Bài tập Chuyên đề: Đại số tổ hợp, xác suất

I. Các bài toán về Chỉnh hợp, Tổ hợp và phép đếm
A. Kiến thức cần nhớ:
1. Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân
2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)
	a) Hoán vị
	ĐN: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 
Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: Pn
	Pn = n! = n(n-1)..2.1
	P1 = 1; 	Quy ước: P0 = 0! = 1
	b) Chỉnh hợp
	ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử (của tập A). 
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: 
; Quy ước 
	c) Tổ hợp
	ĐN: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử 
Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: 
	; Chú ý: 	
	TChất: 
B. Bài tập
Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số Pn; ; 
Bài 1. Giải các PT, BPT:
a) 	ĐS: n = 6.
b) 	ĐS: n 2.
c) 	ĐS: n = 5.
d) 	ĐS: n = {3; 4}
Bài 2. Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0
	ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3).
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức nếu . ĐS: 3/4
Bài 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. 	ĐS: A có 18 phần tử.
Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
Bài 5. Có 6 phong bì thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau. Người ta chọn và dán 3 tem lên ba bì thư, mỗi bì thư gián một tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? ĐS: 1200 cách 
Bài 6. (ĐH K D - 2004)
	Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hởi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. 	ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra.
Bài 7. (ĐH K B - 2005)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.	ĐS: 
Bài 8. (ĐH K D- 2006)
	Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS: 225 cách 
Bài 9. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
	ĐS: 90 cách
Bài 10. Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số?
	ĐS: 64 cách
Bài 11. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật.	ĐS: 150 cách
Bài 12. Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có một nam sinh tên là Cường, và một nữ sinh tên Hoa). Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và Cường. Hỏi có bao nhiêu cách lập?	ĐS: 260 cách.
Bài 13. Cho hình thập giác đều. 
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó?	ĐS: 50 tam giác
Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác? ĐS: 10
Bài 14. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau. 	ĐS: 360 số
Bài 15. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau:
Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường.
Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường.
ĐS: 1) 2.6!.6! 	2) 12.10.8.6.4.2.6!
II. Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton
A. Kiến thức cơ bản
Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên dương ta có:
	 	(1)
Số hạng thứ k+1 là Tk+1 = 	0 k n	(2)
Khai triển đặc biệt: 	(3)
B. Bài tập
Các bài tập về hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Bài 16. (ĐH KB - 2007)
	Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng 
 	ĐS: n = 11, hsố = 22
Bài 17. (ĐH KD - 2007)
	Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 	ĐS: 3320
Bài 18. (ĐH KA - 2006)
	Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng .	ĐS: n =10, hsố = 210.
Bài 19. (ĐH KA - 2004)
	Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
	P = 	ĐS: 238.
Bài 20. (ĐH KD - 2004)
	Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
	 với x > 0.	ĐS: 35.
Bài 21. (ĐH KD - 2003)
	Với n là số nguyên dương, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. Tìm n để a3n-3 = 26n. 	ĐS: n = 5.
Bài 22. Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển ĐS: 8 và 4536.
Bài 23. Xét khai triển (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + +a9x9. Tìm Max{ai, i = 1, 9}	ĐS: a5=a6.
Bài 24. Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 + +anxn. Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10.
III. Xác suất
A. Tóm tắt lí thuyết (SGK)
B. Bài tập
Bài 25. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau:
Lấy được ba viên bi màu đỏ.
Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ. 	ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220.
Bài 26. Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để 
Có 4 khách nam và 2 khách nữ.
Có ít nhất hai khách nữ.	ĐS: 1)3/7;	2) 27/42.
Bài 27. Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1toa có 1 người, hai toa còn lại không có người nào trong 4 người đó.	ĐS: 3/16.
Bài 28. Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó. 	ĐS: 2/3.
Bài 29. Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn.	ĐS: 13/18.
Bài 30. Người ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn sách cùng loại giống nhau) để làm giải thưởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh được hai cuốn sách khác loại. Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo. Tìm xác suất để hai bạn đó có giải thưởng giống nhau. 	ĐS: 5/18.
Bài 31. Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6 viên bi màu trắng, 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết kết quả lấy bi ở mỗi hộp là độc lập, tính xác suất của biến cố lấy được
1) A = “ hai bi cùng màu”
2) B = “ hai bi khác màu”	ĐS: 
 Bài 32. Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng thưởng. Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất để có hai vé trúng thưởng.	 	 
Bài 33. Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi. Biết khả năng đỗ của mỗi người tương ứng là 90% và 70%. Tìm xác suất của các biến cố sau:
Cả hai đều đỗ.
Có ít nhất một người đỗ.
Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt. 	ĐS: 1) 63%; 	2) 97%;	3) 27%.
Bài 34. Một xạ thủ được bắn hai viên đạn, xác suất bắn được điểm 10 của mỗi lần bắn là 0,7 và 0,9. Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10. 
Bài 35. Một xạ thủ được bắn 3 viên đạn. Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 điểm là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng dưới 8 điểm là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. (các vòng bắn độc lập với nhau). ĐS: 0,0935.