500
Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc
Cao Minh Quang
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 2 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc ♦♦♦♦♦ 1. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 3 21 1 1 2 a b b c c a+ − + + − + + − ≥ . Komal 2. [ Dinu Serbănescu ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng ( )( )( )1 1 1 1abc a b c+ − − − < . Junior TST 2002, Romania 3. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3b c c a a b a b c a b c + + + + + ≥ + + + . Gazeta Matematică 4. Nếu phương trình 4 3 22 1 0x ax x bx+ + + + = có ít nhất một nghiệm thực, thì 2 2 8a b+ ≥ . Tournament of the Towns, 1993 5. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1x y z+ + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3 3x y z xyz+ + − . 6. Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng ( )( )2ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c+ + + + + + + ≤ + + . Ukraine, 2001 7. [ Darij Grinberg] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 9 4 a b c a b cb c c a a b + + ≥ + ++ + + . 8. [ Hojoo Lee ] Cho , , 0a b c≥ . Chứng minh rằng 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 22 2 2a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab+ + + + + + + + ≥ + + + + + . Gazeta Matematică 9. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2abc = . Chứng minh rằng 3 3 3a b c a b c b c a c a b+ + ≥ + + + + + . JBMO 2002 Shortlist 10. [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )( ) 4 1 1 3 8 9 6 7 xyz x x y y z z ≤ + + + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 3 Gazeta Matematică 11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 2 3 3 35 6 1a b c a b c+ + ≤ + + + . 12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., nx x x ∈ℝ , 2, 0n a≥ > sao cho 2 2 2 2 1 2 1 2... , ... 1n n a x x x a x x x n + + + = + + + ≤ − . Chứng minh rằng 20, , 1, 2,...,i a x i n n ∈ = . 13. [ Adrian Zahariuc ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 1 4 4 4 b a c b a c b c c a c a a b a b b c + + ≥ − − − . 14. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≤ . Chứng minh rằng a b c a b c b c a + + ≥ + + . 15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện , a x b y c z a b c x y z+ ≥ + ≥ + + + = + + . Chứng minh rằng ay bx ac xz+ ≥ + . 16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3 61 a b c ab bc ca + ≥ + + + + . Junior TST 2003, Romania 17. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ≥ + + . JBMO 2002 Shortlist 18. Cho 1 2, ,..., 0, 3nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 1 1 2 2 3 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 n nx x x x x x x x + + + > + + + + + . Russia, 2004 19. [ Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = . Chứng minh rằng a) 1 , 8 xyz ≤ b) 3 , 2 x y z+ + ≤ 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 4 c) 2 2 23 , 4 xy yz zx x y z+ + ≤ ≤ + + d) 1 2 2 xy yz zx xyz+ + ≤ + . 20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5, ,...,x x x ∈ℝ sao cho 1 2 5... 0x x x+ + + = . Chứng minh rằng 1 2 5cos cos ... cos 1x x x+ + + ≥ . Gazeta Matematică 21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 2 2 23 1 1 1xy yz zx x y z+ + ≥ + + + + + + . 22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z>− . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 x y z y z z x x y + + + + + ≥ + + + + + + . JBMO, 2003 23. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2a b b c c a b c c a a b + + + + + ≥ + + + . 24. Cho , , 0a b c≥ thỏa mãn ñiều kiện ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a+ + ≤ + + . Chứng minh rằng ( )2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≤ + + . Kvant, 1988 25. Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 1 1 1 1 ... 1998 1998 1998 1998nx x x + + + = + + + . Chứng minh rằng 1 2... 1998 1 n nx x x n ≥ − . Vietnam, 1998 26. [Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng a) 27,xyz ≥ b) 27xy yz zx+ + ≥ , c) 9x y z+ + ≥ , d) ( )2 9xy yz zx x y z+ + ≥ + + + . 27. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3x y z+ + = . Chứng minh rằng x y z xy yz zx+ + ≥ + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 5 Russia 2002 28. [ D. Olteanu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 . . . 2 2 2 4 a b a b c b c a c b c a b c c a b c a a b c a b + + + + + ≥ + + + + + + + + + . Gazeta Matematică 29. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c c a a b b c b c a c b a c b a + + + + + ≥ + + + + + . India, 2002 30. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 ab bc caa b c b bc c c ac a a ab b a b c + + + + ≥ − + − + − + + + . Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 31. [ Adrian Zahariuc ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2 1 2 2 3 1... ... 2 3n nx x x x x x x x x n+ + + ≥ + + + − . 32. [ Murray Klamkin ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n≥ > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1... n n nx x x x x x x x−+ + + + . Crux Mathematicorum 33. Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 2 ...k kx x x x+ ≥ + + + với mọi k. Hãy tìm giá trị lớn nhất của hằng số c sao cho 1 2 1 2... ...n nx x x c x x x+ + + ≤ + + + . IMO Shortlist, 1986 34. Cho các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn ñiều kiện 1a x b y c z+ = + = + = . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 3abc xyz ay bz cx + + + ≥ . Russia, 2002 35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )1 2 2 2 4 ab bc ca a b c a b c b c a c a b + + ≤ + + + + + + + + . Gazeta Matematică 36. Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + + + + + + + + + . 37. [ Walther Janous ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1x y z x x y x z y y z y x z z x z y + + ≤ + + + + + + + + + . Crux Mathematicorum 38. Cho 1 2, ,..., , 2na a a n≥ là n số thực sao cho 1 2 ... na a a< < < . Chứng minh rằng 4 4 4 4 4 4 1 2 2 3 1 2 1 3 2 1... ...n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . 39. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4b c c a a b a b c a b c b c c a a b + + + + + ≥ + + + + + . 40. Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số 1 1 , a a 12 3 1,..., , aaa nn na a a − nhỏ hơn hoặc bằng 3 3 . Adapted after a well – known problem 41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng a) 1 8 xyz ≤ , b) 3 2 x y z+ + ≥ , c) ( )1 1 1 4 x y z x y z + + ≥ + + , d) ( ) ( ) ( ) { } 22 11 1 1 4 , max , , 2 1 z x y z z x y z x y z z z − + + − + + ≥ = + . 42. [ Manlio Marangelli ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( ) ( )32 2 2 2 2 23 x y y z z x xy yz zx xyz x y z+ + + + ≥ + + . 43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện { } { }max , , min , , 1a b c a b c− ≤ Chứng minh rằng 3 3 3 2 2 21 6 3 3 3a b c abc a b b c c a+ + + + ≥ + + . 44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) 2 2 2 1 1 127 2 2 2 6a b c a b c bc ca ab a b c + + + + ≥ + + + + . 45. Cho 2 0 k+1 1 , a 2 k k a a a n = = + . Chứng minh rằng 11 1na n − < < . TST Singapore 46. [ Călin Popa ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 7 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 4 a b c a b c a b c a b c − − − + + ≥ + + − − − . 47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , 1x y z ≤ thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 27 1 1 1 10x y z + + ≤ + + + . 48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1x y z+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 151 1 1 2x y z xyz x y y z z x− − − ≥ + + + . 49. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2xyz x y z= + + + . Chứng minh rằng a) ( )2xy yz zx x y z+ + ≥ + + , b) 3 2 x y z xyz+ + ≤ . 50. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2x y z+ + = . Chứng minh rằng 2x y z xyz+ + ≤ + . IMO Shortlist, 1987 51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ và σ là một hoán vị của { }1,2,...,n . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 1 11 . 1 1 . n in n i i ii i i x x n x x σ = = = ≥ + − − ∑ ∑ ∑ . 52. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 1 n i ix= = +∑ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 11 n n i i i i x n x= = ≥ −∑ ∑ . Vojtech Jarnik 53. [ Titu Vàreescu ] Cho 3n> và 1 2, ,..., na a a là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1 n i i a n = ≥∑ và 2 2 1 n i i a n = ≥∑ . Chứng minh rằng { }1 2max , ,..., 2na a a ≥ . USAMO, 1999 54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 0a b b c c d d a b c c d d a a b − − − − + + + ≥ + + + + . 55. Cho ,x y là các số thực dương. Chứng minh rằng 1y xx y+ > . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 8 France, 1996 56. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( )( )( ) ( )4 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + − . MOSP, 2001 57. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )( ) ( )2 2 2a b c a b c b c a c a b abc ab bc ca+ + + − + − + − ≤ + + . 58. [ D.P.Mavlo ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )( )( )1 1 11 1 13 3 1 a b ca b c a b c a b c b c a abc + + + + + + + + + + + + ≥ + . Kvant, 1988 59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 1 . 1 n n nn n n i i i i i i n x x x= = = + ≥ + ∑ ∑∏ . 60. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 3 3 3 1 1min , 4 9 27 d a b c abcd + + + ... Pixton ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng ( )( )( )5 1 1 1a b c a b c b c a + + + ≥ + + + . 435. [ Mildorf ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 44 4 4 4 4 4 a b ca b b c c a a b b c c a + + + + + ≤ + + + + + . 436. [ Po – Ru Loh ] Cho , , 1a b c> thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a b c + + = − − − . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1a b c + + ≤ + + + . 437. [ Weighao Wu ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng ( ) ( )sin cossin cosx xx x< . 438. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 21 2 a b c a b b c c a < + + ≤ + + + . 439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n> là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 22 2 1 2 1 2 11 1 ... ... 2 2 2 n n aa a a a a ++ + + + + ≤ + + + . 440. [ Vascile Cartoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 45 3 1 1 1 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + + . 441. Cho 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1i j i j x x < − =∑ . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 1 i i x = ∑ . 442. Cho [ ]1 2 3 4, , , 1,1x x x x ∈ − . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 4 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 11 i i ii F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x == = − + + + + + + + + + −∑ ∏ . 443. Cho [ ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1a b c b c a c a b abc− − + − − + − − ≤ + . 444. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( )2 2 22 2 2 3 a b ca b c b c a a b c + + + + ≥ + + . 445. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 2 a b b c c a a b ab b c ca c a ca + + + + + ≥ + + + + + + . 446. [ Cao Minh Quang ] Cho ( )1 2, ,..., 2nx x x n≥ là n số thực dương thỏa ñiều kiện 1 1 2 n i i i x x= ≤ +∑ . Chứng minh rằng ( ) 1 11 1 1 n i i n n x n= − ≥ + +∑ . 447. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 3 2 3 3 2 3 3 2 3 12 ab bc ca a b b c c a + + ≤ + + + + + + . 448. Cho 1 2 2, ,..., nx x x là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1 1, 1,2,..., 2 1i ix x i n+ − ≤ = − . Chứng minh rằng ( )1 2 2 1 2 2... ... 1n nx x x x x x n n+ + + + + + + ≤ + . Romania TST, 2000 449. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )33 4a ab abc a b c+ + ≤ + + . 450. [ Rumen Kozarev ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng 2 2 4 22.3 0 1 x x x x x x + + − ≥ + + . 451. Cho ( )0 1, 1,2,..., 2ix i n n≤ ≤ = ≥ . Chứng minh rằng ( ) ( )1 2 1 2 2 3 1 1... ... 2n n n n n x x x x x x x x x x x− + + + − + + + + ≤ . Bulgaria, 1995 452. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 46 ( )4 4 4 4 4 4 4 4 2 2a c a d b c b d ad bc+ + + + + + + ≥ + . Turkey, 2006 453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 , 2a b≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 3 3 a b P a b + = + 454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )( )( )( )4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x+ + ≤ + + + + + + + + . 455. Cho , , 1a b c> . Chứng minh rằng 12 1 1 1 a b c b c a + + ≥ − − − . 456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 3 3a b c a ac b ba c cb b c a + + ≥ + + . 457. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + ≥ − − − . 458. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3S ab bc ca= + + . 459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 1xyz xy yz zx+ + + ≤ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức xyz . 460. [ Minh Trân ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1 1 n i i x = =∑ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 3 1... n nx x x x x x−+ + + . 461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho , , 1a b c≥ . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 12 9 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + + + + + + + ≥ + + + . 462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 3 3 3 3x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )3P xy yz zx xyz= + + − . 463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện ( ) 1 1 1 , 1, 2,..., k k i i i a i i k n = = ≤ + =∑ ∑ . Chứng minh rằng 1 1 1 n i i n a n= ≥ +∑ . 464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 3a b c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 2 2 ab bc caM ab bc ca + + = + + . 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 47 465. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Hãy xác ñịnh giá trị lớn nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức ( )( )2 2 2 1 1 1 3 1k k a b c a b c + + + ≥ + + + . Vietnam, 2006 466. Cho [ ], , 1, 2x y z ∈ . Chứng minh rằng ( ) 1 1 1 6 x y zx y z x y z y z z x x y + + + + ≥ + + + + + . Vietnam TST, 2006 467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . Chứng minh rằng 3 2 a b c b ac c ab a bc + + ≥ + + + . 468. Cho 1 , , 1 2 x y z≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 x y y z z xP z x y + + + = + + + + + . 469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện 4x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 3 1 4 1P x y z= + + + + + . 470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )3 3 3P a b c b c a c a b= − + − + − . 471. [ Tạ ðức Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 14 9a c b c a babc b a ca b c b c a c a b + + + + + + + + ≥ + + + . 472. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc+ + = . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 3 3 4 1 1 1 4 bc ca ab a b c a bc b ca c ab + + ≤ + + ≤ + + + . 473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 2, 0, 2 x y ∈ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 21 1 x yP y x = + + + . 474. Cho [ ]1 2 2007, ,..., 1,1x x x ∈ − thỏa mãn ñiều kiện 2007 3 1 0i i x = =∑ . Chứng minh rằng 1 2 2007 2007 ... 3 x x x+ + + ≤ . ðẳng thức xảy ra khi nào? 475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 2 2 2006x y y z z x+ + + + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 x y zH y z z x x y = + + + + + . 476. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 48 4 4 4 4 4 4 8 8 8 0 16 16 16 x y z x y z − − − + + ≥ + + + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz . 477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 a b c b a c b a c + + ≥ + − + − + − . 478. [ Phan Tiến Thành ] Cho ( ), , 0,1x y z ∈ thỏa mãn ñiều kiện ( )( )( )1 1 1xyz x y z= − − − . Chứng minh rằng 2 2 2 3 4 x y z+ + ≥ . 479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 3, , 1, 4 1a b c a b c≥− + + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3P a b c= + + . 480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )3 2 2 2 a b cab bc caP a b c abc + ++ + = + + + . 481. [ Trần Việt Anh ] Cho n∈ℕ . Kí hiệu ( )2 1 !!n+ là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến 2n +1. Chứng minh rằng ( ) ( )12 1 2 1 !!n nn n π++ ≤ + . 482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3ab bc ca abc+ + ≤ . Chứng minh rằng 4 4 4 1 2 2 2 a b b c c a a b b c c a + + ≥ + + + . 483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho , , ,a b c d là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện 4,a b c d ac bd b c d a + + + = = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )2 a b c d abcd c d a b ad cd + + + − + . 484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a + + + + + ≥ + + + + + . 485. [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( )2 2 22 8 5xyz x y z x y z+ + + + ≥ + + . ðẳng thức xảy ra khi nào? 486. [ Trần Nam Dũng ] Cho ( )1,2k ∈ − và , ,a b c là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 9 21 1 1 4 k a b c k ab bc ca a b b c c a − + + + + + + + ≥ − − − . ðẳng thức xảy ra khi nào? 500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 49 487. Cho 1 2, ,..., 1nx x x >− thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 1 2 ... 0nx x x+ + + = . Chứng minh rằng 1 2 ... 3n n x x x+ + + ≤ . 488. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng ( )1 1 1 2ab bc ca a b c c a b + + + + + ≥ + + . 489. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 bc a ca b ab c abc a b c + + + ≥ + + + . 490. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 . 1 1 1 yz zx xy x x y z y x y z z x y z x y z x x y z y x y z z x y z + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + 491. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 3 3 3 a b b c c a a b c+ + ≥ + + . 492. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 1 1 1 9 1 1 1 10xy yz zx + + ≥ + + + . 493. Cho 1 , 1x y− ≤ ≤ . Chứng minh rằng 2 2 21 1 2 1 2 x y x y + − + − ≤ − . 494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng n nn n nn n n n n+ + − ≤ . 495. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 2 2 2 3 21 1 1 a b c a b c + + ≥ + + + . 496. Cho , , ,a b x y là các số thực dương, a b< . Chứng minh rằng ( ) ( )b aa a b bx y x y+ ≥ + . 497. Cho 10 , , 2 a b c< ≤ . Chứng minh rằng 31 1 1 31 1 1 1 a b c a b c − − − ≥ − + + . 498. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Chứng minh rằng ( )( )( )( )1 1 1 1a b c d abcd− − − − ≥ . 499. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + . 500. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2a b c a b ca ab b bc c ca a b c + ++ + + ≥ + + . sẽ tiếp tục cập nhật
Tài liệu đính kèm: