50 Đề thi thử đại học, cao đẳng môn Toán

 GV: Trần Sỹ Tùng
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 1 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số (C)
 	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
	2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Câu II (2 điểm)
 	1) Giải phương trình: .
 	2) Giải phương trình: .
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:	.
Câu IV (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng:
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
 	A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm) 
 	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): 2x – y – 5 = 0 và đường tròn (C’): . Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1). 
	2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
Câu VII.a (1 điểm) Chứng minh rằng nếu thì .
	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm) 
 	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng , A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của DABC nằm trên đường thẳng (d): 3x – y –8 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
	2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0). Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD.
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn Đề sô 1
Câu I: 2) Gọi M(m; 2) Î d. Phương trình đường thẳng D qua M có dạng: .
	Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) Û Hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
	 Û 
Câu II: 1) Đặt > 0. (2) Û 
	2) 2) Û 
	Û ; 
Câu III: Þ 
Câu IV: Đặt V1=VS.AMN; V2=VA..BCNM; V=VS.ABC; 
	Þ 
	 Þ 
Câu V: 
	Þ 
	Þ đpcm.
Câu VI.a: 1) A(3; 1), B(5; 5) Þ (C): 
	2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ 
	 Þ Þ 
Câu VII.a: a + bi = (c + di)n |a + bi| = |(c + di)n |
	 |a + bi|2 = |(c + di)n |2 = |(c + di)|2n a2 + b2 = (c2 + d2)n
Câu VI.b: 1) Tìm được , .
	+ Với Þ (C): 
	+ Với Þ (C): 
	2) Gọi 	(P) là mặt phẳng qua AB và (P) ^ (Oxy) 	Þ (P): 5x – 4y = 0 
	 	(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) ^ (Oxy) 	Þ (Q): 2x + 3y – 6 = 0
 	Ta có (D) = (P)Ç(Q) Þ Phương trình của (D)
Câu VII.b: 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 2 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I. (2đ): Cho hàm số có đồ thị (Cm).
 	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi .
 	2. Tìm để (Cm) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. 
Câu II. (2đ): 
	1. Giải phương trình: 	
 	2. Giải bất phương trình: 
Câu III. (1đ) Tính giới hạn sau: 
Câu IV (1đ): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ (ABCD); AB = SA = 1; . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Câu V (1đ): Biết là nghiệm của bất phương trình:. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
II. PHẦN TỰ CHỌN (3đ)
	A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2đ) 
 	1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): . A, B là các điểm trên (E) sao cho: , với là các tiêu điểm. Tính .
 	2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng : và điểm . Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng . 
Câu VIIa. (1đ): Giải phương trình: 
	B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2đ)
 	1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua và tiếp xúc với các trục toạ độ.
 	2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng D đi qua , song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng .
Câu VII.b (1đ) Cho hàm số: có đồ thị .
 	Tìm m để một điểm cực trị của thuộc góc phần tư thứ I, một điểm cực trị của thuộc góc phần tư thứ III của hệ toạ độ Oxy.
Hướng dẫn Đề sô 2
Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành: (1)
	Gọi hoành độ các giao điểm lần lượt là . Ta có: 
	Để lập thành cấp số cộng thì là nghiệm của phương trình (1)
	Þ . Thử lại ta được :	
Câu II: 1) Û Û 
	2) 
Câu III: = 
Câu IV: 
Câu V: Thay vào bpt ta được: 
 	Vì bpt luôn tồn tại nên 
 	Vậy GTLN của là 8.
Câu VI.a: 1) và 
	Mà 
	2) 
Câu VII.a: 
Câu VI.b: 1) Phương trình đường tròn có dạng: 
	a) Þ 	b) Þ vô nghiệm.
	Kết luận: và 
	2) . D nhận làm VTCP Þ 
Câu VII.b: Toạ độ các điểm cực trị lần lượt là: và 
	Vì nên để một cực trị của thuộc góc phần tư thứ I, một cực trị 	của thuộc góc phần tư thứ III của hệ toạ độ Oxy thì Û .
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 3 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
 	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
	2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = .
Câu II: (2 điểm)
	1. Giải phương trình: 	.
	2. Tìm nghiệm trên khoảng của phương trình: 
Câu III: (1 điểm) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi xR. Tính:	 .
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD .Tính thể tích khối chóp O.AHK.
Câu V: (1 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4 .
	Chứng minh rằng:	
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
 	A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a: (2 điểm)
 	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng , A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng (d): 3x – y – 4 = 0.
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm các số thực b, c để phương trình nhận số phức làm một nghiệm.
	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm) 
 	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2, 0) và phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x + y + 14 = 0; . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
 	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d) . Viết phương trình đường thẳng D // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.
Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau trong tập số phức: .
Hướng dẫn Đề sô 3
www.VNMATH.com
Câu I: 2) Giả sử (a ¹ b)
	Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra Û 
	Û Û b = 2 – a Þ a ¹ 1 (vì a ¹ b).
	 = 
	AB = Û = 32 Û 
	Þ A(3; 1) và B(–1; –3)
Câu II: 1) (1) Û Û x = 3; x =
	2) (2) Û Û 
	Vì nên .
Câu III: Đặt x = –t Þ 
	Þ 
	 Þ .
Câu IV: 
Câu V: Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
	Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
	Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
	Mặt khác:
	· . Dấu "=" xảy ra Û a+c = b+d
	· 
	Û 
	. Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = d = 1.
	Vậy ta có: 
	 Þ đpcm.
	Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Câu VI.a: 1) Ptts của d: . Giả sử C(t; –4 + 3t) Î d.
	 = Û Û 
	Þ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).
	2) (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT 
	Þ 
Câu VII.a: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 nên:
Câu VI.b: 1) A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)
	2) Phương trình mặt phẳng (a) chứa AB và song song d: (a): 6x + 3y + 2z – 12 = 0
	Phương trình mặt phẳng (b) chứa OC và song song d: (b): 3x – 3y + z = 0
	D là giao tuyến của (a) và (b) Þ D: 
Câu VII.b: Û Û 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 4 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số có đồ thị (C).
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 
	2. Tìm m để phương trình có 6 nghiệm.
Câu II (2.0 điểm).
	1. Giải phương trình: 	(1)
	2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x :
	(2)
Câu III (1.0 điểm). Tính 
Câu IV (1.0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 và . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ^ MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Câu V	(1.0 điểm). Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh: 
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm)
	A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a. (2.0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm với a > 0. Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC). 
	1. Cho . Tìm góc a giữa mặt phẳng (NBC) và mặt phẳng (OBC).
	2. Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất
Câu VII.a. (1.0 điểm). Giải hệ phương trình: 
	B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b. (2.0 điểm). Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) và mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0
	1. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mp (P).
	2. Tìm tọa độ điểm M Î (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Câu VII. b. (1.0 điểm). Giải bất phương trình: 	
Hướng dẫn Đề sô 4
Câu I: 2) có 6 nghiệm Û 
Câu II: 1) (1) Û Û cos2x = 0 Û 
	2) Đặt . (2) Û 
	Khảo sát với 1 £ t £ 2. g'(t) . Vậy g tăng trên [1,2]
	Do đó, ycbt bpt có nghiệm t Î [1,2] 
Câu III: Đặt . I = 2 + ln2.
Câu IV: 
	Þ 
Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si: Þ đpcm
Câu VI.a: 1) B, C Î (Oxy). Gọi I là trung điểm của BC Þ .
	 Þ .
	2) đạt nhỏ nhất Û Û .
Câu VII.a: Đặt . Hệ PT Û 
	, với 
	Ta có: f(t) đồng biến
	Xét hàm số: g(u) đồng biến
	Mà là nghiệm duy nhất của (2).
	KL: là nghiệm duy nhất của hệ PT.
Câu VI.b: 1) 2x + 5y + z - 11 = 0
	2) A, B nằm cùng phía đối với (P). Gọi A¢ là điểm đối xứng với A qua (P) Þ 
	Để M Î (P) có MA + MB nhỏ nhất thì M là giao điểm của (P) với A¢B Þ .
Câu VII.b: Û Û .
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 5 )
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. Gọi I là giao điểm hai tiệm cận . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu II (2 điểm)
 	1. Giải phương trình: 	(1)
	2. Giải hệ phương trình : 	(2)
Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau: 
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc . Tìm để thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
	A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
 	1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(; 0) . Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết đỉnh A có hoành độ âm .
	2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng và có phương trình: 	. 
	Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và .
Câu VII.a (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
 	(3)
 	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
 	1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy  ... 
	· Với uv = 5 Þ . Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là: và 
	· Với uv = 6 Þ . Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là: và 
	Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm: , , , .
Câu III: Đặt Þ . I = = = .
Câu IV: Từ giả thiết suy ra DABC vuông cân tại B. Gọi H là trung điểm của AC thì BH ^ AC và BH 	^ (ACC¢A¢).
	Do đó BH là đường cao của hình chóp B.MA¢C¢ Þ BH = . Từ giả thiết Þ MA¢ = , 	A¢C¢ = .
	Do đó: .	
Câu V: Ta có: .
	Tương tự, BĐT trơt thành: Û 
	Theo BĐT Cô–si ta có: . 
	Dấu "=" xảy ra Û .
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(4; 2) và bán kính R = 6. Ta có IE = < 6 = R Þ E nằm trong hình tròn (C).
	Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt (C) tại M và N. Kẻ IH ^ D. Ta có IH = d(I, D) ≤ IE.
	Như vậy để MN ngắn nhất thì IH dài nhất Û H º E Û D đi qua E và vuông góc với IE
	Khi đó phương trình đường thẳng D là: Û .
	2) Giả sử (S): .
	· Từ O, A, B Î (S) suy ra: Þ .	
	· Û Û 
	Vậy (S): hoặc (S): 
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: 	 (a1 ¹ 0). 
	· Giả sử có thể bằng 0: 
	+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là:	 
	+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là:	 
	+ Số cách xếp cho 2 vị trí còn lại là: 	2! 
	· Bây giờ ta xét = 0:
	+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: 	
	+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: 	
	+ Số cách xếp cho 1 vị trí còn lại là:	7
	Vậy số các số cần tìm là: 	 (số).
Câu VI.b: 1) Gọi VTPT của AB là , của BC là , của AC là với .
	Do DABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau.
	Suy ra: Þ Û 
	Û Û 
	· Với , ta có thể chọn Þ Þ AC // AB Þ không thoả mãn.
	· Với , ta có thể chọn Þ 
	Khi đó phương trình AC là: Û .
	2) PTTS của D: . Gọi Î D.
	Diện tích DMAB là = ≥ 
	Vậy Min S = khi hay M(1; 0; 2).
Câu VII.b: PT Û Û Û 
	PT đã cho có nghiệm duy nhất Û (*) có đúng 1 nghiệm dương Û có đúng 1 nghiệm dương.
	Xét hàm số với t Î [0; +∞). Ta có: Þ . , .
	Dựa vào BBT ta suy ra phương trình có đúng 1 nghiệm dương 
	Û Û .
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 54 )
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 	(1).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
	2) Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu II (2 điểm):
	1) Giải phương trình:	
	2) Giải hệ phương trình:	
Câu III (1 điểm): Tính tích phân:	I = 
Câu IV (1 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Câu V (1 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là và đi qua điểm . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: . Hãy tìm trên đường thẳng d các điểm B và C sao cho tam giác ABC đều.
Câu VII.a (1 điểm): Chứng minh: , trong đó n là số tự nhiên, n ≥ 1 và là số tổ hợp chập k của n.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 7) và đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho . Biết rằng tam giác AEC cân tại A và có trọng tâm là . Viết phương trình cạnh BC.
	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): . Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: 	.	
Hướng dẫn Đề số 54
Câu I: 2) Xét PT hoành độ giao điểm: 
	Ta có: (với mọi x và mọi m ) Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m.
	Mặt khác g(0) = –1 0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0. 
	Vậy đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu II:	 1) Điều kiện: (*).
	PT 
	. (Thỏa mãn điều kiện (*) ).
	2) Điều kiện: (**)
	PT Û 
	Û 	Û 
	Û Û 	Û 
	Kiểm tra điều kiện (**) chỉ có thỏa mãn. 
	Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 
Câu III: Đặt = . Ta có: và .
	I = = = = 
	= 	= = .	
Câu IV: Ta có SA (ABC) SA AB; SA AC..
	Tam giác ABC vuông cân cạnh huyền AB BC AC BC SC. Hai điểm A,C cùng nhìn đoạn SB dưới góc vuông nên mặt cầu đường kính SB đi qua A,C. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC cũng chính là mặt cầu đường kính SB. Ta có CA = CB = AB sin 450 = a ; là góc giữa mp(SBC) và mp(ABC).
	SA = AC.tan600 = . Từ đó .
 	Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC là: S = = .SB2 = .
Câu V: Tập xác định: D = R .
	Ta có: ( BĐT Cô–si). 
	Dấu "=" xảy ra Û .
	Vậy: min f(x) = 2 đạt được khi x = 1.
Câu VI.a: 1) Ta có là hai tiêu điểm của (E). 
	Theo định nghĩa của (E) suy ra : 
	= + = 10 
	 a = 5. Mặt khác: c = và Þ 
	Vậy tọa độ các đỉnh của (E) là: A1( –5; 0) ; A2( 5; 0) ; B1( 0; –) ; B2 ( 0; ).
	2) d có VTCP . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. 
	Giả sử Þ 
	Mà AH d nên Þ Û Þ 
	Þ AH = .
	Mà DABC đều nên BC = hay BH = .
	Giả sử thì 
	Û 
	Vậy: và 
	hoặc và 
Câu VII.a: Xét khai triển: 
	Lấy đạo hàm 2 vế ta được: 
	Nhân 2 vế cho x, rồi lấy đạo hàm lần nữa, ta được: 
	Cho x = 1 ta được đpcm.
Câu VI.b: 1) Gọi M là trung điểm của BC. Ta có Þ M(2; 3). Đường thẳng EC qua M và có VTPT nên có PT: Þ E(0; 3) Þ C(4; 3). Mà nên B(–1; 1).
	Þ Phương trình BC: .
	2) Gọi I là tâm của (S). I Î d Þ . Bán kính R = IA = .
	Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: Û 
	Û .
	Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1. Suy ra I(1; –1; 0).
	Vậy phương trình mặt cầu (S): .
Câu VII.b: 
	Từ (2) suy ra (3). 
	Thế vào (1) được: 
	Û hoặc 
	· Với .
	· Với Û (4). Thế vào (3) được: 
	Û Û Û Û .
	Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012
Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 55 )
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số .
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : .
Câu II (2 điểm):
	1) Giải phương trình:	
	2) Giải hệ phương trình:	
Câu III (1 điểm): Tính tích phân:	
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =, mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Câu V (1 điểm): Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : .Chứng minh rằng : 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao , phân giác trong . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC.
	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : , 
 	a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua d1 và d2 . 
 	b) Cho điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2). Tìm điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: 
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng và . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ 
 	các đỉnh của hình chữ nhật.
	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: và 
 	a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. 
 	b) Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của d1 và d2. 
Câu VII.b (1 điểm): Tính tổng: 	
Hướng dẫn Đề số 55
Câu I: 2) Ta có 
	Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của và đường thẳng 
	Với nên bao gồm:
	+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 
	+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng qua Ox.
	Dựa vào đồ thị ta có: 
m < –2
m = –2
–2 < m < 0
m ≥ 0
Số nghiệm
vô nghiệm
2 nghiệm kép
4 nghiệm phân biệt
2 nghiệm phân biệt
Câu II:	 1) PT 
	2) Điều kiện: 
	Hệ PT Û . 
	Đặt: ta có hệ: 	
	. 
	Thế (1) vào (2) ta có: .
	Kết hợp (1) ta có: (với u > v). Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk)
	Kết luận: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2).
Câu III: 
	· Tính . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được .
	· Tính . Dùng phương pháp tích phân từng phần, ta tính được: 	
	Suy ra: .
Câu IV: Ta có: (BCM) // AD nên mặt phẳng này cắt mp(SAD) theo giao tuyến MN // AD .
	· . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao.
	· SA = AB tan600 = , Þ MN = , BM = Diện tích hình thang BCMN là : S = 
	· Hạ AH BM. Ta có SHBM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) 
 SH là đường cao của khối chóp SBCNM 
 	Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = . 
	Vậy BM là phân giác của góc SBA SH = SB.sin300 = a 
	· Thể tích chóp SBCNM ta có V = = .
Câu V: Đặt . Từ giả thiết ta có: a, b, c > 0 và 
	BĐT Û (*) 
	Ta có: (*) 	 
	Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: 	 (1)
	 ( 2) 
	 	 ( 3) 
	Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
Câu VI.a: 1) Do nên phương trình AB: .
	· B = Þ Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: Û Þ B(-4; 3).
	· Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì .
 	Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): . Gọi . 
	Giải hệ: . Suy ra: I(–1; 3) 
	· Phương trình BC: . Giải hệ: Þ . 
	· , . 
	Suy ra: 
	2) a) · VTCP của hai đường thẳng lần lượt là: Þ cùng phương.
	Mặt khác, M( 2; 0; –1) d1; M( 2; 0; –1) d2.. Vậy d1 // d2.
	· VTPT của mp (P) là Þ Phương trình mp(P): .
	b) Þ AB // d1. Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 .
	Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B 
 	IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B. Khi đó A1, I, B thẳng hàng I là giao điểm của A1B và d. 	Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B.
	· Gọi H là hình chiếu của A lên d1. Tìm được H . A’ đối xứng với A qua H nên A’
	I là trung điểm của A’B suy ra I.
Câu VII.a: Nhận xét không là nghiệm của PT. Vậy z
	Chia hai vế PT cho ta được: (1)
	Đặt . Khi đó 
	Phương trình (2) trở thành: (3). 
	Þ PT (3) có 2 nghiệm , 
	· Với : ta có 	(4a)
	Có 
	Þ PT (4a) có 2 nghiệm : , 
	· Với : ta có 	(4b)
	Có 
	Þ PT (4b) có 2 nghiệm : , 
	Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : .
Câu VI.b: 1) Ta có: Þ Toạ độ của I là nghiệm của hệ: 
	Þ 
	Do vai trò A, B, C, D là như nhau nên giả sử là trung điểm cạnh AD. Suy ra M(3; 0)
	Ta có: 
	Theo giả thiết: 
	Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 
	Đường thẳng AD đi qua M(3; 0) và vuông góc với d1 nhận làm VTPT nên có PT: 
	Mặt khác: Þ Toạ độ của A, D là nghiệm của hệ PT: 
	 hoặc . 
	Vậy A( 2; 1), D( 4; –1).
	Do là trung điểm của AC suy ra: 
	Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)
	Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)
	2) a) d1 có VTCP và đi qua điểm M( 2; 1; 0), d2 có VTCP và đi qua điểm N( 2; 3; 0) .
	Ta có: Þ d1 , d2 chéo nhau.
	Gọi , 	. 
	AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 Û A; B (2; 3; 0)
	Đường thẳng D qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1 và d2 Þ D: 
	b) PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính: 
Câu VII.b: Ta có: 
	Thấy: , với 	
	· Ta có: .
	Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của nên .
	· Ta có: 
	Cho x = –1 ta có: 	
	Cho x=1 ta có: 	.
	Suy ra:. 
	· Từ đó ta có: .