Bài giảng Bài toán tính tỷ số thể tích của hai phần khối hình học tạo thành do một thiết diện phân chia một khối đa diện

 II- BÀI TOÁN TÍNH TỶ SỐ THỂ TÍCH CỦA HAI PHẦN KHỐI HÌNH HỌC TẠO THÀNH DO MỘT THIẾT DIỆN PHÂN CHIA MỘT KHỐI ĐA DIỆN.1. Nhận xét: Mặt phẳng (P) chia khối đa diện (T) thành hai khối (T1) có thể tích V1 và (T2) có thể tích V2 . Bài toán đặt ra là tính tỉ số k = V1/V2 .Nhận xét Nhìn chung các khối (T1) và (T2) có hình dạng phức tạp nên để tính V1 hoặc V2 thường phải dùng một trong hai cách sau: - Cách bổ sung: Bổ sung vào khối đa diện cần tính một số khối tứ diện để được một khối đa diện quen thuộc mà ta có thể tính được thể tích của nó. Hiệu số giữa thể tích tính được và tổng các thể tích của các khối tứ diện đã bổ xung là thể tích cần tínhNhận xét - Cách phân chia: Phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành các khối đơn giản mà ta có thể tính thể tích của từng khối đó. Lấy tổng các thể tích của các khối tính được đó là thể tích cần tính. Sau khi tính V1, thay cho việc tính V2 có thể tính thể tích V của khối T. Lúc đó V2 = V – V1 và k = V1/V2 =V1(V-V1) . 2. Bài toán cơ bản.Bài toán 1: Cho Góc tam diện Sabc. Trên Sa lấy các điểm A, A’. Trên Sb lấy các điểm B, B’ và trên Sc lấy các điểm C, C’. Gọi thể tích của các khối hình chóp S.ABC và S.A’B’C’ lần lượt là V và V’. Chứng minh rằng Bài toán 1 2. Bài toán cơ bản. Bài toán 2: Cho khối đa diện ABC.A1B1C1 có AA1 // BB1 // CC1 và AA1 = a, BB1 = b, CC1 = c. Một mặt phẳng (P) vuông góc với AA1 tạo với đa diện ABC.A1B1C1 một thiết diện tam giác có diện tích S. Gọi V là thể tích của đa diện. Chứng minh rằng: 	 Bài toán 22. Bài toán cơ bản. Bài toán 3: (định lý Mênêlaus)Trong khi tính tỷ lệ độ dài các đoạn thẳng ta thường gặp bài toán: Một đường thẳng d cắt 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1. Biết hai trong ba tỷ số ; ; cần tính tỷ số còn lại.Bài toán 3: (định lý Mênêlaus)Phát biểu đầy đủ của định lý Mênêlaus: 3 điểm A1, B1, C1 lần lượt thuộc 3 cạnh BC, CA, AB của ABC (hoặc phần kéo dài của 3 cạnh đó). Điều kiện cần và đủ để 3 điểm đó thẳng hàng là Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh BB1 và DD1 sao cho MB1 = ND1 = . Mặt phẳng (AMN) chia hình lập phương thành hai khối. Tính thể tích của mỗi khối đó.Ví dụ 1Một số ví dụ minh họaVí dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. cạnh SA vuông góc với đáy ABCD, cạnh SC làm với mặt phẳng (SAB) một góc u. Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SC tạo với hình chóp một thiết diện chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.Ví dụ 2.Một số ví dụ minh họaVí dụ 3. Cho hình chóp đều S.ABCD. các điểm M, N, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNE) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó.Ví dụ 3Một số ví dụ minh họaVí dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O. Một mặt phẳng (P) đi qua O và song song với mặt phẳng (SAB) chia hình chóp đã cho thành hai phần. tính tỷ số thể tích của hai phần đó.Ví dụ 4Một số ví dụ minh họaVí dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc u. Mặt phẳng (P) chứa AC vuông góc với mặt (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỷ số thể tích của hai phần đó Ví dụ 5