Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

đề 1
Câu 1: Cho a = n3 - 7n – 6 
 a, Phân tích A thành nhân tử b, Tìm n để A = 0
Câu 2: (4 điểm): Cho phân thức 
Rút gọn P
Chứng minhphân thức trên không phụ thuộc vào x, có nghĩa với mọi x và a
Câu 3: 
Cho Chứng minh rằng 
Giả sử a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các số khác 0 thoả mãn điều kiện :
 và 	 Chứng minh rằng 
Câu 4: Giải phương trình:
 a, (x - 7) (x - 5) (x – 4)(x - 2) = 72 b, 
Câu 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD, BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng a, EF//AB b, AB2 = CD.EF
Đề 2
Bài 1: Cho biểu thức	
	a. Rút gọn B	b. B có thể nhận giá trị bằng –1 được không? Vì sao?
Bài 2: Cho a, b, c thoả mãn (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2)
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P = a2 + (a + 2).(b + c) + 2005.
Bài 3: Cho phương trình.	
	Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm không nhỏ hơn 1.
Bài 4: Cho DABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Lần lượt trên AB, AC bên ngoài DABC các tam giác vuông cân ABD tại D và ACE tại E.
a. Chứng minh: A, E, D thẳng hàng.
b. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh DDEI vuông c. Tính SBDEC
d. Đường thẳng DE cắt CB tại K. Tính.
Đề 3
Bài 1: Tìm các số x, y, z thoả mãn cả hai đẳng thức 
 x2 +y2 + z2 = xy + yz + zx và x2005 + y2005+ z2005 = 32006
Bài 2 . Cho số a=11...1 ( 2n chữ số 1 ) và số b= 44...4 ( n chữ số 4)
Chứng minh rằng a+ b + 1 là số chính phương 
Bài 3. a. Rút gọn biểu thức 
A= ( 
 b. Cho x+y +z ≠ 0 và .
 Chứng minh rằng : 
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn dựng ra ngoài tam giác đó các hình vuôngBC E F, ABMN, ACGH, các hình bình hành BFKM, CEVG, A NRH. Gọi I là trung điểm của đoạn NH. Chứng minh rằng 
a. AI vuông góc với BC b. Tam giác AKV là tam giác vuông cân
đề 4
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 6x3 + 11x2 – 25x – 42. b) a3(c – b2) + b3(a – c2) + c3(b – a2) + abc(abc + 1)
Bài 2: Chứng minh rằng a7 – a chia hết cho 7 với mọi số nguyên a.
Bài 3: Cho M = (2001x – 2003y)3 + (2003y – 2005z)3 + (2005z – 2001x)3, (x,y,z ạ 0). Chứng minh rằng M = 0 nếu xảy ra một trong các tỷ lệ thức sau: 
Bài 4: Cho x > 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng là 1 số nguyên. Tìm số nguyên đó.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC. 
a) Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A.b) tam giác DEH là tam giác gì?
c) Tứ giác BDEC là hình gì? d) Chứng minmh rằng BC = DC + CE.
Đề 5
Bài 1: 
1. Cho hai số x và y thoả mãn x + y =1 và x2 + y2 =2 . Giá trị của x4 + y4 là :
A: 3	 ; 	B:	3, 5	 ; 	C: 4	 	; 	D : 4,5
2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (2x -1) (2x + 3) bằng :
A: -4	 ; 	B:	- 5	 ; 	C: -3	 	; 	D : 0
3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để có giá trị nguyên.
A: 3	 ; 	B: 2	 ; 	C: 4	 ; 	D : một đáp số khác
4. Rút gọn phân thức P = ta được P = thế thì a + b bằng:
A: 1	 ; 	B:	- 1	 ; 	C: -3	 	; 	D : 10
Bài 2: 1. Đặt hai tam giác bằng nhau có ba góc 300 ; 600 ; 900 sao cho cạnh huyên trùng nhau nhưng chúng chỉ có một phần chồng lên nhau. Biết cạnh huyền có độ dài 12, diện tích phần chung của hai tam giác là:
A. 	B. 	C. 	D. 
2. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 200cm2 . M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Diện tích D BMN bằng:
A. 70cm2; B. 75cm2; C. 80cm2	; D. Một kết quả khác
Bài 3: a, Chứng minh với mọi số nguyên dương n ³ thì n2 > n + 5
b, Chứng minh rằng nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau . áp dụng tính giá trị lớn nhất của biểu thức: với x > 0 ; y > 0 và x + y = 10
Bài 4: Giải phương trình 
Bài5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 14cm , BC = 6cm. Trên các cạnh AB, CD, DA lần lượt lấy các điểm M , N , P , Q sao cho AM = AQ = CN = CP . Xác định các điểm M , N , P , Q để:
a. Tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
b. Tứ giác MNPQ là hình thoi. Tính diện tích hình thoi
đề 6
Bài 1: 1)Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ x4 + 2x2 - 3 b/ x4 + x2 + 1
2) a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của : 4x2 - 8x + 1
 b/ Tìm giá trị lớn nhất của : 
Bài 2: 1/ Tìm n để: - 2005 xn+1 y5 chia hết cho 2004x4yn
 2/ Xác định đa thức f(x) thoả mẵn:
 a) chia x - 1 dư 4 b) chia x+ 2 dư 1
 c) chia (x -1)(x + 2) thương là x2 và dư.
Bài 3: Cho: 
 Tính giá trị của biểu thức: P = 
Bài 4: Cho DABC cân tại A. Lấy E thuộc đoạn AC . Kéo dài AC , chọn điểm N sao cho EN = AC . Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của BN và AE. Chứng minh PQ song song với đường phân giácgóc BAC.
Đề 7
Bài 1 Tính giá trị của biểu thức sau bằng các cách thich hợp 
a, x5 - 100 x4 +100x3 -100x2 -100x -9 .Tại x=99
b, x4 -100x3 +100x2 -10x +....+10x2 -10x +10 .Tại x=9
Bài 2 Cho f(x)= ax2 +bx +c 
Chứng minh :f(x+3) -3f(x+2) +3f(x+1)-f(x) =0
Bài 3 a, Xác định các hệ số a,b,c biết rằng: (2x+5) (3x+b) =ax2 +x+c
b, Biết a(a+2) +b(b-2) -2ab =63.Tính a-b
Bài 4 Cho x+y+z =0 Chứng minh rằng :x3 +y3 +z3 =3xyz
Bài 5 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=25x2 +3y2 -10x +1
Bài 6 Cho tam giác nhọn ABC; H là trực tâm , M là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với MH ,cắt AB, AC thae thứ tự ở E ,F. Trên tia đối của HC lấy D sao cho HD=HC .Chứng minh E là trực tâm của tam giác DBH và HE=HF
Đề 8
Bài 1 So sánh A và B biết A=(3+1)(32+1)(33+1)(34+1)(38+1)(316+1) 
B=332
Bài 2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x2 +x)2 -14(x2+x)+24 b) (1+2x)(1-2x)-x(x+2)(x-2)
Bài 3 Cho A+B+C+D = 0. Chứng minh: A3+B3+C3+D3 =3 (A+B)(CD-AB)
Bài 4 Tìm các giá trị x,y nguyên dương sao cho: x2 -y2 -2y=13
Bài Tìm các hằng số a và b sao cho x3+ax+b chia cho x+1 thi dư 7 , chia cho x-3 thì dư (-5)
Bài 6 1) Cho tứ giác ABCD có góc A =80o , góc B=40o AD=BC . Gọi E,F,M,N thứ tự là trung điểm của AB,CD ,BD và AC
a) chứng minh rằng : tứ giác EMFN là hình thoi 
 b) Tính các góc của hình thoi đó
2) Cho hinh vuông ABCD , một đương thẳng xy quay xung quanh điểm O (
 O là tâm hình vuông )và không đi qua đỉng nào của hình vuong. 
Hạ AA' , BB' ,CC' và DD' lần lượt vuông góc với xy
Chứng minh rằng AA'2+BB'2 +CC'2+DD'2 có giá trị không đổi
Đề 9
Bài 1 :(2điểm ) a , Phân tích a 4+4 thành nhân tử 
b, Hãy tính : B = 
Bài 2 (2điểm ) Cho a+b+c= 0 và abc
Rút gọn biểu thức :C =
Bài 3 :(2điểm )Chứng minh rằng nếu x=; y=; z=
thì (1+x)(1+y)(1+z) =(1-x)(1-y)(1-z)
Bài 4 (2,5 điểm)Cho hình chữ nhật ABCD có góc BDC=300. Qu C kẻ đương vuông góc với BD, cắt BD ở E và cắt taiphân giác của gócADB ở M
a, Chứng minh rằng: AMBD là hình thang cân
b, Gọi M là hình chiếu của M trên DA; K là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng 3 điểm N,K,E thẳng hàng
Bài 5 Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 1. Trên MN và MQ lấy các điểm E và F sao cho chu vi tam giác MEF bằng 2.Chứng minh góc EPF bằng 450 
Đề 10
Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử 
a,x3 +x+2 b,12x2-12xy+3y2-10(2x-y) +8
Bài 2 a, Tính giá trị của biểu thức A= Biết x2 -4x+1=0
b, Cho xyz=1 .Hãy tínhtổng sau: 
Bài 3 Rút gọn biểu thức A=
Bài 4 Tìm giá trị nguyêncủa x để giá trị tương ứng của phân thức sau cũng là số nguyên: 
Bài5: Cho tam giác đều ABC đường cao AD, H là trực tâm của tam giác ,M là mộy điểm bất kì thuộc BC,gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M lên AB,AC. Gọi I là trung điểm của AM a, Tứ giác DEIF là hình gì?Vì sao?
b, Chứng minh ác đường thẳng MH,TD,EF đồng quy
c,Xác định vị trí của điểm M trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất
Đề 11
Bài 1 (2,5điểm ) Giải các phương trình sau 
a)
b) c)(x2-1)2=4x+1
Bài 2: Giải phương trình với a là hằng số 
Bài 3 Một bể nước có hai vòi :một vòi chảy vào đặt ở miệng bể ,một vòi chảy ra đặt ở lưng chừng bể .Khi bể cạn ,nếu mở cả hai vòi thì sau 2giờ 42phút bể đầy nước .Còn nếu đóng vòi chảy ra ,mở vòi chảy vào thì sau một giờ 30 phút bể đầy nước .Biết rằng vòi chảy vào mạnh gấp 2lần vòi chảy ra .
a)Tính thời gian nước chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nước ngang chỗ đặt vòi chảy ra ?
b)Nếu chiều cao bể là 2m thì khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy ra đến đáy bể
là bao nhiêu ?
Bài 4:Cho tam giác ABC ,Gọi Dlà trung điểm của AB .Trên cạnh AC lấy điểm éao cho AE=2EC .Gọi Olà giao điểm của CDvà BE .Chứng minh rằng :a)Diện tích tam giác BOCbằng diện tích tam giác AOC b)BO=3OE 
Bài 5 Cho hình chữ nhật ABCD .một điểm M nằm trong hình chữ nhật và điểm N nằm ngoài hình chữ nhật đó sao cho AN= CM ;DN=BM 
Chứng minh : a) Diện tích tứ giác AMDN =diện tích tứ giác ABCD 
b)AB .BC Ê AM.CM +BM .DM 
Đề 12
Bài 1. 1) Giải phương trình a) |x-4| + |x-9|=5 b)x(x+1)(x-1)(x+2)=24
2) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm x4 -2x3 +4x2-3x+2=0
Bài 2 a, Cho x+4y=1. Chứng minh rằng : x2+4y2 
b, Chứng minh rằng : Nếu 2a > b > 0 thì 4a > b
 Bài 3(1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 4 Cho tam giác ABC , điểm O nằm trong tam giác. Dựng qua O các đường thẳng OE , OF ,MN tương ứng song song với AB ,AC,BC sao cho F,MAB ,EBC,NAC Chứng minh rằng ++=1
Bài 5( điểm) Cho hình bình hành ABCD có AC>BD .Hạ CE ^AB,CF^AD
Chứng minh tam giác CEF ~ tam giác BCA 
 Chứng minh AB.AE+ AD.AF=AC2
Đề 13
Bài 1 : (4 điểm) Cho A = 
a, Rút gọn A b, Tìm x để A = x – 3 c,Tìm x Z để A là số nguyên
Bài 2 : (3 điểm)
Chứng minh rằng mọi số nguyên lẻ đều viết được dưới dạng hiệu hai số chính phương
b, Cho A = So sánh A với 1
Bài 3(5điểm) : 
Tìm số a , b để đa thức x3 + ax2 + bx – 5 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
Giải phương trình tham số a : (1)
Bài 4(2điểm) :Tứ giác ABCD là hình gì nếu mỗi đường chéo của nó chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau . Hãy chứng minh .
Bài 5(6điểm) : Cho hình vuông ABCD .Gọi M , N lần lượt là các điểm nằm trên cạnh AB , BC sao cho BN = BM .Đường thẳng qua B vuông góc với MC cắt MC , AD lần lượt tại H và K .
Tứ giác NCDK là hình gì ? Chứng minh . b, Tính góc DHN
c, Khi M , N lần lượt là trung điểm của AB , BC . Chứng minh DHC cân 
Đề 14
Bài 1: 1) Cho A= x3 – 6n + 9n – 2 a, Phân tích A thành nhân tử
Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức A là số nguyên tố 
Cho a+ b = 5 , a.b = 6 Tính giá trị của biểu thức M= a5 + b5
Bài 2: 	1,a, Xác định các số a và b sao cho ax3 + bx –24 chia hết cho (x +1)(x +3)
b, Tìm những giá trị nguyên của x để giấ trị biểu thức 
x3 – 3x2 –3x –1 x2+ x+1 giá trị biểu thức
	2,a, Chứng minh rằng n5 –5n3 + 4n 120 với "n ẻZ
 b, Tìm mọi giá trị n nguyên dương để 2n -17
Bài 3:	Cho DABC đều, các đường cao AH và BK cắt nhau tại O. Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AC, I và D thứ tự là trung điểm của các đoạn thảng HE và CE, AI cắt BK tại F
Tính góc HOK b, Chứng minh : ID ^ AH, AI ^ HD
c, Chứng minh rằng : Tứ giác EFOH là hình thang cân
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 trên AB và AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. Tính góc PCQ
Đề 15
 Bài 1: Cho a, b, c ≠ 0., a + b + c ≠ 0 . Thoả mãn Chứng minh rằng trong ba số a, b, c luôn tồn tại hai số đối nhau 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x8 + x4 + 1 b. ( x+ 1) ( x+ 2) ( x+ 3) ( x+ 4) - 24 
Bài 3 : Tìm a để 3x2 + ax + 2 chia cho x - 2 dư 5 
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB, C thuộc AB . Trên nửa mặt phẳng dựng hai tam giác đều DAC và ECB. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của AC, DB, CE, AF chứng minh tứ giác NMPQ là hình thang cân 
Đề 16
Bài 1 (4 điểm) Cho phõn thức A=.
 a)Tỡm điều kiện của x để A c ... Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) b) 
Bài 3: (2 điểm)a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số: tối giản.
b) Tìm số nguyên n để chia hết cho 
Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE, cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF, AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh rằng chi vi tam giác CEM không đổi khi E chuyển động trên BC.
Bài 5: (1 điểm)Tìm a để P = a4 + 4 là một số nguyên tố.
Đề số 43
Bài 1: ( 2điểm) hân tích đa thức thành nhân tử: 
a) b) 
Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức và cho biếtP(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51.
Tính P(6) ; P(7) ; P(8).
Bài 3: (2 điểm) Giải phương trình: 
a) b) 
Bài 4: (2 đ)Dùng hai can 4 lít và 2,5 lít làm thế nào để đong được 3 lít rượu từ một can 6 lít đựng đầy rượu (các can không có vạch chia độ). 
Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
Đề số 44
Bài 1: (2 điểm)a) Phân tích thành nhân tử: 
b) Tìm các cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: 
Bài 2: ( 2điểm) Giải phương trình: 
a) 
b) 
Bài 3: ( 2 điểm)Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Newtơn của đa thức: 
Bài 4: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó bằng luỹ thừa bậc bốn tổng các chữ số của nó.
Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng: 
Đề số 45
Câu 1: ( 2 điểm)Phân tích thành nhân tử: 
a) b) 
Câu 2: ( 2 điểm)Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: 
Câu 3: ( 2 điểm)Cho . Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 4: (2 điểm)Cho x, y, z > 0 và xyz =1 . Chứng minh rằng:
Câu 5: ( 2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: . 
Tìm GTNN của biểu thức: 
Đề 1
Bài 1. Cho x,y ,z thoả mãn xy + yz + xz = 1
Chứng minh rằng: 
Bài 2.Tìm min của 
Bài 3. Giải hệ phương trình: 
Bài 4. Cho r, ha , hb , hc là bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài các đường cao từ A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
Bài 5.a, Tìm m để phương trình x2 -2x - m | x-1| +m2 =0 có 4 nghiệm phân biệt
b, Tìm nghiệm nghuyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y- 15 = 0
Bài 6. Với a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác; x, y, z là độ dài các đường phân giác trong tương ứng với các cạnh đó. Chứng minh rằng: 
Bài 7a, Tìm x, y, z, t thoả mãn 
b, Chứng minh rằng: Không thể viết một số thành tổng các bình phương của nghịch đảo các số tự nhiên khác nhau.
Bài 8. Chứng minh rằng: x, y là số nguyên thoả mãn 2x2 + x = 3y2 + y thì x - y, 2x + 2y + 1 đều là các số chính phương.
Bài 9. Cho nửa đường tròn đường kính .AB và tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, kẻ CH vuông góc AB. Chứng minh rằng: MB đI qua trung điểm CH.
Đề 2
Bài 1. a Cho 
b. Giải hệ phương trình: 
Bài 2. Tìm x, y, z € Z+ thoả mãn 
Bài 3. Đường thẳng d cắt (o) tại A, B . Lấy M thuộc đoạn AB , vẽ hai đường tròn qua M và tiếp xúc với (o) tại A, B. Tìm hệ thức liên hệ giữa các bán kính của ba đường tròn?
Bài 4. Cho tam giác ABC và Q thuộc miền trong của tam giác . Qua Q kẻ các đường thẳng song song với AB cắt AC, BC tại M, N; song song với AC cắt AB, BC tại F, E; song song với BC cắt AB, CC tại R, P. Gọi S1 = SQMP, S2= SQEN, S3= SQFR, S = SABC. Chứng minh rằng: 
Bài 5. Chứng minh rằng: Nếu phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có hai nghiệm thực x 1, x2 thì 
Bài6. Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là 
Bài 7. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm?
Bài 8. Tìm f(x) và g(x) biết chúng thoả mãn hệ phương trình sau với mọi x 
Đề 3
Bài 1. Tìm a, b, c € Z , abc ≠ 0. để hệ phương trình có nghiệm nguyên
Bài 2. Cho tam giác ABC có diện tích S . Ba đường thẳng // với các cạnh của tam giác tạo thành tam giác MNK có diện tích S' , đồng thời tạo với các cạnh tam giác ABC 6 tam giác có các đỉnh A, B, C, M, N, K có diện tích là S1, S2, S3, S4, S5, S6 . Chứng minh rằng: 
Bài 3. Tìm min A = x100 - x10 + 10 x € R
Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, lấy D trên cung AB, C nằm giữa OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DC cắt Ax, By tại E, F. M, N là giao của EC và AD, BD và CF. Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp tam giác EMD và DNF tiép xúc với nhau.
Bài 5. Cho a, b, c > 0, a+ b+ c =1 Tìm min 
Bài 6. Cho a, b, c thoả mãn 
Bài 7. Giải phương trình: 1 + x + x2 + . + x2009 + x2010 = 0
Đề 4
Bài 1. Giải hệ phương trình, phương trình sau:
Bài 2. Tính 
Bài 3. a. Chứng minh : A= 111 - 222 là số chính phương
 ( 2n số 1, n số 2)
b. Cho B = 999 ( 2010 số 9) . So sánh tổng các chữ số của B và B2
Bài 4. a. Chứng minh rằng: Nếu a3 + b3 = 2 thì 0 < a + b ≤ 2
b. Có hay không số tự nhiên vừa là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp vừa là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp?
Bài 5. Chứng minh rằng: với x, y, z thoả mãn 
thì một trong ba số x, y, z phải bằng a?
Bài 6. Tìm Min, Max của x thoả mãn 
Bài 7.a. Chứng minh nếu thì 
b. Giải phương trình: 
Bài 8. Cho f(x) = ax4 + bx3 +cx2+ dx +e , a,b,c,d,e là số nguyên
Khi x = 0, x= 1 thì f(x) là số lẻ. Chứng minh rằng: f(x) = 0 vô nghiệm.
Bài 9. ai > 0 thoả mãn Tìm n € N*
Đề 5
Bài 1. a,Giải hệ phương trình: 
b, Cho a, b, c >0 và abcd = 1. Tìm min 
Bài 2. Cho x, y, z thoả mãn 
Bài 3.a, Cho a + b = c, a, b , c > 0 Chứng minh rằng: 
b,Cho c là cạnh huyền tam giác vuông. Chứng minh : an + bn > cn (n > 2)
c, Giải phương trình: 3x + 4x = 5x
Bài 4. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + .+ n(n+1)(n+2) n € N
Chứng minh rằng: 4S + 1 là số chính phương
Bài 5. Cho 3 cạnh là a, b, c. Tìm dạng tam giác nếu 
Bài 6.a, Cho 3 số 0 1; b(2 - c) > 1; c(2 - a) > 1
b. Tìm min A = | x - 1| + | x - 2| + . + | x - 2009 |
c. Cho phương trình: x2 - 6x + 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Đặt S = x1n + x2n 
Chứng minh rằng: Sn là số nguyên với mọi n € N* ( Sn+2 = 6Sn+1 - Sn )
Bài 7. Giải phương trình: 
Bài 8. Cho tam giác ABC nhọn , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Lấy O thuộc miền trong của tam giác. Gọi x, y, z là khoảng cách từ O đến các cạnh BC, CA, AC của tam giác. Chứng minh rằng: 
Đề 6
Bài 1: Cho 
a.Rút gọn A. b.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0
a.Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có nghiệm.
b.Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.
c.Xác định m sao cho phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
Bài 4: Cho đường tròn (O ; R), M là một điểm nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đường tròn (O ; R) ( A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng d qua M cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của CD. Đường thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự tại các điểm E, F, K.
a.Chứng minh rằng OE. OM = OK. OI = R2
b. Khi đường thẳng d không đi qua O. Chứng minh OECD là tứ giác nội tiếp.
c. Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm. Tính MB?
Bài 5: Cho p = là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình a2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu tỷ.
Câu 6: Rút gọn biểu thức:
Đề 7
Câu 1. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 999. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z: Câu 2. Cho biểu thức:
a.Tìm giá trị thích hợp của x? b. Rút gọn A. c. Chứng minh : A 
d. Tính giá trị của A biết 
Câu 3. Giải hệ phương trình:
Câu 4. Cho đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại M. Kẻ 1 tiếp tuyến chung ngoài NP ( )
a.Tính góc NMP và tính NP?
b.Gọi Q là giao điểm của PM với đường tròn (O) (Q khác M). Chứng minh rằng : ba điểm N, O, Q thẳng hàng.
c.Tính MN? MP?
d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đường tròn (O), kẻ AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm). Chứng minh rằng: Khi điểm A di động trên tia MQ ( ở miền ngoài (O) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua 2 điểm cố định.
Bài 5. Tính:
biết 
Bài 6. Cho hệ phương trình:
Giải và biện luận hệ phương trình.
Chứng minh rằng : khi hệ phương trình có nghiệm (x; y) duy nhất thì M(x; y) luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 7. Cho phương trình : 
Tìm k để phương trình có nghiệm.
Giả sử x1, x2là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =x12+x22.
Với các giá trị nguyên nào của k thì phương trình đã cho có nghiệm là một số nguyên.
Đề 8
Bài 1. Rút gọn biểu thức sau:
a. với 
b. 
Bài 2. Giải phương trình:
Bài 3: Cho phương trình ẩn x:
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Với điều kiện nào của a, b thì 2 nghiệm đó là hai số đối nhau.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. tính: theo a, b.
Chứng minh Q
Giả sử trong hai nghiệm x1, x2 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1. Chứng minh: 
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
Bài 5. Cho đường thẳng d, trên d lấy 2 điểm phân biệt M và N. Kẻ tia Nx . Trên tia Nx lấy một điểm O sao cho NO = 1/2MN. Tia MO cắt đường tròn (O; ON) ở A và B. ( M và O nằm ở 2 phía của A). Đường tròn (M; MA) cắt MN ở C.
Chứng minh: AB2 = MA. MB
Chứng minh : MC2 = CN. MN
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt d ở E. Từ M và E kẻ các tiếp tuyến MP và EQ với đường tròn (O), ( P và Q là các tiếp điểm khác N). Chứng minh rằng : MP. EQ = 1/4PQ2.
Dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại M và tiếp xúc với đường tròn (O).
Câu 6. Cho biểu thức :
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của A biết: 
Bài 7. Cho hình thang vuông ABCD ( Â = D = 900). Tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD.
Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA).
Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn tâm I nói trên, K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: KH //DC.
Kẻ đường thẳng vuông góc với DA tại I, cắt BC tại E. Nối DE. Gọi F là giao điểm của tia AB và tia DE. Chứng minh:
Dựng đường tròn tiếp xúc với DC tại C và tiếp xúc với đường tròn (I; IA) 
Đề 9
Bài 1: Cho:
Rút gọn A, B.
Với giá trị nào của x thì A + B = 0.
Bài 2. Cho hệ phương trình:
Giải hệ phương trình với m = -1
Xác định m để phương trình có nghiệm. 
Bài 3. Cho p là một số thực sao cho x2 -3px - p = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào p.
Chứng minh rằng: 3p x1 + x22 - p > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định ( d ngoài (O)). Gọi A là chân đường cao hạ từ O xuống d. Từ một điểm E trên d kẻ các tiếp tuyến EP, EQ với (O). Dây cung PQ cắt OA tại Ivà cắt OE ở K. Gọi B là giao điểm thứ hai của AP với (O; R). Tiếp tuyến của (O) tại B cắt đường thẳng d tại C.
Chứng minh các điểm O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh: AC = AE
Chứng minh: OI. OA = R2
Khi điểm E di động trên d thì K chuyển động trên đường nào? Vì sao?
Bài 5: 
Với , chứng minh: . Tìm x để đẳng thức xảy ra.
Giải phương trình: 
Bài 6:Cho hình vuông cạnh a. Trên cạnh AD; CD lấy M, N sao cho góc BMN = 450. BM và BN cắt AC lần lượt tại E, F.
Chứng minh rằng: 5 điểm M, E, F, N, D cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh rằng: 
Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm của BH và MN. Tính BI theo a.
Xác định vị trí của M, N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.