49 Đề thi vào các trường THPT môn Toán

Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1992 – 1993
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Xét biểu thức: 
P = 
1, Rút gọn P.
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2 (2,5đ):
Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 30 km/h. Sau đó một thời gian, xe con cũng xuất phát từ A với vận tốc 40 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ô tô tải tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau đó 1h thì đuổi kịp xe tải. Tính quãng đường AB.
Bài 3 (4đ):
Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M. Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA < OB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của OP và AM, E là giao điểm của OQ và BM.
1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được.
2, Chứng minh: AB // DE.
3, Chứng minh: Ba điểm P, M, Q thẳng hàng.
4, Ngoài điểm M ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DMP, EMQ còn điểm chung nào nữa không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
2x4 – x3 – 5x2 + x + 2 = 0
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1994 – 1995
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức: 
P = 
1, Rút gọn P. 
2, Xét dấu của biểu thức: P.
Bài 2 (2,5đ):
Hai ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 1 giờ 20 phút. Tìm khoảng cách giữa hai bến A, B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bằng nhau.
Bài 3 (4đ):
Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90o). Một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB. Gọi P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC và IH.
1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được.
2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK.
3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ // BC.
4, Gọi (O1) là đường tròn đi qua M, P, K; (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H. Gọi N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng.
Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1995 – 1996
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho các biểu thức: 
A = ; B = 
1, Rút gọn A và B.
2, Tìm giá trị của x để A = B.
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn)
1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại.
2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
3, Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O). Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM. Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q.
1, Chứng minh: Tam giác ABN cân.
2, Tứ giác APNO là hình gì ? Tại sao ?
3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C. Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình: 
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1996 – 1997
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Xét biểu thức: 
P = 
1, Rút gọn P.
2, Tìm a để 
3, Tìm các giá trị của a N sao cho P N
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD và MBEF. Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N.
1, Chứng minh: AF BC. Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF.
2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N.
3, Cho A, B cố định, M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định.
4, Tìm vị trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất.
Bài 4 (2đ):
Cho hai phương trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)
 cx2 + bx + a = 0 (2)
Với ac < 0. Gọi m và n tương ứnh là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và phương trình (2), chứng minh rằng: m + n ≥ 2
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1997 – 1998
(150 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức: 
P = 
1, Rút gọn P.
2, Tìm x để P < .
Bài 2 (2,5đ):
Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nước có thể tích 60m3 với thời gian dự định trước. Khi đã bơm được 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút. Đến khi có điện trở lại người ta sử dụng thêm một máy bơm có công suất 10m3/h. Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể trong đúng thời gian dự kiến.
Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian hoạt động của máy bơm đó.
Bài 3 (4đ):
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường tròn tại D, tia phân giác của góc C cắt đường tròn tại E, hai tia phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC.
1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân.
2, Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB.
3, Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
4, Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp ba lần diện tích tứ giác AIFK.
Bài 4 (1đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức: 
Trường Chu Văn An & Amsterdam
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Bài 1 (3đ):
Cho biểu thức:
 P = 
1, Rút gọn P.
2, Cho . Hãy tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2 (3đ):
Cho phương trình: 
(x + 1)4 – (m – 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0 (*)
1, Giải phương trình với m = – 1.
2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của tham số m.
3, Tìm các giá trị của m để 
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P (AP > R). Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M
1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?
2, Cho AP = R. Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn (O; R).
3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy tren một cung tròn cố định.
4, Dựng hình chữ nhật PACN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng.
THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1998 – 1999
(120 phút)
Bài 1 (2,5đ):
Cho biểu thức: 
A = 
1, Rút gọn A.
2, Tìm m để phương trình A = m – 1, có nghiệm x, y thoả mãn 
Bài 2 (2,5đ):
1, Tìm m để phương trình sau: 
x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0
Có nghiệm x1, x2 sao cho: x12 + x22 = 5
2, Cho hàm số: 
y = x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0.
 	Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thoả mãn: 
x1 0 và x1 > ‏׀ ‏׀‏2‏ x
Bài 3 (4đ): 
Cho đường tròn (O) và điểm A cố định thuộc (O). Hai điểm B và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC = không đổi ( > 90o). Qua B dựng một tia song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB, hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
1, Độ dài dây BC không đổi.
2, Điểm E cố định.
3, Ba điểm I, E, F thẳng hàng.
4, Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4 (1đ):
Cho các số dương x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 ≥ 1. Chứng minh:
THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Cho biểu thức: 
P = 
1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P.
2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q = cũng là số nguyên.
Bài 2 (2đ):
Cho phương trình: 
(m – 1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 (m là tham số)
1, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc và m.
2, Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức:
Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
 y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C).
2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn.
2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD. Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành.
3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định.
Bài 5 (1đ):
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 
Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
Giải phương trình: 
Bài 2 (2đ):
Tìm tham số m để hai bất phương trình sau không có nghiệm chung:
mx + 1 > 4m (1) ; x2 – 9 < 2 (2)
Bài 3 (3đ):
Tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Gọi d, d, d lần lượt là khoảng cách từ O đến 3 cạnh BC, CA, AB.
1, Chứng minh: HA + HB + HC = 2(d + d + d)
2, Giả sử tam giác ABC nhọn. Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)
3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?
Bài 4 (1,5đ):
 BTT
 8
 BYTE
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau.
Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác 
nhau.
Bài 5 (1,5đ):
Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3 đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con. Gọi Sn là số miền con tìm được từ n đường thẳng đó.
1, Tìm S3, S4.
2, Chứng minh: Sn = Sn – 1 + n
3, Chứng minh: Sn = 
THPT Chuyên – ĐHKHTN (ĐHQGHN)
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (1,5đ):
Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện: 
Hãy tính giá trị của biểu thức: 
P = 1 + a4 + b4 + c4 
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình: 
2, Giải hệ phương trình: 
Bài 3 (1,5đ):
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 + 9n – 2 chia hết cho n + 11.
Bài 4 (3,5đ):
Cho đường tròn (T ) và điểm I ở trong đường tròn. Qua I dựng hai dây cung bất kỳ MIN và EIF. Gọi M’, N’, E’, F’ là lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF.
1, Chứng minh rằng: Tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp.
2, Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi.
3, Giả sử I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau. Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (1,5đ):
Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
P = 
THPT Chuyên toán – ĐHSPHN
Năm học 1999 – 2000
(150 phút)
Ngày thứ nhất:
Bài 1 (2đ):
1, Tính: 
A = 
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9. Hãy tính tổng các chữ số của: 
 n – an + 1
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình: 
2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
Bài 3 (2đ):
Chứng min ... rình bậc hai ẩn x (a là tham số)
 x2 – 3x + a – 2 = 0 (1)
 x2 + ax + 1 = 0 (2)
 1, Giải các phương trình (1) và (2) trong trường hợp a = – 1
 2, Chứng minh với mọi giá trị của a thì ít nhất 1 trong 2 phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. 
Bài 3 (2đ):
 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
 (P): y = 2x2
 (d): y = ax + 2 – a 
 1, Vẽ parabol (P)
 2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì (P) và (d) luôn có một điểm chung cố định. Tìm toạ độ điểm chung đó.
Bài 4 (4đ):
 Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 4cm. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Lấy O làm tâm vẽ một đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại D và E tương ứng. M là điểm trên cung nhỏ DE của đường tròn tâm O nói trên (M ≠ D, E). Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt các đoạn AD, AE tại các điểm P và Q tương ứng. Gọi L và K theo thứ tự là giao điểm của các đường thẳng OP, OQ với đường thẳng DE.
 1, Chứng minh DE // BC
 2, Chứng minh rằng góc POQ = góc DOE = 60o.
 3, Chứng minh tứ giác DOKP nội tiếp trong một đường tròn, từ đó suy ra các đường thẳng OM, PK và QL cắt nhau tại một điểm.
 4, Tính chu vi tam giác APQ.
Năm 2000 – 2001
(150 phút)
Ngày thi 22/ 6/ 2000
Bài 1 (2đ): 
Cho các biểu thức:
A = ( a ³ 0 )
B = ( b ³ 0 và b ≠ 1)
1, Rút gọn A và B
2, Tính A – B khi a = và b = 
Bài 2 (2đ): 
Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n là tham số):
x2 – (m + n)x – (m2 + n2) = 0 (1)
1, Giải phương trình (1) khi m = n =1
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phương trình (1) luôn có nghiệm
3, Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x2 – x – 5 = 0
Bài 3 (2)
Trong một kỳ thi, hai trường A và B có tất cả 350 học sinh dự thi. Kết quả là 2 trường đó có tất cả 338 thí sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu thí sinh dự thi.
Bài 4 (4đ):
Cho tam giác ABC vuông tại A, góc ACB = 30o nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Trên (O) lấy điểm D sao cho A & D nằm về hai phía so với đường thẳng BC & DB > DC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B, C xuống AD còn I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A, D tới đường thẳng BC.
1, Chứng minh các tứ giác ABIE, CDFK, EKFI nội tiếp được đường tròn.
2, Chứng minh EK //AC và AE = DF.
3, Khi AD là đường kính của (O), hãy tính chu vi của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EKFI
Ngày thi 23/ 6/ 2000
Bài 1 (2đ):
 Cho các biểu thức: 
 A = (với x ³ 0 và x ≠ 1)
 B = 
1, Rút gọn A và B.
2, Tính giá trị của A khi x = 13
3, Tìm x để A = B
Bài 2 (2đ): 
Cho các hệ phương trình:
 	 (I) (II) (m, n là tham số)
1, Giải hệ phương trình (I)
2, Tìm m, n để hệ phương trình (I) tương đương với hệ phương trình (II)
Bài 3 (2đ):
Hai khu đất hình chữ nhật, khu thứ nhất có chiều rộng bằng chiều dài; khu đất thứ hai có chiều rộng lớn hơn chiều rộng của khu thứ nhất là 1m, chiều dài nhỏ hơn khu thứ nhất là 4m và có Skhu 2 = Skhu 1. Tính diện tích từng khu đất.
Bài 4 (4đ):
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại M, đường thẳng MD cắt (O) tại E (E ≠ D) và cắt AB tại F. Gọi I, K thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AB, DE. Tia OK cắt đường thẳng AB tại P, tia AK cắt (O) tại N (N ≠ A).
1, Chứng minh năm điểm A, M, O, B, K cùng thuộc một đường tròn, tính bán kính đường tròn đó.
2, Chứng minh ∆BKF đồng dạng với ∆PIO & PA. PB = PE. PI. 
3, Tính S∆MND.
Năm học 2001 – 2002 
(150 phút)
Ngày thi 13/ 7/ 2001
Bài 1: (1,5đ) 
Cho biểu thức: 
M = .
a, Rút gọn M.
b, Tìm x để M đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: (1,5đ): 
Cho phương trình: 
x2 – 2(m + 1)x + 2m + 5 = 0
a, Giải phương trình khi m = 
b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 3: (2,5đ)
a, Giải hệ phương trình: 
b, Hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3km/h nên đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. tính vận tốc của mỗi người biết quãng đường AB dài 30km.
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm D trên cung hnỏ AB. Trên các tia đối của các tia BD, CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Gọi giao điểm của hai đường thẳng AM, AN với đường tròn tâm O theo thứ tự là P, Q.
a, Tam giác AMN là tam giác gì ? Tại sao ?
b, Chứng minh tứ giác ADMN nội tiếp được. Suy ra ba đường thẳng MN, PC, BQ song song với nhau.
Bài 5: (1,5đ)
Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình:
 x 2 – ( 3 + 2a ) x + 40 – a = 0 có nghiệm nguyên.
Ngày thi 14/ 7/ 2001
Bài 1: (1,5đ)
a, Chứng minh hằng đẳng thức:
 A = = với a > 0 và a 
b, Tìm a để A < 0
Bài 2: (1,5đ)
Cho phương trình bậc hai: 
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a, Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b, Tìm các giá trị của m thoả mãn x21 + x22 = 12 (trong đó x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình).
Bài 3: (2,5đ)
a, Giải hệ phương trình: 
b, Một hình chữ nhật có cạnh này bằng cạnh kia. Nếu bớt mỗi cạnh đi 5m thì diện tích hình chữ nhật đó phải giảm đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 4: (3đ)
Cho tam giác ABC có góc A = 450; các góc B, C đều nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại D và E
 a, Chứng minh góc ABE = 450, suy ra AE = BE
 b, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn DH đi qua trung điểm của đoan AH.
 c, Chứng minh OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.
Bài 5 (1,5đ):
Tìm tất cả các số tự nhiên a để phương trình:
 x2 – a2x + a + 1 = 0 có nghiệm nguyên
Năm học 2003 – 2004
(150 phút)
Ngày thi 16/ 7/ 2003
Bài 1: (2đ) 
 1, Chứng minh rằng nếu phưong trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 thì: x1 + x2 = và x1.x2 = 
 2. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng bằng - 5.
 3, Tìm số nguyên a để phương trình: x2 - ax + a2 - 7 = 0 có nghiệm.
Bài 2: (2đ)
 Cho biểu thức: 
P = : 
 1, Với giá trị nào của x, y thì biểu thức P có nghĩa ?
 2, Rút gọn P
 3, Cho = ; = . Chứng minh rằng P = 2
Bài 3: (1,5đ)
Trong phòng họp có 288 ghế được xếp thành các dãy, mỗi dãy đều có số ghế như nhau. Nếu bớt đi hai dãy và mỗi dãy còn lại thêm hai ghế thì vừa đủ cho 288 người họp (mỗi người ngồi một ghế). Hỏi trong phòng họp đó lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế ?
Bài 4: (1,5đ)
Cho hàm số: 
y = (m – 2)x + m + 3 (d); (m là tham số).
 1, Tìm điều kiện của , để hàm số luôn nghịch biến.
 2, Tìm giá trị của m để đồ thị (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 3.
 3, Tìm m để đồ thị các hàm số y = – x + 2; y = 2x + 1 và (d) đồng quy ?
Bài 5: (3đ)
 Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD.
 1, Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
 2, Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C trên AD, AH là đường cao của tam giác ABC (H BC). Chứng minh HM AC.
 3, Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN
 4, Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh: R + r .
Năm 2004 – 2005
(150 phút)
Ngày thi 8/ 7/ 2004
Bài 1: (2đ)
Cho phương trình: 
.
1, Giải phương trình với m = 2
2, Tìm m để phương trình có nghiệm kép, vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: (2đ)
Cho biểu thức: 
M = 
1, Rút gọn biểu thức M
2, Tìm các giá trị của a để M < .
3, Tìm các giá trị nguyên của a để M nguyên.
Bài 3: (1,5đ)
Hai người đi xe đạp khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 54 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 h. Tính vận tốc của hai người biết rằng vận tốc của người đi từ A bằng vận tốc của người đi từ B.
Bài 4 (3đ)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R). Các đường cao BD, CE cắt nhau ở H và cắt đường tròn (O) tại hai điể theo thứ tự là M, N.
1, Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp được đường tròn.
2, Chứng minh A là điểm chính giữa của cung MN.
3, Chứng minh DE // MN.
4, Kẻ đường kính AF. Gọi I là trung điểm của BC, chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng.
Bài 5 (1,5)
1, Cho x ³ 0, y ³0 và x2 + y2 ≠ 0. Chứng minh:
 A = > 0.
2, Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
 B = 
Năm học 2005 – 2006
 (150 phút)
Ngày thi 13/ 7/ 2005
Câu 1 (2đ) 
Cho biểu thức: 
M = 
1, Rút gọn M
2, Với điều kiện nào của a thì M > 0 ?
Câu 2 (2đ)
Cho phương trình: 
x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 ( m là tham số) (1)
1, Giải phương trình (1) với m = 1
2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
3, Với x1, x2 là hai nghiệm của (10. Tính theo m giá trị biểu thức:
 A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1)
Câu 3 (1,5đ)
Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng ở kho II sẽ bằng số hàng còn lại ở kho I. Tính số hàng trong mỗi kho.
Câu 4 (3đ) 
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Phân giác của góc A cắt đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
1, Chứng minh góc CME = góc MAE = góc MAD = góc BCM. từ đó suy ra 
BC // DE.
2 Chứng minh ∆AMB và ∆MEC đồng dạng; ∆AMC và ∆MDB đồng dạng.
3, Giả sử AC = EC. Chứng minh MA2 = MD. ME
Câu 5 (1,5đ)
1, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2. Chứng minh:
 x4 + y4 + z4 = 
2, Chứng minh rằng a5 – a chia hết cho 30 với mọi số nguyên a.
Đề thi vào lớp 10 chọn THPT Yên Phong 2
Năm học 2005 – 2006
(150phút)
Câu 1 (2đ)
Cho biểu thức: 
P = . . . .. . . . . .. . .
1, Rút gọn P
2, Tìm x khi P = -2 
Câu 2 (2đ)
Cho hệ phương trình: 
1, Giải hệ khi a = - 2 
2, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn: x – y = 7
Câu 3 (1,5đ)
Hai bạn An và Bình cùng làm chung một công việc thì sẽ làm xong trong 1 giờ 12 phút. Họ làm chung với nhau được 30 phút thì An phải đi làm việc khác. Bình phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Hỏi mỗi bạn làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc ?
Câu 4 (3,5đ)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Tiếp tuyến tại M bất kỳ trên (O) (M khác A và B) cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. 
1, Chứng minh: CD = CA + DB và góc COD vuông
2, Chứng minh: AC. BC = R2
3. Biết góc BAM = 600. Chứng minh ABDM đều và tính diện tích ABDM hình chữ nhật ABDM
Câu 5 (1đ)
Tìm x, y nguyên thoả mãn: 
7x2 + 13y2 = 1820
Năm 2008 – 2009
(90 phút)
Câu 1 (2đ):
Giải các phương trình sau:
a, 2x – 3 = 0; 	b, x2 – 4x – 5 = 0
Câu 2 (2đ):
1, Cho phương trình: x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị biểu thức:
S = 
2, Rút gọn biểu thức:
A = Với a > 0 và A ≠ 9
Câu 3 (2đ):
1, Xác định các hệ số m, n biết hệ phương trình: 
 	 có nghiệm là ( -1; )
2, Giải toán bằng cách lập hệ phương trình:
 Khoảng cách giữa hai thành phố A & B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe một đi nhanh hơn xe hai 6 km nên đến B trước xe hai 12’.
Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 4 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ đường kính AD. Gọi M là trung điểm của AC, I là trung điểm của OD
1, Chứng minh: OM //DC
2, Chứng minh: ∆IMC cân
3, BM cắt AD tại N. Chứng minh: IC2 = IA. IN
Câu 5 (1đ):
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A (-1; 2); B (2; 3) & C (m; 0).
Tìm m để C∆ABC đạt giá trị nhỏ nhất.