Bài tập Đại số tổ hợp

ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
 Chương I 
QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM 
Môn đại số tổ hợp (có sách gọi là giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát các hoán vị, 
tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác định số cách xảy ra một hiện tượng nào đó mà 
không nhất thiết phải liệt kê từng trường hợp. 
1. Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc cơ bản của phép đếm, đó là 
quy tắc cộng và quy tắc nhân. 
a) Quy tắc cộng : 
 Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện 
tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện 
tượng kia là : m + n cách. 
 Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần 
chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ? 
Giải 
Có : 3 + 2 = 5 cách chọn. 
Ví dụ 2. Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực 
khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ? 
Giải 
Có : 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn. 
b) Quy tắc nhân : 
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi 
tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” 
hiện tượng 2 là : m × n. 
Ví dụ 1. Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao 
thông : đường bộ, đường sắt và đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn 
phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay 
về? 
Giải 
Có : 3 × 3 = 9 cách chọn. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Ví dụ 2. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ 
tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có 
mấy cách ? 
Giải 
Có 15 cách chọn chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ 
tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký. 
Vậy có : 15 14 × 13 = 2730 cách chọn. ×
2) Sơ đồ cây 
Người ta dùng sơ đồ cây để liệt kê các trường hợp xảy ra đối với các bài toán 
có ít hiện tượng liên tiếp và mỗi hiện tượng có ít trường hợp. Chú ý ta chỉ dùng 
sơ đồ cây để kiểm tra kết quả. 
Ví dụ. Trong một lớp học, thầy giáo muốn biết trong ba môn Toán, Lý, Hóa 
học sinh thích môn nào theo thứ tự giảm dần. Số cách mà học sinh có thể ghi là 
: 
 HT L
 L H T H T L
H L H T L T
3. Các dấu hiệu chia hết 
– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. 
– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276). 
– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 
4 (ví dụ : 1300, 2512, 708). 
– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5. 
– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3. 
– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết 
cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824). 
– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835). 
– Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75. 
– Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Ví dụ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số 
đôi một khác nhau không chia hết cho 9. 
Giải 
 Gọi : n = abc là số cần lập. 
 m = a b c′ ′ ′ là số gồm 3 chữ số khác nhau. 
 = m′ 1 1 1a b c là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9. 
Ta có : tập các số n = tập các số m – tập các số m′ . 
* Tìm m : có 5 cách chọn a′ (vì a′ ≠ 0), có 5 cách chọn b′ (vì b ), có 4 
cách chọn (vì c và 
′ ≠ a′
c′ ′ ≠ a′ c′ ≠ b′ ). Vậy có : 
5 × 5 × 4 = 100 số m. 
* Tìm m : trong các chữ số đã cho, 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là {′ }0,4,5 , 
{ }1,3,5 , { }2,3,4 . 
• Với { }0,4,5 : có 2 cách chọn a1, 2 cách chọn b1, 1 cách chọn c1, được 
2 × 2 × 1 = 4 số m′ . 
• Với { }1,3,5 : có 3! = 6 số m′ . 
• Với { }2,3,4 : có 3! = 6 số m′ . 
Vậy có : 4 + 6 + 6 = 16 số m′ . 
Suy ra có : 100 – 16 = 84 số n. 
Chú ý : Qua ví dụ trên, ta thấy nếu số cách chọn thỏa tính chất p nào đó quá 
nhiều, ta có thể làm như sau : 
Số cách chọn thỏa p bằng số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn không thỏa p. 
Người ta còn gọi cách làm này là dùng “phần bù”. 
Bài 1. Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi : 
a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B ? 
b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B ? 
c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe 
buýt không đi quá một lần ? 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Giải 
a) Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C. Do đó, theo quy tắc nhân, có 
4 x 3 = 12 cách đi từ A đến C, qua B. 
b) Có 12 cách đi từ A đến C, qua B và có 12 cách quay về. Vậy, có : 
 12 × 12 = 144 cách đi rồi về từ A đến C, qua B. 
c) Có 4 cách đi từ A đến B, có 3 cách đi từ B đến C; để tránh đi lại đường cũ, chỉ 
có 2 cách từ C quay về B và 3 cách từ B quay về A. 
 Vậy có : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 cách. 
Bài 2. Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. 
Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc ? 
Giải 
 Có 4 cách chọn cho mỗi ngày. Vậy, số cách chọn cho 6 ngày trong tuần là : 46 
= 4096 cách. 
Bài 3. Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của 
mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu : 
a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần ? 
b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần ? 
Giải 
a) Đêm thứ nhất, chọn 1 trong 12 bạn để đến thăm : có 12 cách. Tương tự, cho 
đêm thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy. 
 Vậy, có : 127 = 35831808 cách. 
b) Đêm thứ nhất, chọn 1 trong 12 bạn để đến thăm : có 12 cách. Đêm thứ hai, 
chọn 1 trong 11 bạn còn lại để đến thăm : có 11 cách. Đêm thứ ba : 10 cách. 
Đêm thứ tư : 9 cách. Đêm thứ năm : 8 cách. Đêm thứ sáu : 7 cách. Đêm thứ bảy 
: 6 cách. 
 Vậy có : 12.11.10.9.8.7.6 = 3991680 cách. 
Bài 4. Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc 
hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác, biết rằng từ nhà ga 
nào cũng có thể đi tới bất kì nhà ga khác? 
Giải 
 Nhà ga đi : có 10 cách chọn. Nhà ga đến : có 9 cách chọn. 
 Vậy có : 10.9 = 90 cách chọn. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bài 5. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào một hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao 
cho : 
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ ? 
b) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam A, một người nữ B phải ngồi kề 
nhau ? 
c) Nam, nữ ngồi xen kẽ và có một người nam C, một người nữ D không được ngồi 
kề nhau ? 
Giải 
a) Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách 
chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người 
khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào 
chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6. 
 Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách. 
b) Cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ nhất và chỗ thứ hai, có 2 cách. Tiếp 
đến, chỗ thứ ba có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 
cách chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn. 
 Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ hai và chỗ thứ ba. Khi đó, 
chỗ thứ nhất có 2 cách chọn, chỗ thứ tư có 2 cách chọn, chỗ thứ năm có 1 cách 
chọn, chỗ thứ sáu có 1 cách chọn. 
 Tương tự khi cặp nam nữ A, B đó ngồi vào chỗ thứ ba và thứ tư, thứ tư và thứ 
năm, thứ năm và thứ sáu. 
 Vậy có : 5 ( 2 × 2 × 2 × 1 × 1) = 40 cách. 
c) Số cách chọn để cặp nam nữ đó không ngồi kề nhau bằng số cách chọn tuỳ ý 
trừ số cách chọn để cặp nam nữ đó ngồi kề nhau. 
 Vậy có : 72 – 40 = 32 cách. 
Bài 6. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn 
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. 
Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong mỗi trường hợp sau : 
a) Bất kì 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường nhau. 
b) Bất kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau. 
Đại học Quốc gia TP. HCM 1999 
Giải 
 Đánh số các ghế theo hình vẽ 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
a) 
V
V
Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi cạnh hoặc đối diện phải khác trường là : 
12 × 6 × 52 × 42 × 32 × 22 × 12 = 1036800. 
b) 
Ghế 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7 
Số cách xếp chỗ ngồi 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 
 Vậy số cách xếp 2 học sinh ngồi đối diện phải khác là : 
12 × 6 × 10 × 5 × 8 × 4 × 6 × 3 × 4 × 2 × 2 = 33177600. 
Bài 7. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số đôi một 
khác nhau và : 
a) gồm 3 chữ số ? 
b) gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ? 
c) gồm 3 chữ số và chẵn ? 
d) gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ? 
Giải 
 Đặt n = abc 
a) Có 6 cách chọn a, 5 cách chọn b (b ≠ a), 4 cách chọn c (c ≠ a, c ≠ b). 
 Vậy có : 6 5 × 4 = 120 số. ×
b) Chọn a = 2 hay a = 3, có 2 cách. Sau đó, có 5 cách chọn b (b a), 4 cách chọn 
c (c a, c ≠ b). 
≠
≠
 Vậy có : 2.5.4 = 40 số nhỏ hơn 400. 
c) Vì n chẵn, có 2 cách chọn c (c = 2 hay c = 6). Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), 
có 4 cách chọn b (b a, b ≠ ≠ c). 
 Vậy có : 2.5.4 = 40 số chẵn. 
Ghế 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Số cách xếp chỗ ngồi 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 
21 53 64
11 12 9 8 7 10 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
d) Vì n chia hết cho 5, có 1 cách chọn c (c = 5). Sau đó, có 5 cách chọn a (a ≠ c), 
có 4 cách chọn b (b a, ≠ ≠ c). 
 Vậy có : 1.5.4 = 20 số chia hết cho 5. 
Bài 8. Có 100000 vé được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số vé gồm 5 chữ số khác 
nhau. 
Đại học Quốc gia Hà Nội Khối G 1997 
Giải 
 Gọn n = 1 2 3 4 5a a a a a là số in trên mỗi vé. 
 Số cách chọn a1 là 10 (a1 có thể là 0). 
 Số cách chọn a2 là 9. 
 Số cách chọn a3 là 8. 
 Số cách chọn a4 là 7. 
 Số cách chọn a5 là 6. 
 Vậy số vé gồm 5 chữ số khác nhau : 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30240. 
Bài 9. Xét dãy số gồm 7 chữ số (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, ., 8, 9) thỏa chữ số 
vị trí số 3 là số chẵn, chữ số cuối ...  lại có 42 cách chọn đại biểu. 
2
4C
2
4C
 Vậy có : 6342 cách. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Tóm lại, số cách chọn thỏa yêu cầu đề bài là : 
) 
2 trong 4 người của mỗi nước đó, có : = 6 cách. Ba nước đó có 63 
 hợp 2: Có 2 nước mỗi nước 2 đại biểu và 2 nước còn lại mỗi nước 1 
ài là : 
 4.63 + 63.42 = 4320 cách. 
B 1
a) khác nhau và 5 cái hộp khác nhau. Hỏi có mấy cách xếp mỗi 
b) Nếu 10 bánh khác nhau và 5 hộp giống nhau thì có mấy cách ? 
) 
thứ hai, có : cách. 
 = 
 45 + 63.42 = 4480 cách. 
b * Trường hợp 1: Có 3 nước mỗi nước hai đại biểu. 
Chọn 3 trong 4 nước để mỗi nước đó được chọn 2 đại biểu, có 34C = 4 cách. 
Chọn 24C
cách. 
 Vậy có : 4.63 cách. 
* Trường 
đại biểu. 
 Trường hợp 2 của câu a ta đã có 63.42 cách. 
 Tóm lại, số cách chọn thỏa yêu cầu đề b
ài 1 4. 
Có 10 cái bánh
hộp hai bánh ? 
Giải 
a Chọn 2 trong 10 bánh, cho vào hộp thứ nhất, có : 210C cách. 
 Chọn 2 trong 8 bánh còn lại, cho vào hộp 28C
 Tiếp tục quá trình chọn như trên, ta có : 
2
10C .
2
8C .
2
6C .
2
4C .
2
2C
10! 8! 6! 4! 
2!8!
.
2!6!
.
2!4!
.
2!2!
.1 
 = 45.28.15.6 = 113400 cách. 
Với mỗi cách chọn lần lượt từng 2 bánh rồi xếpb) vào 5 hộp khác nhau, đổi chỗ 5 
 o 5 hộp giống nhau, đổi chỗ 
hộp (trước khi xếp bánh vào), ta được 5! cách. 
Với mỗi cách chọn lần lượt từng 2 bánh rồi xếp và
5 hộp (trước khi xếp bánh vào), ta chỉ được 1 cách. 
113.400 Vậy số cách xếp theo yêu cầu là : 
5!
 = 945 cách. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
B 1
án và tặng 6 học sinh A, B, C, D, 
a) h trên những cuốn sách thuộc loại 
Anh văn và Văn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. 
b*) Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau k xong mỗi loại Văn, Anh văn, Hóa còn 
ít nhất 1 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. 
ho Quốc gia TP. HCM 2000 
) 
ài 1 5. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 sách Văn, 4 
sách Anh văn và 3 sách Hóa. Ông lấy ra 6 cuo
E, F mỗi em 1 cuốn. 
Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng các học sin
hi tặng
Đại ïc 
Giải 
a Số cách lấy ra 6 cuốn sách loại Văn và Anh văn : 6C . 9
 Số cách đưa 6 sách này cho 6 học sinh : 6! 
 Vậy số cách tặng các sách chỉ loại Văn và Anh văn : 
 9!
3!
 69C .6! = = 60 480. 
) b Số cách tặng 6 sách bất kì : 6! = 6! 924. 612C ×
 Số cách tặng không còn sách Văn : 6! = 6! 7 17C ×
 Số cách tặng không còn sách Anh văn : 6! 28C = 6! 28 ×
 Số cách tặng không còn sách Hóa : 6! 3C = 6! × 89 4 
h tặng thỏa mãn yêu cầu bài toán là : Vậy số các
 6!( 612C - 
1
7C - 
2
8C - 
3
9C ) = 720 × 805 = 579600. 
B 1ài 1 6. Cho A = { }1,2,3, 4,5,6,7,8 . 
a) Có bao nhiêu tập con của A chứa 1 mà không 
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau mà không bắt đầu bởi 
123. 
ọc Quốc gia TP. HCM 1999 
a) Nếu tập X có n phần tử thì số tập con của X là : 2n. 
 Tập 
chứa 2. 
Đại h
Giải 
A\{ }1,2
không chứa 1 và 2. 
 có 6 phần tử, vậy ta có : 2 = 64 tập con, mỗi tập con này đều 6
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Ta hội 6 n này v4 tập co ới { }1 thì ta được 64 tập con của A chứa 1 mà không 
b) Gọi n = 
chứa 2. 
1 2 5a a ...a chẵn. 
5 Do a ∈ { }2,4,6,8 có 4 cách chọn. 
 Số cách chọn 1 2 3 4a a a a là : = 
4
7A
7! = 7 6 × 5 ××
3!
 4 = 840. 
 Vậy số các số n chẵn là : 4 = 3360. 
 Xét m = 
4
7A
4 5123a a mà m chẵn. 
 Do a5 ∈ { }4,6,8 có 3 cách chọn. 
 a4 ∈ { }4,5,6,7,8 \{ }5a có 4 cách chọn. 
 Vậy số các số m là : 12. 
Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán : 3360 – 12 = 3348. 
Bài 117. Có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ s á trong
đó 1 và 6 đều có mặt đúng 2 lần c chữ số khác xuất hiện 1 lần. 
 Đại học Sư phạm Hà Nội 2000 
Giải 
o các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong 
òn các
 Gọi số cần tìm là n = 1 2 8a a ...a 
 Xét hộc có 8 ô trống. 
 Số cách đem 2 chữ số 1 bỏ vào hộc là cách. 
 cách. 
øo 4 hộc trống còn lại có : 4! cách. 
 Vậy số cách thỏa yêu cầu bài toán là 
2
8C
 Số cách đem 2 chữ số 6 bỏ vào hộc là 26C
 Còn lại 4 chữ số 2, 3, 4, 5 bỏ va
 28C .
2
6C .4! = 
8! 
2!6!
× 6! 
2!4!
× 4! = 8! = 10 080 cách. 
2!2!
ú ý : Bài toán hoán vị lặp, tổ hợp lặp, chỉnh hợp lặp không có trong chương 
Bài 11
 Ch
trình phổ thông. 
8. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
a) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên 
là chữ số lẻ. 
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi 
và 3 chữ số chẵn. 
Đại học Quốc gia TP. HCM 2000 
Giải 
a) Đặt n = 
một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ 
1 2 6a a ...a (a1 0) 
 Chọn a1
 ≠
 ∈ { }1,3,5,7,9 có 5 cách. 
 6a ∈ { }0,2,4,6,8 có 5 cách. 
Bốn chữ số còn lại a2, a3, a4, a5 c chọn từ : đượ
 { }0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 \{ }1 6a ,a có 4A = 8 8! = 1680 cách. 4!
 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu câu a là : 25 × 1680 = 42000 số. 
b) Đặt m = 1 2 6a a ...a 
 Trường hợp 1: a có thể bằng 0. 
 Số cách chọn 3 chữ số chẵn bất kì : cách. 
 Số cách chọn 3 chữ số lẻ bất kì : cách. 
 Chọn các ai (i = 
1
3
5
3
C
5C
1,6 ) từ 6 số trên có 6! Cách. 
 Vậy có : 6! = 72 000 số. 
 Trường hợp 2: xét = 
3 3
5 5C .C
m′ 2 6
2
30a a ...a 
 Chọn 2 chữ số chẵn bất kì có : cách. 
 cách. 
4
3
C
 Chọn 3 chữ số lẻ bất kì có : 5C
 Hoán vị 5 chữ số trên có 5! cách. 
2 3 Vậy có : 5! 4C . 5C = 7200 số 
 Do đó số các số thỏa yêu cầu của câu b là : 
 72000 – 7200 = 64800. 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
Bài 119. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, 
Đại học Quốc gia TP. HCM 2001 
Giải 
 Gọi số cần tìm là n = 
chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt không quá 1 lần. 
1 2 7a a ...a (a1 ≠ 0) 
• 
Xét hộc có 7 ô trống. 
Trường hợp a1 tùy ý (a1 có thể bằng 0). 
Số cách đem 2 chữ số 2 bỏ vào hộc là : 7C = 
2 7!
2!5!
 = 21. 
S ữ so bỏ vaố cách đem 3 ch á 3 øo hộc là : = 35C
5!
3!2!
 = 10. 
cách đưa các chữ số này vào hộc là : Còn lại 8 chữ số và còn 2 ô trống vậy số 
 8!
6!
 28A = = 56 
Vậy có : 21 10 56 = 11760 số. 
• 
× ×
Trường hợp a1 = 0. 
Số cách đem 2 chữ số 2 bỏ vào hộc là : 6C = 
2 4!
2!4!
 = 15. 
Số cách đem 3 chữ số 3 bỏ vào hộc là : C = 34
4! = 4
3!
. 
Còn lại 7 chữ số và 1 ô trống vậy có 7 cách đem 1 chữ số còn lại bỏ vào hộc. 
Do đó số các số n = 2 3 70a a ...a là 15 × 4 × 7 = 420. 
• Vậy số các số th
-------------------------
ƯỜNG GẶP 
1. 
ỏa yêu cầu bài toán : 
11760 – 420 = 11340. 
- 
CÁC SAI SÓT TH
KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP 
Không hiểu đúng các từ dùng trong đề bài 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
ình không đồng thời có mặt” nghĩa là loại bỏ trường hợp có An và có 
 không có An, 
2. bị àn mà không biết 
ûi c nhiêu cách 
thành lập một đội gồm 4 học sinh trong đó có ít nhất 1 nữ ? 
 cách. 
3. 
êu cách xếp 
 trường hợp có hai nữ ngồi cạnh 
nhau ở các ghế số : 123, 234, 345, 456, 567, 678 : có 6 trường hợp. 
 cách . 
 – 6 cách. 
øng hợp. 
ị” 
nữ ó thứ tự 3 nam và 3 nữ để 
ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 
Ví dụ : Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học Kinh tế TPHCM năm 2001 có câu 
“An và B
Bình, ta còn lại ba trường hợp : có An không có Bình, có Bình
không có An và không có Bình. Nếu đọc không kỹ, câu văn nêu trên dễ hiểu 
nhầm thành “không có An không có Bình” tức là “An và Bình đồng thời không 
có mặt”. 
Có những trường hợp trùng lặp, đếm hai la
 Ví dụ : Một lớp học có 20 học sinh gồm 14 nam, 6 nữ. Ho ó bao 
 Giải : Chọn 1 nữ trong 6 nữ, có 1 = 6 cách. 6C
 Chọn thêm 3 học sinh trong 19 học sinh còn lại, có 319C cách. 
 Vậy có : 1C . 3C = 6 19
3
19C
Cách giải này sai ở chỗ giữa hai lần chọn “1 nữ rồi 3 học sinh còn lại” có thể bị 
trùng lặp, bị đếm hai lần. Ví dụ : “chọn nữ A rồi 3 học sinh B, C, D” và “chọn 
nữ B rồi 3 học sinh A, C, D”. 
Có những trường hợp không liệt kê đủ, đếm thiếu mà không biết 
Ví dụ : Năm nam sinh và ba nữ sinh xếp vào 8 chỗ ngồi. Có bao nhi
sao cho không có hai nữ sinh ngồi cạnh nhau ? 
Giải : Ta đánh số các chỗ ngồi từ 1 đến 8. Các
Chọn 3 ghế tùy ý cho 3 nữ là tổ hợp chập 3 của 8 phần tử, có 38C
Trừ các trường hợp nêu trên còn : 38C
Xếp 3 nữ vào các ghế đã chọn, có : 3! cách. 
Xếp 5 nam vào các ghế đã chọn, có 5! cách. 
Vậy có : 5! 3!( 3C – 6) cách. 8
Cách giải này sai ở chỗ đếm thiếu các trường hợp có hai nữ ngồi kế nhau khi 3 
nữ ở các ghế số 123, 124, 125, 126, 127, 128, 234, 235, 236, 237, 238, 345, 346, 
347, 348, 456, 457, 458, 567, 568, 678 : có 21 trươ
4. Không thấy rõ chỉnh hợp là “tổ hợp rồi hoán v
 Ví dụ : Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 , chọn c
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 
 Giải: Chọn có thứ tự 3 nam trong 10 nam, có 310A cách. 
 Chọn có thứ tự 3 3 nữ trong 6 nữ , co cách. 
 cách. 
 mà thực ra chỉ có 
. 
 ách chọn “thỏa tính chất p” mà số cách chọn “không 
n chọn ra 6 cuốn tặng cho 6 học sinh 
sao cho tặng xong mỗi thể loại đều còn ít nhất 1 cuốn. Hỏi có mấy cách ? 
 Trong ví dụ này, tính chất p là “mỗi thể loại đều còn” và không thỏa t
là “có ít nhất một thể loại không còn”. (Ta dễ hiểu sai thành “mỗi thể loại đều 
không còn”). 
(còn tiếp) 
PHẠM HỒNG DANH - NGUYỄN VĂN NHÂN - TRẦN MINH QUANG 
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) 
ù 6A
 Vậy có : 310A .
3
6A
 Cách giải trên sai ở chỗ không thấy được việc ghép thành cặp là một hoán vị 
và hàm ý “có thứ tự” trong việc chọn đã bị tính đến hai lần
một lần khi ghép cặp. 
5 Xét phần bù sai 
Với các bài toán tìm số c
thỏa tính chất p” ít trường hợp hơn, ta thường làm như sau : 
Số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý – số cách chọn không thỏa p 
Khi làm cách này, sai sót dễ mắc phải là phát biểu mệnh đề “không thỏa tính 
chất p” thiếu chính xác. 
Ví dụ : Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn 
văn, 4 cuốn nhạc, 3 cuốn họa. Thầy muố
ính chất p 
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -