500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

500

Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc

Cao Minh Quang

pdf 49 trang Người đăng ngochoa2017 Lượt xem 1989Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
500 
 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc 
Cao Minh Quang 
♦♦♦♦♦ 
Vĩnh Long, Xuân Mậu Tý, 2008 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 2 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc 
♦♦♦♦♦ 
1. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 3 21 1 1
2
a b b c c a+ − + + − + + − ≥ . 
Komal 
2. [ Dinu Serbănescu ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 1 1abc a b c+ − − − < . 
Junior TST 2002, Romania 
3. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng 
minh rằng 
3b c c a a b a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + + . 
Gazeta Matematică 
4. Nếu phương trình 4 3 22 1 0x ax x bx+ + + + = có ít nhất một nghiệm thực, thì 
2 2 8a b+ ≥ . 
Tournament of the Towns, 1993 
5. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 1x y z+ + = . Hãy tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 
3 3 3 3x y z xyz+ + − . 
6. Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh 
rằng 
( )( )2ax by cz xy yz zx ab bc ca a b c+ + + + + + + ≤ + + . 
Ukraine, 2001 
7. [ Darij Grinberg] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
9
4
a b c
a b cb c c a a b
+ + ≥
+ ++ + +
. 
8. [ Hojoo Lee ] Cho , , 0a b c≥ . Chứng minh rằng 
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 22 2 2a a b b b b c c c c a a a a bc b b ca c c ab+ + + + + + + + ≥ + + + + + . 
Gazeta Matematică 
9. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2abc = . Chứng minh rằng 
3 3 3a b c a b c b c a c a b+ + ≥ + + + + + . 
JBMO 2002 Shortlist 
10. [ Ioan Tomescu ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) 4
1
1 3 8 9 6 7
xyz
x x y y z z
≤
+ + + +
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 3 
Gazeta Matematică 
11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( )2 2 2 3 3 35 6 1a b c a b c+ + ≤ + + + . 
12. [ Mircea Lascu ] Cho 1 2, ,..., nx x x ∈ℝ , 2, 0n a≥ > sao cho 
2
2 2 2
1 2 1 2... , ... 1n n
a
x x x a x x x
n
+ + + = + + + ≤
−
. 
Chứng minh rằng 
20, , 1, 2,...,i
a
x i n
n
 
 ∈ =
  
. 
13. [ Adrian Zahariuc ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
1
4 4 4
b a c b a c
b c c a c a a b a b b c
+ + ≥
− − −
. 
14. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≤ . Chứng minh rằng 
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + + . 
15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , , , , ,a b c x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều 
kiện , a x b y c z a b c x y z+ ≥ + ≥ + + + = + + . Chứng minh rằng 
ay bx ac xz+ ≥ + . 
16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1abc = . Chứng minh rằng 
3 61
a b c ab bc ca
+ ≥
+ + + +
. 
Junior TST 2003, Romania 
17. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + . 
JBMO 2002 Shortlist 
18. Cho 1 2, ,..., 0, 3nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
1 1 2 2 3 1
1 1 1
... 1
1 1 1 n nx x x x x x x x
+ + + >
+ + + + +
. 
Russia, 2004 
19. [ Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 2 1x y z xyz+ + + = . 
Chứng minh rằng 
a) 1 ,
8
xyz ≤ 
b) 3 ,
2
x y z+ + ≤ 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 4 
c) 2 2 23 ,
4
xy yz zx x y z+ + ≤ ≤ + + 
d) 1 2
2
xy yz zx xyz+ + ≤ + . 
20. [ Marius Olteanu ] Cho 1 2 5, ,...,x x x ∈ℝ sao cho 1 2 5... 0x x x+ + + = . Chứng minh rằng 
1 2 5cos cos ... cos 1x x x+ + + ≥ . 
Gazeta Matematică 
21. [ Florina Cârlan, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
x y z xyz+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 23 1 1 1xy yz zx x y z+ + ≥ + + + + + + . 
22. [ Laurentiu Panaitopol ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện , , 1x y z>− . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2
1 1 1
x y z
y z z x x y
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
. 
JBMO, 2003 
23. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2a b b c c a
b c c a a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
. 
24. Cho , , 0a b c≥ thỏa mãn ñiều kiện ( )4 4 4 2 2 2 2 2 22a b c a b b c c a+ + ≤ + + . Chứng minh 
rằng 
( )2 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≤ + + . 
Kvant, 1988 
25. Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n> > thỏa mãn ñiều kiện 
1 2
1 1 1 1
...
1998 1998 1998 1998nx x x
+ + + =
+ + +
. 
Chứng minh rằng 
1 2... 1998
1
n
nx x x
n
≥
−
. 
Vietnam, 1998 
26. [Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2x y z xyz+ + = . 
Chứng minh rằng 
a) 27,xyz ≥ 
b) 27xy yz zx+ + ≥ , 
c) 9x y z+ + ≥ , 
d) ( )2 9xy yz zx x y z+ + ≥ + + + . 
27. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3x y z+ + = . Chứng minh rằng 
x y z xy yz zx+ + ≥ + + . 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 5 
Russia 2002 
28. [ D. Olteanu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3
. . .
2 2 2 4
a b a b c b c a c
b c a b c c a b c a a b c a b
+ + +
+ + ≥
+ + + + + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
29. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
a b c c a a b b c
b c a c b a c b a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
. 
India, 2002 
30. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 ab bc caa b c
b bc c c ac a a ab b a b c
+ +
+ + ≥
− + − + − + + +
. 
Proposed for the Balkan Mathematical Olympical 
31. [ Adrian Zahariuc ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số nguyên ñôi một phân biệt nhau. Chứng 
minh rằng 
2 2 2
1 2 1 2 2 3 1... ... 2 3n nx x x x x x x x x n+ + + ≥ + + + − . 
32. [ Murray Klamkin ] Cho 1 2, ,..., 0, 2nx x x n≥ > thỏa mãn ñiều kiện 1 2 ... 1nx x x+ + + = . 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2 2
1 2 2 3 1 1... n n nx x x x x x x x−+ + + + . 
Crux Mathematicorum 
33. Cho 1 2, ,..., 0nx x x > thỏa mãn ñiều kiện 1 1 2 ...k kx x x x+ ≥ + + + với mọi k. Hãy tìm giá trị 
lớn nhất của hằng số c sao cho 1 2 1 2... ...n nx x x c x x x+ + + ≤ + + + . 
IMO Shortlist, 1986 
34. Cho các số thực dương , , , , ,a b c x y z thỏa mãn ñiều kiện 1a x b y c z+ = + = + = . Chứng 
minh rằng 
( ) 1 1 1 3abc xyz
ay bz cx
 + + + ≥   
. 
Russia, 2002 
35. [ Viorel Vâjâitu, Alexvàru Zaharescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh 
rằng 
( )1
2 2 2 4
ab bc ca
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≤ + +
+ + + + + +
. 
Gazeta Matematică 
36. Cho , , ,a b c d là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3a b c d b c d a c d a b d a b c+ + + + + + + + + + + . 
37. [ Walther Janous ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 6 
( )( ) ( )( ) ( )( )
1x y z
x x y x z y y z y x z z x z y
+ + ≤
+ + + + + + + + +
. 
Crux Mathematicorum 
38. Cho 1 2, ,..., , 2na a a n≥ là n số thực sao cho 1 2 ... na a a< < < . Chứng minh rằng 
4 4 4 4 4 4
1 2 2 3 1 2 1 3 2 1... ...n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + + + . 
39. [ Mircea Lascu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
4b c c a a b a b c
a b c b c c a a b
 + + + + + ≥ + +   + + +
. 
40. Cho 1 2, ,..., na a a là các số nguyên dương lớn hơn 1. Tồn tại ít nhất một trong các số 
1
1 ,
a a 12 3 1,..., ,
aaa nn
na a a
− nhỏ hơn hoặc bằng 3 3 . 
Adapted after a well – known problem 
41. [ Mircea Lascu, Marian Tetiva ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 1xy yz zx xyz+ + + = . Chứng minh rằng 
a) 1
8
xyz ≤ , 
b) 3
2
x y z+ + ≥ , 
c) ( )1 1 1 4 x y z
x y z
+ + ≥ + + , 
d) ( ) ( )
( )
{ }
22 11 1 1 4 , max , ,
2 1
z
x y z z x y z
x y z z z
−
+ + − + + ≥ =
+
. 
42. [ Manlio Marangelli ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( ) ( )32 2 2 2 2 23 x y y z z x xy yz zx xyz x y z+ + + + ≥ + + . 
43. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
{ } { }max , , min , , 1a b c a b c− ≤ 
Chứng minh rằng 
3 3 3 2 2 21 6 3 3 3a b c abc a b b c c a+ + + + ≥ + + . 
44. [ Gabriel Dospinescu ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )
2 2 2 1 1 127 2 2 2 6a b c a b c
bc ca ab a b c
            + + + + ≥ + + + +                  
. 
45. Cho 
2
0 k+1
1
, a
2
k
k
a
a a
n
= = + . Chứng minh rằng 
11 1na
n
− < < . 
TST Singapore 
46. [ Călin Popa ] Cho ( ), , 0,1a b c∈ thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 7 
2 2 2
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 4
a b c a b c
a b c a b c
 − − −  + + ≥ + +  − − −  
. 
47. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho , , 1x y z ≤ thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 1 27
1 1 1 10x y z
+ + ≤
+ + +
. 
48. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 151 1 1 2x y z xyz x y y z z x− − − ≥ + + + . 
49. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2xyz x y z= + + + . Chứng minh rằng 
a) ( )2xy yz zx x y z+ + ≥ + + , 
b) 3
2
x y z xyz+ + ≤ . 
50. Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2x y z+ + = . Chứng minh rằng 
2x y z xyz+ + ≤ + . 
IMO Shortlist, 1987 
51. [ Titu Vàreescu, Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 0,1nx x x ∈ và σ là một hoán vị của 
{ }1,2,...,n . Chứng minh rằng 
( )
1
1 1
1 11 .
1 1 .
n
in n
i
i ii i i
x
x n x x
σ
=
= =
        ≥ +    − −       
∑
∑ ∑ . 
52. Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1
1 1
1
n
i ix=
=
+∑ . Chứng minh rằng 
( )
1 1
11
n n
i
i i i
x n
x= =
≥ −∑ ∑ . 
Vojtech Jarnik 
53. [ Titu Vàreescu ] Cho 3n> và 1 2, ,..., na a a là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 
1
n
i
i
a n
=
≥∑ 
và 2 2
1
n
i
i
a n
=
≥∑ . Chứng minh rằng 
{ }1 2max , ,..., 2na a a ≥ . 
USAMO, 1999 
54. [ Vasile Cirtoaje ] Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
0a b b c c d d a
b c c d d a a b
− − − −
+ + + ≥
+ + + +
. 
55. Cho ,x y là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1y xx y+ > . 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 8 
France, 1996 
56. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
( )( )( ) ( )4 1a b b c c a a b c+ + + ≥ + + − . 
MOSP, 2001 
57. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )( ) ( )2 2 2a b c a b c b c a c a b abc ab bc ca+ + + − + − + − ≤ + + . 
58. [ D.P.Mavlo ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )( )( )1 1 11 1 13 3
1
a b ca b c
a b c
a b c b c a abc
+ + +
+ + + + + + + + + ≥
+
. 
Kvant, 1988 
59. [ Gabriel Dospinescu ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1 2... 1nx x x = . Chứng minh rằng 
( )
1 1 1
1
. 1
n
n nn
n n
i i
i i i i
n x x
x= = =
  + ≥ +   
∑ ∑∏ . 
60. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
3 3 3 1 1min ,
4 9 27
d
a b c abcd
   + + + ...  Pixton ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng 
minh rằng 
( )( )( )5 1 1 1a b c a b c
b c a
+ + + ≥ + + + . 
435. [ Mildorf ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2
3 3 3 3 3 33 3 3 4 4 44 4 4 4 4 4 a b ca b b c c a
a b b c c a
+ + + + + ≤ + +
+ + +
. 
436. [ Po – Ru Loh ] Cho , , 1a b c> thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1a b c
+ + =
− − −
. Chứng 
minh rằng 
1 1 1 1
1 1 1a b c
+ + ≤
+ + +
. 
437. [ Weighao Wu ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng 
( ) ( )sin cossin cosx xx x< . 
438. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
3 21
2
a b c
a b b c c a
< + + ≤
+ + +
. 
439. [ Gabriel Dospinescu ] Cho ( )1 2, ,..., 1na a a n> là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
1 2... 1na a a = . Chứng minh rằng 
22 2
1 2
1 2
11 1
... ...
2 2 2
n
n
aa a
a a a
++ +
+ + + ≤ + + + . 
440. [ Vascile Cartoaje ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 45 
3
1 1 1 2
a b c
ab bc ca
+ + ≥
+ + +
. 
441. Cho 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1i j
i j
x x
<
− =∑ . Hãy 
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
5
1
i
i
x
=
∑ . 
442. Cho [ ]1 2 3 4, , , 1,1x x x x ∈ − . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( )
4 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
11
i i
ii
F x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
==
= − + + + + + + + + + −∑ ∏ . 
443. Cho [ ], , 0,1a b c∈ . Chứng minh rằng 
( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1a b c b c a c a b abc− − + − − + − − ≤ + . 
444. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( )2 2 22 2 2 3 a b ca b c
b c a a b c
+ +
+ + ≥
+ +
. 
445. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 2
a b b c c a
a b ab b c ca c a ca
+ + +
+ + ≥
+ + + + + +
. 
446. [ Cao Minh Quang ] Cho ( )1 2, ,..., 2nx x x n≥ là n số thực dương thỏa ñiều kiện 
1
1
2
n
i
i i
x
x=
≤
+∑ . 
Chứng minh rằng 
( )
1
11
1 1
n
i i
n n
x n=
−
≥
+ +∑ . 
447. [ Cao Minh Quang ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1
3 2 3 3 2 3 3 2 3 12
ab bc ca
a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
. 
448. Cho 1 2 2, ,..., nx x x là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 1 1, 1,2,..., 2 1i ix x i n+ − ≤ = − . 
Chứng minh rằng 
( )1 2 2 1 2 2... ... 1n nx x x x x x n n+ + + + + + + ≤ + . 
Romania TST, 2000 
449. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( )33 4a ab abc a b c+ + ≤ + + . 
450. [ Rumen Kozarev ] Cho x∈ℝ . Chứng minh rằng 
2
2
4 22.3 0
1
x x x
x
x x
 + +  − ≥   + + 
. 
451. Cho ( )0 1, 1,2,..., 2ix i n n≤ ≤ = ≥ . Chứng minh rằng 
( ) ( )1 2 1 2 2 3 1 1... ... 2n n n n
n
x x x x x x x x x x x−
 
 + + + − + + + + ≤
  
. 
Bulgaria, 1995 
452. Cho , , ,a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 46 
( )4 4 4 4 4 4 4 4 2 2a c a d b c b d ad bc+ + + + + + + ≥ + . 
Turkey, 2006 
453. [ Phan Thị Mùi ] Cho 1 , 2a b≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )2
3 3
a b
P
a b
+
=
+
454. [ Lê Quang Nẫm ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( )( )( )( )4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x+ + ≤ + + + + + + + + . 
455. Cho , , 1a b c> . Chứng minh rằng 
12
1 1 1
a b c
b c a
+ + ≥
− − −
. 
456. [ Nguyễn ðức Tấn ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
3 3 3a b c
a ac b ba c cb
b c a
+ + ≥ + + . 
457. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 3 3 3 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1
x y z
x y z
+ + ≥
− − −
. 
458. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức 
2 3S ab bc ca= + + . 
459. [ Thái Nhật Phượng ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 1xyz xy yz zx+ + + ≤ . 
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
xyz . 
460. [ Minh Trân ] Cho 1 2, ,..., nx x x là các số thực không âm thỏa mãn ñiều kiện 
1
1
n
i
i
x
=
=∑ . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 2 2 3 1... n nx x x x x x−+ + + . 
461. [ Trần Văn Tỏ ] Cho , , 1a b c≥ . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) 2 2 2
1 1 12 9
1 1 1
a b c b c a c a b
a b c
 + + + + + + + + ≥  + + +
. 
462. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,x y z là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 3 3 3 3x y z+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )3P xy yz zx xyz= + + − . 
463. [ Trương Ngọc ðắc ] Cho 1 2, ,..., na a a là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
( )
1 1
1 , 1, 2,...,
k k
i
i i
a i i k n
= =
≤ + =∑ ∑ . 
Chứng minh rằng 
1
1
1
n
i i
n
a n=
≥
+∑ . 
464. [ Tạ Hoàng Thông ] Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa ñiều kiện 2 2 2 3a b c+ + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( )
2 2 2
2
ab bc caM
ab bc ca
+ +
=
+ +
. 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 47 
465. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Hãy xác ñịnh giá trị lớn 
nhất của số thực k ñể ta luôn có bất ñẳng thức 
( )( )2 2 2
1 1 1 3 1k k a b c
a b c
+ + + ≥ + + + . 
Vietnam, 2006 
466. Cho [ ], , 1, 2x y z ∈ . Chứng minh rằng 
( ) 1 1 1 6 x y zx y z
x y z y z z x x y
     + + + + ≥ + +     + + +   
. 
Vietnam TST, 2006 
467. [ ðỗ Văn Ta ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . Chứng 
minh rằng 
3
2
a b c
b ac c ab a bc
+ + ≥
+ + +
. 
468. Cho 1 , , 1
2
x y z≤ ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 1 1
x y y z z xP
z x y
+ + +
= + +
+ + +
. 
469. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là ba số thực không âm thỏa ñiều kiện 4x y z+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 1 3 1 4 1P x y z= + + + + + . 
470. [ Trần Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa ñiều kiện 1a b c+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( ) ( ) ( )3 3 3P a b c b c a c a b= − + − + − . 
471. [ Tạ ðức Hải ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 14 9a c b c a babc
b a ca b c b c a c a b
  + + + + + + + + ≥ 
+ + +  
. 
472. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a b c abc+ + = . Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )
3 3
4 1 1 1 4
bc ca ab a b c
a bc b ca c ab
+ +
≤ + + ≤
+ + +
. 
473. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 2, 0,
2
x y
 
 ∈    
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 21 1
x yP
y x
= +
+ +
. 
474. Cho [ ]1 2 2007, ,..., 1,1x x x ∈ − thỏa mãn ñiều kiện 
2007
3
1
0i
i
x
=
=∑ . Chứng minh rằng 
1 2 2007
2007
...
3
x x x+ + + ≤ . 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
475. [ Phạm Hoàng Hà ] Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2 2 2 2 2006x y y z z x+ + + + + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
x y zH
y z z x x y
= + +
+ + +
. 
476. [ Cao Xuân Nam ] Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 48 
4 4 4
4 4 4
8 8 8 0
16 16 16
x y z
x y z
− − −
+ + ≥
+ + +
. 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
xyz . 
477. [ Nguyễn Khánh Nguyên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
2 2 2 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 
2 2 2
1
1 1 1
a b c
b a c b a c
+ + ≥
+ − + − + −
. 
478. [ Phan Tiến Thành ] Cho ( ), , 0,1x y z ∈ thỏa mãn ñiều kiện ( )( )( )1 1 1xyz x y z= − − − . 
Chứng minh rằng 
2 2 2 3
4
x y z+ + ≥ . 
479. [ Trần Tuấn Anh ] Cho 3, , 1, 4 1a b c a b c≥− + + = − . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
3 3 3P a b c= + + . 
480. [ Bùi Tuấn Anh ] Cho , ,a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
( )3
2 2 2
a b cab bc caP
a b c abc
+ ++ +
= +
+ +
. 
481. [ Trần Việt Anh ] Cho n∈ℕ . Kí hiệu ( )2 1 !!n+ là tích các số nguyên dương lẻ từ 1 ñến 
2n +1. Chứng minh rằng 
( ) ( )12 1 2 1 !!n nn n π++ ≤ + . 
482. [ Ngô Trung Kiên ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 
3ab bc ca abc+ + ≤ . 
Chứng minh rằng 
4 4 4
1
2 2 2
a b b c c a
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
. 
483. [ Phạm Văn Thuận ] Cho , , ,a b c d là các số thực phân biệt thỏa mãn các ñiều kiện 
4,a b c d ac bd
b c d a
+ + + = = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
( )2
a b c d abcd
c d a b ad cd
+ + + −
+
. 
484. [ Phạm Kim Hùng ] Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc≥ . 
Chứng minh rằng 
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
b c a
+ + +
+ + ≥ + +
+ + +
. 
485. [ Trần Nam Dũng ] Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( )2 2 22 8 5xyz x y z x y z+ + + + ≥ + + . 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
486. [ Trần Nam Dũng ] Cho ( )1,2k ∈ − và , ,a b c là ba số thực ñôi một khác nhau. Chứng 
minh rằng 
( )
( ) ( ) ( )
( )2 2 2
2 2 2
9 21 1 1
4
k
a b c k ab bc ca
a b b c c a
  −  + + + + + + + ≥     − − −  
. 
ðẳng thức xảy ra khi nào? 
500 Bài Toán Bất ðẳng Thức Chọn Lọc Cao Minh Quang 
 49 
487. Cho 1 2, ,..., 1nx x x >− thỏa mãn ñiều kiện 
3 3 3
1 2 ... 0nx x x+ + + = . Chứng minh rằng 
1 2 ... 3n
n
x x x+ + + ≤ . 
488. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1a b c+ + = . Chứng minh rằng 
( )1 1 1 2ab bc ca a b c
c a b
+ + + + + ≥ + + . 
489. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
1 1 1
bc a ca b ab c
abc
a b c
   + + +     ≥           + + +
. 
490. Cho , ,x y z là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
.
1 1 1
yz zx xy
x x y z y x y z z x y z
x y z
x x y z y x y z z x y z
+ +
+ + + + + + + + +
≥ + +
+ + + + + + + + +
491. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1abc = . Chứng minh rằng 
3 3 3
a b b c c a a b c+ + ≥ + + . 
492. Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1x y z+ + = . Chứng minh rằng 
1 1 1 9
1 1 1 10xy yz zx
+ + ≥
+ + +
. 
493. Cho 1 , 1x y− ≤ ≤ . Chứng minh rằng 
2
2 21 1 2 1
2
x y
x y
 + − + − ≤ −   
. 
494. Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng 
n nn n nn n n n n+ + − ≤ . 
495. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 1ab bc ca+ + = . Chứng minh rằng 
2 2 2
3
21 1 1
a b c
a b c
+ + ≥
+ + +
. 
496. Cho , , ,a b x y là các số thực dương, a b< . Chứng minh rằng 
( ) ( )b aa a b bx y x y+ ≥ + . 
497. Cho 10 , ,
2
a b c< ≤ . Chứng minh rằng 
31 1 1 31 1 1 1
a b c a b c
           − − − ≥ −                 + +
. 
498. Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện 2 2 2 2 1a b c d+ + + = . Chứng minh 
rằng 
( )( )( )( )1 1 1 1a b c d abcd− − − − ≥ . 
499. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
1a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +
. 
500. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2a b c a b ca ab b bc c ca a b c + ++ + + ≥ + + . 
 sẽ tiếp tục cập nhật 

Tài liệu đính kèm:

  • pdf500_Bat_dang_thuc_chon_loc_-_Cao_Minh_Quang_5561_35884677.pdf