Bài giảng Giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp số

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Chương 7 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 
 BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 
Các hiện tượng vật lý trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phải 
mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Mỗi loại phương trình đạo hàm 
riêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm, phù hợp 
với hiện tượng vật lý quan sát. 
7.1 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC 2 TUYẾN TÍNH 
Từ dạng tổng quát: 
)y,x(gFu
y
uE
x
uD
y
uC
yx
uB
x
uA 2
22
2
2
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂∂
∂+∂
∂ (7.1) 
Phân loại với chú ý các đạo hàm bậc cao, khi đó (1) được viết lại: 
)( y,x,u,u,uf
y
uC
yx
uB
x
uA yx2
22
2
2
=∂
∂+∂∂
∂+∂
∂ (7.2) 
Đơn giản (7.2) bằng cách đổi biến số: η = η(x , y) , ξ = ξ(x , y) 
Đặt: ξ = αx + βy , η = γx + δy 
Hay: y
uu
x
u
x
u
x
u
xx ∂
∂η+ξ∂
∂ξ=∂
η∂
η∂
∂+∂
ξ∂
ξ∂
∂=∂
∂
Tương tự cho các đạo hàm khác ta được: 
ηδγδγηξαδβγβδαγξαββα ∂
∂+++∂∂
∂++++∂
∂++ uBCAuBCAuBCA )()](22[)( 22
2
22 = f 
(7.3) 
Một cách đơn giản để tìm lời giải của phương trình này, là chọn ξ, η sao cho số hạng 
thứ nhất và thứ ba trong phương trình (7.3) triệt tiêu: 


=δ+δγ+γ
=β+βα+α
0CBA
0CBA
22
22
Ta được dạng đơn giản: 
 η∂ξ∂
∂αδ+βγ+βδ+αγ u)](BC2A2
2
[ 
Giả sử: β ≠ 0, δ ≠ 0 ta có: 
A(α/β)2 + B(α/β) + C = 0, A(γ/δ)2 + B(γ/δ) + C = 0 



−−−=δ
γ
−+−=β
α
⇒
)AC4BB(
A2
1
)AC4BB(
A2
1
2
2
KẾT LUẬN: B2 - 4AC > 0 : Phương trình Hyporbol 
 B2 - 4AC < 0 : Phương trình Ellip 
 B2 - 4AC = 0 : Phương trình Parabol 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 38 
Chú ý: Không phân biệt biến t, x, y, z 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
7.2 Các bài toán biên thường gặp 
Trong lĩnh vực kỹ thuật, người ta thường hay gặp các bài toán biên sau: 
 a. Bài toán Dirichlet 
 Tìm hàm u thoả mãn phương trình: 
 a(u,v) = (f,v) trong miền (Ω) 
và trên biên Γ của (Ω) cho trước giá trị của u 
 uΓ = f(v) 
 Nếu trên biên cho u = 0 thì ta có điều kiện 
biên Dirichlet thuần nhất. Điều kiện biên Dirichlet 
được gọi là điều kiện biên cốt yếu (essential 
boundary conditions). 
Γ 
(Ω) 
 b. Bài toán Neumann 
• Tìm hàm u thoả mãn phương trình: 
 a(u,v) = (f,v) trong (Ω) 
và điều kiện biên: 
 )v(fn
u =∂
∂
Γ
Nếu f(v) = 0 ta có bài toán Neumann thuần nhất. Để cho bài toán Neumann có 
nghiệm duy nhất ta phải đặt thêm điều kiện g(1) nào đó. Điều kiện biên Neumann 
còn gọi là điều kiện biên tự nhiên (natural boundary conditions). 
c. Bài toán hổn hợp 
 Với bài toán hổn hợp (mixed boundary conditions) là bài toán 
mà biên Γ của nó gồm hai phần Γo và Γ1. Ví dụ tìm hàm u thoả 
mãn phương trình: 
 a(u,v) = (f,v) trong (Ω) 
 Với điều kiện biên: 
Ω
Γ1 
Γo 
 )v(fn
u
1
1
=∂
∂
Γ
; uΓo = fo(v) 
Trong thực tế kỹ thuật, người ta thường hay gặp điều kiện biên hỗn hợp nầy. 
7.3 Tư tưởng cơ bản của các phương pháp gần đúng 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 39 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Trên thực tế việc tìm nghiệm chính xác của các bài toán biên nói trên là vô cùng 
khó khăn; toán học hiện nay chỉ cho phép giải các bài toán đó trong một số trường hợp 
thật đơn giản, còn phần lớn là phải giải theo các phương pháp gần đúng khác nhau. 
Tư tưởng của các phương pháp gần đúng (approximation methods) là xấp xỉ 
không gian vô hạn chiều của nghiệm bằng một không gian con hữu hạn chiều. 
)(.)(
)sincos(
2
)(
0
1
0
xaxu
nxbnxa
a
xu
n
n
n
n
n
n
ϕ∑
∑
∞
=
∞
=
=
++=
Nghiệm chính xác của bài toán có thể biểu diễn bằng các dạng sau: 
u(x) = a0 + a1x +a2x2+a3x3+.. ..+anxn+.. .. (7.4) 
Rõ ràng nghiệm chính xác u(x) có thể xem như là một hàm của vô hạn các hệ số: 
 a0, a1, a2, .. ..,an,.. .. 
Trong khi đó giải theo các phương pháp gần đúng ta chỉ có thể tìm được nghiệm uh của 
nó như là hàm của một dãy hữu hạn các hệ số a0, a1, a2, .. ..,an. nào đó mà thôi. 
Trong chương nầy ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp số mạnh, thường xử dụng để 
giải các bài toán cơ học: 
+ Phương pháp đặc trưng (characteristic method) 
+ Phương pháp sai phân (fimite difference method) 
+ Phương pháp phần tử hữu hạn (fimite element method) 
+ Phương pháp thể tích hữu hạn (fimite volume method) 
+ Phương pháp phần tử biên (Boundary element method) 
7.4 Phương pháp đặc trưng 
Nội dung của phương pháp đặc trưng là biến đổi phương trình vi phân đạo hàm riêng 
về hệ phương trình vi phân thường, và tìm lời giải bài toán ở hệ phương trình vi phân 
thường nầy, từ đó ta dễ dàng thấy được bản chất vật lý của hiện tượng nghiên cứu. 
Ví dụ: Xét phương trình truyền sóng: 2
2
22
2 1
t
u
cx
u
∂
∂=∂
∂ (7.5) 
Ta đặt hàm v(x,t) sao cho: 2
22
t
u
tx
v
t
u
x
v
∂
∂=∂∂
∂⇒∂
∂=∂
∂
 (7.6) 
 vì 


∂
∂
∂
∂=


∂
∂
∂
∂
t
u
tx
v
t
Từ (7.5) ta có: 0
x
u
t
u
c
1
2
2
2
2
2 =∂
∂−∂
∂
 → 0
x
u
xt
v
c
1
2
22
2 =∂
∂−∂∂
∂
Và đặt: )t(f
x
u
t
v
c
1
2 =∂
∂−∂
∂ 
Đi đến hệ thống: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 40 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 



=∂
∂−∂
∂
=∂
∂−∂
∂
)t(f
x
u
t
v
c
1
0
t
u
x
v
2
 ⇒ 





=






∂
∂
∂
∂



 −+






∂
∂
∂
∂



−
)(
0
01
10
10
01
2 tf
t
u
t
v
c
x
u
x
v
Đặt A = , B = 


−10
01



 −
01
10
2c
Phương trình đặc trưng được suy từ: 
det(Aλ - B) = 0 → 0
e
1
1
2
=λ−−
λ
 → λ2 = 2
1
c → c
1±=λ 
Từ đó ta có đường cong đặc trưng: cdt
dx ±= → 

+−=
+=
bctx
actx
7.5 Phương pháp sai phân 
 Dựa trên khai triển Taylor, một cách gần đúng ta thay các tỉ vi phân bằng tỉ sai phân. 
Ví dụ: Tìm đạo hàm 
xx
c
∂
∂
Ta có: C(x + ∆x) = C(x) + ∆x .....!2 2
22
+



∂
∂∆+

∂
∂
xx x
cx
x
c (7.7) 
→ ......x
C
2
x
x
)x(C)xx(C
x
C
x
2
2
x
+



∂
∂∆−∆
−∆+=∂
∂
Tương tự: Có C(x - ∆x) = C(x) - ∆x .....x
c
!2
x
x
c
x
2
22
x
−



∂
∂∆+

∂
∂ (7.8) 
Lấy (7.7) - (7.8) suy ra sai phân trung tâm: 
 ......x
C
!3
x
x2
)xx(C)xx(C
x
c
x
3
33
x
+



∂
∂∆−∆
∆−−∆+=∂
∂
Có thể khai triển: 
 C( x + 2∆x ) = C(x) + 2∆x
xx
c
∂
∂
+ 4. !2
2x∆
.
xx
C
2
2
∂
∂
+ ....... (7.9) 
Lấy (7.7) nhân với 4 rồi trừ cho (7.9), ta có: 
 3
32
!3
4
2
)2()(4)(3
x
Cx
x
xxCxxCxC
x
c
x ∂
∂∆+∆
∆+−∆++−=∂
∂
Lấy (7.7) cộng (7.8) ta được: 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 41 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
 )(0
)()(2)( 2
22
2
x
x
xxCxCxxC
x
C
x
∆+∆
∆−+−∆+≈∂
∂
 (7.10) 
Áp dụng các sai phân nầy vào giải phương trình Laplace: 0yx 2
2
2
2
=∂
φ∂+∂
φ∂
Chọn (7.11) 

∆=∆
∆=∆
Yy
Xx
i
i
Thay (7.10) vào (7.11), được: 
 0Y
2
X
2
2
1j,1ij1j,i
2
j,1iijj,1i =∆
φ+φ−φ+∆
φ+φ−φ −+−+
Đơn giản chọn ∆x = ∆y, ta được: 
 ( )1,1,,1,1, 41 −+−+ +++= jijijijiji φφφφφ 
 ∆
x
∆y 
 i,j+1 
i,j 
 i+1,j+1 
i+1,j 
• S
 (E
Xét ph
Sai phâ
Sai phâ
Bài Giả
 Time 
t-1
x
ji
k
,
1−φ
ji
k
,
1+φ
j,i
kφ
y
Ơ ĐỒ HIỆN - SƠ ĐỒ ẨN 
xplicit - Implicit Scheme) 
t+1
ương trình: tT
S
yx 2
2
2
2
∂
φ∂=∂
φ∂+∂
φ∂
n tiến: tt
K1K
K.tt ∆
φ−φ=∂
φ∂ +
∆=
 t
n lùi: tt
1KK
K.tt ∆
φ−φ=∂
φ∂ −
∆=
ng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 42 
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 
Ở đây (∆t)K = ∆t = const 
 t= ∑ ( , ∆
K
j)t t.Kt
K
∆=φ≡φ 
+ Sai phân tiến theo thời gian t của phương trình trên, ta được: 
tT
S
)y(
2
)x(
2 Kj,i
1K
j,i
2
K
1j,i
K
j,i
K
1j,i
2
K
j,1i
K
j,i
K
j,1i
∆
φ−φ=∆
φ+φ−φ+∆
φ+φ−φ ++−+−
x∆ x∆
tTừ phương trình nầy ta tìm được 
ngay khi biết các , 
 nên gọi là sơ 
đồ hiện. 
1 K
j,1i−φKj,i +φ
K
j,ji+φKj,iφ K 1j,i −φ Kj,i +φ 1 k+1
 k 
x 
 + Sai phân lùi theo thời gian t ta có: 
t
.
T
S
)y(
2
)x(
2 Kj,i
1K
j,i
2
1K
1j,i
1K
j,i
1K
1j,i
2
1K
j,1i
1K
j,i
1K
j,1i
∆
φ−φ=∆
φ+φ−φ+∆
φ+φ−φ +++++−++++−
Phương trình trên có 5 ẩn số trong 1 phương trình nên phải thiết lập các phương trình 
cho tất cả các nút khác bên trong 
miền bài toán và giải đồng thời các 
hệ phương trình nầy, thì mới tìm 
được các ẩn của bài toán ở bước thời 
gian (t+1), nên ta gọi sơ đồ nầy là 
sơ đồ ẩn. 
• Sự ổn định của sơ đồ 
 Đối với sơ đồ ẩn luôn luôn ổn định 
với mọi khoảng thời gian ∆t chọn; 
Còn sơ đồ hiện chỉ ổn định với khi:
 ∆t ≤ ∆t giới hạn. 
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 43