Bài giảng Tích phân

Sở GD & Đt nghệ an 
Tr−ờng THPT Đặng thúc hứa 
∫ 6 6sin4x + cos2x dxsin x + cos x 
tích phân 
 ( ) ( )∫ ∫
6 6
8 8
x +1 - x -1dx 1 = = dx
x +1 2 x +1
I = ... 
 Giáo viên : Phạm Kim Chung 
 Tổ : Toán 
Năm học : 2007 - 2008 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
_____________________________ Tháng 12 – năm 2007 __________________________________ (Trang 1 
“ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đ−ờng, ng−ời ta đi lắm thì thμnh đ−ờng thôi ! ” 
 - Lỗ Tấn - 
 Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t− t−ởng lớn của 
một nhμ viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán lμ có hạn .. Khi tôi có ý t−ởng viết ra những điều 
tôi gom nhặt đ−ợc tôi chỉ mong sao qua từng ngμy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn 
khoăn, ngơ ngác hơn.. Vμ nếu còn ai đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi đang có những ng−ời thầy, ng−ời bạn cùng chung một niềm đam mê sự 
diệu kì Toán học . 
Thử giải một bμi toán khó... nh−ng ch−a thật hμi lòng ! 
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫
6 6
2 28 4 2
x +1 - x - 1dx 1= dx =
x +1 2 x +1 - 2x
 ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
2 4 2 2 2 4 2 2
2 2 2 24 2 4 2
x +1 x - 2x +1 + 2 -1 x x - 1 x - 2x +1 + 2 +1 x1 1dx + dx
2 2x +1 - 2x x +1 - 2x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 22 2
4 2 4 24 2 4 2 4 2 4 2
2 - 1 2 +1x +1 x x - 1 x1 x +1 1 x -1= dx + dx + dx +
2 2 2 2x + 2x +1 x + 2x +1x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 22
11+1 x= dx
2 1x - +2+ 2
x
( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ 22 2
11+ dx2 -1 x+
2 1 1x - +2 - 2 x - +2+ 2
x x ( )⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 22
11 -1 x+ dx
2 1x + - 2 - 2
x
( )
( ) ( )
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ 22 2
11- dx2 +1 x+
2 1 1x + - 2+ 2 x + - 2 - 2
x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 2
1d x -1 x=
2 1x - +2+ 2
x
( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫2 2
1 1d x - d x -2 - 1 2 -1x x+ -
4 2 4 21 1x - +2 - 2 x - +2+ 2
x x ( )
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 2
1d x +1 x+
2 1x + - 2 - 2
x
( )
( )
( )
( )
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫2 2
1 1d x + d x +2 +1 2 +1x x+ -
4 2 4 21 1x + - 2+ 2 x + - 2 - 2
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1x + - 2 - 2 x + - 2+ 22+ 2 2 - 2 2 - 2 2+ 2x x= u+ v + ln + ln +C1 18 8 16 16x + + 2 - 2 x + + 2+ 2
x x
 ( Với 1x - = 2+ 2tgu = 2 - 2tgv
x
 ) 
 (Nếu dùng kết quả nμy để suy ng−ợc có tìm đ−ợc lời giải hay hơn ?.. ) 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 2
Phần lý thuyết 
n Định nghĩa : Giả sử f(x) lμ một hμm số liên tục trên một khoảng K, a vμ b lμ hai phần tử bất kì của K, F(x) lμ 
một nguyên hμm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi lμ tích phân từ a đến b của f(x) vμ đ−ợc kí hiệu lμ 
. Ta dùng kí hiệu ( )∫b
a
f x dx ( ) bF x
a
 để chỉ hiệu số : F(b) – F(a) 
Công thức Newton – Laipnit : ( )∫b
a
f x dx = ( ) bF x a = F(b) – F(a) 
Ví dụ : ( )31 2 3
0
1x 1 1
x dx 1 0
03 3
= = − =∫ 3 3 
Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc vμ f, a vμ b mμ không phụ thuộc vμo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta 
có thể viết : F(b) – F(a) = = 
( )∫b
a
f x dx
( )∫b
a
f x dx ( )∫b
a
f t dt = ( )∫b
a
f u du ... 
o Các tính chất của tích phân . 
1. ( )
a
a
f x dx = 0∫
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx = - f x dx∫ ∫
3. ( ) ( ) ( ) ( )α ± β α ± β⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫b b
a a
f x g x dx = f x dx g x dx∫b
a
VD : ( ) ( )e e e 2 2
1 1 1
e e3 1
2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2
1 1x x
⎛ ⎞+ = + = + = − + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 2 
4. ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫c b c
a a b
f x dx = f x dx+ f x dx
VD : 
2 21 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 1x x
x dx x dx x dx xdx xdx 1
1 02 2− − −
= + = − + = − +−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 
5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b] ⇒ 0 ≥ ( )∫b
a
f x dx ≥
6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b] ⇒ ≥ ( )∫b
a
f x dx ≥ ( )∫b
a
g x dx 
VD : Chứng minh rằng : 
2 2
0 0
sin2xdx 2 sinxdx
π π
≤∫ ∫ 
7. m f(x) M trên đoạn [a ; b] ⇒ m(b – a) = ≤ ≤ ∫b
a
m dx ≤ ( )∫b
a
f x dx ≤ ∫b
a
M dx = M(b – a) 
VD : Chứng minh rằng : 
2
1
1 5
2 x dx
x 2
⎛ ⎞≤ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
 HD . Khảo sát hμm số 1y x
x
= + trên đoạn [1; 2] ta có : [ ] [ ]1;21;2
5
y ; y
2
2= =max min 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 3
 Do đó : 
2 2 2
1 1 1
1 5
2 dx x dx dx
x 2
⎛ ⎞≤ + ≤ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
2
1
2 21 5
2x x dx x
1 1x 2
⎛ ⎞≤ + ≤ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫
2
1
1 5
2 x dx
x 2
⎛ ⎞≤ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
Phần ph−ơng pháp 
p Ph−ơng pháp đổi biến số : t = v(x) . 
VD . Tính tích phân : 2
1
0
x
I dx
x 1
= +∫ 
 Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 . 2t x 1= +
 Ta có : dtdt = ⇒ . Do đó : 2xdx xdx
2
=
 2
1 2
0 1
2x 1 dt 1 1
I d x ln t ln2
12 t 2 2x 1
= = = =+∫ ∫
. Quy trình giải toán . ( ) ( )( ) ( )x x x∫ ∫b b
a a
f x dx = g v v' d 
 B−ớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hμm liên tục, đổi cận . 
 B−ớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt 
 B−ớc 3 . Tính . ( )
( )
( )
∫
v b
v a
g t dt
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
 1 . 
2e
e
dx
x ln x∫ 2 . ( )
2
2
1
dx
2x 1−∫ 3.
1 2
3
0
x dx
x 1+∫ 4. 
3
4
2
xdx
x 1−∫ 
 5 .
2
3
4
dx
sin x
π
π
∫ 6 . ( )
1
0
dx
2x 1 x 1+ +∫ 7. ( )
4
1
dx
x 1 x+∫ 
q Ph−ơng pháp đổi biến số : x = u(t) . 
 VD . Tính tích phân : 
1
2
0
1 x∫ dx−
 Đặt x = sint t ;
2 2
π π⎛ ⎞⎡ ⎤∈ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t= 2
π 
 Vậy với x = sint thì x 0;1∈ ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦ t 0;2
π⎡∈ ⎢⎣ ⎦
⎤⎥ vμ dx = costdt . 
 Do đó :
1 2 2
2 2
0 0 0 0
1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt
π π
− = − = =∫ ∫ ∫ ∫2 2
π
 = 
 =
2
0
1 cos2t 1
sinx 
cosx O 
1
dt t sin2t 2
2 2 2 40
π π+ π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
. Quy trình giải toán . ( )∫b
a
f x dx
B−ớc 1 . Đặt x = u(t), t ;∈ α β⎡⎣ ⎤⎦sao cho u(t) có đạo hμm liên tục trên đoạn ;α β⎡⎣ , f(u(t)) đ−ợc xác định trên đoạn 
 vμ . 
⎤⎦
⎤⎦ b;α β⎡⎣ ( ) ( )u a; uα = β =
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 4
 B−ớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt 
 B−ớc 3 . Tính . ( )
β
α
∫g t dt
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
 1 . 
1
2
0
dx
1 x+∫ 2 .
1
2
2
0
dx
1 x−∫ 3.
1
2
0
dx
x x 1+ +∫ 
 4.
1
2 2
0
x 1 x dx−∫ 5 . 1 3 2
0
x 1 x dx+∫ 6 . 
5
2
0
5 x
dx
5 x
+
−∫ ( Đặt x=5cos2t) 
r Ph−ơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) 
VD1 . Tính tích phân : I = 
1
2
0
1 x dx+∫ 
Cách (1) Đặt 
2
2 2 t 11+ x = x - t 1 = -2xt t x
2t
−⇒ + ⇒ = 
Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2− vμ dx = 
2
2
t 1
2t
+ dt . Do đó : 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 2
2 3
1 1 1 1
t 1 t 1 1 t 2t 1 1 1 1
I . dt dt tdt 2 dt dt
2t 2t 4 t 4 t t
− − − −
− − − −
⎛ ⎞− − + + += = − = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ 31
−
−
=∫ 
 = 
2
2
1 2 1 2 1 2t 1 1
ln t
8 2 8t1 1 1
− =−
− −− − +− − ( )1 2ln 2 12 2− − + 
⎤⎦ nên ta có thể chọn t 0; 4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t
πCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1∈⎡⎣ 4= 
 vμ dx= 2
1
dt
cos t
 . Do đó : 
( )
( )
1 4 4 4 4 4
2 2
22 2 3 4 2
0 0 0 0 0 0
d sin t1 1 1 1 cos t
1 x dx 1 tg t dt dt dt dt
cos t cos t cos t cos t cos t 1 sin t
π π π π π
+ = + = = = =
−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 
= 
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 4
0 0
1 sin t 1 sin t1 1 1
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t
π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
1 = 
= ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
4 4 4
2 2
0 0 0
d 1 sin t d 1 sin td sin t1 1 1 1 1 1
d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 2 1 sin t 1 sin t 41 sin t 1 sin t
π π π
⎡ ⎤ − ++ = − + +⎢ ⎥− + − +− +⎣ ⎦∫ ∫ ∫
4
0
π
=∫ 
= 2
1 1 1 1 1 sin t 1 sin t 1 1 sin t
. ln ln 4
0
π
4 4 4
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t0 0 0
π π+ +⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦
π
= ( )1 2ln 2 12 2− − + . 
Bình luận : Bμi toán nμy còn giải đ−ợc bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rμng 
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép 
tính toán đơn giản hơn. Nh−ng ng−ợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán dμi dòng vμ nếu quả 
thật không khá tích phân thì ch−a hẳn đã lμ đ−ợc hoặc lμm đ−ợc mμ lại dμi dòng hơn . 
VD2 . Tính tích phân : I = 
1
2
0
1
dx
1 x+∫ 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 5
Cách (1) Đặt 
2
2 2 t 11+ x = x - t 1 = -2xt t x
2t
−⇒ + ⇒ = 
Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2− vμ dx = 
2
2
t 1
2t
+ dt . Do đó : 
1 2 1 22
2 2
1 1
2t t 1 1
I . dt dt
t 1 2t t
− −
− −
− += = −+∫ ∫ = 
 = 
1 2
ln t
1
−− − ( )ln 2 1= − − 
⎤⎦ nên ta có thể chọn t 0; 4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t
πCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1∈⎡⎣ 4= 
 vμ dx= 2
1
dt
cos t
 . 
Do đó : 
1 4 4 4 4
2 2 22 2
0 0 0 0 0
cos t1 1 1 1 cos
dx dt dt dt dt
cos t cos t cost cos t1 x 1 tg t
π π π π
= = = =+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
t = 
( )
( )
4
2
0
d sin t 1 1 sin t
ln 4
2 1 sin t1 sin t 0
π π−= = =+−∫ ( )ln 2 1− − . 
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
 1 . 
2
2
1
x 1dx−∫ 2 . 2 22
1
x
dx
x 1−∫ 3.
0
2
1
x 2x 2dx
−
+ +∫ 
 4.
1
2
2
0
dx
1 x 4x 3+ − +∫ 5 .
1
2
2
dx
1 1 2x x
−
− + − −∫ 6 .
1
2
0
xdx
x x 1+ −∫ 
iChú ý : Khi đứng tr−ớc một bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng 
ph−ơng pháp đổi biến số . Có nhiều bμi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ ( 
sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán ) 
s Ph−ơng pháp tích phân từng phần . 
Nếu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hμm liên tục trên đoạn [a; b] thì : 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫b b
a a
b
u x v' x dx = u x .v x - v x u' x dxa 
 hay 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫b b
a a
b
u x dv = u x .v x - v x dua 
 VD1. Tính 
2
0
x cos xdx
π
∫ 
 Đặt ⎨ = , ta có : 
u x
dv cos xdx
=⎧
⎩
du dx
v sin x
=⎧⎨ =⎩
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 6
 ( )2 2
0 0
x cos xdx x sin x sin xdx cosx 12 2
2 20 0
π ππ ππ π= − = + = −∫ ∫ 
Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra lμ đặt có đ−ợc không ? 
u cosx
dv xdx
=⎧⎨ =⎩
 Ta hãy thử : 
22 2
2
0 0
x 1
x cos xdx cosx x sin xdx2
2 20
π ππ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ , rõ rμng tích phân 
2
2
0
x sin xdx
π
∫ còn phức tạp hơn tích 
phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u vμ dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Ta 
hãy xét một VD nữa để đi  ...  2cos2x
tgx − =cot gx
sin x.cosx sin2x
− = ( )
2007 2007 2007
2 2009
tgx - cotgx 2 cos 2x
sin 2x sin 2x
⇒ = 
Vậy bạn sẽ có một bμi toán mới : Tìm họ nguyên hμm : ∫ 20072009cos 2xdxsin 2x .. Có thể bạn sẽ thấy buồn khi bμi toán nμy lại 
có cách giải ngắn hơn con đ−ờng chúng ta đi ! 
 Nh−ng dẫu sao cũng phải tự an ủi mình : “ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đ−ờng ..” 
 ☺ Chẳng lẽ chỳng ta khụng thu lượm được điều gỡ chăng ? Nhưng tụi lại cú suy nghĩ khỏc, biết đõu những 
nhà viết sỏch lại xuất phỏt từ những ý tưởng như chỳng ta ??? 
 Hóy thử xột sang một dạng toỏn khỏc : 
C. Tạo ra d(u(x)) để tính tích phân . 
VD . Tính tích phân : 
4
0
dx
cosx
π
∫ 
 Rõ rμng bμi toán không xuất hiện dạng : ( )( ) ( ) ( )f u x u' x dx f u du=∫ ∫ 
 Vậy để lμm đ−ợc bμi toán, một ph−ơng pháp ta có thể nghĩ đến lμ tạo ra d( u(x)) nh− sau : 
( )6 6 6
2 2
0 0 0
d sin xdx cosxdx 1 1 sin x 1 1
ln ln6
cosx cos x 1 sin x 2 1 sin x 2 30
π π π π−= = = =− +∫ ∫ ∫ 
Bạn có nghĩ rằng mình cũng có khả năng sáng tạo ra dạng toán nμy ! 
œ Tạo d(sinx) . cosxdxS
1. 4
dx
sin xcosx∫ 2.
4tg x
dx
cosx∫ 3. 3dx∫ cos x
4.
2sin x
dx
cosx∫ 5.
2cos xdx
cos3x∫ 6. 3 5dx∫ sin xcosx
œ Tạo d(cosx) S . sinxdx−
1. dx
sin xcosx∫ 2. 3dxsin x∫ 3. 
32
5
4
cos∫ x dxsin x
π
π
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 19
4. ( )3
dx
sin x cos x 1−∫ 5. 6
dx
sin xcos x∫ 6. 
34sin x
1 cosx+∫ 
œ Tạo d(tgx) 21 dxcos xS . 
1.
4
3
0
tg xdx
π
∫ 2. 24 2
0
sin x
dx
1 cos x
π
+∫ 3. ( ) ( )3 3
dx
sin x cosx∫ 
4. 5.8tg xdx∫ 2 dx2sin x 5sin xcosx 3cos x− −∫ 2 6. ( )2
1
dx
sin x 2cosx−∫ 
œ Tạo d(cotgx) 21 dxsin x−T . 
1.
2
3
4
cotg xdx
π
π
∫ 2. 2 21 dxsin x 2cos x−∫ 3. ( )( )
10
8
cotg5x
dx
sin5x∫ 
4. 4
1
dx
sin x∫ 5. 2ndxsin x∫ 
œ Tạo d( xtg
2
) 
1
2 2
1 dxxcos
2
T . < Phép đặt ẩn phụ t= xtg
2
 > . 
1. dx
3sin x cosx+∫ 2. 1 dx2cos3x 7sin3x+∫ 3. dx2sin x 5cosx 3+ +∫ 
4. sin x cosx 1 dx
sin x 2cosx 3
− +
+ +∫ 5. ( )2
7sin x 5cosx
3sin x 4cosx
−
+∫ 
D. sáng tạo bμi tập 
Nếu đ−ợc phép hỏi, tôi sẽ hỏi rằng bạn có cảm thấy nhàm chán khi bạn cứ suốt ngày ôm lấy một cuốn sách tham khảo và làm hết 
bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn vẫn cảm giác rằng khả năng giải toán của mình không giỏi lên. Còn tôi đam mê môn Toán từ 
khi tôi biết thế nào là sáng tạo .. Bạn có muốn thử xem mình có khả năng sáng tạo hay không ? 
Dù khả năng sáng tạo bài tập đ−ợc xuất phát từ những bản chất rất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo một bài toán mà bạn đã bắt gặp ở 
một cuốn sách nào đó.. nh−ng dẫu sao nó vẫn mang “ dáng dấp “ của bạn . 
Tôi mạn phép t− duy để cùng tham khảo cho “ vui “ ! 
Tôi sẽ lấy một hμm số f(x) nμo đó mμ tôi thích, rồi đạo hμm để tìm d(f(x)) . 
h Tôi chọn : , ( ) 4 4f x sin x cos x= + ( ) ( ) ( )3 3 2 2f ' x 4 sin xcosx cos x sin x 2.sin2x sin x cos x sin4x= − = − = − 
Một bμi toán đơn giản đ−ợc tạo ra : Tính dx
π
∫2 4 4
0
sin4x
sin x + cos x
 Một bμi toán nhìn khá đẹp mắt, bạn đã gặp ở đâu ch−a ? Nếu gặp bμi toán nμy tr−ớc khi bạn biết sáng tạo bạn 
giải quyết nó nh− thế nμo ? 
 Để tăng khả năng “ đánh lừa trực giác “ bạn có thể tạo mẫu số thμnh một hμm số hợp nμo đó quen thuộc , ví dụ : 
Tính các tích phân sau : 
 1. dx
π
∫2 4 4
0
sin4x
sin x + cos x
 2. ( )2007 dx
π
∫2 4 4
0
sin4x
sin x + cos x
 3. ( )dx
π
∫2 4 4
0
sin4x
sin x + cos x2cos
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 20
 4. ( )dx
π
∫2 4 4
0
sin4x
sin x + cos xtg
 Biết đâu một lúc nμo đó có ai hỏi tôi về cách giải các bμi toán trên tôi lại ☺ quên ..!!!!! 
Tôi biết bạn sẽ nghĩ t− duy kiểu nμy “ cũ rích “ . Vậy sao ta không thử t− duy một kiểu nμo đó cho hơi “lạ” một tý : 
( ) ( ) (24 4 2 2 1 1 1f x sin x cos x 1 2sin xcos x 1 sin2x cos2x
2 2 2
= + = − = − = + )2 .. ) Bμi toán nμy sẽ xuất phát từ đâu ? 
 Tính : dx
π
+∫2 4 4
0
sin2x cos2x
sin x + cos x
 i Nếu nh− xuất phát từ l−ợng giác để tạo ra các bài toán tích phân của hàm l−ợng giác nghe có vẻ hiển nhiên quá, ta hãy xuất phát 
từ hàm phân thức hữu tỷ xem sao ? 
 Tôi sẽ xuất phát từ bμi toán tìm nguyên hμm : 2
dx
I
x 1
= −∫ . 
 Tôi sẽ đặt : x=tgt ( 221dx dt 1 tg t dtcos t⇒ = = + ) và ra mắt bài toán : −∫
2
2
1+ tg xI = dx
1 tg x
 Bạn sẽ suy nghĩ rằng “ quá đơn giản “ .. nh−ng bạn sẽ cho cách giải thế nào với bài toán này : 
 −∫ 21I = dx1 tg x , phải chăng bạn sẽ nghĩ ( )( )( )=− −∫ ∫2
1I = dx
1 tg x 2 2
d tgx
1 tg x 1+ tg x
 ..hãy nh−ờng chỗ cho 
những lời giải thông minh hơn ..!!! 
 a Bạn đang ôn thi đại học, bạn đọc khá nhiều tài liệu.. đôi khi bạn sẽ gặp những bài toán khó hay những lời giải dài dòng hơn bạn.. 
bạn thấy mình đang từng ngày tiến bộ . Đôi khi bạn gặp một ph−ơng pháp nào đó với tên gọi làm bạn hoảng hốt . Hãy dừng lại vμ t− duy, bạn 
sẽ tìm ra lời giải đáp ! 
 Tôi đơn cử một ví dụ .. Khi bạn đọc tài liệu bạn thấy cụm từ “ tích phân liên kết” có thể bạn bỏ qua vì nghĩ rằng “quá khó “ 
VD . Tính 
cosxdx
E
sin x cosx
= +∫ 
 Lời giải : Xét tích phân liên kết với E là 1
sin x
E d
sin x cosx
= +∫ x 
Ta có : ( )
1 1
1 2
sin x cosx
E E dx dx x C
sin x cosx
d sin x cosxsin x cosx
E E dx ln sin x cosx C
sin x cosx sin x cosx
+⎧ + = = = +⎪ +⎪⎨ +−⎪ − = = = + +⎪ + +⎩
∫ ∫
∫ ∫
. 
 Giải hệ ph−ơng trình suy ra : 
( )
( )1
1
E x ln sin x cosx C
2
1
E x ln sin x cosx
2
⎧ = + + +⎪⎪⎨⎪ = − + +⎪⎩ C
Bình luận : Sự đồ sộ lμm bạn hoảng hốt, nh−ng hãy suy nghĩ xem thực chất nó cũng chỉ lμ một phép tách đơn 
giản : 
( ) ( ) ( )cosx sin x cosx sin x dx d cosx sin x1 1 1 1
E dx x ln sin x cosx C
2 sin x cosx 2 2 cosx sin x 2
+ + −⎡ ⎤ +⎣ ⎦= = + = ++ +∫ ∫ ∫ + + 
Nếu ch−a thực sự tin bạn có thể thử với một loạt các bμi toán khác t−ơng tự : 
1. sin x dx
3cosx 7sin x+∫ 2. sin3x dx2cos3x 5sin3x−∫ 3.
4
4 4
sin x
dx
sin x cos x+∫ 
 Việc đ−a ra bμi toán trên chỉ lμ sự đúc rút kinh nghiệm không phải lμ sự sáng tạo, nh−ng nó giúp chúng ta lí giải 
đựơc một điều quan trọng trong sáng tạo bμi tập : lμ muốn có một bμi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi vμ dĩ 
nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì vμ một chút yếu tố “ may mắn “. 
 d Tôi thử lấy hàm số : và tách nó thành 2 kiểu khác nhau : ( ) 2f x 2sin x 2sin2x 5cos x= − + 2
 Kiểu1. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2f x 2sin x sin2x 5cos x sin x cos x sin x 2cosx 1 sin x 2cosx 1 u= − + = + + + = + + = + 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 21
 Kiểu2. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2f x 2sin x sin2x 5cos x 6 sin x cos x cosx 2sin x 6 cosx 2sin x 6 v= − + = + − − = − − = − 
 ở kiểu1. u' vμ kiểu2 cosx 2sin x= − v ' sin x 2cosx= − − ( )u' v ' 3 sin x cosx⇒ + = − + 
Vậy phải chăng bμi toán nμy sẽ rất khó : 2 2
sin x cosx
dx
2sin x 2sin2x 5cos x
+
− +∫ 
 Tôi nhìn thấy bạn đang c−ời “ chế diễu ” bởi bạn đã bắt gặp nó..nh−ng có 2 điều tôi 
muốn nói với bạn : 
- Hãy giải bμi toán nμy bằng một cách thật thông minh . 
- Hãy “ m−ợn tạm “ t− duy nμy để ra bμi tập . 
 Bạn đã quá quen với bμi toán nμy : 6
dx
sin x∫ nh−ng tôi khẳng định bạn sẽ có một chút băn khoăn với bμi toán : 
 Tìm họ nguyên hμm : 
( )∫
4 2
6
sinxcosx sin x + sin x + sinx + 1
I = dx
sin x - 1
Giải 
( )∫
4 2
6
sinxcosx sin x + sin x + sinx + 1
I = dx
sin x - 1
( ) ( )
( )
( )4 2 3 22
26 6 3
sin xcosx sin x sin x 1 d sin x d sin xsin xcosx 1 1
sin x 1 sin x 1 3 2 sin x 1sin x 1
+ += + = + 2− − −−∫ ∫ ∫ ∫ 
 = ( )2 221 cos x 1ln ln cos x C6 sin x 1 2⎛ ⎞ +⎜ ⎟+⎝ ⎠ + .. bạn tìm lời giải nhanh hơn nhé ! 
 Bμi toán trên “ bị lộ ý t−ởng giải toán khi xuất hiện : nh−ng bμi toán nμy bạn hãy giải quyết dùm 4 2sin x + sin x + 1
Tìm họ nguyên hμm : 
( )∫ 6sinxcosx sinx + 1I = dxsin x - 1 
Với ý t−ởng nμy bạn có thể ung dung nghĩ rằng : ng−ời khác sẽ đau đầu vì bμi toán của bạn ! Hãy thử 
theo ý t−ởng của bạn, đảm bảo tôi sẽ “ bó tay . com .vn “ !!! 
 dùng đồ của ng−ời khác cảm zác không thoải máinh−ng .. dùng m∙i mà ng−ời ta không bắt trả lại thì 
thành của mình ! 
 Đêm khuya lắm rồi, tạm chia tay với tích phân hμm l−ợng giác ! Nh−ờng lại sân chơi cho các bạn ! 
 Tìm họ nguyên hμm : ∫ 6 6sin4x + cos2x dxsin x + cos x ( Với giá dùng thử chỉ có 4 dấu “ = “ ) 
 Vỡ ủụứi phuù kieỏp taứi hoa 
 Vỡ ngửụứi gian dớu hay ta ủa tỡnh .. ?! 
 Tích phân của các hμm chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 VD . Tính ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2
0 0 1 0 1
)x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 d x 1 x 1 d x 1− = − + − = − − − + − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 = ( ) ( )1 21 x x 1 2
0 1
− + − = − 
 Tích phân của hμm chứa dấu giá trị tuyệt đối không khó lắm, nó phụ thuộc hoμn toμn vμo khả năng xét dấu của 
hμm số trong dấu giá trị tuyệt đối . 
 Khi xét dấu của hμm đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối bạn cần l−u ý một “ mẹo vặt “ : Đa thức có n 
nghiệm thì ta xét trên (n+1) khoảng. Đa thức bậc n có n nghiệm thì đan dấu trên các khoảng, khác n nghiệm thì 
mất tính đan dấu . 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 22
VD1 . Tính 
3
2
2
x 1 dx
−
−∫ 
 Nháp : 2
x 1
x 1 0
x 1
=⎡− = ⇔ ⎢ = −⎣
 ( tam thức bậc 2 có 2 nghiệm ) 
 xét dấu : 
 + + 
 _ 
-1 1-2 y
3
y
0
y
Thử một số bất kì trong khoảng bất kì
Đan dấu
Giải . ( ) ( ) ( )3 1 1 3 1 1 32 2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 1 1
28
x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx x 1 dx
3
− −
− − − − −
− = − + − + − = − − − + − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
VD2. Tính 
1
3 2
1
x x dx
−
−∫ 
 Chúng ta th−ờng nhầm lẫn khi xét dấu lμ đa thức có 2 nghiệm vμ đan dấu trên 3 khoảng sẽ cho kết 
quả sai ! Hãy lμm nh− sau : 
1 1
3 2 2
1 1
x x dx x x 1dx
− −
− = −∫ ∫ = 1 22 2
0 1
x x 1 dx x x 1 dx− + −∫ ∫ = 
Các bμi tập rèn luyện : 
1. 
2
3
0
x x dx−∫ 2. 2
1
x 1dx
−
−∫ 3. 1 2
0
9x 6x 1dx− +∫ 4. 
3
4
4
1 cos2xdx
π
π
+∫ 5. 2 3 2
2
cos x cos xdx
π
π−
−∫
 Tích phân từng phần 
1. Tích phân dạng : , ( )b
a
P x sin xdx∫ ( )b
a
P x cosxdx∫
 Đặt u = P(x) để giảm bậc của P(x) . 
 VD . Tính 2
0
x sin xdx
π∫ 
 Đặt 
2 du 2xdxu x
v cosxdv sin xdx
=⎧ = ⎧⎪ ⇒⎨ ⎨ = −=⎪ ⎩⎩
 . Do đó : 
 ( )2 2 2
0 0 0
x sin xdx x cosx 2xcosxdx 2 xcosxdx
0
π ππ= − + = π +∫ ∫ π∫ 
 Ta sẽ tính tích phân : 
0
xcosxdx
π∫ 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 23
 Đặt 
u x du dx
dv cosxdx v sin x
= =⎧⎧ ⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎩
 . Do đó : 
0 0
xcosxdx x.sin x sin xdx cosx 2
0 0
π ππ π= − = =∫ ∫ − 
Vậy 2 2
0
x sin xdx 4
π
= π −∫ 
Bμi tập tự luyện : 
1. 
2
2
0
xcos xdx
π
∫ 2. 3
0
x cosxdx
π∫ 3. 6 2
0
x sin xcos xdx
π
∫ 4. 2 2 3
0
x cos xdx
π
∫ 5. 3 3
0
x
x sin dx
2
π∫ 
2. Tích phân dạng : ( )
b
a
P x ln xdx∫
 Đặt dv = P(x)dx để dễ tìm v .