Bài giảng: Đại số tổ hợp – xác suất

Bài giảng: ĐẠI SỐ TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
 A – Đại số tổ hợp: 
Bài 1: CMR:
 a) ; b) 
 c) ; d) 
Bài 2: Giải các phương trình sau
 a) ; b) 
 c) ; d) 
 e) ; f) 
Bài 3: Giải bất phương trình – Hệ phương trình sau: 
 a) ; b) 
 c) ; d) ( n & k ) 
 e) ; f) 
 g) ; h) 
Bài 4: Từ các số trong tập X = lập được bao nhiêu:
 1. a- Số lẻ có 4 chữ số ?
 b- Số không chia hết cho 5 gồm 4 chữ số khác nhau ?
 c - Số có 4 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt chữ số 1 ?
 2. a - Số chẵn có 5 chữ số khác nhau ?
 b - Số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt hai chữ số 0 và 1.
 3. a - Số chia hết cho 5 gồm 6 chữ số đôi một khác nhau ? 
 b - Số có 6 chữ số khác nhau và lớn hơn 350.000
 4.a - Số chia hết cho 3 gồm ba chữ số khác nhau ? 
 b - Số có 3 chữ số khác nhau toàn chẵn ? Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau ?
 5.a - Số tự nhiên có các chữ số phân biệt ?
 b - Số có 9 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, còn lại mỗi chữ số có mặt đúng 1 lần. 
 6. Số gồm 7 chữ số khác nhau sao cho:
 a - Bắt đầu bởi chữ số 5. b - Không bắt đầu bởi chữ sô1.
 c - Bắt đầu bởi : 23 d - Không bắt đầu bởi : 456. 
Bài 5: 
 a - Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và đều lớn hơn 4. Tính tổng của 
 tất cả các số tự nhiên nói trên. 
 b - Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác 
 nhau. Tính tổng S của tất cả các số vừa lập được. 
 c - Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau thỏa có mặt 2 chữ số chẵn và 3 
 chữ số lẻ. 
 d - Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau thỏa có mặt 3 chữ số chẵn và 3 
 chữ số lẻ. 
Bài 6: 
 a - Xét số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 5 và 4 chữ số còn lại là 1, 2, 3, 4. 
 Hỏi lập được bao nhiêu số như vậy.
 b - Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số thỏa: Chữ số 2 có mặt đúng 2 lần; chữ số 3
 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. 
 c - Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1,
 2, 3, 4, 5, 7, 9. sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau.
Bài 7: 
 a - Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và lớn hơn 500.000.
 b - Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600.000.
 c - Từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số 
 khác nhau thỏa mãn: tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. 
 d - Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau 
 thỏa: tổng 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số cuối một đơn vị.
Bài 8: Một hộp đựng 6 viên bi đỏ; 5 bi xanh và 4 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
 a - 6 viên bi thỏa: Số bi đỏ bằng số bi xanh.
 b - 4 viên bi không đủ cả ba màu.
Bài 9: 
 a - Cho 2 đường thẳng và song song nhau. Trên chọn 13 điểm phân biệt; trên 
 chọn 17 điểm phân biệt. Tìm số tam giác có các đỉnh là 3 điềm trong số 30 điểm
 trên và. 
 b - Cho tam giác ABC; xét tập hợp 4 đường thẳng song song với BC ; 5 đường thẳng
 song song với CA ; 6 đường thẳng song song với AB. Hỏi các đường thẳng này lập 
 thành bao nhiêu tam giác ? Bao nhiêu hình thang ? (không kể hình bình hành). Với
 điều kiện không có 3 đường thẳng nào của 3 họ đường thẳng trên đồng qui.
Bài 10: Cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của H.
 a - Có bao nhiêu tam giác được tạo ra như vậy ? Trong đó có bao nhiêu tam giác có 2 
 cạnh là cạnh của H.
 b - Có bao nhiêu tam giác có đúng 1cạnh là 1 cạnh của H ? Có bao nhiêu tam giác 
 không có cạnh nào là cạnh của H. 
Bài 11: Cho tập X gồm n phần tử.
 a - Với n = 20. Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng của X mà có số phần tử là số chẵn.
 b - Tìm n biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của X gấp đôi số tập con gồm 3 phần tử 
 của X ( với n 7). 
Bài 12: Cho đa giác đều có 2n cạnh A1A2. . . A2n nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng số
 các tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm A1, A2, . . . . A2n nhiều gấp 20 lần số các hình 
 chữ nhật có đỉnh lấy trong 2n điểm A1, A2, . . . A2n. Tìm n. 
Bài 13: 
 a - Tìm hệ số của x9 trong khai triển: .
 b - Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 36. Tìm số
 hạng thứ 7 của khai triển trên.
Bài 14: 
 a - Tìm số hạng đứng chính giữa của khai triển nhị thức: . Biết rằng 
 hạng tử thứ 7 kể từ hạng tử cuối gấp 6 lần hạng tử thứ 7 kể từ hạng đầu.
 b - Tìm số hạng không có mặt x trong khai triển nhị thức . Biết tổng 
 các hệ số của 3 số hạng cuối cùng bằng 79. 
Bái 15: 
 a - Tìm hạng tử là số nguyên trong khai triển: .
 b - Cho biết 3 hạng tử đầu tiên của : có các hệ số là 3 số hạng 
 liên tiếp của một cấp số cộng. Với: x= 3 hãy tìm hạng tử hữu tỉ của khai triển đã cho.
Bài 16: 
 a - Tìm n sao cho số hạng thứ 11 của khai triển: là số hạng có hệ số lớn nhất.
 b - Cho: n > 1 cố định. CMR: lớn nhất nếu k không vượt quá .
 c - Tìm hệ số lớn nhất của khai triển: .
Bài 17: 
 a - Ta có khai triển : f(x) = (1 + x + x3 + x4)4 = a0 + a1.x + a2.x2 + . . . + a16.x16.
 Hãy tính giá trị của a10 trong khai triển. 
 b - Cho khai triển : .
 Hãy tìm giá trị của a6 trong khai triển trên.
Bài 18 : 
 a - Tìm x sao cho hạng tử thứ 3 của khai triển : bằng 1000.000.
 b - Tìm x sao cho trong khai triển : có tổng các hạng tử thứ 3 và thứ 5 
 bằng 135 ; và tổng các hệ số của 3 hạng tử cuối bằng 22. 
 c - Tìm x biết hạng tử thứ 6 của khai triển là 84.
Bài 19 : 
 a - Tìm x sao cho hiệu số giữa hạng tử thứ 4 và thứ 6 của : bằng 56 và 
 bậc của khai triển bằng hệ số của hạng tử thứ 3 trừ đi 20. 
 b - Xét khai triển . Biết hạng tử thứ 6 bằng 21 ; các hệ số thứ 2 ; 3 và 4 của khai triển là các số hạng thứ I ; III và V của một cấp số cộng. Tìm giá trị của x. 
 c - Xét khai triển: . Gọi T3 ; T5 là các hạng tử thứ 3 và thứ 5 của khai 
 triển. là các hệ số của số hạng thứ hai và thứ tư . Tìm x sao cho : 
 .
 Bài 20 : CMR :
 a - .
 b - .
 c - 
Bài 21 : CMR ta có :
 a - .
 b - .
 c - . 
Bài 22 : 
 a - Tính: I = . CMR: .
 b - Tính: I = . CMR: .
 c - Tính: I = . 
 Từ đó CMR: . 
B – Xác suất: 
 Bài 23: Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. 
 a - Rút ngẫu nhiên 2 tấm thẻ và nhân 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau. Tính xác suất để tích 
 nhận được là số chẵn. 
 b - Rút ngẫu nhiên 5 tấm thẻ. Tính xác suất sao cho có đúng một trong ba thẻ ghi số 7 ; 
 8 ; 9 được rút.
Bài 24 : Gieo đồng thời 2 con súc sắc cân đối đồng chất . Tính xác suất sao cho : 
 a - Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con súc sắc bằng 8.
 b - Số chấm xuất hiện trên 2 con súc sắc hơn kém nhau 2 đơn vị.
 c - Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con súc sắc là lẻ hoặc chia hết cho 3.
Bài 25: Có 3 cái hộp, mỗi hộp đựng 3 tấm thẻ được đánh số thứ tự. Hộp I đánh số thẻ: 1; 2; 
 3; hộp II đánh số thẻ: 4; 5; 6; hộp III đánh số thẻ: 7; 8; 9. Rút ngẫu nhiên mỗi hộp 
 một thẻ. Tính xác suất sao cho:
 a - Tổng các số ghi trên 3 thẻ bằng 15.
 b - Tổng các số ghi trên 3 thẻ không nhỏ hơn 17.
Bài 26: Một vận động viên bắn súng; bắn 3 viên đạn. Xác suất cả 3 viên trúng vòng 10 là 
 0,0008; xác suất để một viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để một viên trúng vòng 
 dưới 8 là 0,4. Biết rằng các lần bắn là độc lập nhau. Tìm xác suất sao cho vận động 
 viên đó bắn đạt ít nhất 28 điểm. 
Bài 27: 
 a - Một người bỏ ngẫu nhiên 4 là thư vào 4 phong bì đã đề sẵn địa chỉ. Tìm xác suất để 
 ít nhất có một lá thư bỏ trúng địa chỉ.
 b - Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu có 5 phương án trả lời nhưng chỉ 
 có một phương án trả lời đúng. Nếu trả lời đúng thì được 4 điểm ; trả lời sai bị trừ
 1 điểm. Một học sinh “ Kém” làm bài bằng cách chọn hú họa một phương án trả lời . 
Tính xác suất sao cho: 1) Học sinh đó đạt 13 điểm ? . 2) Học sinh đó bị điểm âm ? .