Bài tập Chuyên đề về khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Hàm số bậc 3
1. Cho hàm số: y = -x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
 	2) Tìm k để phương trình: -x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên. 
2. Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + m (1)
 	1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. 
 	2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 . 
3. Cho hàm số: y = (1) có đồ thị (C)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 
4. Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + 9x + 1 (1) (m là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
	2) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.
5. Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y = (*) (m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2
Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0. 
6. Cho hàm số: y = 2x3 - 9x2 + 12x – 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: .
7. Cho hàm số y = x3 - 3x + 2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
8. Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 + 3(m2 -1)x - 3m2 - 1 (1) m là tham số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ đọ O.
9. Cho hàm số: y = (1) (m là tham số)
 	1) Cho m = 
 	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
 b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y = 4x + 2.
2) Tìm m thuộc khoảng sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đường x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. 
10. Cho hàm số: y = (x - m)3 - 3x (m là tham số)
1) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.	
 	3) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 
11.a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 
 	 b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành. 
12. Cho hàm số: y = (x - 1)(x2 + mx + m) (1) (m là tham số)
 	1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
 	2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4. 
13. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số: y = 2x3 - 3x2 - 1
b/ Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm M(0 ; -1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
14. Cho hàm số: y = x3 - 3mx + 2 có đồ thị là (Cm) (m là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số khi m = 1.
 	2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1) và trục hoành.
 	3) Xác định m để (Cm) tương ứng chỉ có một điểm chung với trục hoành. 
15. Cho hàm số: y = x3 - mx2 + 1	(Cm)
 	1) Khi m = 3
 	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm trên đồ thị hàm số tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
2) Xác định m để đường cong (Cm) tiếp xúc với đường thẳng (D) có phương trình 
y = 5. Khi đó tìm giao điểm còn lại của đường thẳng (D) với đường cong (Cm).
16. Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + 3(2m - 1)x + 1	(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
 	2) Xác định m sao cho hàm số (1) đồng biến trên tập xác định.
 3) Xác định m sao cho hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu. Tính toạ độ của điểm cực tiểu. 
17. Cho hàm số: y = x3 - (2m + 1)x2 - 9x (1)
 	1) Với m = 1;
 	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 
b) Cho điểm A(-2; -2), tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm A qua tâm đối xứng của đồ thị (C).
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có các hoành độ lập thành một cấp số cộng.
 18. Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1	(1)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-3 ; 1) có hệ góc là k. Xác định k để (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt. 
19. Cho hàm số: y = (1)	(m là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
 	2) Xác định m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng: 0 < x < 3 
20. Cho đường cong (Cm): y = x3 + mx2 - 2(m + 1)x + m + 3, đường thẳng (Dm): y = mx - m + 2	m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C-1) của hàm số với m = -1.
2) Với giá trị nào của m, đường thẳng (Dm) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt? 
21. Cho hàm số: y = -x3 + 3x2 - 2
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 	2) Tìm t để phương trình: có 6 nghiệm phân biệt. 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = 
 2) Dựa và đồ thị (C) ở Câu trên, hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: .
22. Cho hàm số: y = x3 - 3x2
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
	2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và trục hoành.
	3) Xét đường thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m. Tìm m để đường thẳng (D) cắt đường cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương. 
23. 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)2(x - 2).
2/ Cho đường thẳng D đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k. Hãy xác định tất cả giá trị của k để đường thẳng D cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt: y = . 
24. Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1.
a) Với các giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 2.
b) (C0) là đồ thị hàm số ứng với m = 0. Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng
y = ax + b cắt (C0) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. Khi đó chứng minh rằng đường thẳng y = ax + b luôn đi qua một điểm cố định.
25. Cho hàm số: y = f(x) = x3 + ax + 2, 	(a là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = -3.
 	2) Tìm giá trị của a để đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm. 
26. Cho hàm số: y = x3 - x2 - x + 1
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình .
27. Cho hàm số: y = x3 + 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m3 - 3m
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 0.
 	2) Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng khi m thay đổi các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn luôn chạy trên hai đường thẳng cố định. 
28. Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m
 	1) Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho nghịch biến trên (-1; 1).
 	2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = -1. 
29. Cho hàm số: y = f(x) = -x3 + 3mx - 2 (m là tham số) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
 	 2) Xác định các giá trị của m để bất phương trình: f(x) Ê - được thoả mãn "x ³ 1. 
30. Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 	2) Tìm tất cả các đường thẳng đi qua điểm A(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt.
31. Cho hàm số: y = x3 + mx2 + 9x + 4 (1) (m là tham số)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. Khi đó hãy chỉ ra số giao điểm của đồ thị với trục Ox .
 	2) Tìm điều kiện của tham số m để trên đồ thị của hàm số (1) có một cặp điểm đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. 
32. Cho hàm số: y = x3 - 6x2 + 9x
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
 2) a) Từ đồ thị hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số: y = 
 	b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
33. Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 (1)
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
	2) Lập pt đường thẳng đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với đồ thị của hàm số (1).
	3) Với những giá trị nào của m thì hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị song song với đường thẳng y = kx (k cho trước)? Biện luận theo k số giá trị của m. 
33. 	1) Chứng minh rằng nếu đồ thị của hàm số: y = x3 + ax2 + bx + c cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau, thì điểm uốn nằm trên trục hoành.
 	2) Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + 2x(m - 4)x + 9m2 - m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau
34. Cho hàm số: y = x2(m - x) - m (1)
 	1) CMR đường thẳng: y = kx + k + 1 luôn cắt đường cong (1) tại một điểm cố định.
 	2) Tìm k theo m để đường thẳng cắt đường cong (1) tại ba điểm phân biệt.
 	3) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1 < x < 2. 
35. Cho hàm số: y = 4x3 + (a + 3)x2 + ax
 	1) Tuỳ theo các giá trị của a, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số.
 	2) Xác định a để Ê 1 khi Ê 1. 
36. Cho các đường: y = - (P) và y = m(x - 3) (T)
 	1) Tìm m để (T) là tiếp tuyến của (P).
 	2) Chứng minh rằng họ (T) đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
 	3) Gọi A, B, C là các giao điểm của (P) và (T). Hãy tìm m để OB ^ OC (O là gốc toạ độ). 
37. Cho hàm số: y = x3 - 3x2 - 9x + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
 	2) Tìm điều kiện đối với a và b sao cho đường thẳng y = ax + b cắt đồ thị trên tại 3 điểm khác nhau A, B, C với B là điểm giữa của đoạn AC. 
38. Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số với m = 1. 
 	2) Viết phương trình Parabol qua cực đại, cực tiểu của (C1) và tiếp xúc y = -2x + 2.
 	3) Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của Oy. 
39. Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 (Cm)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0) của hàm số ứng với m = 0.
 	2) Tìm điều kiện đối với a và b để đường thẳng (D): y = ax + b cắt đồ thị (C0) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho B cách đều A và C. Chứng minh rằng khi đó (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định I.
40. Cho hàm số: y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) (Cm)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 0.
 	 2) Tìm điều kiện của m để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu.
 	3) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0. 
 	4) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng