18 Bài toán dãy số ôn thi học sinh giỏi có lời giải

 1
Bài 1. Cho dy số { } ,...3,2,1,0, =nu n xác định nh− sau: 




=+=
=
+ ,...2,1,0,
1
1
1
0
n
u
uu
u
n
nn
Chứng minh rằng với mọi số nguyên d−ơng k ta có: 
6
71
0
4
<∑
=
k
n nu
Chứng minh bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học: 
k=1 đúng. 
Xét k>1: 
1,2
1 2
1
1
1
2 ≥∀+>





+= −
−
− ku
u
uu k
k
kk 
Từ đó ta có: 
( ) 2212...2.22 21
222
21
+=−+>>+>+>
−−
kkuuuu
kk
k 
( )






+
−
+
<
+
<⇒
32
1
12
1
2
1
22
11
24 kkku k
10
1
32
1
5
1
2
11
2
4
<





+
−<⇒∑
=
ku
k
n n
6
7
6
1
1
80
13
1
10
1
16
1
1
1
0
4
=+<+<++<⇒∑
=
k
n nu
Bài 2. Cho dy số { } ,...3,2,1,0, =nu n xác định nh− sau: 




=+=
>
+ ,...2,1,0,
1
1
1
0
n
u
uu
u
n
nn
Chứng minh rằng: nu
u
unu n 2
2
1
2
2
0
0
2
0 ++<<+ 
Nhận xét: 
.......1 1210 <<<<<= uuuu ( ) 0
1
1 >=−⇒ +
k
kk
u
uu 
( )( ) ( ) 2111 =+>−+⇒ ++
k
kkkkkk
u
uuuuuu 
( ) ( ) nuunuuuuuu n
n
k
kk
knk
222
2
0
222
0
222
11
+>⇒>−=−⇒>−⇒ ∑
=
++
 2
Ta có: 
( ) 21
2
1
0
11
0
0
11
0
1
0
1
<





−+−⇒






<−+<
<=−<
++
+
+
u
uuuu
u
u
uu
uu
uu
kkkk
kkk
k
kk
( ) ( ) 21 1
0
22
1 <−−−⇒ ++ kkkk uu
u
uu 
( ) ( ) ( ) ( ) nuu
u
uuuu
u
uu
n
k
kk
n
k
kknn 2
11
1
0
1
0
1
0
22
10
0
2
0
2 <−−−=−−−⇒ ∑∑
−
=
+
−
=
+ 
n
u
u
u
u n 2
4
1
1
2
1
2
0
2
0
2
0
<−+−





−⇒ 
nun
u
u
u
u n 22
4
1
1
2
1 2
02
0
2
0
2
0
+<++−<





−⇒ 
nu
u
u n 2
2
1 2
0
0
++<⇒ 
Bài 3. Cho dy số thực không âm { } ,...3,2,1, =nu n xác định nh− sau: 
,....3,2,1,
1
02
1
21
=





≤
≥+−
∑
=
++
n
u
uuu
n
i
i
nnn
Chứng minh rằng 
21
2
0
n
uu nn ≤−≤ + 
Giải. 
,...3,2,1,02 21121 =∀−≥−⇒≥+− +++++ nuuuuuuu nnnnnnn 
,...3,2,1,,... 121 =∀−≥≥−≥−⇒ +++++ nkuuuuuu knknnnnn 







−≤−
−≤−
−≤−
⇒
++++
+++
++
11
121
11
...................................
nnknkn
nnnn
nnnn
uuuu
uuuu
uuuu
( )( )11 1 +++ −+≤−⇒ nnknn uukuu 
)1(
1
1
1 +
−
≥−⇒ +++
k
uu
uu
knn
nn 
 3
Do ,...3,2,1,
0
1
1
=∀





≥
≤∑
=
n
u
u
n
n
i
i nên ta có: 
)2(0
1
lim10,10
1
1 =+
−
⇒≤−≤⇒∀≤≤ ++
+∞→
++
k
uu
uunu
knn
k
knnn 
Từ (1) và (2) có: 01 ≥− +nn uu 
Ta có: 
( ) ( )
( )( ) ( )( )






−+≥−+
−≥−
−≥−
++
+
+
11
132
121
11
...................................
22
nnnn
nn
nn
uunuun
uuuu
uuuu
( )( )( )
( )( )
( )11
1
2
21
1...211 ++
=
−
++
=−++++≥≥⇒ ∑ nnnn
n
i
i uu
nn
uunu 
( )( ) 21
2
21
2
nnn
uu nn <++
≤−⇒ + 
Bài 4. Cho dy số { } ,...3,2,1, =nu n xác định nh− sau: 



>∀+=
=
− 1,1
0
1
1
nuu
u
nn
Chứng minh rằng nu
n
n
i
i ∀
−
≥∑
=
,
2
11
1
Giải. 
Ta có: 







++=
++=
=
+ 12
..........................
12
0
22
1
1
2
1
2
2
2
1
nnn uuu
uuu
u
nnuunuu n
n
i
i
n
i
in −≥−=⇒+=⇒ +
==
+ ∑∑ 2 1
11
2
1 22 
2
11
2
11
−
≥⇒
−
≥⇒ ∑∑
−−
n
i
i
n
i
i u
n
n
u 
 4
Bài 5. Cho dy số { } ,...2,1,0, =nu n xác định nh− sau: 



=+=
==
−+ ,...3,2,1,1.
1
11
10
nuuu
uu
nnn
Chứng minh rằng nu không chia hết cho 4 với mọi n. 
Giải. 
Tính một số giá trị cụ thể để định h−ớng: 
,...2132176.4528706,3852.43411
,338.4155,25.422,31.47,3,2
87
65432
+==+==
+==+==+====
uu
uuuuu
Định h−ớng: 
Nếu 23 += kn thì n∈+= qkqu n ,,2.4 
Nếu 23 +≠ kn thì n∈+= qkqu n ,,3.4 
Hay: (1)
nếu
nếu
n∈



+≠+
+=+
= qk
knq
knq
u n ,,
233.4
232.4
Chứng minh (1) bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học theo k: 
Ta có (1) đúng với 8,7,6,5,4,3,2,1,0=n 
TH1: Giả sử (1) đúng với 23 += kn , khi đó ta có: 
331231 +=++=+ kkn có dạng 23 +≠ k 
Ta chứng minh 341 +=+ qu n 
23 += kn có dạng 2423 1 +=⇒+ quk n 
131231 +=−+=− kkn có dạng 3423 21 +=⇒+≠ − quk n 
Ta có: 1.11 += −+ nnn uuu 
( )( ) 13424 21 +++= qq 
( ) 312344 2121 ++++= qqqq có dạng 34 +q 
TH2: Giả sử (1) đúng với 23 +≠ kn 
TH2.1. Nếu 
( )


+−=−=−
+≠+=+
⇒=
213131
23131
3
kkn
kkn
kn 
Ta có: 



+=
+=
− 24
34
21
1
qu
qu
n
n 
( )( ) 124341. 2111 +++=+=⇒ −+ qquuu nnn 
( ) 313244 1221 ++++= qqqq hay (1) đúng. 
TH2.2. Nếu 



+≠=−
+=+
⇒+=
2331
231
13
kkn
kn
kn 
 5
Ta có: 



+=
+=
− 34
34
21
1
qu
qu
n
n 
( )( ) 134341. 2111 +++=+=⇒ −+ qquuu nnn 
( ) 223244 1221 ++++= qqqq 
Vậy (1) đúng với mọi n. 
Bài 6. Cho dy số { }nu xác định nh− sau: 
( ) ( )
,...2,1,0,
32
3232
=
−−+
= nu
nn
n 
a) Chứng minh rằng ,...2,1,0, =∀∈ nu n z 
b) Tìm tất cả các số hạng của dy chia hết cho 3. 
Giải. 
a) Đăt 
( ) ( )
32
32
β;
32
32
α
nn
−
=
+
= ta có: 
βα−=nu 
( ) ( )
32
3232
11
1
++
+
−−+
=
nn
nu 
( ) ( )32β32.α −−+= 
( ) ( )
32
3232
22
2
++
+
−−+
=
nn
nu 
( ) ( )22 32β32.α −−+= 
( ) ( )347β347α −−+= 
( ) ( )[ ] ( )βα32β32α4 −−−−+= 
Thay 1, +nn uu vào 2+nu ta có: 
nnn uuu −= ++ 12 4 
Bằng cách tính trực tiếp ta có: 1,0 10 == uu 
Vậy, dy số trên có thể xác định bởi công thức sau: 



=−=
==
++ ,...3,2,4
1,0
12
10
nuuu
uu
nnn
Từ đó ta có ,...2,1,0, =∀∈ nu n z 
 6
b) Bằng cách tính trực tiếp ta có 8 số hạng đầu khi chia cho 3 cố số d− là: 
0,1,1,0,2,2,0,1. 
Dự đoán dạng: )1(
3,3
3,3



≠≠
==
knmu
knmu
n
n
nếu
nếu
Ta đi chứng minh (1) đúng bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học: 
Ta có (1) đúng với 8 số hạng đầu. 
Giả sử (1) đúng với n, ta chứng minh (1) đúng với n+1. 
TH1. Nếu kn 3= , ta cần chứng minh 1+nu có dạng m3≠ . Ta có: 
( )
( ) rmmuuu
rrmu
mu
kkn
nnn
n
n ++=−=⇒





<<+=
=
+−=−=−
−+
−
'34
30,'3
3
213131
11
1
có dạng m3≠ 
TH1. Nếu 13 += kn , ta cần chứng minh 1+nu có dạng m3≠ . Ta có: 
( ) rmmuuu
rrmu
mu
kn
nnn
n
n ++=−=⇒





<<+=
=
=−
−+− '34
30,'3
3
31
111 có dạng m3≠ 
TH1. Nếu 23 += kn , ta cần chứng minh 1+nu có dạng m3 . Ta có: 





<<+=
+=
+=−
−
3',0,3
''3
131
1
rrrmu
rmu
kn
n
n có dạng m3≠ 
( ) ( )''3344 11 rmrmuuu nnn +−+=−=⇒ −+ 
( ) )2(''43 rrrmm −++−= 
Ta chứng minh 'rr = . Ta có: 
"332 2 mukn n =⇒=− − , do đó: 
( ) ( ) ''"'43"3''3443 21 rrmmmrmuuurm nnn ++−=−+=−==+ −− 
'rr =⇒ , thay vào (2) ta có: ( )rmmu n +−=+ '431 có dạng 3m. 
Vậy (1) đúng với mọi n, hay chỉ có mọi số hạng của dy có dạng ,...2,1,0,3 =ku k 
chia hết cho 3. 
Bài 7. Cho dy số { }nu xác định nh− sau: 
,...3,2,1,10
1
1 ==∑
=
−
nu
n
i
i
n 
Tìm trong dy những số chia hết cho 7. 
Giải. 
Định h−ớmg: tính một số giá trị đầu của dy 
 11111,1111,111,11,1 54321 ===== uuuuu không chia hết cho 7, 
71111116 ⋮=u . Dự đoán .76 ⋮ku 
 7
Xét với 6≥n , coi 50,1,6 ≤≤≥+= rkrkn . Khi đó ta có: 
∑
+
=
−
+ ==
rk
i
i
rkn uu
6
1
1
6 10 
( ) ( )16266160 10...101010...1010 −++− +++++++= rkkkk 
( ) rkkrkk uuu .1010...101010 661066 +=++++= − 
trong đó nếu r =0 thì 0=r thì 00 =u . Ta đi chứng minh bằng ph−ơng pháp quy nạp 
toán học theo số k: Nếu r = 0 thì 76 ⋮kn uu = và nếu 0≠r thì rkn uu += 6 không 
chia hết cho 7 bằng cách sử dụng công thức biến đổi trên. 
Kết luận: Các số có dạng 76 ⋮ku . 
Bài 8. Cho dy số nguyên d−ơng { }nu xác định nh− sau: 



=−=
==
−− ,...4,3,2,6
17,3
21
10
nuuu
uu
nnn
Chứng minh rằng 12 −nu chia hết cho 2 và th−ơng là số chính ph−ờng với 
,...2,1,0=∀n 
Giải. 
Từ cách xác định dy số ta có: 
211 33 −−− −=− nnnn uuuu 
( ) ( ) 221
2
1 33 −−− −=−⇒ nnnn uuuu 
2,66
2
2211
2 ≥∀+−=−⇒ −−−− nuuuuuu nnnnnn 
Từ đó ta có: 







+−=−
+−=−
+−=−
−−−−
2
2211
2
2
11223
2
3
2
00112
2
2
66
.........................................
66
66
nnnnnn uuuuuu
uuuuuu
uuuuuu
866 01
2
1
2
01
2
1
2 −=−+=−+⇒ −− uuuuuuuu nnnn 
( )1869 22 112 −=+−⇒ −− nnnnn uuuuu 
( ) ( )183 221 −=−⇒ − nnn uuu 
( )
)1(
8
3
1
2
12 −−=−⇒ nnn
uu
u 
 8
Từ công thức xác định dy số ta có nu n ∀∈ ,N nên từ (1) ta có: 
( ) ( ) Z∈=−⇒−⇒− −−− mmuuuuuu nnnnnn ,434383 11
2
1 ⋮⋮ 
(Dễ dàng chứng minh chia hết cho 4 bằng phản chứng) 
Thay vào (1) ta có: 
( ) 2
2
21
2
8
4
1 m
m
u n ==− . Hay 1
2 −nu chia hết cho 2 và có th−ơng 
là số chính ph−ơng. 
Bài 9. Cho dy số { }nu xác định nh− sau: 



=−+=
==
−+ )1,...(4,3,2,197654
100,20
11
21
nuuu
uu
nnn
Chứng minh rằng có ít nhất một số của dy chia hết cho 1996. 
Giải. 
Đặt ,...3,2,1,19950,,,1996 =≤≤∈+= nrZrqrqu nnnnnn 
Do dy số { }nr là vô hạn và nrn ∀≤≤ ,19950 nên tồn số hai số nguyên d−ơng 
m>1, k, thoả mn: 
)2(
11


=
=
+++
+
kmm
kmm
rr
rr
Ta chứng minh 11 −+− = kmm rr 
Từ (1) ta có: 



++−=
++−=
+++−+
+−
197645
197645
11
11
kmkmkm
mmm
uuu
uuu
( ) ( ) ( )1111 45 ++++−+− −+−−=−⇒ kmmkmmkmm uuuuuu 
( ) ( )1111 19961996199619964 ++++++++ +−++−−+−= kmkmmmkmkmmm rqrqrqrq 
( ) ( )[ ] 199641996 11 ⋮++++ −+−−= kmmkmm qqqq 
( ) ( ) )3(11996,5199611 =−⇒ −+− do⋮kmm uu 
Ta lại có: 
( ) ( )111111 19961996 −+−+−−−+− +−+=− kmkmmmkmm rqrquu 
( ) ( )[ ] 19961996 1111 ⋮−+−−+− −+−= kmmkmm rrqq (do (3)). 
( ) 1111 1996 −+−−+− =⇒−⇒ kmmkmm rrrr ⋮ 
(do 19951995,19950 11 ≤−≤−⇒∀≤≤ −+− kmmn rrnr ) 
 9
Một cách t−ơng tự ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
)4(
20
100
11
22
11
22



==
==
⇒



=
=
+
+
−−+−−
−−+−−
k
k
mkmmm
mkmmm
rr
rr
rr
rr
Ta chứng minh 1996⋮ku . 
Ta có: 197645 21 ++−= ++ kkk uuu 
( ) ( ) 1976199619964 2211 ++++−= ++++ kkkk rqrq 
( ) ( ) 1976441996 2121 ++−++−= ++ rrqq kk 
( ) ( ) 19761008041996 121 ++−++−= ++ kk qq 
( )[ ] 1996199641996 21 ⋮++−= ++ kk qq 
( ) 11996,51996 =⇒ do⋮ku 
Bài 10. Cho dy số { }nu xác định nh− sau: 
( ) ( ) ( ) 2222 321 ++++++= nnnnu n 
Tìm tất cả các số của dy chia hết cho 10. 
Giải. 
Xét dy số { }nv tuần hoàn với chu kỳ 10 bằng cách bình ph−ơng các số tự 
nhiên nhỏ hơn 10: 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1, ... 
Nhận xét: 10⋮nu khi và chỉ khi tổng ( ) ( ) ( )
2222
321 ++++++ nnnn có 
chữ số tận cùng bằng 0, hay tống các chữ số tận cùng của bốn số 
( ) ( ) ( ) 2222 3,2,1, +++ nnnn có chữ số tận cùng bằng 0. 
Ta có: Tổng bốn chữ số tận cùng của bốn số trên là tổng bốn số liên tiếp của 
dy số { }nv . Ta dễ thấy trong dy số trên chỉ có hai tổng 4 số liên tiếp có chữ số 
tận cùng bằng 0 là: 2014966941 =+++=+++ , hay để 10⋮nu thì n phải có chữ số 
tận cùng bằng 1 hoặc 6, hay n có dạng: 
.,15 N∈+= kkn 
Vậy với các vị trí N∈+= kkn ,15 thì 10⋮nu . 
 10
Bài 11. Cho dy số { }nu xác định nh− sau: 
( ) ,...3,2,1,73 2 =++= nnnu n 
a) Chứng minh rằng trong 5 số hạng liên tiếp của dy có đúng một số chia hết 
cho 5. 
b) Chứng minh rằng không có phần tử nào của dy là lập ph−ơng của một số 
nguyên. 
Giải. 
a) Ta đi tìm các số hạng trong dy chia hết cho 5. 
Xét dy { }nv đ−ợc xác định bởi số tận cùng của số ( ) ,...3,2,1,73 2 =++ nnn 
Ta có { }nv tuần hàon với chu kỳ 10 và 10 số hạng đầu tiên của dy là: 3, 5, 3, 7, 7, 
3, 5, 7, 7, 7, 2, 9, 7. 
Ta có 5⋮nu khi và chỉ khi nu có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Từ cách xác 
định dy { }nv ta có: nu có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 khi và chỉ khi n có chữ số 
tận cùng là 2 hoặc 7, hay các số nu với ,...1,0,25 =+= kkn chia hết cho 5. Từ dó 
ta có, trong 5 số liên tiếp của dy { }nu không có 2 số chia hết cho 5. 
b) Chứng minh bằng ph−ơng pháp phản chứng: 
Giả sử có số Z∈k sao cho: ( ) )1(73 32 knn =++ 
Do ( ) ( )133 2 +=+ nnnn là số chắn nên 3k là số lẻ 12 +=⇒ tk thay vào (1) 
ta có: 
( ) ( )32 1273 +=++ tnn 
16128733
232 +++=++⇔ tttnn 
)2(8612633
322
tttnn =−−++⇔ 
mtttt 33338
33 =⇒⇒⇒⇒ ⋮⋮⋮ thay vào (2) ta có: 
322
27.86.312.9633 tmmnn =−−++⇔ 
322
9.8612.32 tmmnn =−−++⇔ 
mmtnn 612.39.82
232 ++=++⇔ 
dễ dàng chứng minh đ−ợc vế trái không chia hết cho 3 còn vế phải chia hết cho 3. 
 11
Bài 12. Cho cấp số cộng: niuuuu in ,...,2,1,0;,...,, 21 =∀≠ . Chứng minh rằng : 
a) 
nnn uu
n
uuuuuu
S
113221
11
...
11 −
=+++=
−
b) Đảo lại, cho dy số ,...2,1,0;,...,...,, 21 =∀≠ nuuuu nn và thoả mn đẳng 
thức: 
3,
11
...
11
113221
≥∀
−
=+++
−
n
uu
n
uuuuuu nnn
. Chứng minh rằng dy số trên 
là cấp số cộng. 
Giải. 
a) Gọi công sai là d. 
TH1. Xét 0=d . 
TH2. 0≠d : Tính Sd . với chú ý 13212 ... −−==−=−= nn uuuuuud . 
b) B−ớc 1. Chứng minh 321 ,, uuu là cấp số cộng. 
Ta có: 
31313221
21311
uuuuuuuu
=
−
=+ 
321
2
321
1
321
3 2
uuu
u
uuu
u
uuu
u
=+⇒ 
213 2uuu =+⇒ 
hay 321 ,, uuu là cấp số cộng. Gọi d là công sai của cấp số cộng đó. 
B−ớc 2. Sử dụng ph−ơng pháp quy nạp toán học để chứng minh dy số trên là cấp 
số cộng với phần tử đầu tiên là 1u và công sai d. 
Với n = 4. Ta có: 
414331
41433221
313221 312
3111
211
uuuuuu
uuuuuuuu
uuuuuu
=+⇒






=++
=+
431
3
431
1
431
4 32
uuu
u
uuu
u
uuu
u
=+⇒ 
314 32 uuu =+⇒ 
( ) duuduuuu 622332 111134 +=−+=−=⇒ 
duu 314 +=⇒ 
hay 4321 ,,, uuuu là cấp số cộng. 
 12
Giả sử ta có: nuuuu ,...,,, 321 là cấp số cộng, ta cần chứng minh 
1321 ,...,,, +nuuuu là cấp số cộng 
Do nuuuu ,...,,, 321 là cấp số cộng, nên theo a) ta có: 






−
=+++
−
=+++
−
−−−
nnn
nnn
uu
n
uuuuuu
uu
n
uuuuuu
113221
11123221
11
...
11
21
...
11
nnnn uu
n
uuuu
n
1111
112 −
=+
−
⇒
−−
( ) ( )
nn
n
nnnn
n
uuu
un
uuu
u
uuu
un
11
1
11
1
11
12
−
−
−−
−
=+
−
⇒ 
( ) ( ) 11 12 −−=+−⇒ nn unuun 
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1111 2112 udnunuunun nn −−+−=−−=−⇒ − 
( ) ( )[ ]dnun 12 1 −+−= 
( )dnuu n 11 −+=⇒ 
hay nuuuu ,...,,, 321 là cấp số cộng. 
Vậy ,...,...,,, 321 nuuuu là cấp số cộng. 
Bài 13. Cho ,...,...,,, 210 nuuuu là dy số thoả mn: 
,...3,2,1,,
2
11 =∀∈
−
+≤ +− nc
uu
cu
nn
n r 
Chứng minh rằng: 
( ) .,...,2,1,1 0 kn
k
nu
u
k
n
cnknu
k
n =∀+




 −+−≤ 
Giải. 
Từ cách xác định dy số ta có: 
1,2
2
11
11 ≥∀−≥+−⇒
+
+≤ −+
+−
nuucuu
uu
cu nnnn
nn
n 
hay ta có: 
( ) ...12...2.22 1231201 ≤−+−≤≤+−≤+−≤− − cnuucuucuuuu nn 
Xét dy số ,..., 21 vv đ−ợc xác định nh− sau: 
( ) )1(,...4,3,2,1,121 =−+−= − ncnuuv nnn 
 13
Ta có: ......21 ≤≤≤≤ nvvv 
knn
n
vvv
n
vvv
≤≤≤≤
+++
⇒ + ...
...
1
21 











≤
+++
≤
+++
+++≤
+++
⇒ +
k
n
n
n
n
n
v
n
vvv
v
n
vvv
vvv
n
vvv
n
...
..............................................
...
...
...
21
1
21
21
21
( ) knn
n
vvvvv
n
vvv
nkn ++++++≤
+++
−+⇒ + ......
...
121
21 
k
n
vvv
n
vvv
k +++≤
+++
⇒ ...
...
21
21 
)2(
...... 2121
k
vvv
n
vvv kn +++≤
+++
⇒ 
Thay (1) vào (2) ta có: 
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
≤
−+−++−+−+−+− −
n
cnuucuucuu nn 1.2...12.211.2 11201 
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
k
ckuucuucuu kk 1.2...12.211.2 11201 −+−++−+−+−+− − 
( ) ( )
k
ckkuu
n
cnnuu kn 11 00 −+−≤
−+−
⇔ 
( ) ( )ckknnunucnknkuku kn 11 00 −+−≤−+−⇔ 
( ) ( )cnkknunknuku kn −+−+≤⇔ 0 
( )cnknu
k
n
u
k
n
u kn −+




 −+≤⇔ 01 
Bài 14. Cho dy số ,..., 21 uu đ−ợc xác định nh− sau: 





=+=
=
+ ,...2,1,
1
1
21
1
n
u
uu
u
n
nn
Chứng minh rằng: ,...3,2,6723 33 =−<<+ nnun n 
 14
Giải. 
Nhận xét dy số trên là tăng: 
Ta có: ,...2,1,
1
21
=<+=+ nu
u
uu n
n
nn 
)1(......1 21 >>>>=⇒ nuuu 
Từ cách xác định dy số ta có: 
21
1
n
nn
u
uu +=+ 
)2(
13
3
63
33
1
nn
nn
uu
uu +++=⇒ + 
Từ (1) ta có: 
2,
3
3
0
3
3
0
6
3
≥∀







<<
<<
n
u
u
n
n . Do đó kết hợp với (2) ta có: 
2,73
33
1
3 ≥∀+<<+ + nuuu nnn 
Từ (3) ta có: 










+<<+
+<<+
+<<+
+<
−− 73
.................
73
73
7
3
1
33
1
3
3
3
4
3
3
3
2
3
3
3
2
3
1
2
2
nnn uuu
uuu
uuu
uu
( ) ( )1723 31
33
2 −+<<−+⇒ nuunu n 
( ) 6723133 3
6
1
3
1
3
1 −<<−++++⇒ nun
uu
u n 
333 67236723 −<<+⇒−<<+⇒ nunnun nn 
 15
Bài 15. Cho hai dy số { }nu và { }nv xác định nh− sau: 





=
+
=
+
=
==
−−
−−−−
,...3,2,
2
;
2
1995;1997
11
1111
11
n
vu
vu
v
vu
u
vu
nn
nn
n
nn
n
Chứng minh rằng: ,...1,0,
2
2
2
11 =≤− ++ nvu nnn
n
. 
Giải. 
Từ cách xác định các dy số { }nu và { }nv ta có: )1(1,0,0 ≥∀>> nvu nn 
Ta chứng minh 1,011 ≥∀≥− ++ nvu nn . Ta có: 
( )
( )
1,0
2
2
2
2
11 ≥∀≥+
−
=
+
−
+
=− ++ n
vu
vu
vu
vuvu
vu
nn
nn
nn
nnnn
nn 
)2(1,011 ≥∀≥−⇒ ++ nvu nn 
Từ (1) và (2) ta có: 
( )
2,1
2
0 ≥∀<
+
−
≤ n
vu
vu
nn
nn 
( )
( ) ( )
( ) 2,
22
2
11 ≥∀−≤−+
−
=
+
−
=−⇒ ++ nvuvu
vu
vu
vu
vu
vu nnnn
nn
nn
nn
nn
nn 
hay ta có: 
( )
( ) ( )
)3(1
1996
1
199719952
4
2
...
11
2
11
2211 <=+
=
+
−
=−≤≤−≤− ++
vu
vu
vuvuvu nnnn 
Ta dễ dàng chứng minh đ−ợc bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học bất đẳng thức: 
1,1
2
2
2
≥∀> n
n
n
. 
Từ đó kệt hợp với (3) ta có: 
)4(1,
2
2
2
11 ≥∀<− ++ nvu nnn
n
Với n = 0, ta có: 
)5(
2
2
2
0
2
11
0
==−vu 
Từ (4) và (5) ta có: ,...1,0,
2
2
2
11 =≤− ++ nvu nnn
n
 16
Bài 16. Cho dy số { }nu thoả mn: 
)1(,,1 mkuuu mkmk ∀≤−−+ 
Chứng minh rằng: *n∈∀+<− qp
qpq
u
p
u qp
,,
11
Giải. 
Phân tích bài toán: 
Cần chứng minh: qppuqu qp +<− , từ đó suy ra cần lmf xuất hiện qp puqu , . 
Khai thác giả thiết: 
11)1( +≤+≤−⇔ ++ mkmkmk uuuu 
Khi k = m ta có: 121 22 +≤≤− mmm uuu 
Đi chứng minh: ( ) ( ) )2(,,11 *n∈∀−+≤≤−− qpquququ qppqp 
Chứng minh (2) bằng ph−ơng pháp quy nạp toán học theo q. 
Với q = 1: ta có: ppp uuu ≤≤ 
Giả sử (2) đúng với q = k, ta có: ( ) ( ) )3(11 −+≤≤−− kukuku kppkp . 
Ta cần chứng minh: ( ) ( ) ( ) kuukku pkppk +≤+≤− ++ 11 1 
Ta có: ( ) ppp ukuuk +=+1 
Kết hợp (3) ta có: 
( ) ( ) ( ) )4(111 pkpppppkp ukuukuukuku +−+≤+=+≤+−− 
Từ (1) ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)5(
111
111
11
11



−=−−−≤−−+
+=+−+≤−++
++
++
kukukuu
kukukuu
kpkppkp
kpkppkp
Từ (4) và (5) ta có (2) đúng với q = k + 1, hay (2) đúng. 
Đỏi vai trò của p và q ta có: 
( ) ( ) *,,11 n∈∀−+≤≤−− qppupupu qpqqp 
( ) ( ) )6(,,11 *n∈∀−+−≤−≤−−−⇔ qppupupu qpqqp 
Từ (2) và (6) ta có: 
( ) ( ) ( ) ( ) *,,1111 n∈∀−+−−+≤−≤−−−−− qppuqupuqupuqu qpqpqpqpqp 
( ) ( ) *,,22 n∈∀−+≤−≤−+−⇔ qpqqpuquqq qp 
*
,,
11
n∈∀+<−⇔+<−⇒ qp
qpq
u
p
u
qppuqu
qp
qp 
 17
Bài 17. Cho dy số 110 ,...,, +nuuu thoả mn các điều kiện sau: 



=≤+−
==
+−
+
nkuuu
uu
kkk
n
,...,2,1,12
0
11
10
Chứng minh rằng: 
( )
1,...,1,0,
2
1
+=
−+
≤ nk
knk
u k 
Giải. 
Ta cần chứng minh: 
( )
( )
1,...,1,0,
)2(
2
1
)1(
2
1
+=






−+
≤
−+
−≥
nk
knk
u
knk
u
k
k
Ta chứng minh (2). 
Xét dy số { }kv đ−ợc xác định: 
( )
1,...,1,0,
2
1
+=
−+
−= nk
knk
uv kk 
Ta cần chứng minh 1,...,1,0,0 +=≤ nkv k . Thật vây, do dy { }kv là hữu hạn nên 
tồn tại số 0≥i là số nhỏ nhất sao cho { }1,...,1,0,max +== nkvv ki . 
Nếu i = 0, ta có 00 =v nên (2) đúng. 
Nếu 0>i , ta có: 
11
1
1
2 +−
+
− +>⇒



≥
>
iii
ii
ii
vvv
vv
vv
Hay ta có: 
( ) ( )( ) ( )( )
2
111111
2
1
22 11
−−++++−+−
−+>
−+
− +−
knkknk
uu
knk
u iii 
12 11 ++>⇒ +− iii uuu 
)3(12 11 −<+−⇒ +− iii uuu 
Từ giả thiết ta có: 
)4(121 11 ≤+−≤− +− iii uuu 
Từ (3) và (4) suy ra điều vô lý, hay i = 0. 
Vậy (2) đúng. 
Chứng minh một cách t−ơng tự ta có (1). (thay giá trị lớn nhất bởi giá trị nhỏ nhất) 
 18
Bài 18. Cho nuuu <<< ...21 là dy các số tự nhiên đơn điệu tăng. 
Chứng minh rằng: 
2
1
3
23
2
12 1
...
3
1
2
1
1...
nu
uu
u
uu
u
uu
n
nn ++++<
−
++
−
+
− − 
Giải. 
Từ giả thiết ta có: 
( ) *1 N∈− −ii uu 
)1(
1
...
11
1
11
  
hạngsố−−
−− +++=
−
≤
−
⇒
ii uu
iiii
ii
i
ii
uuuu
uu
u
uu
Do 



<
∈
+1ii
i
uu
u N
 nên ta có: 
)2(
1
...
2
1
1
11
...
11
11
.................
2
11
1
11
11
1
1
1
iii
uu
iii
ii
ii
ii
uuuuuu
uu
uu
uu
ii
++
+
+
+
≤+++⇒











≤
+
≤
+
≤
−−
−
−
−
−
  
hạng số
Từ (1) và (2) ta có: 
ni
uuuu
uu
iiii
ii
,...3,2,
1
...
2
1
1
1
11
1 =∀++
+
+
+
≤
−
−−
− 
)3(
1
...
1
...
2
1
1
1
2112
1
n
n
i i
ii
uuuuu
uu
++++
+
+
+
≤
−
⇒∑
=
− 
Nếu 2nu n ≤ , từ (3) ta có: 
2
2112
1 1
...
1
...
2
1
1
1
...
1
...
2
1
1
1
nuuuuuu
uu
nn
n
i i
ii +++++<++++
+
+
+
≤
−
∑
=
− 
Nếu 2nu i > , t−ơng tự ta có: 
n
nn
i
ii
i
n
i i
ii
u
uu
u
uu
uuuuu
uu 11
12112
1
...
1
1
...
1
...
2
1
1
1 −−
−=
− −++
−
+
−
++++
+
+
+
≤
−
∑ 
)4(...
1
...
3
1
2
1 11
2
n
nn
i
ii
u
uu
u
uu
n
−− −++
−
++++< 
 19
Ta có: 
)5(1...
11
................................
11
11
11
1
11
1
1
1
1
<
−
<
−
++
−
⇒












<=<
−
<=<
−
<=<
−
−−
−
++
+
+
+
−
n
in
u
uu
u
uu
nuu
u
u
uu
nuu
u
u
uu
nuu
u
u
uu
n
nn
i
ii
nn
n
n
nn
ii
i
i
ii
ii
i
i
ii
Từ (4) và (5) ta có: 
2
2
1 1
...
1
...
2
1
1
nuu
uu
n
n
i i
ii +++++<
−
∑
=
−