Bài giảng 1 (5 buổi ) Phương trình , hệ phương trình đại số và vô tỷ

 Bài giảng 1 (5 buổi )
phương trình , hệ phương trình đại số và vô tỷ
A- Những vấn đề cần chú ý
1- Phép biến đổi đại số của các pt, hpt
 + Các phép biến đổi hằng đẳng: đơn giản biẻu thức , thêm bớt, 
 phân tích thành thừa số, làm mất mẫu số, trục căn thức, ...
 + Sự tương đương trong các phép biến đổi pt, hpt. Phân biệt 
 được phép biến đổi hệ quả và phép biến đổi tương đương.
 Tránh sự tuỳ tiện , biến theo đổi thói quen. Một số thí dụ:
 1) 
 2) (x-2) (x2 - 4x + 11) = (x-2) (x+1) x2- 4x +11 = x +1 
 3) 4- x = (x - 2 )2 
 + Đặt điều kiện cho ẩn số (tập xác định của pt): chú ý điều kiện
 của ẩn số có được đặt ngay từ đầu cũng có khi sau một số bước 
 biến đổi( tương đương), đăc biệt có những bài toán giải bằng
 phương pháp biến đổi hệ quả thì không cần đặt đ/k mà chỉ thử 
 lại kết quả.
 Thí dụ : Giải pt 
2- Các dạng bài tập thường hay gặp
 (1)pt đại số dạng đa thức: bậc nhất, bậc2, bậc cao (trùng phương,bậc 3,...)
 (2) pt đại số dạng phân thức mà khi giải biến đổi đưa về dạng (1)
 (3) Phương trình vô tỷ ( gồm các loại căn bậc 1, bậc 3, bậc cao)
 (4) phương trình hỗn hợp các loại trên
 (5) hệ phương trình : hệ kết hợp 2, 3 các loại pt ở các dạng trên.
 Chú ý: trong những năm gần đây các đề thi vào đại học hay có hệ pt
3- Những kỷ năng của học sinh
 + kỷ năng nhận biết dạng pt, hpt (loại nào)
 + kỷ năng biến đổi thành thạo.
 + kỷ năng tính toán.
 + kỷ năng trình bày
A- Phần bài tập
I- Một số pt dạng đa thức, phân thức
 Bài1: giải pt 3x2 +2x -11 - 8 = 0
 Bài2: Giải pt (x2-1)(x2 +12x +35) = 64
 Bài3: a) x4 - 2x3 + 3/4.x2 - 2x + 1 = 0 ; b) ( x- 3)4 + ( x - 1)4 = 2
 Bài4: a) ( x2 - 3x + 1)2 - 2x2 + 6x - 5 = 0
 b) ( x2 +3x - 4)2 + 3( x2 +3x - 4) = x + 4
 HD: ( x2 + 3x - 4)2 + 4(x2 +3x - 4) = x2 + 4x 
 Bài5: a) ; b) 
 Bài6: a) ; b)
 c) ; d) 2x4 - 
 Bài7: a) ; b) 
II) Một số bài tập về pt vô tỷ và hỗn hợp
 Chú ý: Một số dạng biến đổi tương đương cơ bản
 + f(x) = 
 + = 
Bài1: Giải các pt
 a) ; b)
 c) 3x - 2 = 3
Bài2: Giải các pt
 a) ; b); c)
 d) ; e) 
 g) ; h) 
Bài3: (Nhân biểu thức liên hợp)
 a) ; b) 
c); d)
 e)
Bài4: ( dùng ẩn phụ)
 a) Giảipt : 
 b) Cho pt: 
 + Giải pt khi m = 3
 + Tìm đ/k của m để pt có nghiệm
 c) Giải pt: 1+ . HD: Đặt 
 d) Giải pt: . HD: Đặt 
 e) Giải pt: ( x - 3 )( x + 1) +.HD: Đặt
 g) Giải pt: 
Bài5: (Đưa về hệ)
 a) Giải pt: x3+ 1= . HD: đặt t =.
 b) Giải pt: 2(x2+ 1) = . HD: đặt 
 c) Giải pt: x2 +3x - 1 = .HD: x2+3x - 1 = 2(x - 1) + x2 +x +1.
 d) Giải pt: . 
 HD: Chuyển vế , bình phương ,đặt u= 
III)Hệ pt đại số, vô tỷ và hỗn hợp
1- Hệ pt đẳng cấp :
 + Phương trình đẳng cấp hai ẩn: 
 ax2 + bxy + cy2 = 0 (1) ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 = 0 (2)
 (1) là pt đẳng cấp bậc 2 ; (2) là pt đẳng cấp bậc 3. Các pt này
 có 1 cặp nghiệm tầm thường (0;0). Ngoài ra ta có thể suy ra 
 tỷ số của x và y bằng cách chia cả hai vế cho y2 (hoặc y3).
 Khi đó nếu ghép pt đó với một pt nào đó nữa thì ta có một hệ 
 ta gọi đó là hệ pt đẳng cấp.
 + Hệ pt đẳng cấp là hệ mà trong đó có một pt đẳng cấp hoặc từ 
 hai pt của hệ ta suy ra được một pt đẳng cấp. Có các loại hệ 
 pt đẳng cấp bậc 2 , bậc 3.
 Bài tập
 Bài1: Giải các hệ pt sau :
 a) b) c) .
 Bài2 Giải các hệ a) b) 
2- Hệ pt đối xứng :
 + Hệ pt hai ẩn mà nếu ta thay đổi hai ẩn cho nhau thì hệ vẫn
 không có gì thay đổi ,có nghĩa là nếu hệ có cặp nghiệm (a; b)
 thì cũng có cặp nghiệm (b;a)
 + Hệ đối xứng có nhiều dạng khác nhau ; mỗi một pt của hệ của
 hệ có thể mang những hình thức khác nhau.
 Về phương pháp giải: 
 Có một số phương pháp hay sử dụng:
 + Biến đổi pt : Cộng , trừ hai vế pt cho nhau.
 + Dùng phương pháp hàm số (xét tính đồng nghịch biến) 
 + Phương pháp đặt ẩn phụ.
 + Phương pháp bất đẳng thức .
 Bài tập
Bài1) Giải các hệ pt sau (Phương pháp ẩn phụ)
 a) b) c)
 d) e) g)
Bài2) Giải các hệ pt sau (Phương pháp ẩn phụ)
 a) b) 
 c) d) 
 e) g).
 Các phương pháp biến đổi kháccủa hệ đối xứng
Bài2) Giải các hệ pt sau (cộng trừ các vế cho nhau)
 a) b) 
 c) d)
2-Một số hệ phương trình khác :
 * Hệ mà khi giải ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
 Bài1) Giải các hệ pt sau:
 a) b) c) (*) 
 d) HD: (*)
Bài2) Giải các hệ pt sau:
 a) (PP ẩn phụ hoặc nhân liên hợp)
 b) c) 
 HD: Bình phương cả 2 pt rồi trừ cho nhau.
 c) d) 
 e) (Quân sự 2002) HD: (*) pt đầu tương
 đương với pt: kết hợp với pt sau ta có: 2x+y-1=
 2y-x suy ra y = 4x-1.
 g) ( Thi vào ĐH 2003)
Bài3) (Phương pháp BĐT) Giải các hệ pt sau: 
 a) b) c)
 d) :x,y>0, Dùng Bu..., chia pt(*)cho xy 
 e) ; g) 
***************
IV-hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
******************
1- Tóm tắt việc giải và biện luận
 Cho hệ (a,a',b,b' không đồng thời bằng 0)
 D = ab'-a'b ; Dx = cb'- c'b ; Dy = ac' - a'c.
 + D 0 (), Hệ có nghiệm duy nhất: .
 + D = 0 () : .
2- Bài tập
 Bài1: Giải và biện luận các hệ sau
 a) ; b) 
 Bài2: Cho hệ . 
 Hãy tính m và p theo a và b để hệ trên có vô số nghệm.
 Bài3: Cho hệ . 
 Tìm a để hệ có duy nhất một cặp nghiệm.
 Bài4: Cho hệ 
 a) Giải và biện luận hệ trên.
 b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm x;y thoả mãn
 bất đẳng thức .
 c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với m.
 d) Tìm m nguyên để x và y đều nguyên.
 Bài5: Cho hệ 
 a) Giải và biện luận hệ trên.
 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với a.
 c) Tìm điều kiện của a để hệ có nghiệm xR+, yR- 
 Bài6: a) Tìm m để hệ sau vô định 
 b) Tìm m, n để hệ sau vô nghiệm 
Một số bài tập vận dụng hệ pt bậc nhất 2 ẩn
 Bài7: Chứng minh rằng nếu hai pt: ax2 + bx + c = 0 và 
 a'x2 + b'x + c' = 0 có nghiệm chung thì ta có hệ thức: 
 (a'c - ac')2 = (ab'- a'b)(bc' - b'c) .
 Bài8: Cho hệ có nghiệm . Chứng minh rằng:
 a3 + b3 + c3 = 3abc 
 Bài9: Tuỳ theo a hãy tìm GTNN của hàm số:
 f(x;y) = 
 Bài10: Tìm điều kịên của a để với mọi b đều tìm được c sao cho
 hệ pt sau có ít nhất một nghiệm 
 Bài11: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m
 thì GTNN của hàm số:
 f(x;y;z;t) = luôn luôn bằng 0.
*******************