45 Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Bài 1 (4đ):
 1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
 2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài 2 (3đ): Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì : − = 
Bài 3 (5đ): Giải phương trình:
 	1, + = + 
 	2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài 4 (6đ): Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng minh rằng:
 1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK
Bài 5 (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
®Ò thi häc sinh giái 
Bµi 1:
Rót gän biÓu thøc: A = víi /x/ = 1
Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: B = 
Bµi 2: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
T×m x ®Ó biÓu thøc:A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã ?
Bµi 3: 
T×m sè tù nhiªn x sao cho: x2 + 21 lµ sè chÝnh ph­¬ng ?
Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè chÝnh ph­¬ng lÎ liªn tiÕp th×:(m – 1).(n – 1) 192
Bµi 4:Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BN.
Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng.
Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña AHN.
VÏ AI HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF
Bµi 5:
G¶i ph­¬ng tr×nh:(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
Cho a, b, c R+ vµ a + b + c = 1.Chøng minh r»ng: 
§Ò sè 1
Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc 
a) Rót gän A; b) T×m x ®Ó A < -1.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (2 ®iÓm)Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a) 
b) 
Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn l­ît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y.
Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®­êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M Î AB vµ N ÎAD). Chøng minh:
a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 111 (2n ch÷ sè 1), b = 444 (n ch÷ sè 4).
 Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph­¬ng.
§Ò sè 2
C©u I: (2®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 
b) 
2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
C©u II: (2 ®iÓm)
1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc chia hÕt cho ®a thøc .
2) T×m d­ trong phÐp chia ®a thøc cho ®a thøc 
C©u III: (2 ®iÓm)
1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n .
CMR: 
C©u IV: (3®iÓm)
1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K th¼ng hµng.
c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi.
2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®­êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. 
CMR: b»ng mét h»ng sè.
C©u V: (1 ®iÓm): Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
§Ò sè 3
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ 
Rót gän biÓu thøc: 
Bµi 2: (2®iÓm)
a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 	 
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 3: (2®iÓm)
 Mét ng­êi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®­îc 15 phót, ng­êi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ng­êi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®­êng AB.
Bµi 4: (3®iÓm)
 Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®­êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD.
a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau.
b) Chøng minh ba ®­êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt.
Bµi 5: (1®iÓm)
 T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh:
§Ò sè 4
Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x- 3x + 4-2 víi x > 0
Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2 Rót gän biÓu thøc: 
Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: 
Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM < CM. Tõ N vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F.
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm
Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n
c) TÝnh : ANB + ACB = ?
M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña D ABC
®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng. 
Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.
§Ò sè 5
Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: 
1) Rót gän M.
2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0.
Bµi 2: (2®iÓm) Ng­êi ta ®Æt mét vßi n­íc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi n­íc ch¶y ra ë l­ng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy n­íc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê r­ìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra.
1) TÝnh thêi gian n­íc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc n­íc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra.
2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu.
Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: 
Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D). §­êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K.
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK.
2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: 
JA = JB = JF = JI.
3) §Æt DE = x (a x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x.
4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt.
Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n: . TÝnh 
§Ò sè 6
C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau:
1) 
2) 
C©u II: (4 ®iÓm)
1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d­ 2 vµ b chia cho 13 d­ 3 th× chia hÕt cho 13.
2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
3) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®­îc giao lµm mét khèi l­îng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®­îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®­îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh.
C©u IV: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn AC; H, K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD.
1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ?
2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA.
3) Chøng minh 
C©u V: (2 ®iÓm)Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
§Ò sè 7
C©u I: (2®iÓm)
1. Thùc hiÖn phÐp chia cho . T×m x Z ®Ó A chia hÕt cho B.
2. Ph©n tÝch ®a thøc th­¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö.
C©u II: (2®iÓm)
1. So s¸nh A vµ B biÕt: vµ 
2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44.
C©u III: (2®iÓm)
1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: . Hái tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c g× ?
2. Cho ®a thøc f(x) = . T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc .
C©u IV: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ?
2. Chøng minh AB. CF = AC. AE
3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC.
C©u V : (1 ®iÓm)Chøng minh nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn:
§Ò sè 8
C©u 1: (2®iÓm)
a) Cho .TÝnh 
b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè d­¬ng.
C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×:
C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®­êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh. Nöa qu·ng ®­êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qu·ng ®­êng sau ®i víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h. 
TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®­êng AB biÕt ng­êi ®ã ®Õn B ®óng giê.
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®­êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N.
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC.
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph­¬ng tr×nh: 
§Ò sè 9
Bµi 1: (2 ®iÓm)
Cho 
a) Rót gän M.
b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M.
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m x biÕt : 
b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph­¬ng.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho x vµ y tho¶ m·n: .TÝnh 
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: 
Chøng minh: 
Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn l­ît t¹i M vµ N.
a) Chøng minh IM = IN.
b) Chøng minh: 
c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®­êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lÇn l­ît t¹i H vµ E. Chøng minh HM + HE = 2AK.
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b.
§Ò sè 10
C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
 a) ; b) ; c) 
C©u 2: (2 ®iÓm)
 1) So s¸nh A vµ B biÕt: vµ 
 2) Cho vµ .
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
C©u 3: (2 ®iÓm)
 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
 2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
 3) Chøng minh r»ng: 
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §­êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G. 
 a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi.
 b) Chøng minh AF2 = FK. FC.
 c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi.
C©u 5: (1 ®iÓm) Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
§Ò sè 11
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh ph­¬ng.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: 
b) T×m n nguyªn d­¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3.
c) Cho . Chøng minh r»ng: .
C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc:
a) Rót gän B.
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B.
C©u 4: (3 ®iÓm) Cho M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB vÏ c¸c h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF.
a) Chøng minh: AE ^ BC.
b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F th¼ng hµng.
c) Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB.
C©u 5: (1 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi "n Î N vµ n > 3 th×:
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
§Ò sè 12
C©u 1: (2 ®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) ;b) ;c) 
2) Rót gän:
C©u 2: (2 ®iÓm)
1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d­ 2, f(x) chia cho x-3 th× d­ 7, 
f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®­îc th­¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d­.
2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.
C©u 3: (2 ®iÓm)Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
a) 
b) 
C©u 4: (3 ®iÓm)Mét ®­êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC lÇn l­ît t¹i E, K, G. Chøng minh r»ng: 
1) 
2) 
3) Khi ®­êng th¼ng d xoay quanh ®iÓm ...  BB’ , CC’ c¾t nhau t¹i H, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. Trªn tia HG lÊy ®iÓm O sao cho OG = OH; AO vµ HM c¾t nhau t¹i D.
a) Chøng minh OM ^ BC.;b) Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g× ?
c) Gäi A1 , B1 , C1 lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña H qua c¸c c¹nh BC, CA, AB. TÝnh 
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
§Ò sè 30
C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc 
a) Ph©n tÝch ®a thøc A thµnh nh©n tö.
b) Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× A> 0.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
b) Cho a, b, c ®«i mét kh¸c nhau vµ .
TÝnh 
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho m, n lµ c¸c sè tho¶ m·n: .
Chøng minh (m-n) vµ (4m + 4n + 1) ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng.
b) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 tho¶ m·n vµ .
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: theo m.
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho DABC , träng t©m G, trªn BC lÊy ®iÓm P, ®­êng th¼ng qua P theo thø tù song song CG vµ BG c¾t AB, AC t¹i E, F; EF c¾t BG, CG theo tø tù t¹i I, J.
a) Chøng minh: EI = IJ = JF
b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iÓm cña EF.
c) Mét ®­êng th¼ng P ë ngoµi tam gi¸c. Chøng minh r»ng tæng kho¶ng c¸ch tõ ba ®Ønh cña tam gi¸c ABC xuèng ®­êng th¼ng d gÊp 3 lÇn kho¶ng c¸ch tõ träng t©m ®Õn ®th¼ng d.
C©u 5: (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c sè cã hai ch÷ sè sao cho: lµ sè nguyªn tè.
§Ò sè 31
C©u 1: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: 
a) Rót gän M.
b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7.
C©u 2: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn ch½n th× biÓu thøc: 
 chia hÕt cho 323
b) Cho x, y, z kh¸c 0 vµ . Chøng minh r»ng:
NÕu th× 
C©u 3: (2 ®iÓm) Trong mét cuéc ®ua m« t« cã ba xe cïng khëi hµnh mét lóc. Mét xe trong mét giê ch¹y chËm h¬n xe thø nhÊt lµ 15 km vµ nhanh h¬n xe thø ba 3 km, ®Õn ®Ých chËm h¬n xe thø nhÊt 12 phót vµ sím h¬n xe thø ba 3 phót. Kh«ng cã sù dõng l¹i trªn ®­êng ®i. 
T×m vËn tèc mçi xe, qu·ng ®­êng ®ua vµ xem mçi xe ch¹y mÊt bao nhiªu thêi gian.
C©u 4: (2 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD, gäi K, O, E, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA. C¸c ®o¹n th¼ng AO, BE, Cn vµ DK c¾t nhau t¹i L, M, R, P. 
TÝnh tØ sè diÖn tÝch S(MNPR) : S(ABCD).
C©u 5: (1 ®iÓm)TÝnh tæng 
§Ò sè 32
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
b) TÝnh : 
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: víi x = 6
b) T×m n nguyªn ®Ó n - 1 chia hÕt cho 
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
a) Cho ®a thøc .T×m d­ cña phÐp chia f(x) cho 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 
C©u 4: (3 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®­êng cao AH. Gäi E, F lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
a) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ?
b) Chøng minh AB. AE = AC. AF.
c) So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC.
C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
§Ò sè 33
C©u 1: (2 ®iÓm)
1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
a) 
b) 
2. Cho a, b lµ c¸c sè tho¶ m·n . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
C©u 2: ( 2 ®iÓm)
) Cho p vµ p2 + 2 lµ c¸c sè nguyªn tè. Chøng minh r»ng p3 + 2 lµ sè nguyªn tè.
b) T×m c¸c sè d­¬ng x, y, z tho¶ m·n: vµ 
C©u 3: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB cña mét thµnh phè, cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu tõ A ®Õn B vµ còng cø 6 phót l¹i cã mét xe buýt ®i theo chiÒu ng­îc l¹i. C¸c xe nµy chuyÓn ®éng ®Òu víi cïng vËn tèc nh­ nhau. Mét kh¸ch du lÞch ®i bé tõ A ®Õn B nhËn thÊy cø 5 phót l¹i gÆp mét xe buýt ®i tõ B vÓ phÝa m×nh. 
Hái cø bao nhiªu phót l¹i cã mét xe ®i tõ A v­ît qua ng­êi ®ã.
C©u 4: (3 ®iÓm)
a) Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy E thuéc BD, Gäi F lµ ®iÓm ®èi xøng víi C qua E. Qua F kÎ Fx song song víi AD, c¾t AB t¹i I, Fy song song víi AB, c¾t AD t¹i K. Chøng minh r»ng ba ®iÓm I, K, E th¼ng hµng.
b) Cho ®o¹n th¼ng AB song song víi ®­êng th¼ng d. T×m ®iÓm M (d vµ M n»m kh¸c phÝa víi AB) sao cho c¸c tia MA, MB t¹o víi ®­êng th¼ng d mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm)Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
§Ò sè 34
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) Cho .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
b) T×m sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè chÝnh ph­¬ng.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
b) Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
C©u 3: ( 2 ®iÓm)ViÖt (hái): B¹n ë sè nhµ bao nhiªu ?
Nam (tr¶ lêi): M×nh ë sè nhµ lµ mét sè cã ba ch÷ sè, mµ hai ch÷ sè ®Çu còng nh­ hai ch÷ sè cuèi lËp thµnh mét sè chÝnh ph­¬ng vµ sè nµy gÊp bèn lÇn sè kia ?
ViÖt: Sau mét lóc suy nghÜ ®· t×m ra sè nhµ cña Nam.
 	Hái sè nhµ cña Nam lµ bao nhiªu ?
C©u 4: ( 3 ®iÓm)
1) Cho hai ®iÓm A vµ B n»m cïng phÝa ®èi víi ®­êng th¼ng a. H·y t×m trªn ®­êng th¼ng a mét ®iÓm P sao cho tæng ®é dµi AP + PB lµ bÐ nhÊt.
2) Cho gãc nhän xOy vµ 1 ®iÓm A ë miÒn trong gãc ®ã. H·y t×m trªn hai c¹nh Ox, Oy c¸c ®iÓm t­¬ng øng B vµ C sao cho chu vi tam gi¸c ABC bÐ nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y, z, t tháa m·n: 
§Ò sè 35
C©u 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
a) 
b) 
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho f(x) = .Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3)
b) T×m c¸c sè x, y nguyªn d­¬ng tho¶ m·n: 
C©u 3: ( 2 ®iÓm) 
a) Chøng minh r»ng chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn.
b) Cho tam gi¸c cã ®é dµi hai ®­êng cao lµ 3 cm vµ 7 cm. H·y t×m ®é dµi ®­êng cao thø ba, biÕt r»ng ®é dµi ®­êng cao ®ã lµ mét sè nguyªn.
C©u 4: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh tæng ®é dµi c¸c c¹nh cña mét ngò gi¸c låi bÐ h¬n tæng ®é dµi c¸c ®­êng chÐo cña ngò gi¸c ®ã.
b) Cho tam gi¸c ABC . Trong c¸c h×nh ch÷ nhËt cã hai ®Ønh n»m trªn c¹nh BC vµ hai ®Ønh cßn l¹i lÇn l­ît n»m trªn hai c¹nh AB vµ AC, h·y t×m h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch lín nhÊt.
C©u 5: (1 ®iÓm).T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc d­¬ng x, y tho¶ m·n: 
§Ò sè 36
C©u 1: ( 2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n.
b) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 
C©u 2: (2 ®iÓm) 
a) T×m x, y, z tho¶ m·n: 
b) Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ ®«i mét kh¸c nhau. Chøng minh r»ng:
 lµ mét sè h÷u tØ.
C©u 3: ( 2 ®iÓm) 
a) Cho x, y > 0 tho¶ m·n x + y =1. Chøng minh r»ng: 
b) Chøng minh r»ng: 
C©u 4: (2 ®iÓm)Cho ®a thøc P(x) víi a, b, c , d lµ h»ng sè. 
BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 . TÝnh P(12) + P(-8).
C©u 5: ( 2 ®iÓm)T×m c¸c sè x, y nguyªn tho¶ m·n: 
§Ò sè 37
Bµi 1: (4 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
b) T×m sè nguyªn a ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (4 ®iÓm) §a thøc P(x) khi chia cho x -3 d­ 7, khi chia cho x + 5 d­ -9 cßn khi chi cho
 x2 - 5x + 6 th× ®­îc th­¬ng lµ x2 + 1 vµ cßn d­. T×m ®a thøc P(x).
Bµi 3: (6 ®iÓm)
a) BiÕt x lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:
T×m x ë d¹ng thu gän.
b) Rót gän biÓu thøc: 
Bµi 4: (6 ®iÓm)
a) Trªn tia Ox cña gãc xOy cho tr­íc mét ®iÓm A. H·y t×m trªn tia Oy cña gãc ®ã mét ®iÓm B sao cho OB + BA = d (víi d lµ ®é dµi cho tr­íc.
b) Cho tam gi¸c ABC cã 2 trung tuyÕn kÎ tõ B vµ C lµ BE vµ CF. Chøng minh r»ng BE vu«ng gãc víi CF khi vµ chØ khi: AC2 + AB2 = 5BC2 .
§Ò sè 38
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: 
b) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: 
a) Rót gän P.
b) T×m a ®Ó P nguyªn.
Bµi 3: (3 ®iÓm)
a) T×m c¸c sè nguyªn x, y, z biÕt r»ng: 
b) Cho ®a thøc f(x) = víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. BiÕt r»ng f(0), f(1), f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän víi ba ®­êng cao AA’, BB’, CC’. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng: 
Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao chob ®a thøc chia cho (x + 1) th× d­ 7, chia cho (x-3) th× d­ -5.
§Ò sè 39
Bµi 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc:
a) 
b) 
Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
b) T×m x, y biÕt: 
c) Cho. T×m sè tù nhiªn n ®Ó gi¸ trÞ cña A lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 3: ( 2 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
Bµi 4: (2 ®iÓm) Mét « t« khëi hµnh ®i tõ A ®Õn C, hai giê sau mét « t« kh¸c ®i tõ B ®Õn C. Sau giê tÝnh tõ khi « t« thø nhÊt lhëi hµnh th× hai « t« gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi « t«. BiÕt r»ng B n»m trªn ®­êng tõ A ®Õn C vµ qu·ng ®­êng AB b»ng 78 km, vËn tèc cña « t« ®i tõ A lín h¬n vËn tèc cña « t« ®i tõ B lµ 5 km/h.
Bµi 5: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba ph©n gi¸c trong lµ AD, BE vµ CF. Gäi M, N, P theo thø tù lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña B, A vµ C qua AD, BE , AD. Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua CF. Chøng minh MN // PQ.
§Ò sè 40
Bµi 1: ( 2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 
b) 
Bµi 2: (4 ®iÓm) 
a) Rót gän biÓu thøc sau: 
b) X¸c ®Þnh a, b ®Ó ®a thøc chia hÕt cho ®a thøc 
c) T×m d­ cña phÐp chia ®a thøc cho ®a thøc 
d) T×m x nguyªn tho¶ m·n: 
Bµi 3: (2,5 ®iÓm)Cho tø gi¸c ABCD cã AD = BC. Gäi M, N, P vµ Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD, BD vµ AC.
a) Chøng minh MN lµ ph©n gi¸c cña gãc PMQ.
b) T×m ®iÒu kiªn cña tø gi¸c ABCD ®Ó MN = PQ.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm I trªn CD ®Ó AIB cã chu vi nhá nhÊt.
Bµi 4: (1,5 ®iÓm)
a) TÝnh nhanh: 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
§Ò sè 41
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m th­¬ng vµ phÇn d­ trong phÐp chia ®a thøc:
 cho 
b) §a thøc f(x) khi chia cho x-3 th× d­ 10, khi chia cho x+5 th× d­ 2 cßn khi chia cho (x-3)(x+5) th× ®­îc th­¬ng lµ vµ cßn d­. T×m ®a thøc f(x).
Bµi 3: (2 ®iÓm)T×m sè tù nhiªn x sao cho cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn tè.
Bµi 4: (3 ®iÓm)Cho h×nh vu«ng ABCD vµ mét ®iÓm M trªn ®­êng chÐo AC. Tõ M h¹ MH, MK thø tù vu«ng gãc víi AB vµ BC.
a) Chøng minh r»ng: AK, CH vµ DM ®ång quy.
b) TÝnh c¸c gãc cña ∆DHK nÕu biÕt diÖn tÝch cña ∆ ®ã b»ng .
Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: 
§Ò sè 42
Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 
b) 
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: 
a) Rót gän P.
b) TÝnh P khi 
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n th× ph©n sè:
 tèi gi¶n.
b) T×m sè nguyªn n ®Ó chia hÕt cho 
Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AE, c¾t ®­êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF, AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®­êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N.
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh r»ng chi vi tam gi¸c CEM kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)T×m a ®Ó P = a4 + 4 lµ mét sè nguyªn tè.
§Ò sè 43
Bµi 1: ( 2®iÓm) h©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: 
a) 
b) 
Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho ®a thøc vµ cho biÕt
P(1) = 3 ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51.
TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8).
Bµi 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
a) 
b) 
Bµi 4: (2 ®iÓm)Dïng hai can 4 lÝt vµ 2,5 lÝt lµm thÕ nµo ®Ó ®ong ®­îc 3 lÝt r­îu tõ mét can 6 lÝt ®ùng ®Çy r­îu (c¸c can kh«ng cã v¹ch chia ®é). 
Bµi 5: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 
§Ò sè 44
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 
b) T×m c¸c cÆp sè (x, y) ®Ó biÓu thøc sau ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt: 
Bµi 2: ( 2®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 
a) 
b) 
Bµi 3: ( 2 ®iÓm)T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn nhÞ thøc Newt¬n cña ®a thøc: 
Bµi 4: (2 ®iÓm)
T×m sè tù nhiªn cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã b»ng luü thõa bËc bèn tæng c¸c ch÷ sè cña nã.
Bµi 5: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 
§Ò sè 45
C©u 1: ( 2 ®iÓm)Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 
a) 
b) 
C©u 2: ( 2 ®iÓm)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm: 
C©u 3: ( 2 ®iÓm)Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
C©u 4: (2 ®iÓm)Cho x, y, z > 0 vµ xyz =1 . Chøng minh r»ng:
C©u 5: ( 2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba sè d­¬ng tho¶ m·n: . 
T×m GTNN cña biÓu thøc: