Bài giảng Chuyên đề về các xác suất

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT (Dành cho HS THPT) 
Biên soạn và hướng dẫn: Thầy giáo Nguyễn Viết Đông  
---------------------------------------------------------
  I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
  1. Qui tắc đếm. 
     a) Qui tắc cộng: Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác nhau   và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tượng Y. Khi đó có m + n cách chọn một trong hai đối tương ấy. 
     b) Qui tắc nhân: Giả sử có hai hành động đựợc thực hiện liên tiếp . Hành động thứ nhất có m kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả. Khi đó có m.n kết quả của hai hành động liên tiếp đó. 
  2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 
      Cho A là tập hợp gồm n phần tử (  ). 
     a) Mỗi cách sắp đặt tất cả n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là  . 
          Công thức: 
     b) Mỗi cách lấy ra k phần tử từ tập A (  ) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là 
          Công thức:   
     c) Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A (  ) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử . 
     Qui ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. 
          Công thức:  
3. Phép thử và biến cố. 
       a) Một phép thử mà kết quả của nó không thể đóan trước được, nhưng có thể liệt kê ra tất cả các kết quả có thể xảy ra gọi là phép thử ngẫu nhiên. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Không gian mẫu được kí hiệu bởi Ω.
       b) Trong một phép thử ngẫu nhiên , mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố. Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A , thì ta nói trong phép thử đó, biến cố A xảy ra. 
         - VD1. Gieo một con xúc xắc , gọi 1, 2, , 6 là số chấm xuất hiện thì không gian mẫu là Ω = {1,2,, 6}. 
         - VD2. Gieo một đồng xu hai lần , thì không gian mẫu là Ω = {SS, SN, NS, NN}. 
         - VD3. Gieo một con xúc xắc. Biến cố B = {1, 3, 5} là biến cố số chấm xuất hiện của xúc xắc là số lẻ. 
    4. Một số lọai biến cố. 
        a) Biến cố sơ cấp: Mỗi tập hợp con gồm đúng một phần tử của không gian mẫu gọi là một biến cố sơ cấp. 
                   VD4. Trong ví dụ 1 thì biến cố A = {1} là biến cố sơ cấp. 
        b) Biến cố chắc chắn , biến cố không thể: Bản thân tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. Tập rổng là biến cố không thể. 
        c) Biến cố hợp (tổng), biến cố giao (tích), biến cố bù: Biến cố  (còn kí hiệu là A+ B) gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B. Biến cố  ( còn kí hiệu là AB) gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B . Biến cố  gọi là biến cố bù của biến cố A. 
        VD5. Trong ví dụ 1, xem các biến cố A={1,3,5}, B= {3,6}. 
        Khi đó : 
        - Biến cố   là biến cố {1,3,5,6} nó chỉ không xảy ra khi số chấm xuất hiện là 2 hoặc 4. 
        - Biến cố   là biến cố {3}. 
        - Biến cố bù của biến cố A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn. 
        Nhận xét: 
        - Biến cố   xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. 
        - Biến cố   xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra. 
        - Biến cố   xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. 
       d) Biến cố xung khắc : Hai biến cố gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra trong cùng một phép thử. 
       e) Biến cố đồng khả năng : Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có cùng khả năng xuất hiện khi tiến hành phép thử. 
        f) Biến cố độc lập: Các biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng gì đến việc xảy ra của những biến cố còn lại.
  5. Định nghĩa xác suất. 
     Nếu không gian mẫu gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm m biến cố sơ cấp thì xác suất của biến cố A là   
     Nhận xét :  .             .                  
     VD6. Một bình đựng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để được hai viên bi xanh. 
     Giải. 
     Có  cách chọn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mẫu gồm 10 phần tử). 
     Có  cách chọn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là số phần tử của biến cố đang xét). 
     Do đó xác suất để lấy được 2 bi xanh là 3/10. 
     6. Công thức cộng xác suất. 
      a) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì  .
      b) Nếu A và B là hai biến cố tùy ý thì  
      c)    
      VD7. Trong bình đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên . Tính xác suất 
      a) Lấy được một hoặc hai viên bi đỏ. 
      b) Lấy được ít nhất một viên bi đỏ. 
      Giải. 
      a) Đặt  là biến cố trong 3 viên lấy ra có đúng một viên đỏ. Đặt  là biến cố trong 3 viên lấy ra có đúng hai viên đỏ. Ta phải tính xác suất của biến cố A là biến cố trong ba viên lấy ra có một hoặc hai viên đỏ. Các 
      biến cố  và  là xung khắc .
      Do đó
                 . 
      b) Gọi B là biến cố lấy được ít nhất một viên bi đỏ thì . 
      VD8. Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi Tóan, 8 học sinh giỏi Văn và 2 học sinh giỏi cả Văn lẫn Tóan. Chọn ngẫu nhiên một học sinh . Tính xác suất chọn được một học sinh giỏi Văn hay Toán (giỏi cả hai môn càng tốt). 
      Giải. 
      Gọi A là biến cố chọn được học sinh giỏi Tóan , B là biến cố chọn được học sinh giỏi Văn. Ta cần tính  
       . Ta có
7. Công thức nhân xác suất. 
     Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì    . 
     VD9. Hai người bạn X và Y cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được ít nhất một con là 0, 1. Xác suất để Y câu được ít nhất một con là 0,15. Tính xác suất để hai bạn X, Y không trở về tay không. 
     Giải. 
     Xác suất để X trở về tay không là P(A) = 1 – 0,1 = 0,9. 
     Xác suất để Y trở về tay không là P(B) = 1 – 0,15 = 0,85. 
     Các biến cố A và B là độc lập. Vậy xác suất để cả X và Y trở về tay không là 
         . 
     Vậy sau buổi câu cá , gom số cá đã câu được , xác suất để hai bạn được ít nhất một con là 
    8. Biến ngẫu nhiên rời rạc. 
    Đại lượng X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên không dự đoán trước được. 
    VD10. 
    Gieo đồng xu 5 lần liên tiếp. Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt ngửa thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc, giá trị của X là một số thuộc tập 
    {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
9. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. 
     Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị   . Gỉa sử  .
     Bảng sau đây được gơi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
X
.
P
.
     Chú ý :   
     10. Kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc. 
     Cho biến ngẫu nhiên rời rạc như trong mục 9. 
      a) Kì vọng của X, kí hiệu là E(X) , là một số được tính theo công thức: 
      b) Phương sai của X, kí hiệu là V(X) là một số được tính theo công thức 
                 , trong đó 
           Chú ý 
      c) Căn bậc hai của phương sai , kí hiệu là   , được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là
BÀI TẬP MẪU
    BT1
    Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất tổng số chấm ở hai mặt trên bằng 5. 
    Giải. 
    Không gian mẫu là Ω = { (1,1), (1,2),, (6, 6)} gồm 36 biến cố sơ cấp đồng khả năng. 
    Biến cố “được tổng số chấm bằng 5 “ là tập con A= { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) } gồm 4 phần tử . 
    Vậy 
    BT2 
    Một vé sổ số có 4 chữ số . Khi quay số , nếu vé của bạn mua có số trùng hòan tòan với kết quả thì bạn được giải nhất. Nếu vé của bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải 
    nhì. Bạn An mua một vé xổ số. 
    a) Tính xác suất để An trúng giải nhất. 
    b) Tính xác suất để An trúng giải nhì. 
    Giải. 
    a) Số kết quả đồng khả năng là  và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An. 
    Do đó xác suất trúng giải nhất của An là 
    b) Có 9 vé sai khác hàng đơn vị ( so với số trúng giải nhất), tương tự cũng có 9 vé sai khác hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn, hàng vạn. 
    Do đó có 9+9+9+9 =36 vé trúng giải nhì . 
     • Vậy xác suất  trúng giải nhì của An là  
  BT3. 
       Một lớp học có 30 học sinh , trong đó có có 10 nữ . Chọn ngẫu nhiên 3 người trực lớp. Tính xác suất trong 3 người đó có đúng một nữ. 
    Giải. 
       Số trường hợp đồng khả năng là . Gọi A là biến cố có đúng một nữ trong 3 người được chọn thì số trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A là .  
       Xác suất của biến cố A là  
   BT4. 
       Một cơ quan có 100 người , trong đó có 60 nam. Số ở gần cơ quan là 50, trong số này có 35 nam. Những người nam hoặc gần cơ quan thì phải trực đêm. Chọn ngẫu nhiên một người trong cơ quan. Tính xác suất người đó phải trực đêm. 
   Giải. 
       Gọi A là biến cố nguời đó là nam , B là biến cố người đó ở gần cơ quan. Khi đó biến cố  là biến cố ngươi đó phải trực đêm. 
       Ta có    
BT5. 
          Có 3 hộp phấn. Hộp thứ nhất có 2 viên trắng 3 viên màu ; hộp thứ hai có 4 viên trắng 7 viên màu; hộp thứ ba có 3 viên trắng 5 viên màu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra một viên. 
          a) Tính xác suất cả 3 viên lấy ra đều trắng. 
          b) Tính xác suất trong 3 viên lấy ra có hai viên trắng. 
     Giải. 
          Gọi A, B, C là biến cố viên phấn lấy ra từ hôp thứ nhất, thứ hai, thứ ba là viên trắng. Ba biến cố này độc lập. 
          a) Biến cố cả ba viên đều trắng là  
          b) Biến cố 3 viên lấy ra có 2 viên trắng là
BT6. 
         Một lô hàng chứa 10 sản phẩm , trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng 2 sản phẩm . Gọi X là số sản phẩm tốt có trong hai sản phẩm chọn ra . 
     a) Lập bảng phân bố xác suất của X. 
     b) Tính kì vọng , phương sai và độ lệch chuẩn của X. 
     Giải. 
     a) Ta thấy X là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 . Ta có 
       Vậy bảng phân bố của X là 
X
0
1
2
P
2/15
8/15
1/3
      b) Kì vọng , phương sai và độ lệch chuẩn của X