Áp dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số

ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
DOÃN XUÂN HUY --- THPT ÂN THI – HƯNG YấN Page 1 
ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 Nh- chúng ta đã biết: đạo hàm của hàm số là một giới hạn đặc biệt. Trong chuyên đề này 
tôi xin trình bầy một số bài toán mà để tìm đạo hàm của hàm số ta sử dụng định nghĩa của 
đạo hàm. 
Bài toán 1: Tìm L = 
2 5
0
( 2009) 1 9 2009
lim
x
x x
x
  
Giải : Đặt 2 5( ) ( 2009) 1 9 2009f x x x    ; do ( ) 0f x  nên 
L = 
0
( ) (0)
lim '(0)
0x
f x f
f
x



. Ta có: 
2
5
45
9( 2009)
'( ) 2 1 9
5 (1 9 )
x
f x x x
x

  

9.2009
'(0) 3616,2
5
L f      . 
 Bài toán 2: Tìm L = 
23
0
2 1 1
lim
x
x x
sinx
  
. 
Giải : Đặt 23( ) 2 1 1f x x x    thì f(x) = 0 và 
2 23
1 2
'( )
2 1 3 ( 1)
x
f x
x x
 
 
0
0
( ) (0)
lim
'(0)0'(0) 1 1
1
lim
x
x
f x f
fxf L
sinx
x



      . 
 Bài toán 3: Tìm L = 
0
1 2 1 s
lim
3 4 2x
x inx
x x
  
  
 . 
Giải: Đặt ( ) 1 2 1 sf x x inx    ; ( ) 3 4 2g x x x    (0) 0; (0) 0f g   
0
0
( ) (0)
lim
'(0) 00 0
( ) (0) '(0) 1/ 2
lim
0
x
x
f x f
fxL
g x g g
x



    


 . 
 Bài toán 4: Tìm L = 
sin 2
0
lim
x sinx
x
e e
sinx

 . 
Giải:Đặt sin 2 sin 2( ) (0) 0; '( ) 2 2 cos '(0) 1x sinx x sinxf x e e f f x cos xe xe f        . 
ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
DOÃN XUÂN HUY --- THPT ÂN THI – HƯNG YấN Page 2 
Từ đó: 
0
0
( ) (0)
lim
'(0)0 1
1
lim
x
x
f x f
fxL
sinx
x



   . 
Bài toán 5: Tìm L = 
3
2
4
1
lim
2 1x
tanx
sin x


 . 
Giải: Đặt 23( ) 1; ( ) 2 1 ( ) 0; ( ) 0
4 4
f x tanx g x sin x f g
 
       ; 
2 / 3 21'( ) tan (1 tan ); '( ) 2sin 2 '( / 4) 2/3& '( / 4) 2
3
f x x x g x x f g       . 
 Nhận xét: nếu các bài này không sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn thì sẽ 
rất phức tạp. Sau đây ta xét một số bài toán về giới hạn mà nếu không sử dụng định 
nghĩa đạo hàm thì không giải đ-ợc. 
 Bài toán 6: Tìm L = 
3
12
2 2 6
lim
2 2
x x
x xx

 
 

. 
Giải: Đặt 3 1( ) 2 2 6; ( ) 2 2 (2) 0; (2) 0x x x xf x g x f g          ; 
3 / 2 11 ln 2'( ) 2 ln 2 2 ln 2; '( ) 2 ln 2 2 ln 2 '(2) 2ln 2; '(2)
2 4
x x x xf x g x f g         
2
2
( ) (2)
lim
'(2) 2ln 22 8
( ) (2) '(2) (ln 2) / 4
lim
2
x
x
f x f
fxL
g x g g
x



    


. 
 Bài toán 7: Tìm L = 
22 23
0
1
lim
ln(1 )
x
x
e x
x


 

 . 
Giải: Đặt 
2 22 2 2 2 2 / 33 1( ) 1 (0) 0; '( ) 4 2 (1 )
3
x xf x e x f f x xe x x           
/ 4
/ 4
( ) ( / 4)
lim
'( / 4) 2/3 1/ 4
( ) ( / 4) '( / 4) 2 3
lim
/ 4
x
x
f x f
fxL
g x g g
x




 




    


ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
DOÃN XUÂN HUY --- THPT ÂN THI – HƯNG YấN Page 3 
0
0
( ) (0)
lim
'(0)
0
ln(1 ) 1
lim
x
x
f x f
fxL
x
x



   

. 
 Bài toán 8: Tìm L = 
0
t
lim
ln(1 2 )
x
x
e anx
x 
 . 
Giải: Đặt 
2
( ) t '( ) t ; (0) 0; '(0) 1
x
x x ef x e anx f x e anx f f
cos x
      
0
0
( ) (0)
lim
'(0) 1
ln(1 2 ) 2 2
lim 2
2
x
x
f x f
fxL
x
x



   

 .