Bài giảng 7 ( 4 buổi): Tam giác lượng

 Bài giảng7 ( 4 buổi)
Tam giác lượng
A- Các hệ thức trong tam giác
 Trong mục này ta quy định cho ABC với: A; B; C là các góc.
 a; b; c: độ dài các cạnh đối diện với các góc A; B; C...
	I- Hệ thức trong tam giác vuông:
Cho vuông ABC, kẻ đường cao AH. Ta có các hệ thức:
A
B
C
H
a
b
c
 + a2 = b2 + c2 hay sin2A = sin2B + sin2C.
	+ AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC.
	+ AH2 = BH.CH; .
	+ sinB = cosC, tgB = cotgC,...
	II- Hệ thức trong tam giác thường:
1- Công thức về đường phân giác: 
 la =; lb = ; lc = ; (1)
 Từ (1) suy ra:
	+ 
	+ .
2- Công thức về đường trung tuyến:
	(2)
Từ (2) suy ra : 
 4( ma2 + mb2 +mc2) = 3(a2 + b2 + c2 ).
Bài tập1
 Cho tam giác ABC, biết trung tuyến AM và BN vuông góc
 với nhau. Chứng minh: sin2A + sin2B = 5sin2C .
3-Các công thức tính diện tích:
 S = aha = bhb = chc (a)
	S = absinC = bcsinA = acsinB (b)
	S = pr (c); S = (d), S = (p-a)ra (e)
	S = 
Bài tập2 
 Chứng minh công thức: S = p2tgtgtg.
4-Các định lý quan trọng:
 + Định lý hàm số sin: = 2R (3).
 Chú ý: Từ (3) có thể suy ra nhiều công thức khác.
 + Định lý hàm số cos: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA ,...(4).
 Chú ý: Từ (4) ta suy ra các kết quả sau:
 (*) cosA =;... 
	 (*) nếu a2 > b2 + c2 thì góc A > 900 
 nếu a2 < b2 + c2 thì góc A < 900
Bài tập3 Chứng minh các công thức:
 a) cotgA =; b) cotgA + cotgB + cotgC = .
5- Các hệ thức lượng giác trong tam giác 
 	Cho tam giác ABC ta có các hệ thức sau:
	 (1)
	 (2)
	 (3)
	 (4) 
	 (5)
	 (6)
	 (7)
	 (8)
	 (9)
	Chú ý: ý nghĩa của đẳng thức (7)
5- Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
 	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)
	(14)
III- Phần bài tập
Bài1) 	Tính các góc của tam giác ABC biết: 
	a) a : b : c = 	(ĐS: 750, 600, 450)
	b) a : b : c = 	(ĐS: 1050, 300, 450)
	c) a : b : c = 	(ĐS: 1200, 450, 150)
Bài2)	Tính góc A của tam giác ABC biết:
	a) a2 = b2 + c2 - bc ; b) a2 = b2 + c2 +bc ;
	c) sinA = ;
	d) sin2A = ;
Bài3)	Các góc của tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thoả mãn
	 một trong các điều kiện sau:
	a) sin3A + sin3B + sin3C = 0 (1)
	b) 	 (2)
	c) sin5A + sin5B +sin5C = 0
Bài4)	Tính các góc của tam giác ABC biết:
Một số bài toán nhận dạng tam giác
(*) Nhận dạng tam giác vuông
Bài5) Chứng minh rắng tam giác ABC vuông nếu thoả mãn một
 trong các điều kiện sau:
	a) sin2A + sin2B + sin2C = 2.
 b) sinA = 
	c) cos2A + cos2B + cos2C = -1
	d) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
	e) sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
	g)3( cosB + 2sinC ) + 4( sinB + 2cosC) = 15.
Bài6) Chứng minh rắng tam giác ABC vuông nếu thoả mãn một
 trong các điều kiện sau:
	a) 
	b) sinB + cosB = 
	c) 
	d) r(sinA + sinB) = c
	e) acotgA +bcotgB = c
	g) cotg2C = ( cotgC - cotgB)
	HD: b) Chứng minh a2(p - a) + b2(p - b) + c2(p -c) =
	 = abc( cosA + cosB + cosC) 
Bài7)	 Nhận dạng tam giác ABC, biết:
	a) acosB - bcosA = asinA - bsinB (vuông hoặc cân)
	b) (vuông hoặc cân)
Bài8)	Cho tam giác ABC thoả mãn hệ điều kiện:
	a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
	b) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài9) Cho tam giác ABC, biết: và sin2A + sin2B = .
	Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
	HD: * Giả sử C
	 sin2C sinC = 1.
	* giả sử C < 900 : ta có sin2A + sin2B + sin2C = 
	 2 + 2cosA.cosB.cosC > 2 suy ra: sin2C + > 2
	 vô lý.
Bài10) 
	a) Cho tam giác ABC, biết: 3r = p.tg (*). Chứng minh
 các cạnh tam giác lập thành một cấp số cộng.
	b) Giả sử tam giác ABC thoả mãn điều kiện (*) và đồng 
 thời thoả mãn điều kiện: cosA + cosB + cosC = .
 Chứng minh tam giác ABC vuông và tính các góc A, B, C
 HD: b) Sử dụng định lý hàm số cosin
Bài10(*) Xác định dạng của tam giác ABC biết: 
	HD: Cách1: Sử dụng định lý hàm số cos suy ra hệ:
 .
 Cách2: Hệ đã cho tương đương với hệ: 
 suy ra sinC(cosA-cosB) = sinA - sinB suy ra A = B
(**) Nhận dạng tam giác cân
Bài11) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu thoả mãn một
	 trong các điều kiện sau:
	a) a = 2bcosC
	b) (p - b)cotg = ptg	
	c) atgA + btgB = (a + b)cotg
	d) 
	e) 
	g) tgA + 2tgB = tgA.tg2B
	HD: e) cotg2A = , cotg2B = và áp dụng bđt: 
 với a, b dương.
Bài12) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu thoả mãn một
	 trong các điều kiện sau:
	a) a2sin2B + b2sin2A = c2cotg
	b) 
	c) tg2A + tg2B = (Giả thiết A, B là góc nhọn)
	HD: a) Sử dụng định lý H/S sin và biến đổi
	b) . Hệ thức đã cho tương
	 đương với: 
	c) Theo BĐT Bunhia ta có: tg2A + tg2B 
	 mà tgA + tgB = 	
	 . Từ đó suy ra ĐPCM	
(***) Nhận dạng tam giác đều
Các phương pháp nhận dạng tam giác đều
	+ Tam giác cân có góc 600.
	+ Chứng minh trực tiếp tam giác đều.
	+ dùng hằng đẳng thức, bất đẳng thức.
Bài13) 
	Cho tam giác ABC thoả mãn hệ điều kiện: 
	Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài14) Tương tự Bài13) thay điều kiện (1) bởi điều kiện:
	 sinB.sinC = 3/4 (3)
Bài15) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thoả
	 mãn điều kiện: 2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + c
	 	HD: đưa về sinA/2.sinB/2.sinC/2 = 1/8.
Bài16) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thoả
	 mãn điều kiện:
Bài 17) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thoả
	 mãn một trong các điều kiện:
	a) 2( (1)
	b) bc = R( 2b + 2c - a) (2)
	HD: a) 
	b) + Sử dụng định lý hàm số sin.
	 + sinB
Bài 18) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thoả
	 mãn một trong các điều kiện:
	a) cosA + cosB + cosC = sinA/2 + sinB/2 + sinC/2 (1)
	b) 	 (2)
	c) 	 (3)
	HD: a) (1)
	b) + Ta có: 
 + Chứng minh:
	c) Đặt cotgA/2 = a, cotgB/2 = b, cotgC/2 = c, ta có:
	 a + b + c = abc. Ta c/m: a + b + c 3(1/a + 1/b + 1/c)
 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ( Hiển nhiên)
Bài 19) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thoả
	 mãn một trong các điều kiện:
	 a) 
	 b) 
 HD: a)
 Do: suy ra đpcm.
 b) + Đặt tg2A/2 = x, tg2B/2 = y, tg2C/2 = z
 + Ta có suy ra: 3(x3+y3+z3)(x+y+z)(x2+y2+z2)
 mà x2+y2+z2 . Mặt khác:
 x+y+z = tg2A/2 +tg2B/2 +tg2C/2 tgA/2tgB/2+... = 1 suy ra:
 x3 + y3 + z3 1/9 từ đó suy ra đpcm.
Bài 20) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu thoả
	 mãn một trong các điều kiện:
	a) 1 + cosAcosBcosC = 9sinA/2sinB/2sinC/2. (1)
	b) (tgA+tgB+tgC)(cotgA+cotgB+cotgC) =
 (tgA/2+tgB/2+tgC/2)(cotgA/2+cotgB/2+cotgC/2).
 Với điều kiện tam giác ABC nhọn 
	HD: a) (1) tương đương với:
 8cosA/2.cosB/2.cosC/2(1 + cosA.cosB.cosC) =
 9sinA/2.sinB/2.sinC/2.cosA/2.cosB/2.cosC/2
 	 (sinA + sinB +sinC)(sin2A +sin2B + sin2C) =
	 9sinA.sinB.sinC. áp dụng bđt Cauchy suy ra đpcm .
 	b) Ta có cotgA + cotgB =
	 tgA + tgB = (do ABC nhọn)
(****) Một số bài toán nhận dạng khác 
Bài21)
 Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = b, BC = a , A = 200
 Chứng minh hệ thức: a3 + b3 = 3ab2 .
 HD: áp dụng định lý hàm số sin, thay a = 2RsinA, ...
Bài22) Cho tam giác ABC có góc không nhỏ hơn 1200 và thoả mãn 
 hệ thức: . Tính A, B, C.
	 HD: Giả sử . Ta có tgA/2 +tgB/2 +tgC/2
	= tgA/2 + .
 Đặt tgA/4 =t, . Xét f(x) = , fmax= 4-.
 Suy ra : B = C = 300, A = 1200.
Bài23) Xác định dạng của tam giác ABC trong các trường hợp:
	a) ĐS: Tam giác đều hoặc vuông cân
	b) ĐS: Tam giác đều.
Bài24) Cho tam giác ABC.
	a) Biết: . Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC.
	b) Biết: và A = 600. Chứng minh tam giác ABC đều.