Ba phương pháp đại số giải phương trình hàm

Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 1 
LỜI NÓI ðẦU 
Thật khó mà phân biệt một cách rạch ròi giữa các loại toán: ðại số, Giải tích, 
Số học, Hình học cũng như Tổ hợp. Tuy nhiên, nếu ñể ý trong thời gian qua, các 
bài toán thi học sinh giỏi các cấp nói chung thì hầu như bài toán thuộc loại nào ñều 
tồn tại một lời giải thuộc loại tương ứng cho nó. Vì vậy, nếu nắm ñược ý này thì 
việc ñịnh hướng tìm lời giải của thí sinh cũng dễ dàng hơn. Trên tinh thần ñó, Tôi 
cũng ñã chia các phương pháp giải phương trình hàm ra thành ba dạng: Phương 
pháp ñại số, Phương pháp giải tích và Phương pháp số học. Trong sáng kiến kinh 
nghiệm lần này, Tôi lựa chọn ba phương pháp tương ñối phổ biến của ñại số ñể 
giới thiệu ñó là: Chọn giá trị ñặc biệt của ñối số; Lập phương trình, hệ phương 
trình ñể giải và Vận dụng tính ñơn ánh, toàn ánh của hàm số cũng như việc 
xem tập xác ñịnh, tập giá trị của hàm số ở một khía cạnh khác. 
Theo Tôi, ñối với một học sinh giỏi, việc trình bày lại lời giải của một bài toán 
khi ñã biết cách giải không phải là vấn ñề khó. Vì vậy, ñể bài viết không quá dài 
Tôi chỉ ñưa ra cách phân tích tìm lời giải mà không trình bày lời giải chi tiết. 
 Mặc dù rất nghiêm túc, cố gắng trong quá trình làm sáng kiến kinh nghiệm 
này nhưng khó tránh khỏi thiếu sót rất mong sự góp ý của ñồng nghiệp. 
 Pleiku, Tháng 03 năm 2011. 
Người viết. 
 Huỳnh Thanh Luân. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 2 
NỘI DUNG CÁC PHƯƠNG PHÁP 
Phương pháp I: CHỌN GIÁ TRỊ ðẶC BIỆT CỦA ðỐI SỐ. 
Trước tiên hãy xem cách tìm lời giải của các bài toán sau: 
Bài toán 1: Tìm hàm số ( ): 0; ,f +∞ →ℝ thỏa mãn ñiều kiện sau: 
( )
( ) ( ) ( )
11
2
3 3
, , 0
f
f xy f x f f y f x y
y x

=


    = + ∀ >     
 (1)
Phân tích tìm lời giải: 
Trong tính chất ñề cho có chứa phép toán nhân và thương giữa hai ñối số nên 
ta sẽ thử chọn một ñối số bằng ñơn vị của phép nhân. 
Chọn 1y = ta ñược một tính chất của hàm: 
( ) ( ) ( ) ( ) 33 1 , 0f x f f x f f x
x
 
= + ∀ > 
 
 (2) 
Như vậy ta có nhu cầu tính ( ) ( )3 , 1f f . 
Từ tính chất (2) của hàm số, khi chọn ñối số lần lượt là 3 và 1 ta ñược: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 3 1 . 3
1 1 . 3 1
f f f f
f f f f

= +   

= +    
Từ ñó ta tính ñược ( ) ( ) 11 3
2
f f= = . 
Do ñó tính chất (2) trở thành: 
( ) ( ) ( )1 1 3 3, 0 , 0
2 2
f x f x f x f f x x
x x
   
= + ∀ > ⇔ = ∀ >   
   
 (3) 
Theo tính chất (3) thì tính chất (1) của hàm số trở thành: 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 3 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , , 0 2 2 2 , , 0f xy f x f y x y f xy f x f y x y= ∀ > ⇔ = ∀ > (4) 
ðể nhìn cho dễ ta ñặt ( ) ( ) ( )0; 2 , 0x f x x+∞ → = ∀ >g: ;gℝ . Khi ñó hàm 
( )y g x= có các tính chất sau: 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
, , 0
3
, 0
1 3 1
g xy g x g y x y
g g x x
x
g g
= ∀ >

  
= ∀ >  
 
 = =
Ta có: 
( ) ( ) ( )23 3. , 0 1 , 0 1, 0g x g x g x g x x g x x
x x
   
= ∀ > ⇔ = ∀ > ⇔ = ∀ >      
   
Vì hàm nhân tính luôn nhận giá trị không âm. 
ðến ñây ta ñã tìm ra lời giải cho bài toán. 
Lưu ý: Dù hàm ( )y g x= nhân tính nhưng ta không suy ra ñược là hàm lũy thừa vì 
ta chưa có tính liên tục của nó. 
Bài toán 2: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( ) 22 2 2 , ,f x y x yf x f y x y− = − + ∀ ∈   ℝ (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Từ tính chất của hàm số mà ñề cho ta sẽ nghĩ ñến việc thử chọn hai ñối số 
bằng nhau. Khi ñó ta ñược tính chất sau. 
( ) ( ) 20 ,f f x x x= − ∀ ∈   ℝ (2) 
Như vậy ta có nhu cầu tính ( )0f . 
Theo tính chất (2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 1 0 0f f f f= ⇒ = =   hoÆc 
( )1: 0 0TH f = 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 4 
 Từ tính chất (2) ta ñược ( ) , .f x x x= ∀ ∈ℝ 
( )2 : 0 1TH f = 
Theo tính chất (2) thì với mỗi số thực bất kỳ x thì ( ) 2 1f x x− =   tức 
( ) 1.f x x= ± 
Ta cần lưu ý rằng kết quả ta tìm ñược trên chưa xác ñịnh hàm số vì với mỗi 
phần tử nào ñó của tập xác ñịnh ta vẫn chưa xác ñịnh ñược ảnh của nó. Khi gặp 
trường hợp này ta giải quyết như sau: 
ðầu tiên ta thử xem hai hàm số 
( )
( )
1,
1,
f x x x
f x x x
= + ∀

= − ∀
 có phải là nghiệm của 
phương trình hay không. Nếu chúng là nghiệm thì ta sẽ ñi chứng minh hoặc 
( ) 1,f x x x= + ∀ ∈ℝ hoặc ( ) 1,f x x x= − ∀ ∈ℝ bằng phản chứng. Tức giả sử tồn 
tại hai số ,a b sao cho 
( )
( )
1
1
f a a
f b b
= +

= −
 rồi ñi tìm mâu thuẫn. Còn nếu thấy hàm số 
nào không phải là nghiệm thì ta sẽ chứng minh không xảy ra trường hợp tương 
ứng. Ví dụ trong bài này hàm ( ) 1,f x x x= − ∀ ∈ℝ không là nghiệm nên ta sẽ 
chứng minh ( ) 1,f x x x≠ − ∀ ∈ℝ bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử 
( ): 1t f t t∃ ∈ = −ℝ ta có: 
Từ tính chất (1) chọn 
0
x t
y
=

=
 thì ta ñược ( )2 2 1f t t= + , còn chọn 0xy t
=

=
 thì ta lại 
có 
( ) ( ) ( )2 22 22 2 1 4 1f t t f t t t t t= − + = − + − = − +   . 
Suy ra 2 21 4 1 0t t t t+ = − + ⇔ = 
Như vậy : ( )1 0 0 1f= = − (mâu thuẫn). 
ðến ñây ta ñã tìm ra lời giải cho bài toán. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 5 
Bài toán 3: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,f x y f x f x y yf y x y+ = + + ∀ ∈ℝ (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Từ tính chất của hàm số mà ñề cho ta sẽ nghĩ ñến việc thử chọn hai ñối số ñối 
nhau. Khi ñó ta ñược các tính chất sau. 
Trong (1) nếu chọn x t
y t
=

= −
 với t bất kỳ thì 
( )( ) ( ) ( ) ( )20 ,f f t f t tf t t= − − − ∀ ∈ℝ . (2) 
Còn nếu chọn 
x t
y t
= −

=
 với t bất kỳ thì 
( )( ) ( ) ( ) ( )20 ,f f t f t tf t t= − + ∀ ∈ℝ (3) 
Từ ñó suy ra 
( ) ( ) ( ) ( ), , 0tf t tf t t f t f t t= − − ∀ ∈ ⇒ − = − ∀ ≠ℝ (4) 
Và do ñó các tính chất (2), (3) ñược viết lại. 
( )( ) ( ) ( )2 20 , 0f f t tf t t= − + ∀ ≠ (5) 
Ta cần tính ( )0f . Vì tính chất (5) chỉ ñúng với 0t ≠ nên ñể tính ( )0f ta sẽ biến 
ñổi (5) như sau. 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 20 , 0 0 , 0 0 0
2 4 4
t t tf t f t f t f − = − ∀ ≠ ⇒ ≥ ∀ ≠ ⇒ = 
 
Và do ñó với mỗi số thực bất kỳ 0t ≠ thì 
( ) ( ) ( )( )
2 00
f tf t tf t f t t
=
= − + ⇒ 
=
ðến ñây, giống như ñã lưu ý ở phần trước ta sẽ thử và nhận thấy cả hai 
hàm ( ) ( )0, ,f x x f x x x= ∀ ∈ = ∀ ∈ vµ ℝ ℝ ñều là nghiệm của phương trình nên ta sẽ 
chọn cách chứng minh sau. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 6 
Giả sử 
( )
( )
0
0 :
f a
ab f b b
=∃ ≠ 
=
. 
Theo tính chất (1) nếu chọn x a
y b
=

=
 thì ta có 
( )( ) ( )2 2 0f a b b f a b a b+ = ≠ ⇒ + = + 
và do ñó 
( )2 2 2a b ba b b a b
a b b
+ =
+ = ⇒ ⇒ = − + = −
Cũng lại từ (1) nếu chọn 
2
x b
y a b
=

= = −
 thì 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 23 2 2 3
3 0 3 3 3 0
f b f b f b bf b b bf b
f b b f b b b b b
− = − − − ⇒ = −
⇒ = − ≠ ⇒ = ⇒ = − ⇒ = ><
Bài toán ñã tìm ñược lời giải. 
Bài toán 4: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( )2 4 , ,f f x y f x y yf x x y+ = − + ∀ ∈ ℝ (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Do trong tính chất của hàm mà giả thiết cho có dạng “vi phân cấp 2” 
( )( ){ }f f x y+ nên ta thử chọn ñối số sao cho hai số hạng ( )( )f f x y+ và ( )2f x y− 
triệt tiêu. 
Ta thấy ( ) ( )2 21
2
f x y x y y x f x + = − ⇔ = −  , nên với t là một số thực tùy 
ý theo tính chất (1) chọn ( )21
2
x t
y x f x
=


 = −  
 ta ñược 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 7 
( ) ( ) ( )( )
2
2
0
2 0
f t
t f t f t f t t
=
 − = ⇒  
=
Cách giải quyết khi gặp tình huống này ta ñã biết. 
Giả sử: 
( )
( ) 2
0
0 :
f a
ab f b b
=∃ ≠ 
=
. Từ tính chất (1) của hàm số 
*) Nếu chọn x a
y b
=

=
 thì có 
( )( ) ( ) ( )2 4f f a b f a b bf a+ = − + 
( )2 2 0f a b b⇒ − = ≠ 
( ) ( )22 2f a b a b⇒ − = − 
( )22 2 2 2a b b a b⇒ − = → = 
Tức ta có tính chất sau: Nếu ( )
( ) 2
0
0
ab
f a
f b b
 ≠

=

=
 thì 2 2a b= (2) 
*) Nếu chọn 
2
x a
y b
=

=
 thì có 
( )( ) ( ) ( )22 2 8f f a b f a b bf a+ = − + 
( )2 0f b⇒ = 
Suy ra 
( )
( )
( ) 2
. 2 0
2 0
b b
f b
f b b
 ≠

=

=
 theo (2) ta có ( )2 12 2 .
2
b b b= ⇒ = 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 8 
Như vậy ta lại ñược tính chất mới của hàm số ñã cho 
( )
21 1 1
2 2 4
10,
2
f
f x x
    
= =        


= ∀ ≠
. 
*) Cũng lại từ (1) nếu chọn 
1
2
0
x
y

=


=
 thì 
( )1 1 10
2 42
f f     ⇔ = ><   
   
=f 
Bài toán ñã tìm ñược lời giải. 
Bài toán 5: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f f x y f x f y f x f y xy x y− = − + − ∀ ∈ ℝ (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Cũng có nhận xét tương tự bài toán 4, tuy nhiên với giả thiết này Ta không 
chọn ñược giá trị của ñối số làm cho hai số hạng nào ñó triệt tiêu ñược nên Ta chỉ 
có thể chọn ñể xuất hiện các số hạng ñặc biệt, rồi sau ñó tìm cách tính giá trị hàm 
tương ứng ñể chuyển về dạng “vi phân cấp 1”. 
Chọn hai ñối số bằng nhau: ( )( ) ( ) 2 20 ,f f f x x x= − ∀ ∈   ℝ . (2) 
Cần tính ( )0f . ðặt ( )0f a= Ta ghi lại tính chất (2) 
( ) ( ) 2 2 ,f a f x x x= − ∀ ∈   ℝ (3) 
Từ tính chất (3) ta có: 
( ) ( )
( )
22 2 2
2 2 2 4 2 2
*) 0 ,
0
*)
2
x f a a f x x a x
a
x a f a a a a a a
a
= → = ⇒ − = ∀ ∈  
=
= → − = ⇒ − = ⇔   
= ±
ℝ
Ta dự ñoán rằng 0a = . 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 9 
Cũng lại từ (3), ( ) 22 2 4 2x a f a a a = → − =  , cần tính ( )2f a . Vì 
( ) ( )( )2f a f f a= nên từ (1) ta chọn 0
x a
y
=

=
. Khi ñó, 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 30 0f f a f a f f a f f a a a a= − + ⇒ = − + 
Suy ra 
( )22 3 4 2
00
2
a a a a a
aa
a

− + = +

⇔ = =

= ±
. 
Như vậy, (3) ñược viết lại, với mỗi số thực x bất kỳ thì 
( ) ( )( )
2 2
f x xf x x f x x
=
= ⇔   
= −
 . 
Cách xử lý tính chất này ñã tương ñối quen thuộc. Do ta nhận thấy hàm 
( ) ,f x x x= − ∀ ∈ℝ không là nghiệm của phương trình nên Ta làm theo hướng. 
Giả sử ( )0 0 0: .x f x x∃ ∈ = −ℝ Từ (1) có: 
( )
( ) ( )
0
0 0
0 0
0
*) .
0
0
*)
x x f x x
y
x f x f x
y x
=
→ − = −
=
=
→ − = −
=
Suy ra ( )0 0 0 0x x x− = − − ⇔ = . Với những tính chất ñã tìm ra thì ta có thể tìm 
ñược lời giải cho bài toán. 
Tổng kết: 
Một cách tương tự như việc biến ñổi khi giải “Phương trình số” mà Ta ñã 
quen thuộc, nhằm chuyển ñiều kiện của giả thiết thành các ñiều kiện ñơn giản hơn, 
thì trong giải Phương trình hàm, việc lựa chọn các biến số phù hợp với mục ñích từ 
tính chất của hàm mà ñề cho Ta thu ñược các tính chất khác của hàm ñơn giản hơn 
mà có lợi trong việc tìm ra hàm số. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 10 
Hai ñịnh hướng chính cho Ta chọn ñối ...  thực bất kỳ x ta có hệ. 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2 4
1 2
1 1 2 1 1
x f x f x x x
x f x f x x x
 + − = −

− − + = − − −
ðịnh thức của hệ: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2
2 2 2 2 2
2
1
1 1 ; 1 1 1
1 1 f x
x
D x x x x D x x x x x
x
= = − − − + = − − − − +
−
Suy ra, ( ) 2 21 , : 1 0f x x x x x= − ∀ ∈ − − ≠ℝ . 
Nếu gọi ,a b là hai nghiệm của pt 2 1 0x x− − = . Khi ñó ta có: 
( ) ( )21 , ,f x x x a b= − ∀ ≠ . 
ðể xác ñịnh giá trị của hàm tại ,a b ta thay nó vào lập hệ ñể giải. Lưu ý dùng ñịnh 
lý Viete. 
( ) ( )
( ) ( )
2 4
2 4
2
2
x a a f a f b a a
x b b f b f a b b
 = → + = −

= → + = −
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 14 
Hệ có 
x yD D D= = nên nghiệm của hệ chính là nghiệm của phương trình 
( ) ( ) ( )( )
2 4
4 2
,
2
2
f a
a f a f b a a f b a a a
α α
α
= ∈
+ = − ⇔ 
= − −
ℝ
Bài toán ñã tìm ñược lời giải. 
ðến ñây chắc ta sẽ ñặt câu hỏi là nếu hệ ta lập có ñịnh thức 0D = , hay 
nói cách khác là ta không thu thêm ñược tính chất nào mới khi tiến hành ñổi 
biến thì vấn ñề sẽ giải quyết ra sao? Hãy tìm hiểu chúng qua các bài toán tiếp. 
Bài toán 9: Tìm hàm số { }: \ 2 ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )2 5 3, 2
2
xf f x x
x
− 
+ = ∀ ≠ 
− 
Phân tích tìm lời giải: 
ðầu tiên ta sẽ chuẩn hóa, tức làm cho về phải bằng 0. 
( ) ( )2 5 2 5 3 33, 2 0, 2
2 2 2 2
x xf f x x f f x x
x x
− −   
+ = ∀ ≠ ⇔ − + − = ∀ ≠   
− −   
Nếu xét hàm mới ( ) ( ) 3 , 2
2
g x f x x= − ∀ ≠ thì hàm này có tính chất: 
( )2 5 0, 2
2
xg g x x
x
− 
+ = ∀ ≠ 
− 
Ta lưu ý là dãy 
1
1
2
2 5
, 1
2
n
n
n
x x
x
x n
x
+
= ≠

−
= ≥
−
 tuần hoàn chu kỳ 0 2n = nên ta không thu 
ñược tính chất mới của hàm từ việc ñổi biến. Lúc này ta cần hằng ñẳng thức hiển 
nhiên sau: 
[ ]10
2
a b a a b+ = ⇔ = − . 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 15 
Do ñó, 
( )2 5 0, 2
2
xg g x x
x
− 
+ = ∀ ≠ 
− 
( ) ( )1 2 5 , 2
2 2
xg x g x g x
x
 −  
⇔ = − + ∀ ≠  
−  
Ta sẽ chứng minh 
( ) ( )1 2 5 , 2
2 2
xg x g x g x
x
 −  
= − + ∀ ≠  
−  
( ) ( )1 2 5 , 2
2 2
xg x k x k x
x
 −  
⇔ = − + ∀ ≠  
−  
, 
với ( )y k x= là hàm số tùy ý xác ñịnh trên { }\ 2ℝ . 
Thật vậy. 
|⇒ Ta chỉ việc chọn hàm ( ) ( ), 2k x g x x= ∀ ≠ 
|⇐ ( ) ( ) ( )2 5 1 2 5 1 2 52,
2 2 2 2 2
x x x
x g x g k x k k k x
x x x
−  −   −      ∀ ≠ − = − − −        
− − −        
( ) ( )2 5 2
2
xk x k g x
x
− 
= − = 
− 
Thử một bài toán nữa ñể tìm câu trả lời. 
Bài toán 10: Tìm hàm số { }: \ 1;0 ,f − →ℝ ℝ thỏa 
( )( )( ) ( )( ) ( ) 0, 1;0f x f x f x xω ω ω+ + = ∀ ≠ − , 
trong ñó ( ) 1 , 1
1
x x
x
ω
−
= ∀ ≠ −
+
Phân tích tìm lời giải: 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 16 
Cũng tương tự như bài toán 9, dãy số tương ứng ở ñây ( )
1
1
1
, 1n n
x x
x x nω+
= ≠ −

= ≥
 là 
tuần hoàn chu kỳ 0 3n = , nên Ta cũng không giải bài này bằng phương pháp lập hệ. 
Hãy dùng ñẳng thức sau: 
( )10 2
3
a b c a a b c+ + = ⇔ = − − 
Khi ñó, 
( )( )( ) ( )( ) ( ) 0, 1;0f x f x f x xω ω ω+ + = ∀ ≠ − 
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )1 2 , 1;03f x f x f x f x xω ω ω ⇔ = − − ∀ ≠ −  
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )1 2 , 1;03f x g x g x g x xω ω ω ⇔ = − − ∀ ≠ −  
trong ñó ( )y g x= là hàm số tùy ý xác ñịnh trên { }\ 1;0−ℝ . 
Hãy chứng minh ñiều tương ñương thứ hai ñể hiểu cách chọn hằng ñẳng thức. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 17 
Phương pháp III: VẬN DỤNG TÍNH ðƠN ÁNH, TOÀN ÁNH CỦA 
HÀM SỐ; VIẾT LẠI TẬP XÁC ðỊNH, TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ 
DƯỚI DẠNG KHÁC. 
Trong loại này ta sẽ tìm những tính chất của hàm mà có thể trả lời hai câu hỏi 
sau: 
*) Có hay không số a sao cho ( )f a b= với số b ta muốn nào ñó? 
*) Một số thực bất kỳ có thể biểu diễn như thế nào thông qua các giá trị của hàm? 
Bài toán 11: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( )( )2 , ,f f x y x f f y x x y+ = + − ∀ ∈ℝ (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Từ giả thiết Ta nhận thấy nếu tồn tại số ( ): 0a f a = , thì trong (1) với việc 
chọn x a= ta có: 
( ) ( )( )2 ,f y a f f y a y= + − ∀ ∈ℝ 
( ) ( )( ),f y a a f f y a y⇔ − = + − ∀ ∈ℝ 
( )( ) ( ) ,f f y a f y a a y⇔ − = − − ∀ ∈   ℝ 
,y∀ ∈ℝ ñặt ( )x f y a= − thì ta ñược: ( ) .f x x a= − 
Vấn ñề bây giờ là liệu có số a như ñã yêu cầu. Hơn nữa, việc ñặt 
( ) ,x f y a y= − ∀ ∈ ℝ liệu ñã quét hết các giá trị trong tập xác ñịnh của hàm. Hai 
thắc mắc ñó sẽ ñược giải quyết nếu hàm là toàn ánh. 
Với số thực y bất kỳ ta cần tìm ( ): .x f x y∈ = ℝ 
ðể sử dụng ñược giả thiết của bài toán ta sẽ tìm x ở hai dạng. 
Dạng 1: ( )x f α β= + 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 18 
Khi ñó ta có ( ) ( )( ) ( )( )2f x f f f fα β α β α= + = + − 
( )( )
( )
2
0
f f y
f
α β α
α β β α
 + − =

− =
 CÇn chän , :
Hay 
( )0
2
?
y f
α
β
 −
=


=
, dạng này không chọn ñược β . 
Dạng 2: ( )x f α β= − 
Khi ñó, ( ) ( )( ) ( )( ) 2f x f f f fα β β α β= − = + − 
( )( )
( )
( )
( )
02
2
0
f yf f y
f f
β α β β
α β β α α β
− + − = = 
⇔ 
+ =  = −
CÇn chän , :
Bài toán ñã tìm ra ñược lời giải. 
Dấu hiệu 1: Nếu trong ñẳng thức thể hiện tính chất của hàm mà tồn tại biến ñộc 
lập không phải là ñối số của hàm thì có khả năng hàm là song ánh. 
Bài toán 12: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( )2 , ,f x f y xf x y x y+ = + ∀ ∈ℝ (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Từ (1) chọn 0x = ta ñược 
( )( ) ,f f y y y= ∀ ∈ ℝ (2) 
Hàm số có tính chất (2) dễ dàng chứng minh là một song ánh. 
Xét số ( ): 0.a f a = (tính toàn ánh của hàm số) 
Từ (1) Ta có: 
( )0*) 0 .x f a
y a
=
→ =
=
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 19 
( ) ( )2 2*) 0 0.0
x a f a a f a a a a a
y
=
→ + = = → + = → =
=
( ) ( )2*) 0 ,y f x xf x x= → = ∀ ∈ℝ 
Suy ra, với mỗi số thực x thì 
( ) ( ) ( )( ) ( )2 .f x xf x f f x f x= = , vì ( )( )x f f x= 
( ) ( )( ) ( )( )( )2.f x f f x f f x= = 
( )( )22x f x⇔ = , vì tính ñơn ánh của hàm 
( )f x x⇔ = ± 
Việc giải quyết vấn ñề này sẽ không nhắc lại tại ñây. 
Dấu hiệu 2: Nếu ( )( ) = + ∀ ∈ℝ,f f x ax b x thì f là song ánh. 
Bài toán 13: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( )2 , ,f x f y f x x f y x y− = + + ∀ ∈ ℝ 
Phân tích tìm lời giải: 
Trong (1) nếu chọn 0y = ta ñược. 
( ) ( )2 ,f x a f x x a x− = + + ∀ ∈ℝ , ở ñây ta ký hiệu ( )0f a= 
( ) ( )2 ,f x a f x x a x⇔ − − = + ∀ ∈ℝ 
ðiều này có nghĩa là với mọi số thực t luôn tồn tại ( ) ( ), : 2 .u v f u f v t− = 
Hay tập xác ñịnh ( ) ( ){ }= − ∈ℝ ℝ2 : ,f x f y x y . Do vậy mà ta bắt ñầu từ: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ), : 2x y f f x f y f f x f y f y∀ ∈ − = − −ℝ 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2f f x f y f x f y f y f f x f y f x= − + − + = − + 
Như vậy yêu cầu ñặt ra là phải tính ( ) ( )( ).f f x f y− Ta có: 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 20 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2f f x f y f f x f x f y− = + + 
Yêu cầu tiếp theo là tính ( )( )f f x . 
Trong (1) với việc chọn ( ) 0x f y− = ta ñược 
( ) ( )( ) ( ) ( )0 2 ,f f f y f y f y y= + + ∀ ∈ℝ , tức ( )( ) ( ) ,f f x f x a x= − + ∀ ∈ℝ 
Cuối cùng ta ñã tính ñược 
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 , ,f f x f y f x f y a x y− = − − + ∀ ∈   ℝ 
Vì tập ( ) ( ){ }− ∈ =ℝ ℝ2 : ,f x f y x y nên từ ñó ta suy ra ( ) = − + ∀ ∈ℝ,f x x a x . 
Bài toán ñã tìm ra lời giải. 
Bài toán 14: Tìm hàm số ( ) ( ): 0; 0; ,f +∞ → +∞ thỏa 
( )( ) ( )( ), , 0xf xf y f f y x y= ∀ > (1) 
Phân tích tìm lời giải: 
Tính chất (1) ñược viết lại 
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ), , 0 , , 0
f f y
xf xf y f f y x y x x yf xf y= ∀ > ⇔ = ∀ > 
Tức ta có ( ) ( )( )0; : , 0
f u
u vf v
  
+∞ = > 
  
. 
Tương tự bài trước ta lại bắt ñầu: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
1
, 0 : . .
f y f y
x y f f f x f f y f xf x f x f x
   
∀ > = =   
   
Cần tính ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 af f y ff y f y= = , ở ñây ta kí hiệu ( )1a f= . 
Như vậy cuối cùng ta tính ñược 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 21 
( )
( ) ( ) ( )
, , 0
f y af x yf yf x
f x
 
= ∀ > 
 
Suy ra ( ) , 0.af x x
x
= ∀ > Bài toán ñã tìm ra lời giải. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 22 
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài toán 15: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,xf y yf x x y f x f y x y+ = + ∀ ∈ ℝ 
Bài toán 16: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( )( ) ( ), ,f x yf x f f x xf y x y+ = + ∀ ∈ ℝ 
Bài toán 17: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( )
( )1
) , ,
) 0
i f x f y f y f x y x y
ii f −
− + = − ∀ ∈
 lµ tËp h÷u h¹n.
ℝ
Bài toán 18: Tìm hàm số *: ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
) 1 1
1 1 1) ; , : 0
)
i f
ii f f f x y xy x y
x y x y
iii x y f x y xyf x f y
=

     
= + ∀ ∈ + ≠     +     
 + + =
ℝ 
Bài toán 19: Tìm hàm số f thỏa một trong các tính chất sau: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 5 4 3,
12 1, 1
1
a f x xf x x x
xb xf x f x
x
+ − = + ∀ ∈
− 
+ = ∀ ≠ − + 
ℝ
( ) 3 3 , 1
1 1
x x
c f f x x
x x
− +   
+ = ∀ ≠ ±   + −   
( ) ( ) 1 1 , 0;1xd f x f x x
x
− 
+ = + ∀ ≠ 
 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 23 
Bài toán 20: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( ) ( )( ) ( )( )2 , ,f xf x f y f x y x y+ = + ∀ ∈ ℝ 
Bài toán 21: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1, ,f x f y f f y xf y f x x y− = + + − ∀ ∈ ℝ 
Bài toán 22: Tìm hàm số ( ) ( ): 0; 0; ,f +∞ → +∞ thỏa 
( ) ( ) ( )( ). , , 0f xf yf y f f x x y
y
 
= ∀ > 
 
Bài toán 23: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 , ,f x f y f y xf y f x x y+ = + + − ∀ ∈   ℝ 
Bài toán 24: Tìm hàm số : ,f →ℝ ℝ thỏa 
( )( ) ( ), ,f xf y x xy f x x y+ = + ∀ ∈ℝ 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 24 
KẾT LUẬN 
Các phương pháp viết trong sáng kiến này Tôi ñã dùng giảng dạy cho ñội 
tuyển học sinh giỏi Toán của trường THPT chuyên Hùng Vương năm 2011. ða số 
các em hiểu bài, vận dụng ñược phương pháp và từ ñó tự tin hơn khi gặp các bài 
toán về phương trình hàm. Hầu hết các em ñều giải quyết ñược các bài toán phương 
trình hàm trong các kỳ thi chọn ñội tuyển của trường và kỳ thi học sinh giỏi cấp 
Tỉnh vừa qua. 
www.VNMATH.com
Ba ph−¬ng ph¸p ®¹i sè gi¶i ph−¬ng tr×nh hµm Huúnh Thanh Lu©n 
Trang 25 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục năm 1999. 
2. Nguyễn Trọng Tuấn, Một số bài toán hàm số qua các kỳ thi Olimpic, Nhà xuất 
bản Giáo dục năm 2004. 
3. B.J. Venkatachala, Functional Equations - A problem Solving Approach, 
PRISM 2002. 
4. Conhiagghin , Các ñề vô ñịch Toán các nước, Nhà xuất bản Hải phòng 1993. 
5. Các tạp chí Kvant, Toán học và tuổi trẻ, tư liệu Internet. 
www.VNMATH.com