Bài tập Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT– GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số:
y = x + 1 + 	b. y = (x – 6) trên [ 0 ; 3]
c. y= | –x2 + 3x–2 | trên [–5;5}	d. y = | x2– 2x – 3 | trên đoạn [ –4;4] 
	ĐS :	a. Maxy = 2+1, miny = –1.	b. Maxy = –3, miny = –12
Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 
	HD : Đặt t = x + Þ t Ỵ[ –1 ; ]. Đưa về y = lập BBT của y
	Þ Maxy = , miny = 2– 4
Bài 3 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 
	ĐS : Maxy = 3, miny = 
Bài 4 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = với x > 0
	HD : Chia TS và MS cho x2 và đặt t = x+ Þ t 2. Lập BBT của y = trên [ 2 ; )
	Þ miny = , không có Maxy
Bài 5 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sinx – sin2x + sin3x trên đoạn [0 ; ]
	HD : y’ = cos2x(2cosx – 1) Þ Maxy = ( x= ) , miny= 0 ( x = )
Bài 6 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2sin2x – cosx + 1
	ĐS : t = cosx, t Ỵ [ –1; 1] . Maxy = , miny = 0
Bài 7 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin3x + cos3x + sinxcosx
	HD : t = sinx + cosx, t Ỵ [– ;] Þ y = (– 4t3+ 9t2 + 12t – 9 )
	Þ Maxy = ( t = ), miny = – ( t = – )
Bài 8 : Tùy theo giá trị m, hãy tìm GTNN của biểu thức
	P = (x+ my – 2)2 + [4x+ 2(m– 2)y– 1]2
	HD :
Nếu hệ có D = –2m – 4 ¹ 0 Û m ¹ – 2 : minP = P(x0, y0) = 0
	với x0, y0 là nghiệm của hệ
Nếu m = – 2 : P = (x – 2y – 2)2+ (4x – 8y – 1)2
	 = (t– 2)2 + (4t– 1)2 = 17t2 – 12t + 5 với t = x – 2y ỴR
Þ minP= tại t = 
Bài 9 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =2(1+ sin2x.cos4x) – (cos4x– cos8x)
	HD : y = 2 + sin6x – sin2x – sin6xsin2x = 4sin42x – 4sin32x– 3sin22x+ 2sin2x +2
	( sin6x = 3sin2x – 4sin32x). Đặt t = sin2x. Kquả : miny = 1. Maxy= 5
Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = trên đoạn [3 ; 6]
	ĐS : Maxy= 4, miny = + 
Bài 11 : Xác định m để GTNN của hàm số y = 4x2– 4mx + m2– 2m trên đoạn [–2 ; 0] bằng 2
	ĐS : Ta có hệ số a = 4 > 0 . Gọi S( xo; yo) là đỉnh của (P)
Nếu xo Ỵ[–2; 0] Û – 4 thì miny = y(xo) = – 2m. YCBT Û Û m = –1
Nếu xo [–2; 0] Û m 0 thì miny = min{y(–2), y(0)} = 
= min{m2 + 6m + 16, m2– 2m}. Xét hiệu m2 + 6m + 16 – (m2 – 2m) = 8m + 16
 	Với m > 0 Þ 8m + 16 > 0 Þ miny = m2– 2m. Khi đó YCBT Û m = 1+
	Với m < – 4 Þ 8m + 16 < 0 Þ miny = m2 + 6m + 16. Khi đó YCBT Û m2+ 6m + 14 = 0
	(không có m). Vậy m= –1, m = 1+
Bài 12 :Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2sinx – sin3x trên đoạn [0;]
Bài 13: Cho x,y thỏa: x2 + xy + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của f(x,y) = 3x2 +2xy+y2
	HD: Đặt 3x2 +2xy+y2 = a. Bài toán đi đến : Tìm a sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
	Xét y = 0 Þ x2 = 2 Þ a = 6
	Xét y 0. Đặt x = ty Þ Þ a(t2+t+1) = 2(3t2+2t+1)
	Û (a–6)t2 +(a–4)t+ a–2 = 0 (*). Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm 
	a= 6 : Hệ có nghiệm
	a6 : (*) có nghiệm Û 0 Û 
	Þ minf = ; Maxf= .
Bài 14: Cho x,y thỏa: 5x2+5y2– 5x – 15y + 8 0. Tìm GTLN của A = x+3y.
	HD: Từ giả thiết Þ x,y thỏa (x– )2+ (y – )2 (1).
	Áp dụng BĐT Bunhiakopxky ta có: 1.(x–)+3.(y–) = 3
	Þ x+3y Þ MaxA = 8 khi với a= , b = 
	Þ MaxA = 8 khi x = , y = 
Bài 15: Cho x,y thỏa: x+y=2. Tìm GTNN của f(x,y) = x4 + y4
	HD: Ta phải tìm m sao cho hệ phương trình có nghiệm
	Hệ có nghiệm Û phương trình x4+(2–x)4= m có nghiệm.
	Đặt g(x) = x4+(2–x)4. BBT của g(x) Þ m2. Vậy minf(x,y) = 2 khi x=y=1.
Bài 16: Cho hệ: . Giả sử (x,y) là một nghiệm của hệ. Tìm a để M= x2+y2–xy 
	đạt GTLN, GTNN.
	HD: Hệ Û . Hệ có nghiệm Û (2–a)2–4[(2–a)2–3]0 Û 0
 	Xét M= x2+y2–xy = –2a2+8a+1= f(a) với 0. Từ đó minM= 1 khi a= 0, a = 4
	MaxM = 9 khi a = 2
Bài 17: Cho x,y,z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = 
	HD: Đặt a = x+1 > 1, b = y+1 > 1, c = z+1 > 1 thì a+b+c = 4.
	P = = 3– . Áp dụng BĐT Côsi ta được P 
	Vậy MaxP = khi x= y = z = 
Bài 18: Cho x, y, z > 0 thỏa =1. Tìm minA = .
	HD: Ta có . Theo BĐT Côsi: x+y Þ 
	Þ . Tương tự và suy ra : A x+y+z – ) = x+y+z–
	Mà x+y+z = 1 Þ A Þ minA = khi x=y=z=
Bài 19: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = trên đoạn [1; e3]
	ĐS: Maxy = , miny = 0
Bài 20: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 4+ 4
	HD: Đặt t = 4. Do 0sin 2 x 1 nên 1 . Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN 
	của f(t) = t + với 1 . Lập bảng biến thiên của f(t) ta được kết quả
	Maxf = 5 khi t = 1 hoặc t = 4, minf = 4 khi t = 2
Bài 21: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = sin6x + cos6x + sinxcosx
	HD: Biến đổi y = 1– sin22x + sin2x và đặt t = sin2x, t [–1;1]
	Kết quả: Max y = khi t = sin2x = , miny = khi t = sin2x = –1
Bài 22: Tìm GTLN của f(x) = | x3+3x2– 72x + 90 | trên đoạn [–5;5]
	HD: Đặt g(x) = x3+3x2– 72x + 90 . Tìm được Max g = 400, ming = –86
	Þ –86 , x [–5; 5]
	Þ –400 , x [–5; 5]
	Þ |g(x)|400,x [–5; 5]
	Þ f(x) 400,x [–5; 5] Þ Max f(x) = 400 khi x = –5
Bài 23: Tìm GTNN của hàm số y = x3 + – x2 – – 2x –, với x > 0 
	HD: Đặt t = x + Þ t 2 (BĐT Côsi)
	Þ x2 + = t2 – 2, x3 + = t3 – 3t
	Þ y = f(t) = t3 – t2 – 5t + 2 , t 2 . Lập BBT Þ min y = – 4 khi t = 2
Bài 24: Tìm GTNN của hàm số y = tg3x– + 2, với 0 < x < 
	HD: Đặt t = tgx Þ t > 0
	Þ y = t3 – t2 + 1. Lập BBT ta có min y = khi t = 
Bài 25: Chứng minh BĐT: x2 + 2x lnx4 + 3, với x > 0
	HD: Xét hàm f(x) = x2 + 2x – 4lnx . BBT Þ minf = 3 khi x = 1 Þ f(x)3, x > 0
Bài 26: Cho x, y thỏa mãn: 
	Tìm GTLN, GTNN của F = xy – 6(x+y)
	Giải: Ta có: 
	Theo định lí Vi–et đảo thì x,y là nghiệm của phương trình t2 – mt + m2 – 3 = 0 (*)
	x, y tồn tại Û (*) có nghiệm Û – 2m 2. Khi đó F = m2 – 6m – 3, với – 2m 2
	Lập bảng biến thiên của F ta được minF = –11 khi m = 2 Û x = y = 1, maxF = 13 
khi m = –2 Û x = y = –1
Bài 27: Cho x, y thỏa mãn x + y = x2 + y2 . Tìm GTLN của F = xy
	Giải: Đặt x +y = x2 + y2 = m thì có: Û 
	Theo định lí Vi–et đảo thì x,y là nghiệm của phương trình t2 – mt + = 0 (*)
	x, y tồn tại Û (*) có nghiệm Û 0m 2. Lập BBT của F = xy = trên [0;2]
	ta có maxF = 1 Û m= 2 Û x = y = 1
Bài 28 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 
	HD: t = sin2x, 0t 1. Xét hàm số f(t) = ta được : minf = khi t = 1, maxf = 
	khi t= . Vậy miny = khi sin2x = 1, maxy = khi sin2x= .