. 2( 6) 4y x x= − + 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;3   . 
* Ta có : 
2
2
2 6 4
' , 0;3
4
x x
y x
x
− +
 = ∈  
+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
97 
1
' 0
2
x
y
x
 =
= ⇔ 
=
0;3
0;3
(1) 5 5
max 3 13(0) 12
(2) 8 2 min 12
(3) 3 13
x
x
y
yy
y y
y
 ∈ 
 ∈ 

= −
 
= −= −  
⇒ 
= − = − 

= −

Vậy 
0;3
max 3 13
x
y
 ∈ 
= − khi 3x = , 
0;3
min 12
x
y
 ∈ 
= − khi 0x = . 
( )36 23. 4 1y x x= + − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1 −  . 
Đặt 2, 1;1 0;1t x x t   = ∈ − ⇒ ∈    
Hàm số đã cho viết lại ( ) ( )33 4 1 , 0;1f t t t t  = + − ∈   
* Ta có ( ) ( ) ( )22 2' 3 12 1 3 3 8 4f t t t t t= − − = − + − 
( )
2 2 4
,
' 0 3 3 9
2
t f
f t
t
  
= =  
= ⇔  
 =

( ) ( )0 4, 1 1f f= = 
* Bảng biến thiên 
t 
0 
2
3
 1 
( )'f t − 0 + 
( )f t 
4 1 
4
9
Từ bảng biến thiên suy ra : 
( ) ( )
1;1 1;1
4 2
max 4 0 min
9 3
f x khi x f x khi x
   
− −   
= = = = ± 
24. 5 6y x x = − + + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
98 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ 1; 6]− . 
* Ta có 
2
2 5
'
2 5 6
x
y
x x
− +
=
− + +
5
' 0 [ 1; 6]
2
y x= ⇔ = ∈ − 
( ) 5 7( 1) 6 0,
2 2
y y y
 
− = = = 
 
 . 
Vậy : 
1;6
min 0 1, 6
x
y khi x x
∈ −  
= = − = và
1;6
7 5
max
2 2x
y khi x
∈ −  
= = . 
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: 
2
2
1 9
, 0
8 1
x x
y x
x
+ +
= >
+
. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng ( )0;+∞ 
( )
2 2 2
2 22 2
9 1 9 1 1
8 1 9 1(8 1) 9 1
x x x x
y
x x xx x x
+ + + −
= = =
+ + −+ + −
Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( )0;+∞ khi hàm số 
2( ) 9 1 f x x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( )0;+∞ . 
( )
2
9
' 1
9 1
x
f x
x
= −
+
( ) 2 20 1' 0 9 1 9 72 1 6 2
x
f x x x x
x
 >
= ⇔ + = ⇔ ⇔ =
=
( )
0 0
2 2 1 1 3 2 1
min khi m khi 
3 46 2 2 2 6 2
3
x x
f x x y x
> >
= = ⇒ = = =ax . 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
21. 4y x x= + − trên đoạn 2;2 −  . 
2
1
2.
1
x
y
x
+
=
+
 trên đoạn 1;2x  ∈ −  . 
Giải : 
21. 4y x x= + − 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;2 −  . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
99 
* Ta có ( )2
2 2
4
' 1 , 2;2
4 4
x x x
y x
x x
− −
= − = ∈ −
− −
( ) ( )
2 24 0 4
' 0
2;2 2;2
x x x x
y
x x
 
− − = − = 
= ⇔ ⇔ 
∈ − ∈ −  
2 2 2
0 2 0 2
2
4 2
x x
x
x x x
 < < < < 
⇔ ⇔ ⇔ = 
− = =  
Bảng biến thiên 
x 2− 
 2 2 
'y 
 − 
 0 + 
y 
 2− 
 2 2 
 2 
Từ bảng biến thiên , ta được 
( ) ( )
2;2 2;2
max 2 2 2 min 2 2
x x
f x khi x f x khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = − = − 
2
1
2.
1
x
y
x
+
=
+
 trên đoạn 1;2x  ∈ −  . 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;2 −  . 
* Ta có 
( )32
1
' ' 0 1
1
x
y y x
x
− +
= ⇒ = ⇔ =
+
* Bảng biến thiên . 
x 1− 
1 2 
'y 
 + 0 − 
y 
0 
 2 
3 5
5
Từ bảng biến thiên , ta được 
1;2 1;2
max 2 1 min 0 1
x x
y khi x y khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = = − 
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
3 23 1y x x= − + trên đoạn 2;1 . −
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
100 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;1 −  . 
Đặt ( ) 3 23 1, 2;1g x x x x  = − + ∈ −  
( ) 2' 3 6 .g x x x= − 
( ) 0' 0
2 2;1
x
g x
x
 =
= ⇔ 
 = ∉ −  
( ) ( ) ( )2 19, 0 1, 1 1g g g− = − = = − , suy ra ( ) ( )
2;1 2;1
max 1,min 19g x g x
   
− −
   
= = − . 
( ) ( ) ( )2;1 19;1 0;19 .x g x f x g x    ∈ − ⇒ ∈ − ⇒ = ∈      
( ) ( ) ( ) ( )1 10 . 1 0 0;1 sao cho 0.g g x g x< ⇒ ∃ ∈ = 
Vậy ( ) ( )
2;1 2;1
max 19,min 0.f x f x
   
− −
   
= = 
Ví dụ 5: 
1. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 4y x x a= + + − trên đoạn 
2;1 −  đạt giá trị nhỏ nhất . 
2. Tìm giá trị ,p q để giá trị lớn nhất của hàm số 2y x px q= + + trên đoạn 
1;1 −  là bé nhất . 
Giải : 
1. 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;1 −  . 
( )22 2 4 1 5y x x a x a= + + − = + + − 
Đặt ( )21 , 2;1 0;4t x x t   = + ∈ − ⇒ ∈    
Ta có ( ) 5 , 0;4f t t a t  = + − ∈   
( ) ( ) { }{ } { }
2;1 0;4 0;4 0;4
max max max 0 , 4 max 5 , 1
x t t t
y f t f f a a
       ∈ − ∈ ∈ ∈       
⇔ = = − − 
( )
0;4
5 1 3 max 5 5
t
a a a f t a a
 ∈ 
• − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = − = − 
( )
0;4
5 1 3 max 1 1
t
a a a f t a a
 ∈ 
• − ≤ − ⇔ ≥ ⇒ = − = − 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
101 
Mặt khác ( )
0;4
5 5 3 2, 3
max 2,
1 3 1 2, 3 t
a a
f t a
a a  ∈ 

− ≥ − = ∀ ≤
⇒ ≥ ∀ ∈
− ≥ − = ∀ ≥

 
Vậy giá trị nhỏ nhất của ( )
0;4
max 2 3
t
f t khi a
 ∈ 
= = 
2. Xét hàm số ( ) 2f x x px q= + + 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1 −  ( )y f x⇒ = 
( ) ( ) ( )1 1 , 0 , 1 1f p q f q f p q− = − + = = + + 
Giả sử ( )maxy f α= 
(1) (0) (1) (0) 1f f f f p⇒ + ≥ − = + , ( 1) (0) ( 1) (0) 1f f f f p− + ≥ − − = − 
( )
1
(1) 120 1 1
1 2
(0)
2
f
p p f
f
α

>
• > ⇒ + > ⇒ ⇒ >
 >

( )
1
( 1) 120 1 1
1 2
(0)
2
f
p p f
f
α

− >
• ⇒ ⇒ >
 >

1;1
max max ( ) ; ( 1) ; (1)
2x
p
y f f f
 ∈ − 
  
= − − 
  
( ) ( ) ( ) ( )20 , 0 , 1 1 1
2
p
p f x x q f f q f f q
 
• = ⇒ = + = − = − = = + 
 
Giá trị lớn nhất của y là một trong hai giá trị ; 1q q+ 
1 1 1 1
1 ( 1) ( )
2 2 2 2
q q f f α• > − ⇒ + > ⇒ ± > ⇒ > 
1 1 1 1
(0) ( )
2 2 2 2
q q f f α• ⇒ > ⇒ > 
( ) 21 1 1 1max ( ) 0; 1
2 2 2 2
q f x x f x x x• = − ⇒ = − ≤ ⇒ = ⇔ = = ± 
cũng là giá trị nhỏ nhất của ( )f α . 
Vậy 10,
2
p q= = − thoả mãn bài toán . 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
102 
Ví dụ 6 : Tìm các giá trị ,a b sao cho hàm số 
2 1
ax b
y
x
+
=
+
có giá trị lớn nhất 
bằng 4 và có giá trị nhỏ nhất bằng 1− . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
• Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi 
2
2
2
0 0 0
0 2
0
4,
4 4 0,1
4 4 0 :: 4
1
ax b
x
x ax b xx
ax b x ax bx
x
 + ≤ ∀ ∈ 
− + − ≥ ∀ ∈ + ⇔ +
− + − =∃ ∈ = 
+





 0
co ù nghieäm x
( )
( ) ( )
2
2
2
16 4 0
16 64 0 *
16 4 0
a b
a b
a b
∆ = − − ≤
⇔ ⇔ + − =∆ = − − ≥
• Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi 
2
2
2
0 0 0
0 2
0
1,
1 0,1
1 0 :: 1
1
ax b
x
x ax b xx
ax b x ax bx
x
 + ≥ − ∀ ∈  + + + ≥ ∀ ∈ +⇔ ⇔ + + + + =∃ ∈ = − 
+





 0
co ù nghieäm x
( )
( ) ( )
2
2
2
4 1 0
4 4 0 * *
4 1 0
a b
a b
a b
∆ = − + ≤
⇔ ⇔ − − =∆ = − + ≥
Từ ( ) ( )* à * *v ta có hệ 
( )
( )
2 2
2
16 64 0 * 4 416
3 334 4 0 * *
a b a aa
b bba b
   + − = = − ==   
⇔⇔ ⇔ ∨   
= ==
− − =    
Vậy giá trị ,a b cần tìm là :
4 4
3 3
a a
b b
 = − = 
∨ 
= =  
Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
4 21. sin cos 2y x x= + + 
2. sin2y x x= − trên đoạn ;
2
pi
pi
 
− 
 
2
sin 1
3.
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
6 6sin cos cos sin
4.
sin cos
x x x x
y
x x
+
=
+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
103 
Giải : 
4 21. sin cos 2y x x= + + 
4 2 4 2sin cos 2 sin sin 3y x x x x= + + = − + 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên 
 . 
Đặt 2sin , 0 1t x t= ≤ ≤ 
Xét hàm số ( ) 2 3f t t t= − + liên tục trên đoạn 0;1   
Ta có ( )' 2 1f t t= − , 0;1t  ∈   
( ) 1' 0
2
f t t= ⇔ = 
( ) ( ) 1 110 1 3 ,
2 4
f f f
 
= = = 
 
( )
0;1
11 3
min min 2
4 4t
y f t
 ∈ 
= = = ( )
0;1
max m x 3
t
y a f t
 ∈ 
= = 
2. sin2y x x= − trên đoạn ;
2
pi
pi
 
− 
 
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn đoạn ;
2
pi
pi
 
− 
 
Ta có : ( )' 1 2 cos2 ,
2
f x x x
pi
pi= − − < < 
( ) 5' 0 , ,
6 6 6
f x x
pi pi pi
= ⇔ = − 
3 3
;
6 6 2 6 6 2
f f
pi pi pi pi   
− = − + = −   
   
( )5 5 3 ; ;
6 6 2 2 2
f f f
pi pi pi pi
pi pi
   
= + − = − =   
   
Vậy: 
;
2
5 3 5
max
6 2 6x
y khi x
pi
pi
pi pi
 
∈ − 
 
= + = 
;
2
min
2 2x
y khi x
pi
pi
pi pi
 
∈ − 
 
= − = − 
2
sin 1
3.
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
104 
Đặt ( )
2
1
sin , [ 1; 1 ... = + − + +
+ + + +
2 23 3 ( )( ) 3( ) 6 ( ) 6 2( )
4
a b
P a b a b a b a b
a b
− + 
= + + + − + − + + − +   +
21 12( ) ( ) 2
4
P a b a b
a b
 
= − + + + + + 
+ 
. 
Đặt 2t a b= + ≥ . Xét hàm số 2 12( ) 2g t t t
t
= − + + + với 2t ≥ 
Ta có: 
2 2
12 3
'( ) 2 1 0 2 max ( ) (2)
2t
g t t t g t g
t ≥
= − + − < ∀ ≥ ⇒ = = . 
Vậy 3max
2
P = đạt được khi 1a b= = . 
Ví dụ 12: Cho , ,x y z là số thực thỏa mãn 2 2 2 2x y z+ + = .Tìm giá trị lớn 
nhất, nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3P x y z xyz= + + − . 
Giải : 
Từ các đẳng thức 2 2 2 22( ) ( )x y z xy yz zx x y z+ + + + + = + + 
3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + − = + + + + − − − và điều kiện ta 
có: 2 2 2( )( )P x y z x y z xy yz zx= + + + + − − − 
2( ) 2
( ) 2
2
x y z
x y z
 + + −
= + + − 
  
Đặt 6 6t x y z t= + + ⇒ − ≤ ≤ 
Ta có: 
2 32
(2 ) 3 ( )
2 2
t t
P t t f t
−
= − = − + = 
Xét hàm số ( )f t với 6 6t− ≤ ≤ . 
Ta có: 23'( ) ( 2) '( ) 0 2
2
f t t f t t= − + ⇒ = ⇔ = ± 
6; 6 6; 6
max ( ) ( 2) 2 2; min ( ) ( 2) 2 2f t f f t f
   
− −      
⇒ = = = − = − 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
109 
Vậy max 2 2P = đạt được khi 2; 0x y z= = = 
 min 2 2P = − đạt được khi 2; 0x y z= − = = . 
Ví dụ 13: Cho hai số , 0x y ≠ thay đổi thỏa mãn ( ) 2 2x y xy x y xy+ = + − 
Tìm GTLN của biểu thức : 
3 3
1 1
A
x y
= + ( Đại học Khối A – 2006 ). 
Giải: 
Cách 1 : 
Đặt: ( ) 2 2 2, 3u x y v xy x y xy x y xy uv u v= + = ⇒ + = + − ⇔ = − 
( ) ( )223 do 3
3
u
u v u v u
u
⇔ + = ⇔ = ≠ −
+
. 
Vậy 
( )
( )2 23 3 3 2
3 3 3 3 23
3
1 1 3 3
u u v
x y u uv u u
A
ux y v v vxy
−  + − +
= + = = = = =  
 
Vì 
2
2 2 4 4 14 1 0 
3 3 3
u u
u v u
u u u
−≥ ⇒ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≥
+ + +
(ở đây ta lưu ý 0u ≠ ) 
1 3u u⇔ ≥ ∨ < − 3 0u
u
+
⇒ > . Xét hàm ( ) ( )
2
3 3
' 0
u
f u f u
u u
+ −
= ⇒ = < 
Lập bảng biến thiên, ta thấy ( ) (1) 4f u f≤ = 16A⇒ ≤ . 
Đẳng thức xảy ra 1
2
x y⇔ = = . Vậy GTLN của 16A = . 
Cách 2 : 
Đặt 
1 1
;a b
x y
= = . Khi đó giả thiết của bài toán trở thành 
2 2 21 ( ) 0 4
4
a b a b ab a b a b+ = + − ≥ + ⇔ ≤ + ≤ 
Và 3 3 2 2 2( )( ) ( ) 16A a b a b a b ab a b= + = + + − = + ≤ 
Đẳng thức xảy ra 12
2
a b x y⇔ = = ⇔ = = . 
Ví dụ 14 : Cho hai số thực ,x y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 2 1x y+ = . 
Tìm GTLN, GTNN cảu biểu thức: 
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xy
P
xy y
+
=
+ +
(Đại học Khối B – 2008). 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
110 
Giải: 
Cách 1 : 
Ta có: 
2 2
2 2 2
2( 6 ) 2( 6 )
1 2 2 2 3
x xy x xy
P
xy y x xy y
+ +
= =
+ + + +
* Nếu 0 1y P= ⇒ = . 
Nếu 0y ≠ thì đặt : ( )2 2 2 2
2 2 2 2 2
2( 6 ) 2( 6 )
2
2 3 2 3
t y ty t t
x ty P f t
t y ty y t t
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
Xét hàm số ( )f t , ta có : 
( ) ( ) ( )
2
1 22
2
4 6 18 3
' , ' 0 3,
2
2 3
t t
f t f t t t
t t
− + +
= = ⇔ = = −
+ +
, ( )lim 1
t
f t
→±∞
= 
Lập bảng biến thiên ta được: GTLN 3P = và GTNN 6P = − . 
Cách 2 : 
2 2
2 2 2
2( 6 ) 2 12
1 2 2 2 3
x xy x xy
P
xy y x xy y
+ +
= =
+ + + +
2 2
2 2 2 2
2 12 ( 3 )
3 3 0
2 3 2 3
x xy x y
P
x xy y x xy y
+ − −
⇒ − = − = ≤
+ + + +
3P⇒ ≤ . Đẳng thức xảy ra 
2 2
3
3
2
11
2
xx y
x y
y

= ± =  
⇔ ⇔ 
+ =  = ±

. 
2 2
2 2 2 2
2 12 2(2 3 )
6 6 0
2 3 2 3
x xy x y
P
x xy y x xy y
+ +
+ = + = ≥
+ + + +
6P⇒ ≥ − . Đẳng thức xảy ra 
2 2
3
3
132
2
1
13
x
x y
x y y

 =
= − 
⇔ ⇔ 
 + = = ± 
∓
. 
Vậy max 3; min 6P P= = − . 
Tuy nhiên cách làm cái khó là chúng ta làm sao biết cách đánh giá 3P − và 
6P + ? 
Ví dụ 15: Cho bốn số nguyên , , ,a b c d thay đổi thỏa: 1 50a b c d≤ < < < ≤ 
Tìm GTNN của biểu thức a cP
b d
= + (Dự bị Đại học - 2002). 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
111 
Giải: 
Vì 1 50a b c d≤ < < < ≤ và , , ,a b c d là các số nguyên nên 1c b≥ + 
Suy ra : ( )1 1
50
a c b
f b
b d b
+
+ ≥ + = . 
 Dẽ thấy 2 48b≤ ≤ nên ta xét hàm số : ( ) 1 1 , [2; 48]
50
x
f x x
x
+
= + ∈ 
Ta có ( ) ( )
2
1 1
' ' 0 5 2
50
f x f x x
x
= − + ⇒ = ⇔ = . 
 Lập bảng biến thiên ta được ( ) ( )
[2;48]
min 5 2f x f= 
Do 7 và 8 là hai số nguyên gần 5 2 nhất vì vậy: 
( ) ( ) ( ){ }
[2;48]
53 61 53
min min 7 ; 8 min ;
175 200 175
f b f f
 
= = = 
 
. 
Vậy GTNN 53
175
P = . 
Ví dụ 16: Cho , ,a b c là 3 số thực dương và thỏa mãn 
2 2 2 1.a b c+ + = Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Giải : 
Để không mất tính tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ và thỏa mãn hệ thức 
2 2 2 1.a b c+ + = Do đó 10
3
a b c< ≤ ≤ ≤ . 
2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ + = + +
+ + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 21 1 1
a b c
a a b b c c
= + +
− − −
Xét hàm số : ( )2( ) 1f x x x= − liên tục trên nửa khoảng 10;
3
 
 
 
. 
Ta có : ( )2 1'( ) 3 1 0, 0;
3
f x x x f x
 
= − + > ∈ ⇒ 
 
 liên tục và đồng biến trên 
nửa khoảng 10;
3
 
 
 
. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
112 
Và ( )2
0 0
1 2 2
lim ( ) lim 1 0, 0 ( )
3 3 3 3 3x x
f x x x f f x
+ +→ →
 
= − = = ⇒ < ≤ 
 
 hay 
( )2 20 1
3 3
x x< − ≤ . 
Hay ( )
2
22
1 2 3 3 1
, 0;
211 3 3 3
x
x x
xx x
 
≥ ⇔ ≥ ∀ ∈  
−
−  
. 
Suy ra ( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
3 3
21
3 3 3 3
2 21 1 1 1
3 3
21
a
a
a
b a b c
b a b c
b a b c
c
c
c

≥
−

≥ ⇒ + + ≥ + +
− − − −
 ≥
−
. 
Vậy 
2 2 2 2 2 2
3 3
.
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
 Xảy ra khi 1
3
a b c= = = . 
Chú ý : Để không mất tính tổng quát , giả sử 0 a b c< ≤ ≤ và thỏa mãn hệ thức 
2 2 2 1.a b c+ + = Ta có thể suy ra 0 1a b c< ≤ ≤ < . 
Khi đó xét hàm số : ( )2( ) 1f x x x= − liên tục trên khoảng ( )0;1 . 
( )2'( ) 3 1, 0;1f x x x= − + ∈ và 1'( ) 0
3
f x x= ⇔ = 
( )1'( ) 0, 0;
3
f x x f x
 
• > ∈ ⇒ 
 
 liên tục và đồng biến trên khoảng 10;
3
 
 
 
( )1'( ) 0, ;1
3
f x x f x
 
• < ∈ ⇒ 
 
 liên tục và nghịch biến trên khoảng 
1
;1
3
 
 
 
. 
Và 
0 1
1 2 2
lim ( ) lim ( ) 0, 0 ( )
3 3 3 3 3x x
f x f x f f x
+ −→ →
 
= = = ⇒ < ≤ 
 
. Phần còn lại 
tương tự như trên. 
Ví dụ 17: Xét các số thực không âm thay đổi , ,x y z thỏa điều kiện: 
1x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 
1 1 1
1 1 1
x y z
S
x y z
− − −
= + +
+ + +
. 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
113 
Giải : 
Tìm MinS : 
Không mất t ính tổng quát giả sử: 0 1x y z≤ ≤ ≤ ≤ . 
Với 
1
, , 0;1
, , 0
x y z
x y z
x y z
 + + =  ⇒ ∈  ≥
. 
Vì ( ) ( ) 21 1 1 1x x x− + = − ≤ nên: 21 1(1 ) 1
1 1
x x
x x
x x
− −≥ − ⇒ ≥ −
+ +
. 
Dấu đẳng thức xảy ra trong trường hợp 0x = hoặc 1x = . 
Khi đó 1 1 1 1 1 1
1 1 1
x y z
S x y z
x y z
− − −
= + + ≥ − + − + −
+ + +
 hay 2S ≥ . 
Đẳng thức xảy ra khi 0, 1x y z= = = thì 2S = . 
Vậy: min 2S = . 
Tìm MaxS: 
 Không mất t ính tổng quát giả sử: 0 1x y z≤ ≤ ≤ ≤ . 
 Lúc đó: 1 2 4;
3 3 5
z x y≥ + ≤ < . 
1 1 1
1 1 1
x y z
S
x y z
− − −
= + +
+ + +
≤ 
1 ( ) 1
1
1 1
x y z
x y z
− + −
+ +
+ + +
=
1
1
2 1
z z
z z
−
+ +
− +
Đặt ( ) 1
2 1
z z
h z
z z
−
= +
− +
. Bài toán trở thành giá trị lớn nhất của 
( )h z trên đoạn 1 ; 1
3
 
 
 
 . 
1
'( ) 0
2
h z z= ⇔ = . 
1 1 2
( )=Max ; (1);
3 2 3
Maxh z h h h
     
=    
     
. 
Do đó : 1 1 1 21
1 1 1 3
x y z
S
x y z
− − −
= + + ≤ +
+ + +
. 
Đẳng thức xảy ra khi 10,
2
x y z= = = thì 21
3
S = + . 
Vậy: 2m 1
3
axS = + 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
114 
Ví dụ 18: Cho ba số thực dương , ,a b c thoả mãn: abc a c b+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
2 2 2
2 2 3
1 1 1
P
a b c
= − +
+ + +
Giải : 
Ta có : ( )1 0a c b ac+ = − > . Dễ thấy 11 0ac a
c
≠ ⇒ < < 
nên 
1
a c
b
ac
+
=
−
2
2 2 2 2
2 2(1 ) 3
P=
1 ( ) (1 ) 1
ac
a a c ac c
−
⇒ − +
+ + + − +
2
2 2 2 2
2 2( ) 3
2
1 ( 1)( 1) 1
a c
P
a a c c
+
= + − +
+ + + +
Xét ( ) 22 2 2 22 2( ) 3 21 ( 1)( 1) 1
x c
f x
x x c c
+
= + + −
+ + + +
( ) 2 22 2 22( 2 2 1) 3 12,0( 1)( 1) 1
x cx c
f x x
cx c c
+ + +
= + − < <
+ + +
2
'
2 2 2
4 ( 2 1) 1
( ) , 0
( 1) ( 1)
c x cx
f x x
cx c
− + −
⇒ = < <
+ +
 Trên khoảng ( )10; : ' 0f x
c
 
= 
 
 có nghiệm 2
0
1x c c= − + +
 và ( )'f x 
đổi dấu từ dương sang âm khi x qua 
0
x , suy ra ( )f x đạt cực đại tại 0x x= 
( ) 2 22 2 21 2 3 2 30; : 21 11 1 1
c
x f x
c c cc c c c
 
⇒ ∀ ∈ ≤ + − = + 
+ +  + − + +
Xét ( ) 222 3 ,c>011
c
g c
cc
= +
++
2
'
2 2 2
2(1 8 )
( )
( 1) ( 1 3 )
c
g c
c c c
−
=
+ + +
'
2
0 1
g ( ) 0
1 8 0 2 2
c
c c
c
 >
= ⇔ ⇔ =
− =
 ( ) 1 2 24 10c>0:g ( )
3 9 32 2
c g⇒ ∀ ≤ = + =
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
115 
10
3
P⇒ ≤ . Dấu "=" xảy ra khi 
1
2
2
1
2 2
a
b
c

=

=

 =

Vậy giá trị lớn nhất của P là 10
3
. 
Ví dụ 19 : Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN của biểu thức: 
cos 2 2 2(cos cos )P A B C= + + (Đại học Khối A – 2004 ) . 
Giải: 
Ta có 2 290 cos2 2 cos 1 2 cos 1 1 4 sin
2
A
A A A A≤ ⇒ = − ≤ − = − 
Đẳng thức có 2cos cosA A⇔ = (1). 
cos cos 2 sin . cos 2 sin
2 2 2
C B C C
B C
−
+ = ≤ 
Đẳng thức xảy ra cos 1
2
B C−
⇔ = (2). 
Đặt 
2
sin 0
2 2
A
t t= ⇒ < ≤ . Ta có: 24 4 2 1 ( )P t t f t≤ − + + = 
Xét hàm số 2( ), 0;
2
f t t
 
∈ 
  
, có 2'( ) 8 4 2 '( ) 0
2
f t t f t t= − + ⇒ = ⇔ = 
Lập bảng biến thiên ta có: 2( ) 3 3
2
f t f P
 
 ≤ = ⇒ ≤
 
 
. 
Đẳng thức xảy ra 
2
0
0
cos cos
90
cos 1
2 45
2
sin
2 2
A A
AB C
B C
A

=

=
− 
⇔ = ⇔ 
= = 

=
. 
Vậy max 3P = . 
Ví dụ 20: Cho tam giác ABC có A B C> > . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức : sin sin 1.
sin sin
x A x B
M
x C x C
− −
= + −
− −
Giải : 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
116 
Biểu thức xác định khi ( ) ); sin sin ;D C A= −∞ +∞∪ . 
( ) ( )2 2
sin sin sin 1 sin sin sin
' . . 0,
sin 2 sinsin sin
x C A C x C B C
M x D M
x A x Bx C x C
− − − −
= + > ∀ ∈ ⇒
− −
− −
 liên 
tục và đồng biến trên mỗi khoảng ( ); sinC−∞ , )sin ;A +∞ 
Do đó ( ) sin sinmin sin 1
sin sin
A B
M M A
A C
−
= = −
−
Ví dụ 21: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ 
nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự 
nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác định vị trí điểm M sao cho 
hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. 
Giải : 
Đặt , 0 2 2
2
a
BM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − 
Trong tam giác vuông BMQ có 
 tan .tan 3
QM
QBM QM BM QBM x
BM
= ⇒ = = 
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là ( ) ( ). 2 3S x MN QM a x x= = − 
Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 3, 0;
2
a
S x a x x x
 
= − ∈  
 
( ) ( )' 4 3 3, 0; ' 0
2 4
a a
S x x a x S x x
 
= − + ∈ = ⇔ = 
 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng 0;
2
a 
 
 
x 0 
4
a
2
a
( )'S x + 0 − 
( )S x 2 3
8
a
 0 0 
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 
2 3
8
a
 khi 
4
a
x =