Bài ôn tập tổng hợp số 1 môn Toán 12

Bài ôn tập tổng hợp số 1
Cho hàm số: y = (Hm)
ă Phần 1: Trong phần này cho m = 1
  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (H1) 
 ‚ Đồ thị (H1) đi qua những điểm nào có toạ độ nguyên?
 ƒ Bằng đồ thị, biện luận theo a số nghiệm phương trình:
 „ Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x thoả mãn 
 0 Ê x < p ; 
 … Chứng tỏ đường thẳng d: y = -x + k luôn cắt (H1) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất.
 † Tìm trên đồ thị (H1) điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất. 
 ‡ Chứng minh trên (H1) có vô số cặp điểm tại đó 2 tiếp tuyến song song với nhau.
 ˆ Cho đường thẳng (D): y = ax + b tiếp xúc với (H1) và 2 tiệm cận lần lượt tại M và N. Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. Chứng minh tiếp điểm là trung điểm đoạn thẳng MN và diện tích DIMN không phụ thuộc a, b. Tìm a, b để khoảng cách từ I đến (D) lớn nhất.
 ‰ Từ đồ thị (H1) hãy suy ra đồ thị các hàm số sau đây:
 a) b) c) 
 Š Tìm tập hợp các điểm M(x, y) sao cho:
 a) b) 
â Phần II: Phần này m là tham số tuỳ ý.
 u Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến.
 v Chứng minh rằng (Hm) có tâm đối xứng. Tìm quỹ tích tâm đối xứng khi m thay đổi.
 w CMR đồ thị (Hm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định
 x Tìm điểm cố định mà mọi đồ thị (Hm) đều đi qua.
 y Tìm các điểm trên đường thẳng x = 2 mà (Hm) không đi qua
 z Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm mà họ (Hm) không đi qua.
 { Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của (Hm) với trục Ox, tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y + 10 = x. Viếp phương trình tiếp tuyến đó.
Bài ôn tập tổng hợp số 2
Cho hàm số: y = (Hm)
ó Phần I: Cho m = 0
 i Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H0) của hàm số. 
 j Viết phương trình tiếp tuyến của (H0) vuông góc với tiệm cận xiên.
 k Biện luận theo tham số t số nghiệm x ẻ [0; p) của phương trình: sin2x + (t - 2)cosx + t - 3 = 0
 l Tìm những điểm trên (H0) đối xứng nhau qua điểm A(0; 3).
 m Tìm những điểm trên (H0) có toạ độ nguyên.
 n Xét đường thẳng (dk): y = -x + k. Biện luận theo k số điểm chung của (dk) và (H0), tìm trong họ đường thẳng (dk) là tiếp tuyến của (H0) và tiếp điểm tương ứng. Trường hợp (dk) và (H0) có 2 giao điểm A và B, hãy tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng của AB khi k thay đổi. Tìm k để (dk) cắt (H0) tại 2 điểm đối xứng nhau qua đường thẳng y = x - 1.
 o Tìm các giá trị t sao cho trên (H0) có hai điểm R và S thoả mãn: 
 CM khi đó R và S thuộc cùng một nhánh đồ thị.
 p Gọi (ta) là tiếp tuyến của (H0) tại điểm có hoành độ a. Tìm phương trình (ta). Tìm a để (ta) qua điểm A(0; 0), chứng minh có 2 giá trị a thoả mãn yêu cầu đề bài và khi đó 2 tiếp tuyến tương ứng vuông góc. 
 q Tìm quỹ tích điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc đến (H0).
 r Tìm điểm trên trục Ox sao cho từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (H0).
 s Tìm điểm trên (H0) sao cho tổng khoảng cách từ đó đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất.
ó Phần II: Cho m = -1
 j Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. Từ đồ thị (H) hãy suy ra đồ thị (H*) của hàm số: y = 
 k Tìm điểm trên (H) cách đều 2 trục toạ độ.
 l Tìm điểm trên (H) sao cho khoảng cách từ đó đến Oy bằng 2 lần khoảng cách từ đó đến Ox.
 m Tìm trên mỗi nhánh của (H) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là ngắn nhất. Chứng minh khi đó 2 điểm tìm được thuộc về phân giác góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của (H).
 n Chứng minh (H) có một tâm đối xứng I.
 o Lấy M ẻ (H), gọi P, Q là giao điểm của tiếp tuyến tại M với 2 tiệm cận. Chứng minh: 
 a) M là trung điểm PQ
 b) Diện tích DIPQ là hằng số (I là giao điểm 2 tiệm cận). Tích 2 khoảng cách từ M đến2 tiệm cận là hằng số 
 p Tìm trên Ox những điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị (H) hai tiếp tuyến hợp với nhau 1 góc 450.
ó PHần II: Phần này m là tham số tuỳ ý.
 u Tìm m để (Hm) không có tiệm cận đứng. Vẽ đồ thị 
 v Tuỳ theo m khảo sát sự biến thiên của hàm số. 
 w Tìm m để hàm số đồng biến trong (1; +Ơ).
 x Tìm m để y có cực đại và cực tiểu. Gọi y1 và y2 theo thứ tự là giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm quỹ tích điểm cực đại và cực tiểu của (Hm). chứng minh rằng:
 . Tìm m để .
 y Tìm m để điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y = -x.
 z Tìm m để (Hm) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
 {Tìm m để tiệm cận xiên của (Hm) cắt hệ trục theo 1 tam giác có diện tích bằng 8 đvdt.
 | Tìm m để (Hm) tiếp xúc với đường thẳng y = 1.
 } Tìm m để đường thẳng y = m cắt (Hm) tại 2 điểm E, F sao cho: a) OE ^ OF b) EF = 2.
 ~ Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Hm). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cố định. Tìm điểm mà mọi đồ thị họ (Hm) không đi qua.
Bài ôn tập tổng hợp số 3
Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
' Phần I: Cho m = 0.
 j Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C0) của hàm số. 
 k Chứng minh (C0) có một tâm đối xứng.
 l Biện luận theo tham số k (k ạ 0) số nghiệm phương trình:
 x3 + 3x2 + 1 = 2.
 m Viết phương trình tiếp tuyến của (C0) kẻ từ điểm (1; 5).
 n Tìm tất cả đường thẳng qua A(-1; 3) và cắt (C0) tại 3 điểm phân biệt.
 o Tìm trên đường thẳng y = 1 các điểm từ đó kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc. 
' Phần II: Cho m = 3
 j Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C3) của hàm số. 
 k Viết phương trình tiếp tuyến của (C3) biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ.
 l Tìm diện tích hình phẳng D giới hạn bởi (C3) và các hệ trục. 
Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho D quay quanh Ox?, D quay quanh Oy?
' Phần III: Phần này m là tham số tuỳ ý. 
 j Chứng tỏ (Cm) luôn đi qua điểm cố định. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm cố định này. Tìm m để tiếp tuyến qua O.
 k Tìm trên (P): y = 3x2 - 2x + 4 các điểm mà mọi đồ thị (Cm) đều không đi qua.
 l Tìm m để hàm số đồng biến khi x ³ 2.
 m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Gọi x1, x2 là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm quỹ tích điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Tìm m để x1 + 2x2 = 1.
 n Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm tạo thành một cấp số cộng.
 o Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = x tại 3 điểm L, M, N sao cho LM = MN.
 p Chứng tỏ (Cm) và (H): y = x3 + 2x2 + 7 luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.
 q Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 5x + m.
 r Biện luận theo m số điểm chung của (Cm) và (d): y = 1. Trong trường hợp (Cm) và (d) có 3 điểm chung E(0; 1), F và G, tìm m để tiếp tuyến tại F và G vuông góc.
 s Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến luôn qua O. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài ôn tập tổng hợp số 4
Cho hàm số: y = x4 + 4ax3 + bx2 + a(a - 1)x + 1 - 2a
A Phần I: Cho a = 0, ta được hàm: y = x4 + bx2 + 1 
  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi b = -4 
 ‚ Gọi (dm) là tiếp tuyến của (C) tại M có hoành độ xM = m. chứng minh rằng hoành độ điểm chung của (C) và (dm) phương trình: (x - m)2(x2 + 2mx + 3m2 - 4) = 0. Tìm tất cả các giá trị m để tiếp tuyến (dm) cắt (C) tại 2 điểm phân 
biệt P, Q khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PQ khi m thay đổi.
 ƒ Xác định k để đường thẳng y = k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
 „ Tìm điểm A ẻ Oy sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). Viết phương trình 3 tiếp tuyến đó.
C phần II: Cho a = 1, ta được hàm: y = x4 + 4x3 + bx2 - 1 ()
 € Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi b = 4 
  Chứng minh có một trục đối xứng. Suy ra giao điểm của và Ox.
 ‚ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi b = 0 
 ƒ Chứng minh tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến tiếp xúc tại 2 điểm phân biệt. Viết phương trình tiếp tuyến này và cho biết hoành độ tiếp điểm.
 „ Dựa vào kết quả câu ƒ, hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 + 4x3 - 8x + m = 0. 
 … xác định b để có một trục đối xứng.
 † Xác định b để hàm số có điểm cực tiểu và không có điểm cực đại.
 ‡ Tìm b để hàm số có 3 điểm cực trị. Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm cực trị của trong trường hợp này.
 ˆ Xác định b để có 2 điểm uốn. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm uốn của trong trường hợp này.
 ‰ Xác định b để x4 + 4x3 + bx2 - 1 ³ 0 với "x ³ 1 
 Š Xác định b sao cho cắt Ox tại điểm có hoành độ lớn hơn 1.